中职数学拓展模块余弦定理(公开课)PPT

小结:
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
推论:
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2 2ca
a2 b2 c2 cos C
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab
（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；
（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC 中，已知a 6, b 3, C 120 ,
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
知识提炼：
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
aLeabharlann Baidu
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
求ABC 其他元素的值
C
解：由余弦定理知， c2 a 2 b2 2ab cos C
62 32 2 3 6 1 2
63
a
b
Bc
A
C 63
b2 c2 a2 9 63 36 6 6 63
cosA
2bc 23 63 63 63
A arc cos 6 63 63
cosB a2 c2 b2 36 63 9 15 15 63 2ac 26 63 2 63 126
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
c
2
a cc
b
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
2bc
247 7
,C ab
Bc A
A arc cos 5 7
cosB a2 c2 b2 25 16 49 1
2ac
254 5
B arc cos 1 5
C 180 A B 180 arc cos 5 arc cos 1
7
5
变式训练：
在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A ___6_0_ _____
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
（1）cosC a2 b2 c2 42 52 62 1 0
2ab
245 8
C是锐角
（2）由（1）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 A B C是锐角三角形
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a 同理： 2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论：cos
A
b
2
c2 2bc
a
2
b
a
Ac
B
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
剖析余弦定理：
Ac
B
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；
（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
余弦定理
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab