概率论练习题

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概率论练习题(同名15776)

1. 袋中有8红 3白球,从中任取2球,至少有一白球概率为_______2. A.B 为独立事件,且P(AUB )=0.6, P(A)=0.4,则P(B)=_______________3. 若X~P(λ),则P(X)=____________4. 若X~N(2,σμ),则密度f(X)=_____________5.已知事件A 、B 互不相容，且P(AUB)=0.8,P(A)=0.5,则P(B)= ,P(A-B)= .6. 设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ，则()P AB = .7. 设随机事件A, B 及其和事件AUB 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 则)(B A P = ______.8．假设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，若A ，B 互不相容，则P （B ）= ，若A ，B 相互独立，则P （B ）= ．9.若事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(AUB)= ________．10.设事件A 、B 满足P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(AB)=0.2，则P(AUB)=________，)(B A P =________.12．设A ，B 两事件满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.5，则P （A ∪B ）= ．13.一射击运动员独立的向同一目标射击n 次，设每次命中的概率为p,则他恰好命中k 次的概率为 .14. 相互独立的,且有相同分布的n 个变量i X 的最小值min F (z)=________________15．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X ²）＝________.16．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .17.设二维随机变量),(ηξ~N(0,1,1,4,0.5)，则ξ~ 分布，D()ηξ+= ．18．设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ= . 19.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,20,),(y x cxy y x f ，则=c ____ ，=≤)1(X P ______.20．若随机变量ξ服从U(0,5)，则x 2+ξx+1=0有实根的概率为______．21．某射手每次射击的命中率为p ，现连续射击n 次，则恰好射中k 次的概率为________．23．设随机变量ξ与η相互独立, D(ξ) = 2, D(η) = 4, D(2ξ－η) = _______．24. 已知随机变量X ～N (－3, 1), Y ～N (2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y, 则Z 的数学期望EZ= , 且Z ～．25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N (0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______．26.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为________.27.切比雪夫不等式表示为28. 棣美弗---拉普拉斯定理表明当n →∞时,n X ~B(n, p), 则_____________29.数理统计中的常用分布有三个,分别为___________ _____________ ____________1.设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(B A )=0.8, 则________A. A,B 独立B. A,B 互斥C. A,B 互逆D. A B ⊃2.设X~N(1,1),概率密度为f(x), 则______________A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x f x fC.5.0)1()1(=≥=≤X P X PD. ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F3.事件A ，B 为两个任意事件，则（）成立．ａ．（AUB ）－B=A ，ｂ．（AUB ）－B ⊂A ，ｃ． (A-B)UB=A ，ｄ． (A-B)UB ⊂A ．4．对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（）a.,A B 不相容（相斥）b.AB 是不可能事件c.AB 未必是不可能事件d.()0,()0P A P B ==或5．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）．a. 2)1(p -b.21p -c.)1(3p -d.以上都不对6.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （）．a.0.4，b.0.5，c.0.6，d.0.77.设随机变量X 的概率密度为||)(x cex f -=，则c ＝（）． a.－21 b.0 c.21 d.18．（）不是某个随机变量的概率密度函数．ａ．⎩⎨⎧≤>=-0x00 x 2)(2x e x f ，ｂ．⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f ｃ．⎩⎨⎧<<=其它 01x 0x )(x f ，ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它020sin )(πx x x f 9．设随机变量ξ，η有：E ξη=E ξE η，则（）．ａ． D （ξη）=D ξD η，ｂ． D （ξ+η）=D ξ+D η，ｃ． ξ与η独立，ｄ． ξ与η不独立．10．设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为（）. a.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； b.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ； c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； d.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f11．对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（）a.()D XY DX DY =⋅b.()D X Y DX DY +=+c.,X Y 独立d.,X Y 不独立12．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则（）.a.2/1)0(=≤+Y X P ；b.2/1)1(=≤+Y X P ；c.2/1)0(=≤-Y X P ；d.2/1)1(=≤-Y X P .13.设ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-949231201，则P(ξ<2|ξ≠0)= . a. 31 b. 73 c. 95 d. 1 14.设二维随机变量(,)X Y 服从G ：122≤+y x 上的均匀分布，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .a. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,),(G y x y x f πb. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,/1),(G y x y x f π c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f d. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f 15．设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D （）.（ａ）A ；（ｂ）A 1.0；（ｃ）A 2.0；（ｄ）A 10.16．设随机变量()2~,N ξμσ，则当σ增大时，概率{}P ξμσ-<=（）.． a ．保持不变 b ．单调减少 c ．单调增加 d ．增减不定17．设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则Z = min(X, Y)的分布函数是（）．a ．)(z F Z = )(z F Xb ．)(z F Z = )(z F Yc ．)(z F Z = min{)(),(z F z F Y X }d ．)(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ]21．设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y, V = X + Y, 则U 和V 必然( ).a ．不独立b ．独立c ．相关系数不为零d ．相关系数为零．22．设X 与Y 的相关系数0=ρ，则（）．a ．X 与Y 相互独立b ．X 与Y 不一定相关c ．X 与Y 必不相关d ．X 与Y 必相关23．在假设检验中，0H 为原假设，则所谓犯第二类错误指的是（）．ａ．0H 为真时，接受0H ｂ．0H 不真时，接受0Hｃ．0H 不真时，拒绝0H ｄ．0H 为真时，拒绝0H24.设n X X X ......,21是总体X~N(0,1)的样本, X ,S 分别为样本均值和样本标准差,则有________ A.X n ~ N(0,1) B. X ~N(0,1) C.)(~212n Xn i i χ∑= D.)1(~-n t S X四、计算题1.一袋中有4白，2红球，从袋取球两次，每次一只，（1）放回（2）不放回，就这两种情况求：1）取到两只都是白球的概率2）取到两只中至少有一白球的概率2.变量x 在[]π,0上服从均匀分布，求：x Y sin =的概率密度3.变量X ～()λe ，求;E ()x ,()x D4. 变量()k X 2~χ,求: ()()x D x E , 5.变量()y x ,的联合概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它，,00y 0,2,2x e y x f y x 6.变量()1,0~N X 求：函数Y=X 2的概率密度7.从总体X 中抽取样本x 1，x 2，x 3证明：1）三个统计量6323211x x x ++=μ)，4423212x x x ++=μ)，3333213x x x ++=μ) 都是总体均值的无偏估计量2）问哪个估计量更有效8. 变量()y x ,在R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布求：1）()()()()y D x D y E x E ,,,2）()y x Cov , ()y x R ,9.总体(),~λP X ()未知参数0>λ取样本值x 1x 2........x n 求：λ的最大似然估计值10．在所有两位数10-99中任取一数，求这数能被2或3整除的概率11.变量()y x ,的联合概率密度为()()23,0,0,0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它求：1）联合分布函数？2）在R ：0,0,236x y x y >>+<内概率12.变量()2~2χX 其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212x x e f x x x 求: ()()x D x E ,13、设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求ξ的分布函数，数学期望E ξ和方差D ξ． 14、设随机变量ξ的概率密度函数为+∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(.求:(1)常数A ，(2) ξ的分布函数，(3) ξ落在区间]1,1[-内的概率15、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ．试求ξE ，ξD ．16、设二维随机变数),(ηξ有密度函数)25)(16(),(222y x A y x p ++=π，求常数A 及),(ηξ的分布函数。

概率论练习题与解析

十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853163315131)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为。

解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y5、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为 75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。

概率论练习题与解析

概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。

概率论练习题

1. 袋中有8红 3白球,从中任取2球,至少有一白球概率为_______2. A.B 为独立事件,且P(AUB )=0.6, P(A)=0.4,则P(B)=_______________3. 若X~P(λ),则P(X)=____________4. 若X~N(2,σμ),则密度f(X)=_____________5.已知事件A 、B 互不相容，且P(AUB)=0.8,P(A)=0.5,则P(B)= ,P(A-B)= .6. 设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===，则()P AB = .7. 设随机事件A, B 及其和事件AUB 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 则)(B A P = ______.8．假设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，若A ，B 互不相容，则P （B ）= ，若A ，B 相互独立，则P （B ）= ．9.若事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(AUB)= ________．10.设事件A 、B 满足P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(AB)=0.2，则P(AUB)=________，)(B A P =________.12．设A ，B 两事件满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.5，则P （A ∪B ）= ．13.一射击运动员独立的向同一目标射击n 次，设每次命中的概率为p,则他恰好命中k 次的概率为 .14. 相互独立的,且有相同分布的n 个变量i X 的最小值min F (z)=________________15．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X ²）＝________.16．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .17.设二维随机变量),(ηξ~N(0,1,1,4,0.5)，则ξ~ 分布，D()ηξ+= ．18．设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ= . 19.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,20,),(y x cxy y x f ，则=c ____ ，=≤)1(X P ______.20．若随机变量ξ服从U(0,5)，则x 2+ξx+1=0有实根的概率为______．21．某射手每次射击的命中率为p ，现连续射击n 次，则恰好射中k 次的概率为________．23．设随机变量ξ与η相互独立, D(ξ) = 2, D(η) = 4, D(2ξ－η) = _______．24. 已知随机变量X ～N (－3, 1), Y ～N (2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y, 则Z 的数学期望EZ= , 且Z ～．25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N (0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______．26.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为________.27.切比雪夫不等式表示为28. 棣美弗---拉普拉斯定理表明当n →∞时,n X ~B(n, p), 则_____________29.数理统计中的常用分布有三个,分别为___________ _____________ ____________1.设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(B A )=0.8, 则________A. A,B 独立B. A,B 互斥C. A,B 互逆D. A B ⊃2.设X~N(1,1),概率密度为f(x), 则______________A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x f x fC.5.0)1()1(=≥=≤X P X PD. ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F3.事件A ，B 为两个任意事件，则（）成立．ａ．（AUB ）－B=A ，ｂ．（AUB ）－B ⊂A ，ｃ． (A-B)UB=A ，ｄ． (A-B)UB ⊂A ．4．对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（）a.,A B 不相容（相斥）b.AB 是不可能事件c.AB 未必是不可能事件d.()0,()0P A P B ==或5．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（）．a. 2)1(p -b.21p -c.)1(3p -d.以上都不对6.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （）．a.0.4，b.0.5，c.0.6，d.0.77.设随机变量X 的概率密度为||)(x cex f -=，则c ＝（）． a.－21 b.0 c.21 d.18．（）不是某个随机变量的概率密度函数．ａ．⎩⎨⎧≤>=-0x00 x 2)(2x e x f ，ｂ．⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f ｃ．⎩⎨⎧<<=其它 01x 0x )(x f ，ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它020sin )(πx x x f 9．设随机变量ξ，η有：E ξη=E ξE η，则（）．ａ． D （ξη）=D ξD η，ｂ． D （ξ+η）=D ξ+D η，ｃ． ξ与η独立，ｄ． ξ与η不独立．10．设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为（）. a.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； b.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ； c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； d.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f11．对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（）a.()D XY DX DY =⋅b.()D X Y DX DY +=+c.,X Y 独立d.,X Y 不独立12．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则（）.a.2/1)0(=≤+Y X P ；b.2/1)1(=≤+Y X P ；c.2/1)0(=≤-Y X P ；d.2/1)1(=≤-Y X P .13.设ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-949231201，则P(ξ<2|ξ≠0)= . a. 31 b. 73 c. 95 d. 1 14.设二维随机变量(,)X Y 服从G ：122≤+y x 上的均匀分布，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .a. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,),(G y x y x f πb. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,/1),(G y x y x f π c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f d. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f 15．设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D （）.（ａ）A ；（ｂ）A 1.0；（ｃ）A 2.0；（ｄ）A 10.16．设随机变量()2~,N ξμσ，则当σ增大时，概率{}P ξμσ-<=（）.． a ．保持不变 b ．单调减少 c ．单调增加 d ．增减不定17．设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则Z = min(X, Y)的分布函数是（）．a ．)(z F Z = )(z F Xb ．)(z F Z = )(z F Yc ．)(z F Z = min{)(),(z F z F Y X }d ．)(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ]21．设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y, V = X + Y, 则U 和V 必然( ).a ．不独立b ．独立c ．相关系数不为零d ．相关系数为零．22．设X 与Y 的相关系数0=ρ，则（）．a ．X 与Y 相互独立b ．X 与Y 不一定相关c ．X 与Y 必不相关d ．X 与Y 必相关23．在假设检验中，0H 为原假设，则所谓犯第二类错误指的是（）．ａ．0H 为真时，接受0H ｂ．0H 不真时，接受0Hｃ．0H 不真时，拒绝0H ｄ．0H 为真时，拒绝0H24.设n X X X ......,21是总体X~N(0,1)的样本, X ,S 分别为样本均值和样本标准差,则有________ A.X n ~ N(0,1) B. X ~N(0,1) C.)(~212n Xn i i χ∑= D.)1(~-n t S X四、计算题1.一袋中有4白，2红球，从袋取球两次，每次一只，（1）放回（2）不放回，就这两种情况求：1）取到两只都是白球的概率2）取到两只中至少有一白球的概率2.变量x 在[]π,0上服从均匀分布，求：x Y sin =的概率密度3.变量X ～()λe ，求;E ()x ,()x D4. 变量()k X 2~χ,求: ()()x D x E , 5.变量()y x ,的联合概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它，,00y 0,2,2x e y x f y x 6.变量()1,0~N X 求：函数Y=X 2的概率密度7.从总体X 中抽取样本x 1，x 2，x 3证明：1）三个统计量6323211x x x ++=μ ，4423212x x x ++=μ ，3333213x x x ++=μ 都是总体均值的无偏估计量2）问哪个估计量更有效8. 变量()y x ,在R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布求：1）()()()()y D x D y E x E ,,,2）()y x Cov , ()y x R ,9.总体(),~λP X ()未知参数0>λ取样本值x 1x 2........x n 求：λ的最大似然估计值10．在所有两位数10-99中任取一数，求这数能被2或3整除的概率11.变量()y x ,的联合概率密度为()()23,0,0,0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它求：1）联合分布函数？2）在R ：0,0,236x y x y >>+<内概率12.变量()2~2χX 其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212x x e f x x x 求: ()()x D x E ,13、设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求ξ的分布函数，数学期望E ξ和方差D ξ． 14、设随机变量ξ的概率密度函数为+∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(.求:(1)常数A ，(2) ξ的分布函数，(3) ξ落在区间]1,1[-内的概率15、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ．试求ξE ，ξD ．16、设二维随机变数),(ηξ有密度函数)25)(16(),(222y x A y x p ++=π，求常数A 及),(ηξ的分布函数。

概率论第一章习题

4.以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的坐标，求点落在圆内的概率。
5.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份。
6.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
达到目的地后，各机独立轰炸，每机炸中目标的概率为0.3，求目标被炸中的概率。
练习题答案
1.
(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
(正，正)，（正，反）；
（正，正），（反，反）；
(正，正)，（正，反），（反，正）
2.
；
3．解：设 ={所得直线恰好经过坐标原点}, , ,由古典概型
4.解：设 ={点落在圆内}，，由于事件所含的点两个坐标值不能大于3且不同时等于3，于是 ,由古典概型
第一章练习题
1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。
2.在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，试写出事件中的样本点。
3.从集合中任取3个元素分别作为直线中的，求所得直线恰好经过坐标原点的概率。
7.为了防止意外发生，在矿井内同时装有两种报警系统I和II。当两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1）两种报警系统I和II都有效的概率；
（2）系统II失灵而系统I有效的概率；
（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。

概率论练习题(随机试验)

第一次作业(随机试验；样本空间、随机事件；频率与概率)1、设()P A a =，()P B b =，()P A B c = ，则()P A B =2、设A 、B 两事件满足()()P AB P A B =，()P A p =，则()P B =3、事件A 为“甲种产品畅销而已种产品滞销”则A =4、写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个人数为n 的教学班一次数学考试的平均分数(百分制); （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子之和; （3）一只口袋中装有许多红，白，蓝三种乒乓球，在其中任取4只，观察它们具有哪几种颜色;5、设A 和B 为两个随机事件， A 、B 至少有一个发生的概率为13，A 发生且B 不发生的概率为19，则()P B ＝___________6、设A 、B 、C 是三个事件，则与A 互斥的事件是 ( ) （1）AB A B （2） ()A B B （3） ABC （4） A B C7、当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是（）（1）()()P C P AB = （2） ()()P C P A B = （3）()()()1P C P A P B ≥+- （4）()()()1P C P A P B ≤+- 8、设A 、B 表示两事件，则A B -= ( )（1） AB （2） A B （3）AB （4）A B9、设A 、B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则结论肯定正确的是（）（1）A 与B 不相容（2） A 与B 相容（3）()()()P AB P A P B = （4） ()()P A B P A -=10、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器的显示温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。

以事件E 表示“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增序列排列的温度值，则事件E 等于（）。

概率论大题练习题

试求：（1）的矩估计；（2）的置信水平为95%的置信区间。 1）的矩估计是：
（2）的置信区间是：
12. 设总体是的样本，是样本值，试求的矩估计。
学院
专业
班级
姓名
任课教师姓名
学号
密
封
线
内
不
得
答
题
13. 设是的样本，用作为的无偏估计量，试确定，，使最有效，其中。
14. 设总体的概率分布为：
其中为未知参数.现抽得一个样本，求的矩估计值.
第七章练习题
1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的每袋糖重是一个随机变量, 假定它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为 0.5千克, 标准差为=0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515
去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人
们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.
根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上
涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率
为40%，求该支股票将上涨的概率.
6. 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲
20. 设随机变量服从正态分布，求随机变量的概率密度函数.
第三章练习题
1. 设随机变量和的联合分布律如下表：
01
0
1
（1）求随机变量和的边缘分布律；（2）问随机变量和是否相互独立? （3）求.
2.设服从参数为的指数分布，随机变量
求与的联合分布律。 3. 设有下表

概率论练习题

《概率论》练习题一.单项选择题I.A. B 为两事件，则A<J B=（）C. P(A-B} = P(A)-P(B)D. PG4c 歹)= P(A) -PG4B)3•事件A 、B 互不相容，则（〉A. P(AkjB) = l B ・ P(Ac 歹)=1 C. P(AB) = P(A)P(B) D ・ P(A) = l-P(AB)4・设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（A ・A 与A 互为对立事件吗B. A 卜了4互不相容C ・A^A = C15•任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数Z 和为8的概率为（3 4 5 2 A. —6. —C. —D.— 363636366•已知 A 、B 、C 两两独立，P(A) = P(B) = P(C) = -, P(ABC) = -,则 P (ABC )等于() 2 5A. —6. —C. —D.—40201047•事件A. B 互为对立事件等价于（）（1） A 、6互不相容（2） A 、B 相互独立（3） A^B = C1（4〉A 、B 构成对样本空间的一个剖分、B 为两个事件，则P （A-B ）=（）B. P(A)-P(AB) C ・ P(A)-P(万) D ・ P(B-A)9・人、A" A3为三个事件，则（）A. 若相互独立，则£“2“3两两独立:B. 若AM.Ma 两两独立，则£“2,3相互独立:C. 若 P(A,A,A,) = P(A,)P(A,)P(A,).则 AM3M3相互独立:D.若A 与每独立，每与人3独立，则A 与独立C. AB D- A n B2•对任意的事件A 、B,有（）A. P(AB) = 0 ■ 则AB 不可能事件 B ・P （A^B} = \.则AuB 为必然事件 A. P(A)-P(B)10.设 A 与8 相互独立，P(A) = 0・2, P(B) = QA.则 P(4 B)=(ir 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正而朝上的概率为(BO25 C.设A 、B 为任意两个事件，则有(A.(AUB) -B=AB.(A-B)UB=A C ・(AUB)・B U A D ・(A ・B)UB U A13.设比B 为两个互不相容事件，则下列各式错误的是()14. 设事件 A. B 相互独立，且 P (A) =一，P (B) >0,则 P( A|B)=(3A. —B. -C. —D.-155 15315. 设事件A 与B 互不柑容，且P{A}>0. P(B)>0・则有( )A. P(殛冃B ・ P(A)=1-P(8) C. P{AB)=P[A]P{B} D. PSU8)=116.设爪B 相互独立，且P{A)>0, P{B)>0.则下列等式成立的是( A. P{AB}=0 B. P[A-B)=P(A}P{B}C ・ PS)+P(B)=1 D. P(>4|8)=0则恰好有两枚正面朝上的概率为( )D.A 表示事件“第/次射•击命中目标S /=!. 2,B 表示事件“仅第一次A. AiAiB.C-19.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<l),他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为( ) A- p2 B. (l ・p)2 C ・ l-2p D ・ p{l-p)20-已知 P{A)=. P(B)r 且则 P{A\B)=()A ・ 0B ・ 0-4 C. D ・ 1 21. 一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%,从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为()A. B ・ 0.30 C-A.B. 04 C- D.A. P (AB) =0C ・ p (AB) =P (A) P(B)B. P(AUB) =P (A) +P(B) D. p(B ・A) =P (B)17・同时抛掷3枚均匀的硬币, A.B. 0.25C.18.某射手向一目标射击两次, 射击命中目标X 则5=() D.22・X 的密度为/(%) = - 2x,x e [0, A]C・1A. - B・一4 223.离散型随机变量X的分布列为D・2实分布函数为F(x),则F(3)=()A. 一B ・一5 425.离散型随机变SX 的分布列为尖分布函数为F(x),则F(l)=()26.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(E 则9= <D 亠尹2&设随机变量X 与y 独立同分布，它们取・1・1两个值的概率分别为丄，冬则P{xr = -!}=( 4 4A ・T629-设三维随机变量(X.Y)的分布函数为F(x»X. 0<x <1:设随机变Sx 的槪率密度为f{x)=<2-x. l<x<2：则P{<X<}的值是( 0. 英它. 0.5 B. 0.6C. 0.66 D ・ 0.7某人射击三次，其命中率为，则三次中至多击中一次的概率为( )B. 0.081设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为A. 0 B ・ 03C ・ 0.8D ・124.随机变SX 的密度函数/(X)= ・ex豐则林=(>C. 4D. 5A. 0.4B ・ 0.2 C. 0.6 D. 127.设随机变量X 的概率密度为f(X)h嘗。

概率论练习题

P(A B) P(A) P(B) 0.6 P(B) 0.3
(2)A,B独立 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B) 0.6 P(B) 3
7
(3)A B A B B
P(A B) P(B) 0.6
3 两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ，从中各
(2)A,B独立 P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A) P(B) P(A)P(B) 0.7
P(B) 0.5
2 设P(A)=0.3, P(A+B)=0.6在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 (3) A B 解 (1) A,B互不相容
1! 2! 3!
n!
a a a a ... a ... ae 1
1! 2! 3!
n!
a1 e
3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X
的分布律
.
解 X0 1 2
P C43
C63
C21C42 C22C41
C63
C63
4 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命
中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹
数Y的分布律
.
解 X1 2 3
4
5
6
P 0.8 0.20.8 0.22 0.8 0.23 0.8 0.24 0.8 0.25 0.8 0.26
5 有一大批产品的次品率为0.006,现从中抽取
500件,求其中只有4件次品的概率
.
解 X------抽取500件中的次品数
则 X~B(500,0.006）
33 25 8
=
200 200 200

九年级数学概率论50道练习题

九年级数学概率论50道练习题
1. 事件A发生的概率是0.4，事件B发生的概率是0.6，求事
件A和事件B同时发生的概率。

2. 一枚硬币抛掷一次，求抛掷结果是正面的概率。

3. 从52张扑克牌中随机抽取2张，求抽取的两张牌都是红心
的概率。

4. 一枚骰子投掷一次，求投掷结果是奇数的概率。

5. 从20个学生中随机抽取两个，求抽取的两个学生都是男生
的概率。

6. 一副扑克牌中，红桃、方块、梅花和黑桃的数量各为13张，从中随机抽取一张牌，求抽取的牌是黑桃的概率。

7. 一袋中有5个白球和3个红球，从中不放回地连续抽取两次，求第一次抽取白球且第二次抽取红球的概率。

8. 从1到10中随机选择一个数字，求选择的数字是偶数的概率。

9. 在一场考试中，学生A和学生B的及格率分别为0.7和0.6，求至少有一名学生及格的概率。

10. 一袋中有4个红球和6个蓝球，从中有放回地抽取3次，
求抽取的三个球都是红球的概率。

11. 一组有5个男生和3个女生的学生中，随机选择两个学生，求选择的两个学生都是男生的概率。

12. 一枚硬币抛掷三次，求至少两次结果为正面的概率。

13. 从10个不同数字中随机选择两个数字，求选择的两个数字
相乘是偶数的概率。

14. 一副扑克牌中，黑桃和红桃的数量各为13张，从中连续抽
取两张牌，求第一张牌是黑桃且第二张牌是红桃的概率。

15. 在一组有5个男生和3个女生的学生中，随机选择两个学生，求选择的两个学生中至少有一名是女生的概率。

（此处省略34道练习题）。

概率论练习题

(C) ( A B)(A B)
(B) ( A B)(A B)
(D) A B
例3 某车间有3台车床，在1小时内不需要工人维护
的概率依次为0.9，0.8，0.85，求1小时内3台车床至少
有一台不需要维护的概率. 解记 Ai={第 i 台不需要维护} i =1 , 2 , 3
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
所以
B=BA0 +BA1 +BA2 +AB3
P(B)=P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B |A2) + P(A3)P(B |A3) P(B |A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B |A2)=0.6, P(B |A3)=0.9, P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504 P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398 P(A2)=0.2×0.3×0.9+0.2×0.7×0.1+0.8×0.3×0.1=0.092 P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006 P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
P(B)=0×0.054+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.1402
P( BA1 ) P( B1 ) P( A | B1 ) 3 P(A1|B)= P( B) P( Bk ) P( A｜Bk )
k 0
0.398 0.2 796 0.1402 1402
则称事件 A，B，C 相互独立

概率论考试题及答案

概率论考试题及答案在学习概率论的过程中，一场考试是检验学生掌握程度的重要方式。

下面将为大家介绍一些概率论考试题及其答案，希望能够帮助大家更好地复习和准备考试。

1. 选择题1.1 在一副标准扑克牌中，抽取一张牌，观察到它是黑桃的情况下，再次从该扑克牌中抽取一张牌，观察该牌是红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/3答案：D. 1/31.2 掷一枚骰子，观察到一个正整数出现的情况下，再次掷骰子，观察到另一个正整数出现的概率是多少？A. 1/12B. 1/6C. 1/36D. 1/18答案：B. 1/62. 计算题2.1 有一个有12个不同数字的骰子，抛出两次。

求两次得到的和是偶数的概率。

答案：一共有6 * 6 = 36 种可能的结果。

其中，和为偶数的情况有：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) 共计18种。

因此，所求概率为18/36 = 1/2。

2.2 一副扑克牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中抽取五张牌，求至少有一张黑桃的概率。

答案：总共抽取5张牌，共有C(52,5)种取法。

不抽取黑桃的情况有C(39,5)种取法。

因此，至少有一张黑桃的情况有C(52,5) - C(39,5) 种取法。

所求概率为[C(52,5) - C(39,5)] / C(52,5)。

3. 应用题3.1 有甲、乙两个工人分别制作产品A和产品B，已知甲的合格率为85%，乙的合格率为90%。

如果随机抽查一件产品是合格的，求这件产品是乙制作的概率。

答案：假设事件A为产品合格，事件B为产品由乙制作。

根据题意，可得P(A|B) = 90%，P(A|B') = 85%，P(B) = 1/2，P(B') = 1/2。

《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案

《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。

概率论__练习题

一、简答题(每题8分, 共计40分)1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，能否推知事件A 与事件C 相互独立？试举例说明.解答事件的独立性不存在传递性. (3分)反例独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下}{出现正面=A ，}6{点掷出第=B ，}{C 出现反面= (6分)则事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，但事件A 与事件C 不相互独立. (8分)2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？解答设n 维随机变量),,,(21n X X X 的联合分布函数为),,(21n x x x F ，若对所有实数组),,(21n x x x 均有)()()(),,(221121n n n x F x F x F x x x F =成立, 称n X X X ,,,21 相互独立. (3分)若对一切1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n 及),(21i i x x 都有)()(),(221211i i i i i x F x F x x F = 成立则n 维随机变量),,,(21n X X X 两两独立. (5分)根据分布函数的定义, n 维随机变量),,,(21n X X X 相互独立即对任意实数向量(x 1 , x 2, …, x n ), n 个随机事件A k ={X k ≤ x k }, k =1,2, …, n ，都相互独立. (8分)3. 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：P {X =－1}= P {Y =－1}=21, P {X =1}= P {Y =1}=21，试计算概率P {X=Y }和P {X+Y =0}.解答根据X 与根据随机变量X 与Y 有下表可得注用其他表达形式得到结果,类比给分.4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x , y ，试求两数满足不等式x y x 442≤≤的概率.解答 “任意选取两个数”意味x 和 y 在[0, 2]上等可能被选取，即二维随机点( X , Y )在边长为2 的正方形上服从均匀分布， (3分)所求概率为.31)41(41202=-=⎰dx x x p (8分)5.假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y = min{X , 2}的分布函数，并讨论随机变量Y 是否为连续型随机变量，为什么？解 })2,{m in()(y X P x F X ≤= ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤≤<=.2,1;20},{;0,0y y y X P y (3分)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-.2,1;20,1;0,0y y e y y λ (6分) 连续型随机变量的分布函数处处连续,)(x F X 在y =2处不连续，故Y 非连续型随机变量 (8分)二、证明题 (12分)已知随机变量X 与Y 相互独立, 且X ~U (0,1), Y~B (1, p ). 证明X 2与Y 2相互独立.证明需证对任意的R y ∈及k = 0,1，随机事件}{2y X ≤与}{2k Y =相互独立. (3分) 因Y 与Y 2同分布，且X 与Y 相互独立, 当0≥y ，k =0,1 (5分) }{}{}{}{222y X P y X y P k Y y X y P k Y y X P ≤=≤≤-==≤≤-==≤ (9分)当0<y ，k =0,1}{0}{222y X P k Y y X P ≤===≤ (12分)故X 2与Y 2相互独立.或证明任意实数对(x , y ), (X 2, Y 2)联合分布函数G (x , y )满足)()(),(22y F x F y x G Y X =三、 (14分) 设电源电压)25,220(~2N X （单位：V ），通常有三种状态：（a ）电压不超过200V ；（b ）电压在200V ~240V 之间；（c ）电压超过~240V . 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：8849.0)2.1(,7881.0)8.0(=Φ=Φ）解记 =1A {电压处于状态a }, =2A {电压处于状态b }, =3A {电压处于状态c },B ={该元件损坏}，则321,,A A A 构成Ω的一个划分，且1.0)(1=A B P ，001.0)(2=A B P ，2.0)(3=A B P (3分)2119.0)8.0()25220200(}200{)(1=-Φ=-Φ=≤=X P A P ， 2119.0)8.0(1)25220240(1}240{)(3=Φ-=-Φ-=≥=X P A P 5762.0)()(1)(312=--=A P A P A P (8分)由全概率公式 0642.0)()()(31==∑=i iiA B P A P B P (10分)（2）由贝叶斯公式3301.00642.01.02119.0)()()()(111=⨯==B P A B P A P B A P ，0090.0)()()()(222==B P A B P A P B A P ，6601.0)(3=B A P ， (12分)在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c ）. (14分)四、(14分)设随机变量321,,X X X 相互独立且都服从参数为p 的0-1分布，已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221X X X X 为正定矩阵的概率为81. 试求1)参数p 的值; 2) 随机变量3221X X X X Y =的概率}0{=Y P .解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有 (3分))1(}1,0,1{}0,0{81232122311p p X X X P X X X X P -=====>->= 解得21=p . (7分) 2) 随机变量2231X X X Y -=的全部取值为1,0,1-, (10分)}0{}0{2231=-==X X X P Y P}1,1,1{}0,0,0{321321===+====X X X P X X X P }0,0,1{}1,0,0{321321===+===+X X X P X X X P}1{}1{}1{}0{}0{}0{321321===+====X P X P X P X P X P X P }0{}0{}1{}1{}0{}0{321321===+===+X P X P X P X P X P X P2184==(14分) 五、（20分）随机变量（X , Y ）的联合概率密度函数是)()(2121),(2222y g x g e ey x f y x πππ-+-+= (x , y )∈R 2 其中 ⎩⎨⎧>≤=ππx x x x g 0cos )(1) 证明X 与Y 都服从正态分布；2) 求随机变量Y 关于X 的条件概率密度; 3）讨论X 与Y 是否相互独立？ 4) 根据本题的结果，你能总结出什么结论？解 1)dy y g x g e dy edy y x f x f y x X ⎰⎰⎰∞∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(π21π21),()(222π2（3分）R x e dy y x e e x x ∈=+=----⎰,21cos cos 212122222ππππππ （5分）即)1,0(~N X .dx y g x g e dx e dx y x f y f y x Y ⎰⎰⎰ℵ∞--∞+∞-+-∞+∞-+==)()(2121),()(2222πππR y e y ∈=-,2122π)1,0(~N Y （9分）2）对任意 R x ∈，因0)(>x f XR y y g x g e e x f y x f y f x y X X Y ∈+==+--),()(2121)(),()()2(2222πππ（14分）3）因 ),,()()(y x f y f x f Y X ≠故X 与Y 不相互独立.或因 )()(x f y f Y X Y =，故X 与Y 不相互独立. （17分）4）如 ① n 维正态随机变量的每一分量均服从正态分布，反之不成立； ② 可由条件分布确定两个随机变量的独立性；等等，只要是总结出可用的结论均可（20分）1. 设)(),(21x F x F 为两个分布函数，问：（1） )()(21x F x F +是否分布函数？（2）)()(21x F x F 是否分布函数？给出证明。

概率论五套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月练习一一、选择题1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示<A）A，B，C中至少有一个发生； <B）A，B，C都同时发生；<C）A，B，C中至少有两个发生； <D）A，B，C都不发生。

2．已知事件A，B相互独立，且P(A>=0.5，P(B>=0.8，则P<A B）＝(A> 0.65 。

(B> 1.3。

(C>0.9。

(D>0.3。

b5E2RGbCAP3．设X～B<n，p），则有<A）E<2X－1）＝2np；<B）E<2X＋1）＝4np＋1；<C）D<2X＋1）＝4np<1－p）＋1；<D）D<2X－1）＝4np<1－p）。

4．X的概率函数表<分布律）是xi －1 0 1pi 1/ 4 a 5/12则a＝< ）<A）1/3；<B）0；<C）5/12；<D）1/4。

5．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是<A）二项分布；<B）标准正态分布；<C）指数分布；<D）泊松分布。

二、填空题6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2<x<5}.则A B=__________________, A-B=_____________________。

. 7．已知电路由电池A与两个并联电池B和C串联而成，各电池工作与否相互独立。

设电池A，B，C损坏的概率均为0.2。

则整个电路断电的概率是______________________.p1EanqFDPw三、证明题8.设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有<1）；<2）P<；<3）。

概率论-题和答案

《概率论》练习题一、填空题：（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分）1．设A 、B 、C 是三个事件，则A 、B 、C 中至多有2个事件发生可表示为 ABC 。

2．设A 、B 、C 是三个事件，则A 不发生但 B 、C 中至少有1个事件发生可表示为。

3．设随机变量X 服从泊松分布，且P （X=1）=P （X=2），E （3X-1）= 5 。

4.把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为__1/9________。

5．一批零件的次品率为0.2，连取三次，每次一件（有放回），则三次中至少有一次取到次品的概率为 0.488 。

6.设随机变量X 服从U(0, 2)分布，则2X Y =在(0, 4 )内的概率分布密度为 p Y )(y =⎪⎩⎪⎨⎧其它,0,40,41 y y 。

7设A, B, C 是三个随机事件，则A, B, C 至少发生两个可表示为 AC BC AB ⋃⋃或BC A C B A C AB ABC ⋃⋃⋃ 。

.8、设P (A ) = 0.7, P (A － B ) = 0.3 , 则 )(AB P 0.6 。

9、设随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5P X k Ck k ===（）则C = 151。

10、设随机变量X 服从区间(2,6)上的均匀分布(2,6)U , 则(31)E X += 13 。

11、设X 服从正态分布(1,6)N -，则D(-2X+1)= 24 。

12. 设随机变量X和Y 相互独立，其概率分布分别为：则P ｛X=Y ｝= 21 。

13、设A 、B 、C 是三个事件, 则A 、B 、C 中至少有1个事件发生可表示为 A B C 。

14、设事件A 、B 、C 相互独立，()()()13P A P B P C ===，则)(C B A P ⋃⋃ 1927 。

15、设随机变量X 的概率分布为:P{X=k}=Ck(k=1,2,3,),则C= 6C = 。

概率大题练习题及讲解高中

概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。

以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。

练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。

求取出红球的概率。

解答：总共有8个球，其中5个是红球。

取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。

现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。

解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。

从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。

因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。

现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。

解答：这是一个二项分布问题。

次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。

使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。

练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。

投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。

每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。

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