弧、弦、圆心角

2020-2021学年九年级上学期《24.1.3 弧、弦、圆心角》一．选择题（共25小题）1．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等D．相等的弦所对的弧相等【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．B、正确．C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B．【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【分析】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图．连接BC．∵＝2，∴＝，∴AB＝BC，∴AB+BC＞AC，∴2AB＞AC，故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜【分析】连接AD，OB，OC，根据题意得到∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E 连接AE，CE，由圆周角定理得到∠E＝AOC＝67.5°，求得∠ABC＝122.5°＜130°，取的中点F，连接OF，得到∠ABF＝123.25°＜130°，于是得到结论．【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，∴∠ABF＝123.75°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，圆内接四边形的性质，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°从而求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∠BOC＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故选：D．【点评】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（）A．80°B．70°C．60°D．40°【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．【解答】解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．26°B．64°C．52°D．128°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝64°，∴∠BCD＝180°﹣64°﹣64°＝52°，∴的度数为52°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．13．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC 于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30B．45C．50D．60【分析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC＝30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE＝60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB 是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．【解答】解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB＝30°；故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．55°C．60°D．75°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝25°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，∴∠ADC＝∠ABC＝65°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．16．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝∠BCD，则的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A＝60°，得出∠BOD＝120°即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A＝180°，∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，∴2∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的度数为120°故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键．17．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．【解答】解：连接BC，∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，下列判断中错误的是（）A．OD＝DC B．＝C．AD＝BD D．【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，∴＝，AD＝BD，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，B、C、D正确，不符合题意，OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28°B．64°C．56°D．124°【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB ＝∠B＝64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝62°，∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴的度数为56°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20．如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°【分析】根据旋转的性质得到＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答．【解答】解：∵将AB旋转n°得到CD，∴＝，∴∠COD＝∠AOB＝25°，故选：A．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．21．下列语句中，正确的有（）A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B．平分弦的直径垂直于弦C．长度相等的两条弧相等D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．【解答】解：A、此题是圆心角、弧、弦的关系定理，故A正确；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；C、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，故C错误；D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，故D错误；故选：A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．22．如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE+BE＞AB可得2CD＞AB．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，又∵∠COD＝∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，∴CD＝AE＝BE，∵在△ABE中，AE+BE＞AB，∴2CD＞AB，故选：C．【点评】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键．23．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆心角、弧、弦的相关知识进行解答．【解答】解：①在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧的长度相等；故①正确；②正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③错误；④圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故④错误；⑤在同圆中，等弦所对的圆周角相等或互补；故⑤错误；因此正确的结论是①②；故选：B．【点评】本题涉及的知识点有：圆周角定理的推论，等弧的概念和性质，以及圆心角、弧、弦的关系等．24．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙OC．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，则＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C错误；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．25．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝120°．故选：B．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．二．填空题（共10小题）26．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°【点评】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则弧AD的度数为56°．【分析】连结CD，首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到∠A＝90°﹣∠B＝62°．再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数，进一步得到其所对的弧的度数．【解答】解：连结CD．∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°．∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝62°，∴∠ACD＝56°，∴弧AD的度数为56°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数．综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．28．已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为60°．【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB 所对的圆心角为周角的．【解答】解：∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，∴弦AB所对的圆心角的度数＝×360°＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．29．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．31．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有①②④（填序号）．【分析】（1）由四边形ADMB为矩形，知①DM＝CM，正确；（2）四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确；（3）由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误；（4）∠DAM＝∠EAM，OG⊥AM，OH⊥AM推出弦心距相等，故④AE＝AD正确．【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点公圆，∴四边形ADMB为矩形，而AB＝1，CD＝2，∴CM＝2﹣1＝1＝AB＝DM，即：①DM＝CM，正确；又AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确；∵四边形ADMB为矩形，∴AB＝DM，∴＝，∴∠DAM＝∠EAM，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，∴OG＝OH，∴AD＝AE，∴④正确；由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误；故答案为①②④．【点评】本题考查的是圆的基本知识，涉及到弦心距、角平分线、矩形、平行四边形的知识综合运用，题目难度较大．32．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为40°．【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD ＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝50°，∠COD＝60°，则∠BOC ＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝40°，于是得到的度数为40°．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°，∴的度数为40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．33．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥DE，AC＝3，则AE＝3．【分析】由平行弦的性质得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出，因此，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出AE＝AC＝3即可．【解答】解：∵AB∥DE，∴，∵AB、CD是⊙O的直径，∴∠BOD＝∠AOC，∴，∴，∴AE＝AC＝3；故答案为：3．【点评】本题考查了由圆心角、弧、弦的关系定理，平行弦的性质；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，证出弧相等得出弦相等是解决问题的关键．34．如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD＝120°，则∠BOD＝30°．【分析】先求得∠C＝∠D，再根据AB∥CD，可得出∠BOD＝∠D，再求值即可．【解答】解：∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∵∠COD＝120°，∴∠C＝∠D＝30°，∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠D＝30°，故答案为30．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边对等角的应用，要熟练掌握平行线的性质．35．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．三．解答题（共15小题）36．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．【分析】利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．【解答】证明：∵AC＝BD，∴＝，∴＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．37．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N 在⊙O上，求证：＝；【分析】连结OM、ON，证明Rt△OMC≌Rt△OND，根据全等三角形的性质得到∠COM ＝∠DON，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明．【解答】证明：连结OM、ON，∵AB是⊙O的直径，C、D是直径AB上两点，且AC＝BD，∴OC＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM＝∠DON，∴＝．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，若EC＝BC，且∠1＝∠2．求证：DC＝BC．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB，根据题意和三角形的外角性质得到∠CBD＝∠BAC，得到∠CBD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠1+∠CBD＝∠2+∠BAC，∵∠1＝∠2，∴∠CBD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠CBD＝∠BDC，∴BC＝CD．【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键．39．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．【分析】欲证明AD＝CE，只需证明＝即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C＝∠CAD，所以＝，则+＝+，故＝．【解答】证明：如图，∵AB∥CE，∴∠ACE＝∠BAC．又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝CE．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆周角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．40．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．【分析】（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP＝∠BDC，又由C是的中点，易证得∠BDC＝∠CBD，继而可证得CF＝BF；（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据射影定理得到BE＝＝3.6，根据三角形的面积公式得到CE＝＝4.8，设CF＝x，则FE＝4.8﹣x，BF＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，∵CE⊥AB，∴＝，∴∠BCP＝∠BDC，∵C是的中点，∴CD＝CB，∴∠BDC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BCP，∴CF＝BF；（2）∵CD＝6，AC＝8，∴AB＝10，∴BE＝＝3.6，∴CE＝＝4.8，设CF＝x，则FE＝4.8﹣x，BF＝x，∴（4.8﹣x）2+3.62＝x2，∴x＝．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．41．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．求证：（1）＝；（2）AE＝CE．【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【解答】证明（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝；（2）∵＝，∴AD＝BC，又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．42．如图，AB、CD为⊙O的直径，＝，求证：BD＝CE．【分析】先由＝，得出AC＝CE，由∠AOC＝∠BOD得出AC＝BD，等量代换即可得到BD＝CE．【解答】证明：∵＝，∴AC＝CE．∵∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∴BD＝CE．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理及其推论，用到的知识点：定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．43．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理计算，得到答案；（2）根据直角三角形的性质求出OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质，掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键．44．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OB，求∠A的度数．【分析】由AB＝BO，则∠BOC＝∠A，于是∠EBO＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO ＝2∠A，由∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，根据∠EOD＝84°，即可得到∠A的度数．【解答】解：∵AB＝BO，∴∠BOC＝∠A，∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A，而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，而∠EOD＝84°，∴3∠A＝84°，∴∠A＝28°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答．45．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF【分析】（1）证明△DAB∽△HAD，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）利用等角的余角相等，证明∠DEF＝∠FDE即可．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠FDE，∴DF＝EF．【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．46．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径【分析】（1）连结AE，BD，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，即AE⊥BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．47．如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC（1）求证：∠AOB+∠COD＝180°；（2）若AB＝8，CD＝6，求⊙O的直径．【分析】（1）延长BO交⊙O于F，连接DF，AD．想办法证明∠AOF＝∠COD即可．（2）连接AE，证明AF＝CD，∠BAF＝90°，利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：延长BO交⊙O于F，连接DF，AD．∵BF是直径，∴∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，∵AC⊥BD，∴AC∥DF，∴∠CAD＝∠ADF，∴＝，∴∠COD＝∠AOF，∵∠AOB+∠AOF＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°．（2）解：连接AF．由（1）可知：＝，∴AF＝CD＝6，∵BF是直径，∴∠BAF＝90°，∴BF＝＝＝10，∴⊙O的直径为10．【点评】本题考查勾股定理，弧，弦，圆心角之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．48．如图，在⊙O中，AB＝CD．求证：AD＝BC．【分析】根据AB＝CD，得到＝，得到＝，证明结论．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．49．如图⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE∥AB，弧EC的度数是40°，求∠BOD的度数．【分析】连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得到∠DEC＝90°，从而可求得∠ECD 的度数，再根据两直线平行同位角相等得到∠AOD的度数，根据补角的性质即可求得∠BOD的度数．【解答】解：连接DE，∵DC是圆的直径，∴∠DEC＝90°．∵弧EC的度数是40°，∴∠EDC＝20°．∴∠ECD＝70°．∵CE∥AB，∴∠AOD＝∠ECD＝70°．∴∠BOD＝110°．【点评】此题主要考查学生对圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质等知识点的综合运用能力．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E．（1）若∠A＝25°，求的度数．（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．。