数字电路第六第七章

主程序：
%开环传递函数模型 num=[5 100]; den=conv([1 0],conv([1 4.6],[1 3.4 16.35])); %求系统的闭环传递函数模型 den=den+[zeros(1,length(den)-length(num)) num]; %第二种方法：[num,den]=feedback(num,den,1,1); [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) y0=0; X0=zeros(4,1);
0 1 0 0 0 0
控制系统的联接矩阵※
W 0 1 0 0 0
0
wk.baidu.com
控制系统的结构图描述及转换※0 0 1
1
0
0 0 0 0 1 0
离散相似法
在数字仿真中，与数值积分法（利用数值解 法的公式来获得离散模型-仿真模型）并列的另 一类方法是离散相似法，它是将连续系统离散 化，再对等效的离散化模型进行计算的方法， 其实质是用差分方程近似“等效”原来的常微 分方程，然后在数字计算机上求解。
y_rk4(:,i)=rk4(A,h,y0); y0=y_rk4(:,i); end plot(t,y_rk4); legend('y1','y2');
思考题二：已知系统的状态空间模型为
XX21
0.5572
0.7814
0.7814
0
X1 X2
1 0
u
Y= 1.9691
6.4493
X1 X2
X=zeros(mA,mt); Y=zeros(mC,mt); X0=[1;0]; X(:,1)=X0; Y(:,1)=C*X0+D*U; for i=2:mt [X(:,i),Y(:,i)]=rk4(A,B,C,D,U,h,X0);
X0=X(:,i); end plot(t,Y,'*',t,Y,'r');
离散相似法-z域离散相似法
比较上面两种推导结果可知，引入的保 持器不同，离散模型就不同，当然计算精度 也不会相同。引入的一阶保持器要比零阶保 持器更为精确，但由于零阶保持器比较简单， 所以在实际过程中经常使用。
这里，要记 住几个主要信号 在不同域中的表 示形式：
时域 (t) S域 1 Z域 1
1(t) t
R=1;
%单位阶跃输入幅值
h=0.1;
%仿真步长
a=0; b=10; %仿真区间
t=a:h:b; %数值计算点数（含区间端点）
n=length(t);
%系统输出仿真序列
y=zeros(1,n);
X=zeros(length(X0),n);
%存储第一点值
y(1)=y0;%输出用y表示
X(:,1)=X0;
1 - e-Ts
Gh( s )= s
(3)
对原连续系统和保持器进行z 变换：
G(z)= Z[G(s) Gh(s)]
1 - e-Ts = Z[
s
1] s
1 Z[ s2
-
e-Ts s2
]
(4)
根据线性定理，查z 变换表，得：
离散相似法-z域离散相似法
G(z) =
Tz (z - 1)2
(1 -
1 z
)=
假若令
ˆ m (T )
T eA(T ) Bd
0
则式（22）可写成
(25) (26)
离散相似法-时域离散相似法
X(k 1)=(T) X(k)+m(T)U(k) ˆ m(T)U(k)
即
X[(k 1)T]=(T) X(kT)+m(T)U(kT) ˆ m(T)U(kT) (27)
等价于连续系统的离散模型通常有两种： Z域离散相似模型（z变换法）—— 对传递函 数作离散化处理得到的脉冲传递函数； 时域离散相似模型（状态空间法）—— 对状 态空间模型作离散化处理得到的离散状态方程。
离散相似法
下面是离散相似的基本含义：
（a ）连续系统模型
（b）离散化模型
图1 连续系统离散化示意图
for i=2:n
[X(:,i),y(i)]=runge3(A,h,X0,B,R,C,D);
X0=X(:,i);
end
yout=[t',y']
figure(1),plot(t,y)
上机题二
已知系统的开环结构图如下
输入
10
s(s+1)(s2/4+1)
s+1
输出
s(s/2+1)(s2/9+s/3+1)
s
1
a
k a
z
1 z
z
z 1
z
z - e-aT
k a
1 eaT z eaT
离散相似法-z域离散相似法
以上就是惯性环节k/(s+a)的z域离散相似 模型，利用这个模型可以很方便的求得可以 在计算机上实现的差分模型：
y(n 1) eaT y(n) k (1 eaT )u(n) a
离散相似法-时域离散相似法
选用一阶保持器的推导如下： 一阶保持器的传递函数为
Gh( s
)=
T(1+TS)(
1 - e-Ts Ts
)2
(9)
对原连续系统和保持器进行z变换：
1 1 z1
1 G(z)= Z[G(s) Gh(s)]= Z[ s
T
(1+Ts)
(1- e-Ts )2 ] Ts
(10)
(1-
z -1 )2
1
Z
[ Ts
3
1 s2
(14)
离散相似法-时域离散相似法
整理，得
(sI - A)X(s)= X(0)+ BU(s)
(15)
上式两边乘以(sI-A)-1，得
X(s)= (sI - A)1 X(0)+(sI - A)1 BU(s)
(16)
和标量的情形相似 ，有 L-1[ 1 ] est s-a L-1[(sI - A)-1] eAt
main.m
clear all; close all; h=0.1; A=[-0.5572 -0.7814;0.7814 0]; B=[1;0]; C=[1.9691 6.4493]; D=0; U=1; t=0:h:20; mt=length(t); [mA,nA]=size(A); [mC,nC]=size(C);
T z -1
(5)
或写成：
G(z)= y(z) = T x(z) z - 1
(6)
对上式进行z 反变换，得差分方程：
y(k)= y(k - 1)+Tx(k - 1)
(7)
或写成：
y(k +1)= y(k)+Tx(k)
(8)
离散相似法-z域离散相似法
1 1- e-Ts
由上式可知，当选用零阶保持器时，这 种方法和数值积分法中的欧拉法相同。
思考题三
单位负反馈系统的开环传递函数已知如下
5s 100 G(s)
s(s 4.6)(s2 3.4s 16.35)
用三阶R-K法，对于给定的单位阶跃输入，求 解系统的闭环输出响应y(t)。
runge3.m
function [X,y]=runge3(A,h,X0,B,R,C,D) K1=A*X0+B*R; K2=A*(X0+h*K1/3)+B*R; K3=A*(X0+2*h*K2/3)+B*R; X=X0+h*(K1+3*K3)/4; y=C*X+D*R;
系统离散化后，对于kT及(k+1)T两个依次 相连采样时刻，有
离散相似法-时域离散相似法
X(kT) =eA(kT ) X(0)+ kT eA(kT - )BU ( )d 0
(19)
X [(k 1)T ] =eA(k1)T X(0)+ (k1)T eA[(k1)T - ]BU ( )d 0
(20)
离散相似法-z域离散相似法
对于前述连续系统，假设其传递函数为 G(s)，保持器的传递函数为Gh(s)，则上述离 散模型可以直接用z变换方法求其脉冲传递函 数
G(z) =
y(z) x(z)
=
Z[Gh(s)G s ]
(1)
积分环节
G( s )= 1 s
(2)
离散相似法-z域离散相似法
采用零阶信号保持器，传递函数为
离散相似法-时域离散相似法
令：
X [(k 1)T ]=eAT X(kT)+ T eA(T - )BdU (kT ) 0
(22)
(T ) =eAT , m (T )
T eA(T - ) Bd
0
代入式（22），可将式（22）改写成如下形式：
X [(k 1)T ]=(T ) X(kT)+m (T )U (kT )
思考题一：
用四阶龙格-库塔法求解线性时不变系统微分 方程
y(t) Ay(t)
并绘出y(t)的曲线。式中
0.5
A
1
1 0.5 ,t
[t0,tr ],t0
0, tr
4 ,
y0
0 [ ]
1
rk4.m function runge_kutta_4_y=rk4(A,h,y0); k1=h*(A*y0); k2=h*(A*(y0+0.5*k1)); k3=h*(A*(y0+0.5*k2)); k4=h*(A*(y0+k3)); runge_kutta_4_y=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
]
离散相似法-z域离散相似法
1
Tz1 公式（10）可化简为：
s2
(1 z 1)2
1 T 2 z 1(1 z 1)
s3
2 (1 z 1)3
= T [ 3z 1 ] 2 z(z 1)
进行Z逆变换，得差分方程
y(k +1) y(k) T [3x(k) x(k 1)] 2
(11)
由上式可见，这种方法推导结果和数值 积分中二阶显式亚当斯法是相同的。
如果系统的数学模型用状态方程描述， 则同样可以按上一节离散相似法原理，对它 进行离散化处理，求得离散化状态方程（差 分方程组），以便上机求解。
设连续系统的状态方程为
X(t)= AX(t)+ BU(t)
(12)
Y(t)= CX(t)+ DU(t)
(13)
对上式两边取Laplace变换，得
sX(s)- X(0)= AX(s)+ BU(s)
,
X(0)
1 0
,
u(t
)
1
用四阶龙格-库塔法求解系统在t∈ [0，20]上 的输出响应。
rk4.m function [X,Y]=rk4(A,B,C,D,U,h,X0); k1=h*(A*X0+B*U); k2=h*(A*(X0+0.5*k1)+B*U); k3=h*(A*(X0+0.5*k2)+B*U); k4=h*(A*(X0+k3)+B*U); X=X0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; Y=C*X+D*U;
式（20）-eAT*式（19），得
X [(k 1)T ] =eAT X(kT)+ (k1)T eA[(k1)T - ]BU ( )d kT
(21)
由于式（21）右端的积分和k无关，故可以 在k=0时求解。假设我们采用零阶保持器，在 kT和(k+1)T之间U(t)保持不变，即 U( )=U(kT) ， 故有
求出该系统的闭环传递函数的零极点模 型和状态空间模型，并判断闭环系统是 否稳定及是否是最小相位系统。
复习
SISO—开环、前馈、反馈 MIMO－单向耦合、交叉反馈耦合
控制系统常见的典型结构形式
控制系统的典型环节描述
控制系统的典型连接
0 0 0 0 0 0
series( )，parallel( )，feed1ba0ck0 (0) 0 1
Y(k)= CX(k)+ DU(k)
(24)
假设我们采用三角形保持器，在两个采样时 刻之间，U(t)为一斜坡函数，即有如下式子存在：
离散相似法-时域离散相似法
Uk ( ) U (k)
所引起的X(k+1)变化量为
X (k 1)
T 0
e
A(T
)
BU
k
(
)d
T eA(T )Bd U (k) 0
或简写成：
X(k 1)=(T ) X(k)+m (T )U (k)
(23)
离散相似法-时域离散相似法
这是一个典型的离散时间状态方程，如果已知 A、B阵，则可求出离散方程中的 (T )和m(T ) ，这 样，在已知状态变量的初值的情况下就可以逐步递 推计算出不同时刻的状态变量值。
由式（13）可得系统输出的差分方程
main.m
clear all; close all; A=[-0.5 1;-1 -0.5]; h=0.1*pi; t=0:h:4*pi; y0=[0;1]; m=length(t); [mA,nA]=size(A);
y_rk4=zeros(mA,m); y_rk4(:,1)=y0; for i=2:m
11
s
s2
z Tz
z-1 (z-1)2
e at
1 s+a
z z-eaT
离散相似法-z域离散相似法
例题：设G(s)=K/(s+a)，采用零阶保持器，即 Gh(s)=(1-e-Ts)/s，求离散化模型。
解：
G(Z) Z
1 eTs
s
k
s
a
z 1Z z
k
s(s
a)
z
1 Z z
k a
1 s
(17)
令 (t) eAt ，称系统的状态转移矩阵。
离散相似法-时域离散相似法
再对上式两边进行拉氏反变换，并利用 卷积积分公式，得
X(t)= (t)X(0)+ t (t- )BU ( )d 0
=eAt X(0)+ t eA(t- )BU ( )d 0
(18)
这就是连续系统状态方程的通解。下面 我们用离散相似法求解。