数字信号处理电子教案 (6)

H (e j0 )
2 20 lg H (e jst ) 20 lg H (e jst ) 20 lg2
（6.4）
式 中 ， 假 定 |H(ej0)|=1( 已 被 归 一 化 ) 。 例 如 |H(ejω)| 在c 处 满 足 |H(ejc)|=0.707，则1 =3 dB；在st处满足|H(ejst)|=0.001，则 2=60 dB。
(6.6) （6.7）
所以又有
(e
j
)
1 2j
ln
H (e j ) H *(e j )
1 2j
ln
H (e j ) H (e j )
1 H(z)
2
j
ln
H
( z 1 )
z e
j
（6.8）
12
3．群延迟响应
滤波器平均 延迟的一个
度量
定义为相位对角频率的导数的负值，即 (e j ) d (e j ) d
3
滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低 通滤波器为例，如图6.l所示 。
H (e j )
1
1 a1
频率响应有通带、
过渡带及阻带三 个范围（而不是 理想的陡截止的 通带、阻带两个 范围）。
通 带
a2
过
阻
渡
带
带
0
c
st
图6.1 理想低通滤波器逼近的误差容限
4
在通带内，幅度响应以最大误差 a1 逼近于1，即
( j)为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在 时间上的延时情况。
9
1．幅度平方响应
幅度平方响应定义为
H (e j ) 2 H (e j )H *(e j ) H (e j )H (e j ) H (z)H (z1)
ze j
（6.5）
这里由于脉冲响应为实函数，故满H足*(e j ) H (e j ) ， 也
是以单位圆镜像对称的。
11
2．相位响应 由于H (e j ) 是复数，可表示成
H (e j ) H (e j ) e j (ej ) Re[H (e j )] j Im[H (e j )]
所以 由于
(e
j
)
arctan
Im[H Re[H
(e (e
j j
)] )]
H * (e j ) H (e j ) e j (e j )
15
6.2 常用模拟低通滤波器的设计方法
常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、 切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔 （Bessel）滤波器等。
这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器具有单调下降 的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波 动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特 性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内 均为等波纹幅频特性。
就是满足共轭对称条件。
10
零极点情况：
1、 若z re ji是H (z)的极点，则z 1 e ji是H (z1)的极点。 r
2、又由于H(z) 的有理表达式中各系数为实数，因而，零
极点必然都以共扼对形式出现，故z 必re有 ji
z 和1r e ji
两极点存在，所以H (z)H (z1) 的极点既是共轭的，又
第6章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
1
6.1 引言 6.2 常用模拟低通滤波器的设计方法 6.3 脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 6.4 双线性变换法设计IIR数字滤波器 6.5 原型变换
2
6.1 引言
数字滤波器的设计一般包括： (1) 按照任务的要求，确定滤波器的性能要求； (2) 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能 要求； (3) 利用有限精度算法来实现这个系统函数； (4) 实际的技术实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件 来实现，或用采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。
可以化为
（6.9）
(e j ) d (z) dz
jz d (z)
（6.10)
dz d ze j
dz ze j
由于
ln[H (e j )] ln H (e j ) j (e j )
13
所以
(e j ) Im ln[H (e j )]
因而又有
(e
j
)
Fra Baidu bibliotek
Im
d
d
ln[H (e j )]
滑地从通带下降到阻带。
5
虽然给出了通带的容限1 及阻带的容限2 ，但是，在具体技
术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）1 和阻带应达到
的最小衰减
2描述， 1及
的定义分别为：
2
H (e j0 )
1 20 lg H (e jc ) 20 lg H (e jc ) 20 lg(1 1)
（6.3）
同样可化为
(6.11)
(e
j
)
Im
d
ln[H
dz
(z)]
dz
d
z e j
d ln[H (z)]
Im jz
dz
ze j
Re
z
d dz
ln[H
(
z)]
ze
j
Re z
dH (z) dz
1
H
(
z
)
z
e
j
(6.12)
14
设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：
(1) 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成 满足预定指标的数字滤波器。 (2) 计算机辅助设计法。
11 H (e j ) 1, c
(6.1)
在阻带内，幅度响应以误差小于 。
a2
而逼近于零，即
H (e j ) 2,
st
(6.2)
其中 c ,st 分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是
数字域频率。为了逼近理想低通滤波器特性，还必须有一个
非零宽度(st c )的过渡带，在这个过渡带内的频率响应平
16
Ha ( jΩ)
低通
o
Ha ( jΩ)
高通
o
Ha ( jΩ)
带通
o
Ha ( jΩ)
O
H (e jω )
O
H (e jω )
O
H (e jω )
O
2
ω
2
ω
2
ω
2
ω
2
ω
图6.2 各种数字滤波器的理想幅度频率响应
8
数字滤波器的技术要求：
滤波器的频率响应： H (e j ) H (e j ) e j ( j)
H (e j ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频 率成分的衰减情况。
6
数字滤波器按频率特性划分也有低通、高通、带通、带阻、 全通等类型，如图6.2所示。
s sT 2 fsT 2
fs fs
2 ,
(
fs
1) T
s 2 是折叠频率。按照奈奎斯特抽样定理，频率特
性只能限于 s 2 范围。
7
低通 带通 高通 带阻 全通
H (e jω )
O
H (e jω )