第7章习题详解

习题七

1.设总体X 服从二项分布B （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.

【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X

所以p 的矩估计量 ˆX

p

n

= 2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

0,

.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

20

2

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ⎛⎫=

-=-= ⎪⎝⎭⎰

令E (X )=A 1=X ,因此

3

θ

=X 所以θ的矩估计量为 ^

3.X θ=

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩

（2） f （x ，θ）=1,01,

0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩

其他

【解】（1） 似然函数1

1

1

(,)e

e e

n

i

i

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θθ

θθθ=---==∑=

==∏∏

1

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

ˆn

i

i n

x

θ==

∑

所以θ的极大似然估计量为1

ˆX

θ

=.

(2) 似然函数1

1

,01n

n

i i i L x x θ

θ

-==<<∏,i =1,2,…,n.

1

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∏

由1

d ln ln 0d n

i i L n

x θθ==+=∏知 1

1ˆln ln n

n

i

i

i i n n

x

x θ

===-=-

∑∏

所以θ的极大似然估计量为 1

ˆln n

i

i n

x

θ

==-∑

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =

0.094.EX x ==-

由2

2

2

2

21

()()[()],()n

i i x E X D X E X E X A n

==+==∑知222

ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ

=于是 ˆ0.101890.0966σ

=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，

求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2

E X θ

=

,令()E X X =，则

ˆ2X θ

=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ

==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.

(2) 似然函数8

8

1

1(,)i i L f x θθ=⎛⎫

== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)

显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18

max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,

所以θ的极大似然估计值ˆθ

=0.9. 因为E(ˆθ)=E (18

max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18

max{}i

i x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，

2

ˆσ

=k 1

211

()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2

ˆσ

为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,

则 2

1()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==

于是 1

2

2

2211ˆ[()](1)2(1),n i

i E E k Y

k n EY n k σ

σ-===-=-∑

那么当2

2

ˆ()E σ

σ=,即2

2

2(1)n k σσ-=时, 有 1

.2(1)

k n =

-

7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本

112212312211311

ˆˆˆ;;;334422

X X X X X X μ

μ

μ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μ

μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）112122

12121ˆ()()(),3

33333E E X X E X E X μ

μμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭

21213

ˆ()()()44E E X E X μ

μ=+=, 31211

ˆ()()(),22

E E X E X μ

μ=+= 所以123ˆˆˆ,,μ

μμ均是μ的无偏估计量. (2) 22

22

1122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭