数学必修一函数模型练习及答案解析
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.设,的整数部分用表示，则的值是 .【答案】1546【解析】，，，，所以.【考点】信息给予题，要善于捕捉信息，灵活运用2.在R上定义运算，若不等式成立，则实数a的取值范围是()．A．{a|}B．{a|}C．{a|}D．{a|}【答案】C【解析】由题知∴不等式对任意实数x都成立转化为对任意实数x都成立，即恒成立，解可得．故选A．【考点】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．3.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点是直线上的任意一点，则有，即，所以有，显然当时，有最小值．【考点】消元法,二次函数中配方法求最值．4.一次函数的图像过点和，则下列各点在函数的图像上的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设，由该函数的图像过点及，可得，求解得，所以，依次将A、B、C、D中的横坐标代入计算可知，只有点符合要求，故选C；法二：一次函数的图像是一条直线，由该函数的图像过点及可知，，所以直线的方程为：即，依次将各点的纵坐标减去横坐标，看是否为1，是1的点就在直线上，即该点在函数的图像上，最后确定只有C答案满足要求.【考点】1.一次函数的解析式；2.直线的方程.5.下列函数在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：对于A选项，函数在递减，故A不正确；对于B选项，函数在递减，在递增，故B不正确；对于C选项，函数在递减，故C不正确；对于D选项，函数在上单调递增，合题意综上知，D选项是正确选项【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数等常见函数的单调性.6.函数的最小值是【答案】【解析】，则函数的最小值为。
【考点】函数的性质点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．7.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，所以，函数的图象关于y 轴对称，在区间是减函数。
人教版高中数学必修一《函数模型的应用实例》课时达标及答案
课时作业 (三十六 )1．某林场计划第一年造林10 000 亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林 ()A．14400亩B．172 800亩C．17 280亩D．20 736 亩答案C解析设第 x 年造林 y 亩，则 y＝10 000(1＋20%)x－1，∴x＝4 时， y＝10 000×1.23＝17 280(亩)．2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以 23.04 元售出．此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况是()A．不亏不赚B．亏 5.92 元C．赚 5.92 元D．赚 28.96 元答案 B解析设甲、乙两种产品原价分别为 a，b，则 a(1＋20%)2＝23.04，b(1－20%)2＝23.04.∴a＝16 元， b＝36 元．若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利 23.04－16＝7.04 元，乙产品亏 36－23.04＝12.96 元，∴共亏 12.96－ 7.04＝5.92 元．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是 ()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－ 0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－ 0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)答案D4．乙从 A 地到 B 地，途中前一半时间的行驶速度是v1，后一半时间的行驶速度是v2(v1<v2)，则乙从 A 地到 B 地所走过的路程 s 与时间 t 的关系图示为 ()答案A5．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是 (lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)()A．2015 年B．2011年C．2010 年D．2008 年答案B解析设 1995 年总值为 a，经过 x 年翻两番．则 a·(1＋9%)x＝4a.2lg2∴x＝lg1.09≈16.6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元 )分别为 L1＝5.06x－0.15x2和 L2＝2x，其中 x 为销售量 (单位：辆 )．若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得的最大利润为 ()A．45.606 万元B．45.6 万元C．45.56 万元D．45.51 万元答案B解析依题意可设甲销售x 辆，则乙销售 (15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－ 0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10 时， S 有最大值为 45.6(万元 )．7．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示． (至少打开一个水口)给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③ 4 点到 6 点不进水不出水．则一定正确的论断序号是________．答案①8．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒 a 米的速度从地面垂直向上射箭时，t 秒后的高度x 米可由x＝at－5t2确定．已知射出 2 秒后箭离地面高 100 米，求弓箭能达到的最大高度．解析由 x＝at－5t2且 t＝2 时， x＝100，解得 a＝60.∴x＝60t－5t2.由 x＝－ 5t2＋ 60t＝－ 5(t－6)2＋180，知当t＝6 时，x 取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为 180 米．9．某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为 3 000 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？答案(1)88 辆(2)月租金定为 4 050 时最大月收益是307 050元10．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是[0.1,1.5]) 和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是 [4.0,5.2]) 的换算关系式为 L＝5.0＋lgV.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的 2 倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)153解析(1)∵ 5.0＋ lg1.5＝ 5.0＋lg10＝ 5.0＋lg2＝5.0＋ lg3－lg2＝5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，∴①应填 5.2；∵5.0＝5.0＋lg V，∴ V＝1，②处应填 1.0；4∵ 5.0＋lg0.4 ＝5.0＋ lg 10＝ 5.0＋ lg4－ 1＝ 5.0＋ 2lg2－ 1＝ 5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，∴③处应填 4.6；∵ 4.0＝5.0＋lg V ，∴ lgV ＝－ 1.∴ V ＝0.1.∴④处应填 0.1.对照表补充完整如下：V 1.5 1.0 0.4 0.1 L5.25.0 4.6 4.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值， 则有 4.5＝5.0＋lgV 甲，∴ V 甲＝10－0.5，则 V 乙 ＝2×10－0.5.∴乙的对数视力值 L 乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)＝5.0＋lg2－0.5＝5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.11．某种商品生产x 吨时，所需费用为 (101x 2＋5x ＋100)元，而出x售 x 吨时，每吨售价为 p 元，这里 p ＝a ＋b (a ，b 是常数 )．(1)写出出售这种商品所获得的利润y 元与售出这种商品的吨数 x之间的函数关系式；(2)如果生产出来的这种商品都能卖完，那么当产品是150 吨时，所获利润最大，并且这时每吨价格是40 元，求 a ，b.解析(1)y ＝(a ＋b x)x －(101x 2＋5x ＋100)＝ (1b －101)x 2＋(a －5)x －100.－ a －5＝150，1 1 (2)由题意，得2b －10a ＝45，解得b ＝－ 30.15040＝a ＋ b ，a0.1＋15 ln a －x ，x ≤6，1．有时可用函数f(x)＝x －4.4x －4 ，x>6，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某科学知识的学习次数 (x ∈N *)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．0.4(1)【证明】当 x ≥7 时， f(x ＋1)－ f(x)＝ x －3 x －4 .而当 x ≥7 时，函数 y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且 (x －3)(x －4)>0，故 f(x ＋1)－f(x)单调递减．∴当 x ≥7 时，掌握程度的增长量 f(x ＋1)－f(x)总是下降．a(2)解析由题意可知 0.1＋15 ln a －6＝0.85，0.05整理得 a －a6＝e0.05，解得 a ＝e 0.05e－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]．由此知，该学科是乙学科．1．(2013 ·庆重 )若 a<b<c ，则函数 f(x)＝(x －a) ·(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c) ·(x －a)的两个零点分别位于区间 ()A ．(a ，b)和(b ，c)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞ )内B ．(－∞， a)和(a ，b)内D ．(－∞， a)和(c ，＋∞ )内答案A解析 令 y 1＝(x － a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＝(x －b)[2x －(a ＋c)] ，y 2＝－ (x －c)(x －a)，由 a<b<c 作函数 y 1，y 2 的图像 (图略 )，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间 (a ， b)和(b ，c)内，即函数 f(x)的两个零点分别位于区间 (a ，b)和(b ，c)内．2．(2013 ·南湖 )函数 f(x)＝2lnx 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5 的图像的交点个数为 ()A ．3B ．2C ．1D ．0答案B解析由已知 g(x)＝(x －2)2＋1，所以其顶点为 (2,1)．又 f(2)＝2ln2∈ (1,2)，可知点 (2,1)位于函数 f(x)＝2lnx 图像的下方，故函数 f(x)＝2lnx的图像与函数 f(x)＝x 2－4x ＋5 的图像有 2 个交点．3．(2013 ·津天 )函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 函数 f(x)＝2x |log 0.5x|－1 的零点个数即为函数 y ＝|log 0.5x|与 y 1y ＝|log 0.5x|与 y ＝＝2x 图像的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数12x 的图像，易知有2 个交点．4．(2010 ·安徽 )设 abc ＞0，二次函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案D解析由 abc>0 知 a，b，c 均为正或两负一正．对 A，由图像知 a<0，f(0)＝c<0，故 b>0，函数对称轴为－b2a>0，不满足题意．对 B，由图像知 a<0，f(0)＝c>0，故 b<0，函数对称轴为－b2a<0，不满足题意．对 C，由图像知 a>0，f(0)＝c<0，故 b<0，函数对称轴为－b2a>0，不满足题意．故只能选 D.．·南湖函数＝2＋bx 与 y＝log|b≠ ，≠5 (2010)y ax a|x(ab 0 |a| |b|)在同一直角坐标系中的图像可能是 ()[答案D函数 y ＝ax 2＋bx 的两个零点是 b解析0，－ a .对于 A ，B ，由抛物线知，－ b ∈(0,1)，∴ |b∈．aa|(0,1)by ＝log|a |x 不为增函数，错误；b对于 C ，由抛物线知 a<0 且－ a <－1，b∴b<0 且a >1.bb∴|a |>1.∴y ＝log|a |x 应为增函数，错误；b对于 D ，由抛物线知 a>0，－ a ∈(－1,0)， ∴|b∈，满足 ＝b 为减函数．a|(0,1)y log|a |x6． (2010 ·福建 ) 函数 f(x) ＝x 2＋2x －3，x ≤0， 的零点个数为－2＋ln x ，x>0()A ．3B ．2C ．1D ．0答案B解析令 x 2＋2x －3＝0，解得 x 1＝ 1 或 x 2＝－ 3.∵x 1＝1>0，故舍去．令－ 2＋ln x ＝0，即 lnx ＝2，则 x ＝e 2.综上可得，当 x ＝－ 3 或 x ＝e 2 时，原函数的函数值为 0.故选 B.1 1 x的零点个数为 ()．北·京 函数＝2－( 7 (2012 ) f(x) x2)A．0B．1 C．2D．3答案B11 x 11 x22解析令 f(x)＝ x－ (2)＝0，得 x＝(2) ，求零点个数可转化为求两个函数图像的交点个数．如图所示．有 1 个交点，故选 B.8．(2009 ·湖南 )某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为 y 万元．试写出 y 关于 x 的函数关系式．解析设需新建n 个桥墩，则(n＋ 1)x＝m，即mn＝ x －1，所以y＝f(x)＝ 256n＋ (n＋1)(2＋m mx)x＝ 256(x －1)＋ x (2＋x)x＝256mx＋m x＋2m－256.。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.若自然数使得作竖式加法时均不产生进位现象，便称为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有（）A．9个B．11个C．12个D．15个【答案】C.【解析】根据题意分别求出个位数和十位数需要满足的条件，即个位数需要满足要求：，所以，所以个位数可取0,1,2三个数；又因为十位数需要满足：，所以，所以十位可以取0,1,2,3四个数，故四个数的“好数”共有个，故应选C.【考点】数的十进制；新定义.2.一次函数的图像过点和，则下列各点在函数的图像上的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设，由该函数的图像过点及，可得，求解得，所以，依次将A、B、C、D中的横坐标代入计算可知，只有点符合要求，故选C；法二：一次函数的图像是一条直线，由该函数的图像过点及可知，，所以直线的方程为：即，依次将各点的纵坐标减去横坐标，看是否为1，是1的点就在直线上，即该点在函数的图像上，最后确定只有C答案满足要求.【考点】1.一次函数的解析式；2.直线的方程.3.函数的一个零点是，则另一个零点是_________．【答案】【解析】本题要注意零点的概念，零点是指函数的解，并非点的坐标.依题意可知，所以，令或，所以另一个零点是1.【考点】函数的零点.4.已知是定义在上的奇函数，当时，．（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求区间．【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用奇函数的性质进行转化计算即可；（2）因为当时，，利用奇函数的性质先求出时的解析式，最后写出函数的解析式即可；（3）根据函数的单调性，求解不等式即分别求解不等式组与，最后取并集即可.试题解析：（1）∵是奇函数∴ 3分（2）设，则，∴∵为奇函数，∴ 5分∴ 6分（3）根据函数图像可得在上单调递增 7分当时，解得 9分当时，解得 11分∴区间为 12分.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的解析式；3.指数函数的性质.5.下列函数在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：对于A选项，函数在递减，故A不正确；对于B选项，函数在递减，在递增，故B不正确；对于C选项，函数在递减，故C不正确；对于D选项，函数在上单调递增，合题意综上知，D选项是正确选项【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数等常见函数的单调性.6.若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由函数对于上的任意都有，可知在上单调递增，因此有，解得.【考点】函数的单调性.7.已知定义在R上的奇函数满足＝(x≥0)，若，则实数的取值范围是________．【答案】(-3,1)【解析】∵函数f（x）=x2+2x（x≥0），是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数，f（x）是R上的增函数．由f（3-a2）＞f（2a），，于是3-a2＞2a，因此，解得-3＜a＜1．【考点】奇函数；函数单调性的性质．点评：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力．8.关于函数，有下面四个结论：（1）是奇函数；（2）恒成立；（3）的最大值是； (4) 的最小值是.其中正确结论的是_______________________________________．【答案】（2）（4）【解析】根据题意，由于函数，，那么利用奇偶性定义可知，函数为偶函数因此(1)错误。
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题(带答案)
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）函数与方程是考试重点，快来做一些同步练习吧!精品小编为你准备了高一必修一数学函数模型的应用实例测试题，具体请看以下内容。
高一数学函数模型的应用实例测试题(带答案新人教A版必修1)一、选择题1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系. 当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为()A.y=3x(x≥0)B.y=3xC.y=13x(x≥0)D.y=13x[答案] A2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副[答案] D[解析] 由10x-y=10x-(5x+4000)≥0，得x≥800.[解析] 由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型.6.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是()[答案] C[解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.高一必修一数学函数模型的应用实例测试题就介绍到这，更多内容请关注查字典数学网!。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
高中数学高一上学期第三章函数模型章节练习及答案
高中数学高一上学期第三章函数模型章节练习及答案一、选择题1、某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副 B．400副C．600副 D．800副2、某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＝b B．a>bC．a<b D．无法比较a、b的大小3、下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50x B．y＝x50x(x∈N*)C．y＝50x D．y＝log504、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为( )A．3.71 B．3.97C．4.24 D．4.775、1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2010年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)18 B．y＝54.8(1＋x%)19C．y＝54.8(x%)18 D．y＝54.8(x%)196、今有一组实验数据如表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是( ) A ．u ＝log 2t B ．u ＝2t －2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －27、若x ∈(0,1)则下列结论正确的是( ) A ．2x>x 12>lgx B ．2x>lgx>x 12C ．x 12>2x >lgxD ．lgx>x 12>2x8、某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )A ．70元B ．65元C ．60元D ．55元9、向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )10、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎨⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5)D ．x ＝⎩⎨⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t>3.5)11、某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%，那么经过x 年可增长到原来的y 倍，则函数y ＝f(x)的图象大致为( )12、某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设第二年有100只，则到第八年它们发展到( )A ．200只B ．400只C ．500只D ．600只二、填空题13、某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．14、将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个________元．15、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．16、某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是________．17、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．三、解答题18、为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．19、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(1.01210＝1.127)20、(10分)根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这20年间，每年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？21、(10分)某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．22、商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元/台，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？23、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．24、为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD 上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在CD 上)，但不超过文物保护区△AEF 的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB ＝CD ＝200 m ，BC ＝AD ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m)．25、养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t 和实际养殖量x t 与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．26、依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过2 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x，x＝全月总收入－2 000元，税率如表所示：(1)(2)某人2008年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？参 考 答 案一、选择题1、【解析】 由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D.【答案】 D2、【解析】 ∵b ＝a(1＋10%)(1－10%)， ∴b ＝a[1－(10%)2]＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100，∴b ＝a ×99100， ∴a>b.故选B. 【答案】 B3、C 【解析】 由于指数函数的增长是爆炸式的，则当x 越来越大时，函数y ＝50x 的增长速度最快．故选C.4、【解析】 5.5分钟的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24，故选C. 【答案】 C5、【解析】 由题意，1993年底人口为54.8(1＋x%),1994年底人口为54.8(1＋x%)2，…，故2010年底人口为54.8(1＋x%)18.故选A.【答案】 A6、【解析】 图象不符合直线的特征，排除D ；图象不符合对数函数的特征，排除A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04.模型u ＝t 2－12能较好体现这些数据．故选C.【答案】 C7、 当0<x<1时，2x >1,0<x 12<1，lgx<0，∴2x >x 12>lgx.故选A.【答案】 A8、【解析】 设该商品每件单价提高x 元，销售该商品的月利润为y 元，则y ＝(10＋x)(500－10x) ＝－10x 2＋400x ＋5 000 ＝－10(x －20)2＋9 000 ∴当x ＝20时，y max ＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元，故选A. 【答案】 A9、【解析】 图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小，故选B.【答案】 B10、C 【解析】 应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，离开A 地的距离不变是150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．故选C.11、D 【解析】 设原来的蓄积量为a ，则a(1+10.4%)x=a ·y ，∴y=1.104x，故选D.12、A【解析】由已知第二年有100只，得100＝alog33，∴a＝100，将a＝100，x＝8代入得y＝100×log3(8＋1)＝200.故选A.二、填空题13、【解析】当t＝0.5时，y＝2，∴2＝e 12 k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1 024.【答案】2ln2 1 02414、【解析】设每个上涨了x元，利润为y元，则y＝(10＋x－8)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360，当x＝4时，y有最大值360，即每个售价为10＋4＝14(元)．【答案】1415、【解析】设1月份产量为a，则12月份的产量为7a，∴a×(1＋x)11＝7a，∴x＝117－1【答案】117－116、【解析】设原来商品价格为1个单位，则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.921 6＝92.16%，∴减少了7.84%.【答案】减少了7.84%17、【解析】高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．【答案】148.4元三、解答题18、【解析】(1)由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B(30,35)、C(30,15)分别代入y1，y2得k1=1/5，k2=1/2.∴y1=1/5x+29(x≥0)，y2=1/2x(x≥0)．(2)令y1=y2，即1/5x+29=1/2x，则x=962/3.当x=962/3时，y1=y2，两种卡收费一致；当x<962/3时，y1>y2，即便民卡便宜；当x>962/3时，y1<y2，即如意卡便宜．19、【解析】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．20、【解析】 设平均每年增长率为x.从2000年到2020年共21年，若记2000年工农业总产值为1，则2001,2002,2003，……的年总产值分别为(1＋x)，(1＋x)2，(1＋x)3，…，第n 年为(1＋x)n －1.根据题意，有(1＋x)20＝22，两边取对数得20lg(1＋x)＝2lg2，即lg(1＋x)＝110lg2， ∴lg(1＋x)＝0.030 1，∴1＋x ≈1.072，∴x ≈0.072＝7.2%.即平均每年增长7.2%，即可完成第二阶段的任务．21、【解析】 (1)依题意x 1＋x 2＝5，∴x 2＝5－x 1，∴R ＝－2x 12－x 22＋13x 1＋11x 2－28＝－2x 12－(5－x 1)2＋13x 1＋11(5－x 1)－28＝－3x 12＋12x 1＋2(0≤x 1≤5)，∴收益y ＝R －5＝－3x 12＋12x 1－3＝－3(x 1－2)2＋9≤9，当且仅当x 1＝2时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．(2)收益y ＝R －(x 1＋x 2)＝－2x 12－x 22＋13x 1＋11x 2－28－(x 1＋x 2)＝－2(x 1－3)2－(x 2－5)2＋15≤15，当且仅当x 1＝3，x 2＝5时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．22、【解析】 设购买人数为z ，标价为x ，则z 是x 的一次函数，有z ＝ax ＋b(a<0)．又当x ＝300时，z ＝0，∴0＝300a ＋b ，∴b ＝－300a ，∴有z ＝ax －300a.(1)设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x 元，此时，所获利润为y.则y＝(x－100)(ax－300a)＝a(x2－400x＋30 000)(100<x<300)．又∵a<0，∴当x＝200时，y最大．所以，标价为每台200元时，所获利润最大．(2)当x＝200时，y＝－10 000a，max令y＝－10 000a×75%，即a(x2－400x＋30 000)＝－10 000a×75%，解得x＝150，或x＝250.所以定价为每台150元或250元时，所获利润为最大利润的75%.23、24、【解析】如右图所示，设P为EF上一点，矩形CGPH为划出的公园，PH=x，则PN=200-x.又∵AE=60，AF=40，∴由最大面积为24 0662/3 m 2.25、【解析】 (1)由题意得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x m ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫1－x m (0≤x<m)． (2)y ＝－k mx 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4. ∴当x ＝m 2时，y 最大＝km 4， 即鱼群年增长量的最大值为km 4t. (3)由题意可得0≤x ＋y<m ，即0≤m 2＋km 4<m ，∴－2≤k<2， 又∵k>0，∴0<k<2.26、【解析】 (1)第1级：f(x)＝x·5%＝0.05x第2级：f(x)＝500×5%＋(x －500)×10%＝0.1x －25第3级：f(x)＝500×5%＋1 500×10%＋(x －2 000)×15%＝0.15x －125.∴f(x)＝⎩⎨⎧ 0.05x (0<x ≤500)0.1x －25 (500<x ≤2 000)0.15x －125 (2 000<x ≤5 000).(2)这个人10月份的纳税所得额为4 200－2 000＝2 200(元)，∴f(2 200)＝2 200×0.15－125＝205(元)，即这个人10月份应纳个人所得税205元．。
高一数学函数及其表示试题答案及解析
高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是①与；②与；③与；④与。
A．①②B．①③C．③④D．①④【答案】C【解析】①中两函数定义域相同，值域不同，分别为；②中两函数定义域不同，分别为；③、④中两函数定义域、值域都相同。
【考点】函数的概念，即函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
2.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为分段函数在求值时，不同范围内的自变量对应不同的函数，所以在编写函数求值的算法程序需运用条件语句，故本题选C.【考点】基本算法语句中的条件语句的理解.3.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.（1）求f(x)的解析式；（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求实数m的取值范围【答案】（1）f(x)=x2-x+1，（2）【解析】（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析式有三种设法，本题设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项的系数.由a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以.（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式，再变量分离，这样就转化为求函数的最小值问题.试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x2ax+a+b=2xf(x)=x2-x+1（2）考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立4.已知函数，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】表示当自变量时对应的函数值；根据分段函数的定义,当时,；因为 , 所以.故选D【考点】1、函数的概念；2、分段函数.5.下列函数中，与函数有相同图象的一个是A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.6.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A．（4，2）B．（1，3）C．（6,2）D．（3,1）【答案】D【解析】集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为，所以，解得，所以集合中的元素为故选D．【考点】本题主要考查了映射的定义．7.下列四组函数，表示同一函数的是( )A．,B．C．D．【答案】D【解析】 A选项两个函数的定义域相同，但至于分别是[0,+∞)和R,所以排除A.B选项的定义域分别为x≠0和x>0,所以排除B.C选项中的定义域分别为R和x≠0，所以排除C.D选项的两函数化简后都是y=x,所以选D.【考点】 1.常见函数的定义域，值域问题.2.同一函数的判定方法.8.下列4对函数中表示同一函数的是( )A．，=B．，=C．=，D．，=【答案】B【解析】A．与=定义域不同；B．与=定义域、值域、对应法则完全相同，所以是同一函数；C．=与的定义域不同；D．与=的值域不同。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.函数的定义域是()A．(－，－1)B．(1，＋)C．(－1，1)∪(1，＋)D．(－，＋)【答案】C.【解析】出现在对数的真数位置，故＞0，即，又出现在分式的分母上，故≠0，即，要使式子有意义，则这两者同时成立，即且，用区间表示即为(－1，1)∪(1，＋).要使式子有意义，则，解得且，故选C.【考点】函数的定义域求法，对数函数的定义域2.已知函数，满足．(1)求常数c的值；(2)解关于的不等式．【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)代入解析式，列出关于c的方程，解出c,注意范围;(2)根据分段函数通过分类讨论列出不等式，解出的范围，解不等式时不要忘记分类条件.试题解析：(1)∵，即，解得． 5分(2)由(1)得，由，得当时，，解得； 9分当时，，解得． 12分∴不等式的解集为． 13分【考点】1.函数求值；2.利用指数函数性质解简单指数不等式；3.分类整合思想.3.函数,满足,则的值为（）A．B． 8C． 7D． 2【答案】B【解析】因为，函数,所以，，10，又,故，8，选B。
【考点】函数的概念，函数的奇偶性。
点评：简单题，此类问题较为典型，基本方法是通过研究，发现解题最佳途径。
4.已知函数，,(1)若为奇函数，求的值；(2)若=1，试证在区间上是减函数；(3)若=1，试求在区间上的最小值.【答案】(1)(2)利用“定义法”证明。
在区间上是减函数(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2。
【解析】(1)当时，，若为奇函数，则即,所以(2)若，则=设为, =∵∴,∴>0所以，，因此在区间上是减函数(3) 若，由(2)知在区间上是减函数，下面证明在区间上是增函数.设 , =∵,∴∴所以，因此在区间上上是增函数因此，在区间上，当时，有最小值，且最小值为2【考点】函数的奇偶性、单调性及其应用点评：中档题，研究函数的奇偶性，要注意定义域关于原点对称。
高中数学必修一 人教A版·数学·必修1课时作业23函数模型的应用实例 Word版含解析
需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图像大致为
设某林区的森林蓄积量原来为a ，
＝a (1＋9.5%)y ，所以y ＝log 1.095x .
则这个函数的解析式为( )
．p ＝－96V
A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与
容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)
向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度的图象如图所示，则杯子的形状是( )
从题图中看出，在时间段[0，t 1]，]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花
＝8 100×⎝ ⎛⎭
⎪⎫133＝300(元)． 【答案】 300
13．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树
，4a ＋，b ＝，－18千克/立方米，依题意并由，－18x 2＋为增函数，故＝－18x 2。
高三数学函数模型及其应用试题答案及解析
高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。
高一数学函数及其表示试题答案及解析
高一数学函数及其表示试题答案及解析1.下列各组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即A不正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为或，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即B不正确；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一函数，即C不正确；对于D，函数的定义域和值域均为，函数的定义域和值域也均为，两者的定义域和值域均相同，所以是同一函数，即D正确.【考点】相等函数的概念.2.已知,则（指出范围）.【答案】.【解析】令，，即，由已知得方程：，化简整理得，，.所以，.【考点】函数的解析式求法；换元法.3.下列各组函数的图象相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象相同即是同一个函数A、定义域不相同，B、对应关系不同，C、定义域不相同，中，x不能为零;两函数相同条件是定义域相同，对应关系相同，值域相同三者有一不满足就不是同一函数,但函数定义域相同，对应关系相同值域就相同．故判断同一函数，只判断定义域，对应关系即可【考点】两函数相等4.，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查函数解析式.由，故选D.【考点】函数解析式，诱导公式.5.设则f(2 016)＝()A．B．－C．D．－【答案】D【解析】.【考点】求分段函数函数值.6.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】表示同一函数必须具备两个条件：一是定义域相同，二是对应法则相同.对于A，的定义域为，而的定义域为，不符合；对于B，的定义域为，对于的定义域为，不符合；对于C，函数与函数的定义域都为，但当时，与的对应法则不相同，也不符合；对于D，函数与函数的定义域都为，且，两个函数的对应法则也相同，故相同函数的是答案D.【考点】1.函数的概念；2.对数的恒等式.7.下列函数中，与函数相同的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】函数相同的两个条件：定义域相同，对应法则相同.原函数的定义域为，所以，故选D.【考点】函数的概念.8.下列函数中,与函数相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由函数，那么对于A，由于对应关系不一样，定义域相同不是同一函数，对于B,由于，对应关系式不同，不成立，对于C，由于定义域相同，对应法则不同，不是同一函数，排除法选D.【考点】本题考查同一个函数的概念.9.下列函数中，与函数有相同图象的一个是A．B．C．D．【答案】B【解析】选项A中函数的定义域为,定义域不相同,故选项A错;选项B中函数可化为,故B正确;选项C中函数的定义域为,故选项C错;选项D中函数的定义域为,故选项D 错.所以正确答案为B.【考点】函数相等.10.已知函数的值域是，则的值域是A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得,令,则,此时,两个函数的定义域相同,且它们的对应关系均为,所以两个函数的值域相同,故正确答案为A.【考点】函数的定义.11.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（）A．（4，2）B．（1，3）C．（6,2）D．（3,1）【答案】D【解析】集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为，所以，解得，所以集合中的元素为故选D．【考点】本题主要考查了映射的定义．12.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的定义可知，两个函数要为同一函数则其三要素必须相同。
新教材人教B版高中数学必修第一册练习-函数及其表示方法答案含解析
3.1.1函数及其表示方法第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法课时1 函数的概念考点1函数的概念1.下列说法正确的是()。
A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应法则也就确定了答案：C解析：由函数的定义可知,函数的定义域和值域为非空的数集。
2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图像是()。
图3-1-1-1-1答案：C解析：根据函数定义,知对自变量x的任意一个值,都有唯一确定的实数(函数值)与之对应。
显然选项A,B,D 满足函数的定义,而选项C不满足。
故选C。
3.(2018·河北衡水中学高一月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()。
3 B.y=1与y=x0A.y=√x2与y=√x3C.y=2x+1与y=2t+1D.y=x与y=(√x)2答案：C3=x,它们的对应关系不同,不是同一函数;对于B,y=1(x∈R),y=x0=1(x≠0),它们的解析：对于A,y=√x2=|x|,y=√x3定义域不同,不是同一函数;对于C,y=2x+1与y=2t+1,它们的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),y=(√x)2=x(x≥0),它们的定义域不同,不是同一函数。
【易错点拨】考查同一函数的问题,注意把握同一函数的定义,必须保证是三要素完全相同,才是同一函数。
4.(2019·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()。
A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2答案：A5.给出下列两个集合间的对应关系:①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方;③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的2倍。
高中数学必修一函数大题含解析答案
高中数学必修一函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21x h x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >=（1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解-函数的应用(Ⅰ)-提高
400 4k b, 320 5k b,
k 80,
解得
所以 y＝ - 80x+72 0( x＞ 0) ．
b 720.
（ 2）当 a＝ 120 时，若购买饮料，则总费用为 120× 50＝6000（元）；若集体改饮桶装纯净水，设所用的费 用为ω元，由 380- 80x+720 ，得 x＝ 4. 25．
1
识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模
型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果
.
第四步：再转译为具体问题作出解答 .
3．函数模型的综合应用
函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。
在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：
.
要点三：数学建模
1．数学建模的过程
2. 数学建模的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述 中的新名词、新概念，进而把握住新信息 . 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知
=O.3x+1050 ， x∈[250 ， 400] ．
因为 y=O.3x+1050 是定义域上的增函数，
所以当 x=400 时，
ymax 120 1050 1170 ( 元 ) ．
可知每天应从报社买 400 份报纸．获得利润最大，每月可赚 1170 元．
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。
解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.2.在f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使［f（x1）+f（x2）］＜f（）成立的函数是A．f1（x）=x B．f2（x）=x2C．f3（x）=2x D．f4（x）=log x【答案】A【解析】主要考查基本初等函数的图象和性质。
由图形可直观得到：只有f1（x）=x为“上凸”的函数.3.甲、乙两人解关于的方程：甲写错了常数b，得到根为，乙写错了常数c，得到根为.求方程的真正根。
【答案】4或8【解析】主要考查对数方程解法。
解：原方程可变形为：4.已知，若，则的值是（）A．B．或C．，或D．【答案】D【解析】该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴；5.·等于A．－B．－C．D．【答案】A【解析】主要考查根式的运算、根式与分数指数幂的关系。
解：·=a·（－a）=－（－a）=－（－a）.6.若方程有解，则a的取值范围是（）A．a>0或a≤－8B．a>0C．D．【答案】D【解析】主要考查解指数方程的换元法，一元二次方程根的分布讨论。
解答过程中巧妙地转化为求函数的值域。
解：方程有解，等价于求的值域∵∴，则a的取值范围为，故选D。
7.函数（1）,(2) ,(3) ,(4) 中在上为增函数的有[ ]A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(3)和(4)D．(1)和(4)【答案】C【解析】主要考查函数单调性的概念及函数单调性判定方法。
解：当时为减函数。
为④两函数在(－∞，0)上是增函数．8.如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5D．a≥3【答案】B【解析】主要考查函数单调性的概念及二次函数单调区间判定方法。
高中数学必修一函数大题含解析答案
高中数学必修一函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ； ⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
[精品]新人教A版必修一高中数学3.2.2函数模型的应用实例习题和答案
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3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2．某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得该地区沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400副C.600副D.800副4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：,其中,代表拟录用人数，代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为A.15B.40C.25D.1305．有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为m2(围墙厚度不计).6．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数;t表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个. 7．一工厂对某种原料的全年需求量是Q吨，为保证生产又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后立即购进.已知每次订购费用是元，工厂每天使用的原料数量相同，仓库贮存原料的年保管费用是元／吨，问全年订购多少次，才能使订购费用与保管费用之和最少?8．我们知道:人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声2强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是，恬静的无线电广播的强度是，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？【能力提升】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分钟),可以有以下公式:f(x)=.(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟?(2)开讲5分钟时与开讲20分钟时比较,学生的接受能力何时强一些?(3)一道数学难题,需要55的接受能力以及13分钟的时间,老师能答案【基础过关】1．e6-1【解析】当v=12 000米/秒时,2 000·ln(1+)=12 000,∴ln(1+)=6,∴=e6-1.2．C【解析】由题意得,当x=1时,y=0.2,排除B;当x=2时,y=0.4,排除D;当x=3时,y=0.76,排除A.故选C.3．D【解析】由5x+4 000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本.4．C【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x ＝25满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100不合题意.故拟录用人数为25人.5．2 500【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0<x<50),∴x=25时,S max=2 500.6．2ln2 1 024【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.7．解：由题意得：订购费与全年保管费用之和为而，当时等号成立；即当时，【解析】本题考查函数模型及其实际应用.8．(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是，则，所以，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是，则，所以，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是，则，所以，，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知：即，所以，，即.所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于，同时应小于.【解析】(1)代入公式即可.(2)列出满足的条件，解不等式.【能力提升】(1)当0<x≤10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9.故f(x)在0<x≤10时,函数值越来越大,最大值为f(10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59.当10<x≤16时,f(x)=59.当x>16时,f(x)的值越来越小,且f(x)<59,因此,开讲10分钟后,学生达到最强接受能力(为59),能维持6分钟.(2)f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-3×20+107=47<53.5,故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.(3)当0<x≤10时,令f(x)=55,解得x=6(x=20舍去).当x>16时,令f(x)=55,解得x=17.因此学生达到(含超过)55的接受能力时间为17-6=11(分钟)<13(分钟).故老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.。
高一数学函数模型及其应用试题答案及解析
高一数学函数模型及其应用试题答案及解析1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西处,受影响的范围是半径长为km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北且不改变航线，假设台风中心不移动．如图所示，试问：（1）在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？（2）当时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少？【答案】（1）（2）40km【解析】首先建立以台风中心为原点建立直角坐标系，（1）由轮船在直线l：x+y-80=0上移动，则得到原点到l的距离．根据条件来判断是否受台风影响．（2）根据，得到会受到台风影响的结论，其航程由弦长一半的平方等于半径的平方减去圆心到直线的距离的平方求解．试题解析：如图,以台风中心为原点建立直角坐标系.（1）轮船在直线上移动, 3分原点到的距离．5分时,轮船在途中不会受到台风影响． 7分（2）会受到台风影响． 9分航程为 11分【考点】直线和圆的方程的应用．2.如图，公园要把一块边长为的等边三角形的边角地修成草坪，把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．（1）设，，试用表示函数；（2）如果是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？【答案】（1）;（2） A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短.【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）∵△ABC的边长为2，D在AB上，且，.∵∴.在△ADE中，由余弦定理得（2）令，则当且仅当，即时，取“＝”号，故＝a，此时x＝a，所以以A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短．【考点】基本不等式在实际中的应用.3.如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中）的围墙，且要求中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括）的修建总费用为元。
高一 函数模型及其应用知识点+例题+练习 含答案
1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b (a，b为常数且a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)函数性质y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现为随n值变化而各现为与y 轴平行与x 轴平行 有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快．( × )(3)不存在x 0，使000log xna a x x <<.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( √ )1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日4835 600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升．答案 8解析 由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升．2． 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________． 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．5．(2015·四川)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝⎛⎭⎫123·e b ＝18×192＝24.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是________(填序号)．答案(1)③(2)②解析(1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②，③符合题意．(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故②正确．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是________(填序号)．答案 ④解析 依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个图象知，④正确．题型二 已知函数模型的实际问题例2 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案 19解析 由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.题型三 构造函数模型的实际问题命题点1 构建二次函数模型例3 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元． 答案 43解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32. 因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 命题点2 构建指数函数、对数函数模型例4 (1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是________(参考数据：lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)．(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为________． ①略有盈利②略有亏损 ③没有盈利也没有亏损 ④无法判断盈亏情况答案 (1)1.7% (2)②解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损． 命题点3 构建分段函数模型例5 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________． 答案 (1)5 (2)10解析 (1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5.(2)设该企业需要更新设备的年数为x ， 设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5 ＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．2．函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论． 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[2分] 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.[4分]所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[6分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5 760.[12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．[方法与技巧]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思． [失误与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型． 2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为________．答案②解析根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为②.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．答案108解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．答案①解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故①正确．4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．∴当x＝95时，y最大．5．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为________．答案 2解析 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2. 6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.7．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润f (x )(万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的函数关系式为f (x )＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，为________万元．答案 5 8解析 设每台机器的年平均利润为g (x )万元，根据已知条件得，每台机器的年平均利润g (x )关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， 则g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2x ·25x＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立，则g (x )max ＝g (5)＝8.故每台机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)． 把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解 (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4， 由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25， 解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．有浓度为90%的溶液100 g ，从中倒出10 g 后再倒入10 g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)________． 答案 21解析 操作次数为n 时的浓度为⎝⎛⎭⎫910n ＋1，由⎝⎛⎭⎫910n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg 3－1≈21.8，∴n ≥21.12．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品______件．答案 80解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立． 13．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．答案 5－12 解析 依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12. 15．已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧ 10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10； 当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x . ∴W ＝⎩⎨⎧ 8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x －2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6. ②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38， 故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)． 综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大．。
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数学必修一函数模型练习及答案解析
数学函数模型练习及答案解析
1.某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为()
A.5110-1
B.4110-1
C.5111-1
D.4111-1
解析：选B.由(1+x)10=4可得x=4110-1.
2.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()
A.a>b
B.a
C.a=b
D.无法判断
解析：选A.∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1100)，
∴b=a×99100，∴b
3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析：选D.当t=0时，S=0，甲、乙同时出发;甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点.
4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是
________.
解析：该函数关系为y=2x，x∈N*.
答案：y=2x(x∈N*)
1.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设第
一年有100只，则到第七年它们发展到()
A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
解析：选A.由已知第一年有100只，得a=100，将a=100，x=7
代入y=alog2(x+1)，得y=300.
2.马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为()
A.1535.5元
B.1440元
C.1620元
D.1562.5元
解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1-
0.2)2=1000，解得a=1562.5元，故选D.
3.为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数
y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是()
解析：选A.当x=1时，y=0.5，且为递增函数.
4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10m3，按每立方米x元收取水费;每月用水超过10m3，超过部分
加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()
A.13m3
B.14m3
C.18m3
D.26m3
解析：选A.设用水量为am3，则有10x+2x(a-10)=16x，解得
a=13.
5.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加
数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()
A.y=0.2x
B.y=110(x2+2x)
C.y=2x10
D.y=0.2+log16x
解析：选C.将x=1,2,3，y=0.2,0.4,0.76分别代入验算.
6.某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一
年中的月平均增长率是()
A.711
B.712
C.127-1
D.117-1
解析：选D.设1月份产量为a，则12月份产量为7a.设月平均
增长率为x，则7a=a(1+x)11，∴x=117-1.
7.某汽车油箱中存油22kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为
__________________.
解析：流速为22200=11100，x分钟可流11100x.
答案：y=22-11100x
8.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系
y=a•0.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此工厂3月份该产品的产量为________万件.
解析：由已知得0.5a+b=10.52a+b=1.5，解得a=-2b=2.
∴y=-2•0.5x+2.当x=3时，y=1.75.
答案：1.75
9.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系
R=aA，那么广告效应D=aA-A，当A=________时，取得最大值.
解析：D=aA-A=-(A-a2)2+a24，
当A=a2，即A=a24时，D最大.
答案：a24
10.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件;若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大?并求出这个最大利润.
解：设每件售价提高x元，利润为y元，
则y=(2+x)(200-20x)=-20(x-4)2+720.
故当x=4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元.
11.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家
发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2Q10，单位是
m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少?
解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所
给公式可得
0=5log2Q10，解得Q=10，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位.
(2)将耗氧量Q=80代入公式得
v=5log28010=5log28=15(m/s)，
即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
12.众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3
元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a元)、包装成本(b元)、利润.生产成本(a元)与饼干重量成正比，包装成本(b元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价.
解：设饼干的重量为x克，则其售价y(元)与x(克)之间的函数关系式为y=(ax+bx)(1+0.2).
由已知有1.6=(100a+100b)(1+0.2)，
即43=100a+10b.
又3=(200a+200b)(1+0.2)，
即2.5≈200a+14.14b.
∴0.167≈5.86b.
∴b≈0.0285a≈1.05×10-2.
∴y=(1.05×10-2x+0.0285x)×1.2.
当x=1000时，y≈13.7(元).
∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元.。