中职数学拓展模块余弦定理(公开课)PPT
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人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件1
2.实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 叫仰角, 目标视线在水平视线 下方 叫俯角（如图①）.
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为α（如图②）.
B
75o C 51o 55m A
3 2 3 3 5,
AB 5(km).
A、B之间的距离为 5 km .
题型 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 1 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
(2) a b c ; 等边三角形 cos A cos B cos C
(3)b a cos C
直角三角形
(4) sin A 2 sin B cos C 等腰三角形
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
(角化边公式）
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
余弦定理：
《余弦定理》课件
2 计算三角形内角
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高教版中职数学(拓展模块)1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件1
整 体 建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
c2 a2 b2 2ab cosC．
自 我 反 思
学习方法
目 标 检 测
学习行为
学习效果
自
在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．
我
反
思
B 90.
A
b sin
B
c sin C
．
动 脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BC BA AC，
思 两边取与单位向量j的数量积，得 j BC j （BA+BC）=j BA j BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
目 标 检 测
继
读书部分：阅读教材相关章节
续
探
书面作业：教材习题1.3（必做）
索
活
学习与训练1.3（选做）
动
实践调查：编写一道有关余弦定
探
究
理或正弦定理的习题
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型 例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的 发所取 生以值 错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
探
《余弦定理》拓展PPT课件
【变式1】 在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、
b、c，且cos A＝14.若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b、c的值．
解 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
∴16＝36－52bc，∴bc＝8.
由 bbc＋＝c＝ 8，6， b<c，
• 2．余弦定理变形及应用
• (1)已知三角形的三边求角时，常用余弦定理的变形 式．
• (2)若A为锐角，则cos A>0，即b2＋c2－a2>0，即b2 ＋c2>a2；若A为直角，则cos A＝0，即b2＋c2－a2＝ 0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A<0，即b2＋ c2－a2<0，即b2＋c2<a2.反之，也成立．
2 ＝12，
∵b>a，sin A＝12，∴∠A＝30°.
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝135°.
• 规律方法 对于“已知三边，求三个角”类型问 题，先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理 求出另一个角，用三角形内角和求第三个 角．对于“已知两边和它们的夹角，求第三边 及其他两个角”的题型，先利用余弦定理求第 三边，再利用余弦定理或正弦定理求其他两个 角．
• [思路探索] (1)可转化为已知三边，求角．(2) 属于已知两边一夹角，解三角形．
解 (1)在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条 件判断最小边应为a.
∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 可设a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 最小角为角A，由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k22＋ 3＋3＋11×2k26－k24k2＝ 22， 故∠A＝45°.
高二上学期中职数学人教版拓展模块《余弦定理》课件
1.2.1余弦定理
1．余弦定理
A
三角形中任何一边的__平__方__，等于其他两边
文字语言 _____平__方__的_和__减去这两边与它们夹角的
____余_弦__的__积_的__两_倍___________
C
B
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A___
符号语言
b2＝a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_____
所以 b＝c，结合 A＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选
D.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选 B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A， 所以由余弦定理得 b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝asin A， 整理，得 a＝asin A，所以 sin A＝1.
例1 在△ABC中，已知b=4cm，c=3cm，A=60° ，解 三角形.
例2 在△ABC中，已知a=2cm，b=2cm，c=2 3cm，解三 角形.
3.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在 三 角 形 中 ， 勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 针 对 直 角 三 角 形 的 一 个 特 例．(√ ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( × ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(√ ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．(√ ) (5)在△ABC 中，若 b2＋c2＜a2，则△ABC 为钝角三角形．(√ )
1．余弦定理
A
三角形中任何一边的__平__方__，等于其他两边
文字语言 _____平__方__的_和__减去这两边与它们夹角的
____余_弦__的__积_的__两_倍___________
C
B
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A___
符号语言
b2＝a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_____
所以 b＝c，结合 A＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选
D.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：选 B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A， 所以由余弦定理得 b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝asin A， 整理，得 a＝asin A，所以 sin A＝1.
例1 在△ABC中，已知b=4cm，c=3cm，A=60° ，解 三角形.
例2 在△ABC中，已知a=2cm，b=2cm，c=2 3cm，解三 角形.
3.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在 三 角 形 中 ， 勾 股 定 理 是 余 弦 定 理 针 对 直 角 三 角 形 的 一 个 特 例．(√ ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( × ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(√ ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．(√ ) (5)在△ABC 中，若 b2＋c2＜a2，则△ABC 为钝角三角形．(√ )
人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件(2)
1 bc sin 2
A
1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等，即
A
abc sin A sin B sin C
注意：
B
C
（1）正弦定理适合于任何三角形.
sinC sin 30
∵b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
19.32
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC
1 2
absin C
B
A
c
b
证明：∵
S ABC
1 2
aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di12nbcaAscicnsinAsiBn
2
2
B
1 2
语文版(2021)中职数学拓展模块一《正弦定理、余弦定理的应用》课件
由正弦定理和余弦定理，得
a a2 c2 b2
2
c
2ac
整理，得 b2 c2 ,即b c.
ABC是等腰三角形 .
典型例题
例7
如图所示，A, B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选 择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视，再 在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视.现测得AC=180 m, CD=60 m, C=45°， ∠ADB= 60°，求AB的长.
sin B cosC cosBsin C 2cosBsin C 整理，得 sin B cosC cos B sin C 0
即 sin(B C) 0 B、C是ABC的内角， B C 0，即B C. ABC是等腰三角形 .
典型例题
解法2: sin A 2cosBsin C
sin A 2 cosB sin C
思考 正弦函数的特征
新知探究
问题2： △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 Aຫໍສະໝຸດ B＝2π.典型例题例5
判断下列三角形的类型.
（1）a 4，b 5，c 6；（2）a 3 1，b 2，c 2.
知识回顾
定理变形
（1）a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C (边化角公式）
（2）sin A a ,sin B b ,sin C c (角化边公式）
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
a a2 c2 b2
2
c
2ac
整理，得 b2 c2 ,即b c.
ABC是等腰三角形 .
典型例题
例7
如图所示，A, B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选 择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视，再 在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视.现测得AC=180 m, CD=60 m, C=45°， ∠ADB= 60°，求AB的长.
sin B cosC cosBsin C 2cosBsin C 整理，得 sin B cosC cos B sin C 0
即 sin(B C) 0 B、C是ABC的内角， B C 0，即B C. ABC是等腰三角形 .
典型例题
解法2: sin A 2cosBsin C
sin A 2 cosB sin C
思考 正弦函数的特征
新知探究
问题2： △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 Aຫໍສະໝຸດ B＝2π.典型例题例5
判断下列三角形的类型.
（1）a 4，b 5，c 6；（2）a 3 1，b 2，c 2.
知识回顾
定理变形
（1）a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C (边化角公式）
（2）sin A a ,sin B b ,sin C c (角化边公式）
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
【高教版】中职数学拓展模块：1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件(2)
解 由于
b c ， sin B sin C
所以
b
c sin B 6 sin 30 sin C sin135
6
1 2 3 2． 2 2
分析 这是已知三角形 的两个角和一边， 求其它边的问题， 可以直接应用正弦 定理．
巩固知识 典型例题
A 30，a 15 2，b 30， 求B． 例2 已知在△ABC中，
第一章
三角公式及应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创设情境 兴趣导入
我们知道，在直角三角形ABC（如图）, sin A， sin B，
a c
b c
a b c， c． 即 sin A sin B
由于C = 90°,所以sinC = 1，于是 c
B
c c． sin C a b c ． 所以 sin A sin B sin C
由b＞a，知B＞A，故30°＜B＜180°， 所以B = 45°或B = 135°．
巩固知识 典型例题
A 45，a 30，b 15 2， 求Байду номын сангаас． 例3 已知在△ABC中，
解
b sin A 15 2 sin 45 1 sin B ， a 30 注意 2
已知三角形的两边 和其中一边的对角， 由b＜a，知B ＜ A，故0°＜B＜ 45°， 利用正弦定理求另一 边的对角时，要讨论 所以 B = 30°． 这个角的取值范围， 避免发生错误．
分析 这是已知三角形的 两边和一边的对角， 求其它角边的问题， 可以首先直接应用正 弦定理求出角的正弦 值，然后再求出角．
巩固知识 典型例题
A 30，a 15 2，b 30， 求B． 例2 已知在△ABC中，
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余弦定理
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；
（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC 中，已知a 6, b 3, C 120 ,
与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论：cos
A
b
2
c2 2bc
a
2
b
a
Ac
B
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
c
2
a cc
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
剖析余弦定理：
Ac
B
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；
（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a 同理： 2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取
b
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
求ABC 其他元素的值
C
解：由余弦定理知， c2 a 2 b2 2ab cos C
62 32 2 3 6 1 2
63
a
b
Bc
A
C 63
b2 c2 a2 9 63 36 6 6 63
cosA
2bc 23 63 63 63
A arc cos 6 63 63
cosB a2 c2 b2 36 63 9 15 15 63 2ac 26 63 2 63 126
2bc
247 7
,C ab
Bc A
A arc cos 5 7
cosB a2 c2 b2 25 16 49 1
2ac
254 5
B arc cos 1 5
C 180 A B 180 arc cos 5 arc cos 1
7
5
变式训练：
在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A ___6_0_ _____
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
（1）cosC a2 b2 c2 42 52 62 1 0
2ab
245 8
C是锐角
（2）由（1）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 A B C是锐角三角形
小结:
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
推论:
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2 2ca
a2 b2 c2 cos C
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余 弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断 三角形的形状。
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角 解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
余弦定理 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；
（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC 中，已知a 6, b 3, C 120 ,
与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论：cos
A
b
2
c2 2bc
a
2
b
a
Ac
B
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
c
2
a cc
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
剖析余弦定理：
Ac
B
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；
（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a 同理： 2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取
b
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
求ABC 其他元素的值
C
解：由余弦定理知， c2 a 2 b2 2ab cos C
62 32 2 3 6 1 2
63
a
b
Bc
A
C 63
b2 c2 a2 9 63 36 6 6 63
cosA
2bc 23 63 63 63
A arc cos 6 63 63
cosB a2 c2 b2 36 63 9 15 15 63 2ac 26 63 2 63 126
2bc
247 7
,C ab
Bc A
A arc cos 5 7
cosB a2 c2 b2 25 16 49 1
2ac
254 5
B arc cos 1 5
C 180 A B 180 arc cos 5 arc cos 1
7
5
变式训练：
在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A ___6_0_ _____
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解： 由余弦定理得：
（1）cosC a2 b2 c2 42 52 62 1 0
2ab
245 8
C是锐角
（2）由（1）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 A B C是锐角三角形
小结:
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
推论:
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2 2ca
a2 b2 c2 cos C
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab