实对称矩阵特征值与特征向量的性质
10 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
实对称矩阵的特征值和特征向量一、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 ,,A x λ设复数为实对称矩阵的特征值复向量为对应的特征向量 ,0.Ax x x λ=≠即,,x x λλ用表示的共轭复数表示的共轭复向量 A x A x =则()().Ax x x λλ===一、实对称矩阵的特征值和特征向量于是有 T x Ax T x Ax 及()T x Ax =T x x λ=,T x x λ=()T T x A x =()T Ax x =()T Ax x =.T x x λ=两式相减，得()0.Tx x λλ-= 0,x ≠但因为()0,λλ⇒-= ,λλ=即.λ由此可得是实数211 0,n n T i i ii i x x x x x ====≠∑∑所以一、实对称矩阵的特征值和特征向量 说明,()0,0,.i i i A A E x A E λλλ-=-=由于实对称矩阵的特征值为实数所以特征向量所满足的线性方程组是实系数方程组由，知必有实的基础解系从而对应的特征向量也可以取实向量一、实对称矩阵的特征值和特征向量 12121212 ,,,,,.2A p p p p λλλλ≠设是实对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与理正交定证明 ,,,21222111λλλλ≠==Ap p Ap p ,,A A A T =对称 ()()T T T Ap p p 11111==∴λλ,11A p A p T T T ==于是 ()22121211p pAp p p p T T T λλ==,212p p T λ=().0 2121=-⇒p p Tλλ,21λλ≠ .21正交与即p p .021=∴p p T一、实对称矩阵的特征值和特征向量 r 个线性无关的特征向量.定理3 设 λ是n 阶实对称矩阵A 的r 重特征值，则 矩阵 A - λE 的秩为n −r ， 从而对应特征值 λ恰有 定理4 任意实对称矩阵都与对角矩阵相似. 其中 是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. Λ定理5 设A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P , 1P AP -=Λ使得二、举例 解 400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例 求矩阵的特征值和特征向量. 先求矩阵A 的特征值λλλλ---=-310130004E A ()(),422λλ--=.4,2321===λλλ得特征值二、举例再求矩阵A 的特征向量 ()得基础解系由对,02,21=-=x E A λ1(0,1,1).T η=-()得基础解系由对,04,432=-==x E A λλ23(1,0,0),(0,1,1).T Tηη==1213,]0,,]0,ηηηη==这里[[123010,,10120.101ηηη=-≠-同时|()|=谢谢！。
实对称矩阵的特征值和特征向量
A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).
6-3实对称矩阵的相似对角化
0 3
0 1
2 4 ,
2
0 1 3 得特征值 1 2, 2 3 4.
0 对 1 2,由 A 2 E x 0, 得基础解系 1 1 1 对 2 3 4,由 A 4 E x 0, 得基础解系 1 0 与 恰好正交 , 3 2 0 , 3 1 . 2 0 1 所以 1 , 2 , 3两两正交.
于是得正交阵
0 P 1 , 2 , 3 1 2 1 2 2 0 1 则 P AP 0 4 0 0
0 0 1 2 0 1 2 0 0 . 4 1
§6.3
实对称矩阵的 相似对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的.
设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是 对应的特征向量, 若1 2 , 则 p1与 p2正交 .
推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征 向量是线性无关的.
对 2 1,由 A E x 0, 得
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得特征向量 2 1 . -2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
2 2 k 1 满足
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
1 , 2 k 1 , 1
再令 3 3 k1 1 k2 2 及 1 , 3 2 , 3 0 2 , 3 1 , 3 k2 可求出 k1 2 , 2 1 , 1 一般地,由 1 , 2 , , s 求出 1， 2 , , s 的公式为
特征值与特征向量_
特征值与特征向量_一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个nxn的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征向量是指矩阵在一些方向上的不发生变化的向量，而特征值则表示该方向上的缩放比例。
矩阵乘以特征向量v等于用特征值λ来放缩这个向量。
二、特征值与特征向量的性质1.特征值和特征向量总是成对出现，即一个特征向量对应一个特征值，可能有多个特征向量对应同一个特征值。
2.特征值可以为复数，但如果A是实对称矩阵，则特征值一定是实数。
3.矩阵的特征值可以通过求解方程，A-λI，=0得到，其中I是单位矩阵。
4.特征向量可以通过求解方程(A-λI)v=0得到，其中0是全零向量。
5.特征值的和等于矩阵的迹(所有主对角线上的元素之和)，特征值的乘积等于矩阵的行列式。
三、特征值与特征向量的应用1.特征值分解特征值分解是矩阵分析中非常重要的一种分解方法，对于一个nxn的矩阵A，其特征值分解为A=VΛV^(-1)，其中V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。
特征值分解可以用于求解线性方程组、矩阵的幂次计算、矩阵的逆等问题，也可以用于降维和数据压缩等领域。
2.特征值与特征向量的几何意义特征向量可以表示矩阵的一些方向上的不变性，通过求解矩阵的特征向量，可以了解矩阵对于不同方向上的变化情况。
例如，在计算机图形学中，可以通过矩阵的特征向量来描述形状的变化、旋转、缩放等操作。
3.矩阵的谱分析通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以了解矩阵的性质和结构。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是主对角线上的元素，特征向量为标准基向量。
四、总结特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
特征值与特征向量可以用于矩阵分解、线性方程组求解、数据压缩和图形变换等问题，对于理解和分析矩阵的性质和结构有着重要的意义。
深入理解特征值与特征向量的概念和性质，对于掌握线性代数和应用数学具有重要的作用。
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
实对称矩阵求特征值的技巧
实对称矩阵求特征值的技巧实对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵和它本身相等，即A = A^T。
求解实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要问题。
下面将介绍一些实对称矩阵求特征值的技巧。
1. 特征值存在定理对于实对称矩阵A，其特征值一定存在且为实数。
这是因为实对称矩阵可以通过正交变换化为对角矩阵，而对角线上的元素就是特征值。
2. 特征向量正交性如果A是一个n*n的实对称矩阵，那么它的n个特征向量一定两两正交。
这意味着任意两个不同的特征向量之间的内积为0。
这个性质也可以通过正交变换来证明。
3. 特征向量单位化在求解实对称矩阵A的特征向量时，我们通常会将其单位化。
即将每个特征向量除以其模长，使得所有特征向量都成为单位向量。
这样做可以方便计算，并且保证每个特征向量都有相同的长度。
4. Rayleigh商Rayleigh商是一种用来估计实对称矩阵特征值的方法。
对于一个实对称矩阵A和一个非零向量x，其Rayleigh商定义为x^T*A*x / x^T*x。
这个值可以用来估计A的特征值，具体方法是将它最小化。
这个方法在迭代求解特征值时非常有用。
5. 幂法幂法是一种迭代求解实对称矩阵最大特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是不断将一个向量乘以矩阵A，并将结果单位化，直到收敛为止。
在每次迭代中，向量的模长会越来越接近最大特征值，并且向量会收敛到与最大特征值对应的特征向量上。
6. Jacobi方法Jacobi方法是一种通过旋转实对称矩阵来将其对角化的方法。
它通过不断地选择一个旋转角度和旋转轴来消去矩阵中某个元素，直到所有非对角元素都变成0为止。
这个过程中，矩阵的主对角线上的元素就是特征值，而每列主对角线上元素所在列的其他元素组成的向量就是该列主对角线上元素所对应的特征向量。
7. QR方法QR方法是一种通过正交变换将实对称矩阵对角化的方法。
它通过不断地将矩阵分解为QR的形式，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，直到R变成对角矩阵为止。
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
a2,
,
an
)
b2 bn
n
a1b1 a2b2 anbn aibi
i 1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
P13-2
第三章
一、向量的内积 1. Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
9. 设A为3阶矩阵, 1 ,2 ,3线性无关, 且 A1 =21 +2+3, A2 =22, A3 = -2 +1. (1) 求矩阵B, 使得A(1 , 2, 3)=(1 , 2, 3)B; (2) 求A的特征值;
(3) 求矩阵P 和对角阵 , 使P-1AP = .
练习3.3选解:
3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A
线性无关.
P13-5
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2) 2)
2
(3 , 1 ) (1, 1)
相似的对角矩阵.
P13-13
2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于
特征值 0 的一个特征向量为1= (0, 1, 1)T . 求 A .
0 1 0
1 0 0
P 1 0 1 , A 0 1 2 1 2
1 0 1
0 1 2 1 2
求实对称矩阵的特征值和特征
求实对称矩阵的特征值和特征求实对称矩阵的特征值和特征向量求实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个基本的问题。
特征值和特征向量代表了矩阵在空间中的性质，具有重要的应用价值。
本文将系统地介绍求解实对称矩阵的特征值和特征向量的方法。
一、什么是实对称矩阵实对称矩阵指的是元素都为实数的方阵，其转置矩阵等于自己。
即，对于一个n阶实对称矩阵A，有A = A^T。
实对称矩阵在矩阵理论中非常重要，因为它们具有很多优秀性质，例如对称性和正交性等。
二、求实对称矩阵的特征值和特征向量的步骤特征向量代表的是方阵在某一方向上的拉伸效应，而特征值代表的则是这个拉伸效应的大小。
因此，求解实对称矩阵的特征值和特征向量可以从以下几个步骤入手：1. 求出矩阵的特征多项式设A为一个n阶实对称矩阵，则其特征多项式为：f(λ) = det(λI - A)其中λ为待求的特征值，I为n阶单位矩阵。
求出特征多项式后，我们可以通过对其进行分解，从而求出矩阵的特征值。
2. 求解特征值将特征多项式f(λ)分解为：f(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)其中λ1, λ2, …, λn为n个特征值，可以通过求解f(λ)=0的方程组得到。
特别地，由于我们在求解过程中使用的是实对称矩阵，因此得到的所有特征值都是实数。
3. 求解特征向量求解特征向量的方法有很多种。
一种比较简单的方法是，对于矩阵A的每一个特征值λi，解出下面的方程组：(A-λiI)xi = 0其中xi为λi对应的特征向量。
由于A是实对称矩阵，因此这个方程组的解可以通过高斯消元或LU分解等方式求解。
4. 将特征向量规范化在求解出特征向量后，为了便于后续的处理，需要将它们进行规范化。
具体地，我们将特征向量xi除以其模长，使得其模长等于1。
即：||xi|| = 1这样做的好处是，保证了特征向量之间的正交性，也就是说它们构成了一个规范正交基。
三、总结求解实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的问题。
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
线性代数3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
05
实对称矩阵的应用举例
在二次型中的应用
二次型的标准型
通过实对称矩阵的正交变换，可 以将二次型化为标准型，从而简 化问题的求解。
二次型的正定性
利用实对称矩阵的特征值性质， 可以判断二次型的正定性，进而 解决优化问题。
二次曲面分类
实对称矩阵的特征值和特征向量 可用于二次曲面的分类，如椭球 面、双曲面等。
1. 求出矩阵$A$的特征多项式$f(lambda)$。
3. 对于每个特征值$lambda_i$，求出对应的特征向量 $alpha_{i1}, alpha_{i2}, ldots, alpha_{ik}$，其中$k$是 $lambda_i$的重数。
5. 计算$P^{-1}AP = Lambda$，其中$Lambda = text{diag}(lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n)$。
线性代数3.3实对称 矩阵的特征值和特征
向量
目录
• 引言 • 实对称矩阵的应用举例 • 总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个学科领域。实对称矩阵作为一 类特殊的矩阵，具有很多重要的性质和应用。特征值和特征向量是矩阵理论中的 核心概念，对于理解矩阵的性质和解决实际问题具有重要意义。
迭代法
通过构造迭代序列来逼近特 征值和特征向量，如幂法、 反幂法等。
特征值与矩阵性质的关系
特征值与矩阵的行列式
矩阵的所有特征值的乘积等于其行列式 的值。
特征值与矩阵的秩
如果矩阵至少有一个非零特征值，则 其秩大于等于1；如果矩阵所有特征
值都为零，则其秩为零。
特征值与矩阵的迹
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量(简)
1 1 Q AQ n
2
实对称矩阵的特征值的性质 一、 定理3.12 实对称矩阵的特征值都是实数. 则 说明： 若A是实数域上的 对称矩阵，
a 11
E A
a 21 a n1
n
a 12
a1n a2n
| A | | E A |
） 移项得： （| A | 1 | E A | 0 即 2 | E A | 0 | E A | 0
例 4 . 设矩阵 A 与 B 相似 , 1 其中 A 2 3 1 4 3 1 2 2 , B 0 a 0 0 2 0 0 0 , b
T
1 ( T ) T 1 T A T A T ( A ) T
( 2 ) 2( T )
( 1 2 )( T ) 0 1 2
0
T
即
定理3.14 设A是n阶实对称矩阵, 则存在n阶正交
a 22
an2
n2
a nn
nm
( 1 ) 1 ( 2 )
...( m )
1 , 2 , ..., m 都是实数.
定理3.13 实对称矩阵的 对应于不同特征值的 特征向量 是相互正交的. A是实对称矩阵, A的两个特征值 1 , 2 1 2 则 A 1 A 2 证
1 1 1 1
1, 2 ,
1
两两正交.再将它们单位化.
1
2 1 1 1 2 2 2 1 0
6 1 2 2 1 6 32 2 3 2 6
4.3 实对称矩阵的特征值特征向量
用α i与上式两边内积运算得：α
得 k 1α
i Tα 1+k2α i Tα 2+…+kiα i Tα
i
T(k
1α 1+k2α 2+…+ksα s)=0,
Tα s=(i=1,2,…,s)
i+…+ksα i
又 α iTα j=0 (i≠j) 所以有： kiα iTα i=0 (i=1,2,…,s) 又 α i≠0 得α iTα i>0 因此： ki＝0 （i=1,2,…s）,则 α 1,α 2,…α s线性无关。
可得:
x1T T x2 T Q Q x T n
x1
x2
xn
T x1T x1 x1 x2 T T x2 x1 x 2 x2 T x Tx x n x2 n 1 ∵Q为正交矩阵等价于 QTQ＝I
(3)∣α Tβ |≤‖α ‖‖β ‖
即是
a1b1 a2b2 an bn
a
i 1
n
2 i
bi2
i 1
n
此不等式称柯西－布涅可夫斯基不等式,下面证明此不等式 证明: (1)当α与β线性相关时,有α＝kβ或β＝kα,显然有
∣αTβ|＝‖α‖‖β‖
(2)当α与β线性无关时，对任一实数x, 有: xα+β≠0 因此恒有 ‖xα+β‖>0 即有 ‖xα+β‖2＝（xα+β）T(xα+β) ＝(xαT+βT)( xα+β) ＝(αTα)x2+(αTβ+βTα)x+βTβ ＝(αTα)x2+(2αTβ)x+βTβ>0 所以有 恒成立.
实对称矩阵的特征值和特征向量
得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T，2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6E A)X 0 ，
即求解 8 2 2 x1 0 2 5 4 x2 0 2 4 5 x3 0
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序
与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。
在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 A 2 2
求一正交阵 Q , 使
2 2 1 4 4 1 Q1AQ 成对角矩阵。
解： 矩阵 A 的特征多项式为
是实对称矩阵，特征值 1 2 1 （二重）对应特征 向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T
都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过
标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 存在正交阵 Q , 使 QT AQ Q1AQ 为对角阵.
附注：进一步地有，实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同
特征值的特征向量相互正交。
证明：设 1 ，2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
2分别是属于特征值 1 ，2 的特征向量。
于是 A1 11 (1 0) ， A2 22 (2 0)
对上面第一式两边左乘
T 2
，
得到
2T
A1
1
T 2
1
而
（4.12）
T 2
14实对称矩阵的相似对角化
再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， ） . 2， （ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得： （ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 对一般矩阵，只能保证相异特征 量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。
线性代数(第二版)第三节实对称矩阵的特征值和特征向量
二、实对称矩阵对角化方法
根据定理 4.14 ，任一实对称矩阵 A 都可以对角
化. 因此，对 A 的任一 ni 重特征值 i，齐次方程组
( iE – A )X = 0 的基础解系中必含有 ni 个线性无关
的向量，它们都是 A 的属于 i 的特征值(
定 定 理 理 44 ..11 00
定 定 理 理 44 ..11 00
+ – –
A … A ) ) + 的 的 r s 秩 秩 =
等 等 n ,于 于知n n这 – –
样的 n n ii ..
特
征
向
量
共
可
得
n 个.
矩 矩
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 2 2
实 实 对 对 称 称 矩 矩 阵 阵 的 的 特 特 征 征 值 值 都 都 是 是 实 实 数 数 ..
由 阵 阵 r 1 ( ( + ii rE E 2
+ – –
A … A ) ) + 的 的 r s 秩 秩 =
等 等 n ,于 于 知
这样的 n n – – n n ii ..
特
征
向
量
共
可
得
n 个.
矩 矩
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 2 2
实 实 对 对 称 称 矩 矩 阵 阵 的 的 特 特 征 征 值 值 都 都 是 是 实 实 数 数 ..
证 证 法 法 二 二 利 利 用 用 性 性 质 质
设
A 的互不相等的特征值为
1 , … ,
s,
它们的重数依次为
r1 , …
根据
定 定 理 理
4 4 .. 1 1 0 0 及 及 定 定 理 理
第4.4节 实对称矩阵的对角化
注 ①实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法 不唯一，故Q不唯一； ②由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交， 故只需对对应于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.
例2 设3阶实对称矩阵Ａ的特征值为 1 0, 2 3 1,
Ａ对应于1的特征向量为1 (0,1,1)T ,求A.
第4.4节
实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 (1) 实对称矩阵A的特征值都是实数;
(2) 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3) 实对称矩阵A的每个k重特征值恰好有k个对应于此特征值的 线性无关的特征向量. 证 (2) 设1, 2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量， 即 Ai = ii ( i = 1,2).
例如
1 2 2 A 2 1 2 是实对称矩阵,其特征值 5, 1. 1 2 3 2 2 1 1 对应特征值5的线性无关的特征向量只有一个 1 1 ; 1
对应特征值１的线性无关的特征向量一定有两个
解 Ａ为实对称矩阵，故Ａ必可对角化，对应于二重特征 值2＝ 3＝１的特征向量应该有两个，设为2,3, 则2,3
都与1正交.
T 设与1正交的向量为 ( x1 , x 解得方程组的基础解系为 2 0 , 3 1 . 0 1
1 1 得 x1 x2 x3 , 线性无关的特征向量为 1 1 , 2 0 . 0 1
当3 3，解(3 E A) x 0．由
2 1 1 1 0 1 3 E A 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
0 2 3
1
2
0
解
E A 2
0
2
2
2
( 1)( 2 )( 5 )
特征值:
3 1 1, 2 2 , 3 5
0
特征向量分别为:
1 , 2 , 3 不同， 1 , 2 , 3 两两正交， 现把它们单位化. 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 3 32 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 2 2 2 1 3 3 3 则 1 , 2 , 3 是单位正交向量组 . 2 x3
1 1 1 , 3 0 0 1
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
x1 x 2 x 3
解得其基础解系为
1 1 0 1 0 1
3
解 设特征值 3 对应的特征向量为
则 x 必与 1 正交， 即 x 1 0 .
T
也即 x1 + x2 + x3 = 0
2
1 1 1 , 3 0 0 1
x1 x x2 x3
令 3） Q ( 1 , 2 , , n ）， 则正交矩阵
Q
1
Q 使得
AQ Λ
例3 求一个三阶实对称矩阵A, 它的特征值为6,3,3,
且对应于6的一个特征向量为1 (1,1,1) .
T
析
实对称矩阵一定可以对角化， 6
则存在可逆矩阵 P， 有 P
总结埃尔米特(实对称)矩阵的性质
数学2班学习实践报告题目: 总结埃尔米特（实对称）矩阵的性质，利用Matlab将实对称阵对角化学生姓名: 王小弟实验时间：2013年5月12 日总Matlab将实对称阵对角化一·埃尔米特矩阵定义：对复矩阵()A AT=，A 是n*n 阶矩阵，则A 是埃尔米特矩阵，如果A 的每个元素师实数则A 实对称矩阵。
实对称矩阵是一类很重要的可对角化的矩阵, 它的特征值和特征向量具有下列性质: 性质1：实对称矩阵A 的特征值都是实数.证：设λ是A 的任一特征值,即存在非零向量P 使,p Ap λ=要证λ是实数,只须证明λλ=即可由,p Ap λ=(),A AT=得()()()()()()()()()(),p p p p p Ap p A p Ap p p p p p TTTTTTTTλλλλ======因,0≠p 所以,0>p p T故.λλ=当特征值为实数时,齐次线性方程组0)(=-E A i λ 是实系数线性方程组,由0=-E A i λ知必有实向量基础解系,所以对应的特征向量可取实向量.性质2：实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是正交的.证：设21,λλ是A 的两个不同的特征值, 21,p p 分别是属于21,λλ的特征向量(均为实向量), 即有,,222111p Ap p Ap λλ==则),( ),()()( )(),(),(),( 21222122121212121211211p p p p p p Ap P p A p p Ap p Ap p p p p TTT T T λλλλλ========因此, ,0),)((2121=-p p λλ而,21λλ≠故有,0),(21=p p 因此21p p 与正交，性质3：设A 为n 阶实对称矩阵，是A 的特征方程的r 重根，则方阵E A λ-的秩,r n E A R -=-）（λ从而对应特征值λ恰有r 个线行无关的特征向量.说明：一般n 阶矩阵未必能与对角矩阵相似,而实对称矩阵则一定能与对角矩阵相似.性质4：设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵P 使得),,,(211n diag Ap p λλλ =-其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值。
实对称矩阵的条件
实对称矩阵的条件
实对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的特点如下：
1. 结构特点：实对称矩阵的元素都是实数，且矩阵的主对角线上的元素等于其对应的副对角线上的元素。
即矩阵具有对称性，对于任意行和列，都有a_{ij} = a_{ji}。
2. 特征值和特征向量：实对称矩阵具有实特征值，且特征值均为正实数。
其特征向量存在于对称轴上，即特征向量是对称的。
3. 行列式：实对称矩阵的行列式值大于0，即det(A) > 0。
4. 逆矩阵：实对称矩阵具有逆矩阵，且逆矩阵也是实对称矩阵。
即如果A是实对称矩阵，那么A^T = A^-1。
5. 合同关系：实对称矩阵与正定矩阵之间存在合同关系。
如果A是实对称矩阵，B是
正定矩阵，且A和B的尺寸相同，那么A和B之间存在合同关系，即A = B。
6. 谱分解：实对称矩阵可以通过谱分解得到其特征值和特征向量，从而将矩阵分解为对角矩阵与单位矩阵之和。
7. 线性变换：实对称矩阵可以表示线性变换，即如果A是实对称矩阵，那么A把一个向量映射到另一个向量，这两个向量具有相同的特征值。
总之，实对称矩阵具有对称性、实特征值、正行列式、逆矩阵等特性，并在线性代数中具有重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
P1 AP
2 . 7
从而 1 或 1 2i 或 1 2i.
因为 A 为 n 阶实对称阵，所以 1，即 A 的特征值全部为 1.
性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征对应的特征向量 线性无关。
A1 11，A2 22.
?
(1,2 ) 0
(A1 )T
1
T 1
T AT T T A T
两端同时右乘 T A T T T
(
) T 0
T
2
0,
练 设 A 是 n 阶实对称阵且 A3 3A2 5A 3E 0 习 求A 的特征值。
设 为 A 的任一特征值，由 A3 3A2 5A 3E 0 知 3 32 5 3 0.
3与1,2正交，（3,1）（3,2） 0
x1 2x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
A 1 2
1 2
1 1
1
0
1 0
11
1 0
1 0
0
1
x1
x3
x2 0
3
（1，1，0）T
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关 的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。