复变函数教案1.2

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第一章 复数与复变函数

教学课题:第二节 复平面上的点集

教学目的:1、理解关于平面点集的几个基本概念;

2、理解区域与约当曲线这两个重要概念;

3、了解约当定理和区域的连通性。

教学重点:平面点集的几个基本概念

教学难点:区域与约当曲线

教学方法:启发式教学

教学手段:多媒体与板书相结合

教材分析:理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通,对于学好该门课程具有重要的作用。

教学过程:

1、平面点集的几个基本概念:

定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ,a 的r -邻域),(r a U 定义为

},,|| |{C z r a z z ∈<-

称集

},,|| |{C z r a z z ∈≤-

为以a 为中心,r 为半径的闭圆盘,记为),(r a U 。

定义1.2设C a C E ∈⊂,,

若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点,则称a 为E 的极限点;

若0>∃r ,使得E r a U ⊂),(,则称a 为E 的内点;

若E r a U r ⋂>∀),(,0中既有属于E 的点,又有不属于E 的点,则称a 为E 的边界点;

集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界,记为E ∂;

E E ∂⋃称为E 的闭包,记为E ;

若0>∃r ,使得}{),(a E r a U =⋂,则称a 为E 的孤立点(是边界点但不是聚

点);

定义1.3 开集:所有点为内点的集合;

闭集E :或者没有聚点,或者所有聚点都属于E ;则任何集合E 的闭包E 一定是闭集;

定义1.4如果0>∃r ,使得),0(r U E ⊂,则称E 是有界集,否则称E 是无界集;

复平面上的有界闭集称为紧集。

例1、圆盘),(r a U 是有界开集;闭圆盘),(r a U 是有界闭集;

例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心,半径为r 的圆周,它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。

例3、复平面、实轴、虚轴是无界集,复平面是无界开集。

例4、集合}||0|{r a z z E <-<=是去掉圆心的圆盘。圆心E a ∂∈,它是E ∂的孤立点,是集合E 的聚点。

无穷远点的邻域:0>∀r ,集合},|||{∞∈>C z r z z 称为无穷远点的一个邻域。类似地有,聚点、内点、边界点与孤立点,开集、闭集等概念。

∞C 我们也称为C 的一点紧化。

2、区域、约当(Jordan )曲线:

定义1.5复平面C 上的集合D ,如果满足:

(1)、D 是开集;

(2)、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的点完全属于D 。

则称D 是一个区域。

结合前面的定义,有有界区域、无界区域。

性质(2)我们称为连通性,即区域是连通的开集。

区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面∞C 上不含无穷远点的区域的定义同上;含无穷远点的区域是C

上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给

)(),(b t a t z z ≤≤=

如果)(Re t z 和)(Im t z 都在闭区间],[b a 上连续,则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线。

如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ,但不同时是],[b a 的端点,我们有)()(21t z t z ≠,那么上述集合称为一条简单连续曲线,或约当曲线。若还有)()(b z a z =,则称为一条简单连续闭曲线,或约当闭曲线。

约当定理:任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。

光滑曲线:如果)(Re t z 和)(Im t z 都在闭区间],[b a 上连续,且有连续的导函数,在],[b a 上,0)('≠t z 则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。

设D 是一个区域,在复平面C 上,如果D 内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D ,则称D 是单连通区域,否则称D 是多连通区域。

∞C 中区域的连通性:如果D 内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D ,则称D 是单连通区域,否则称D 是多连通区域。

例1、 集合}0)1()1(|{>++-z i z i z 为半平面,它是一个单连通无界区域,其边

界为直线

0)1()1(=++-z i z i

即0=+y x 。

例2、 集合}3Re 2|{<

为直线2Re =z 及3Re =z 。

例3、 集合}3)arg(2|{<-

半射线

2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z 。

例4、 集合}3||2|{<-

圆2||=-i z 及3||=-i z 。

例5、 在∞C 上,集合}||2|{+∞≤

无界区域,其边界分别为}2|{|=z 及}{}2|{|∞⋃=z 。

定义1.6设连续弧AB 的参数方程为)(),(βα<<=t t z z

任取实数列{}βα=<<<<=-n n n t t t t t 110:

并且考虑AB 弧上对应的点列:

)3,2,1(),(n i t z z i i ==

将它们用以折线n Q 连接起来,n Q 的长度

∑=--=n

i i i n t z t z I 11)()(

如果对于所有的数列,上述都有界,责成AB 弧为可求长的。上确界n I L sup =称为AB 弧的长度。

定义1.7 设简单(或简单闭)曲线C 的参数方程为

),(),()(βα≤≤+=t t iy t x z

又在βα≤≤t 上,)(),(t y t x ''存在、连续且不全为零,则C 称为光滑(闭)曲线。 定义1.8 有有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。 特别,简单折线是逐段光滑曲线。

定理(约当定理)任意简单闭曲线C 将平面z 惟一地分成C 、I (C )、 E (C )三个电集,它们具有如下性质:

(1)、彼此不交;

(2)、I (C )是一个有界区域(称为C 的内部);

(3)、E (C )是一个无界区域(称为C 的外部);

(4)、若简单折线P 的端点属于I (C ),另一个端点属于E (C ),则P 必与C