人教版必修四 同角三角函数的基本关系教案

1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。

（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．
（2）商数关系：
sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα
=． （3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=．
（练习）已知tan α43=，求cos α 2．tan αcos α= ，cot αsec α= ，（sec α+tan α）·（ ）=1
二、讲解新课：
例82tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。

=|1sin ||1sin |cos ||cos |αααα+-- =1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos |
αα．
2tan α-=-， ∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα
+=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠． 所以，角α的集合为：{|k ααπ=或322,}22
k k k Z πππαπ+<<+∈． 例9．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+．
解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα
-+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=⋅=⋅112sin cos 2sin cos αααα-+⋅==⋅． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。

例10．求证：
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
∴左边=2cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x x ++=-+1sin cos x x
+==右边． ∴原式成立．
证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．
又∵22
(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==⋅， ∴
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-． 证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． cos 1sin 1sin cos x x x x
+--cos cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x ⋅-+-=-22cos 1sin 0(1sin )cos x x x x -+==-， ∴cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-．
例11．求证：22sin tan cos cot 2sin cos tan cot x x x x x x x x ⋅+⋅+⋅=+．
证明：左边=2
2sin 1sin cos 2sin cos cos tan x x x x x x x
⋅+⋅+⋅ =32sin cos cos 2sin cos cos sin x x x x x x x
+⋅+⋅ 4422sin cos 2sin cos sin cos x x x x x x ++=⋅=222(sin cos )1sin cos sin cos x x x x x x
+=， 右边22sin cos sin cos 1cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x +=+==． 所以，原式成立。

总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

例12
．已知sin cos )x x x π+=
<<，求sin ,cos x x ．
解：由sin cos )x x x π+=<<等式两边平方：
222sin cos 2sin cos x x x x ++=．
∴sin cos x x =*），
即1sin cos 2sin cos 4
x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， sin ,cos x x
可看作方程20z z =
的两个根，解得121,2z z ==． 又∵0x π<<，∴sin 0x >．又由（*）式知cos 0x <
因此，1sin ,cos 2x x == 三、巩固与练习
1. 求证：
x
x x x A ctg A A A A A
A A tg A ctg cos sin 1sin 1cos )4()
(csc sin )1)(sec sin 1)(3(csc sec 1cos sin )2(sin )sin ()1(2222222222222+=--=--+==-θθθθ 小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=αααααα2
22222cot csc tan sec cos sin -=-=+ 2、已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，， 求的值。

θ-θ
+θ-θtan 1cos cot 1sin
解：θ+θ=θ-θθ
-θ=θ-θθ
+θ-θθ=cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 222
2原式Θ
21
3+=∴由韦达定理知：原式 （化弦法）
3、已知2222,tan sec ,tan sec d c b a c d b d c a +=+=α+α=α-α求证：
证：由题设：⎩⎨⎧+α-=α+α=α)2(tan sec )
1(tan sec c d b d c a
2222222222tan )(sec )()2()1(d c d c b a ++α+=α++：
α+=α+222222sec )(sec )(d c b a
2222d c b a +=+∴
4、消去式子中的⎩
⎨⎧θ+θ=θ+θ=θ)2(cot tan )
1(cos sin y x ： 解：由)3(21
cos sin cos sin 21)1(22-=θθ∴θθ+=x x ： 由
)4(1
cos sin cos sin 1
sin cos cos sin )2(y y =θθ∴θθ=θθ+θθ=：12)4()3(2-=x y ：
代入将 （平方消去法）
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。

五、课后作业：
六、板书设计：。