有向图和无向图29页PPT
图的基本概念无向图及有向图
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1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B 的无序积，记作A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？
A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
，共提供2m度。
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
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问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能 每个人恰好与其他5个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个 人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。 存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。
关于图的基本概念无 向图及有向图
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图论的起源
图论是组合数学的一 个分支,它起源于 1736年欧拉的第一篇 关于图论的论文，这 篇论文解决了著名的
“哥尼斯堡七桥问 题” ，从而使欧拉 成为图论的创始人 。
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Байду номын сангаас
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地解决了
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示
4. 最短路径及关键路径
14
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今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
无向图及有向图
度
设G＝<V,E>为一无向图,vj∈V,称vj作 为边的端点的次数之和为vi的度数,简 称度,记作d(vj). 称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对 应的边为悬挂边.
设D＝<V,E>为一有向图,vj∈V,
称vj作为边的始点的次数之和,为vj的 出度,记作d+(vj)； 称vj作为边的终点的次数之和,为vj的 入度,记作d-(vj)； 称vj作为边的端点的次数之和,为vj的 度数,简称度,记作d(vj). 显然d(vj)＝d + (vj)＋d- (vj).
第七章 图的基本概念
7.1 无向图及有向图 7.2 通路、回路、图的连通性 7.3 图的矩阵表示
作
业
7.1 无向图及有向图
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中, (1)V是一个非空的集合,称为G的顶 点集,V中元素称为顶点或结点； (2)E是无序积V＆V的一个多重子集, 称E为G的边集,E中元素称为无向边 或简称边.
1
vi≠vj,
vi ＝ vj, vi(vj)不是ek的端点
b V’
ek与vi(或 vj)的关联 次数
ห้องสมุดไป่ตู้
2 0
v a
设G＝<V,E>为一无向图或有向图
(1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图.
(2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图．
(3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此时 又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
平行边、重数、多重图、简单图
在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多 于1条,称这些边为平行边.平行边的条数称 为重数. 在有向图中,关联一对顶点的有向 边如果多于1条,且它们的始点与终点相同, 则称这些边为有向平行边,简称平行边. 含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也 不含环的图称为简单图.
离散数学第7章PPT课件
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
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例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
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一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
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一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
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一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
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一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
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n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
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概率图模型之有向图与无向图
概率图模型之有向图与无向图概率图模型之有向图与无向图2010-11-22 16:38:34| 分类：技术仓库 | 标签： |字号大中小订阅转自/blog/cns!2D7821B3AF3C6073!155.entry概率图模型之有向图与无向图图模型用图结构描述随机变量之间的依赖关系，结点表示随机变量，边表示随机变量之间的依赖关系，可以是有向图和无向图。
一无向图模型无向图模型又叫马尔可夫网络、马尔可夫随机场，是关于一组有马尔可夫性质随机变量X的全联合概率分布模型。
1 无向图模型的表示给定包含n个随机变量的问题域，则定义在问题域U上的无向图模型包括拓扑结构和参数两部分:拓扑结构S:节点表示随机变量，两节点之间的连线表示它们之间具有直接的相互影响。
参数Θ:无向图模型参数是对节点之间相互影响的定量描述。
它是拓扑结构S中每个极大完全子图所对应的势函数的集合。
其中，极大完全子图(clique)是指不包含于其它完全子图的完全子图（完全子图中任何两节点是直接相连的），势函数则反映了极大完全子图的每种可能状态的能量。
2 无向图模型的联合概率分解利用无向图模型可将图的联合概率分解为一系列因子式。
给定无向图模型拓扑结构S和参数Θ之后，问题域U上的联合概率密度函数可写为:其中N为无向图中极大完全子图的数目。
3 例子：二有向图模型1 一个简单的例子2 一般情况考虑任意联合分布，通过连续使用乘法规则利用局部马尔可夫性简化简化：在给定其所有父亲节点的情况下，随机变量X与其非后继条件独立。
其中pai是Xi的父节点集合。
三有向图模型与无向图模型的对比：1 共同之处将复杂的联合分布分解为多个因子的乘积2 不同之处有向图模型因子是概率分布、无需全局归一无向图模型因子是势函数，需要全局归一3 优缺点无向图模型中势函数设计不受概率分布约束，设计灵活，但全局归一代价高有向图模型无需全局归一、训练相对高效。
有向图和无向图
邻域和关联集
设无向图G, ∈ 设无向图 v∈V(G) v的邻域 N(v)={u|u∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u≠v} 的邻域 ∈ ∧ ∈ ∧ ≠ v的闭邻域 N (v ) = N(v)∪{v} 的闭邻域 ∪ v的关联集 I(v)={e|e∈E(G)∧e与v关联 关联} 的关联集 ∈ ∧ 与 关联 设有向图D, v∈V(D) 设有向图 ∈ v的后继元集 Γ D+ (v )={u|u∈V(D)∧<v,u>∈E(G)∧u≠v} 的后继元集 ∈ ∧ ∈ ∧ ≠ v的先驱元集 Γ D− (v )={u|u∈V(D)∧<u,v>∈E(G)∧u≠v} 的先驱元集 ∈ ∧ ∈ ∧ ≠ + − N D (v ) = Γ D (v ) U Γ D (v ) v的邻域 的邻域 v的闭邻域 N D ( v ) = N D ( v ) U {v } 的闭邻域
5
无向图与有向图( 无向图与有向图(续)
有向图D=<V,E>, 其中 定义 有向图 (1) V同无向图的顶点集 元素也称为顶点 同无向图的顶点集, 同无向图的顶点集 元素也称为顶点 (2) E为V×V的多重子集，其元素 的多重子集， 为 × 的多重子集 称为有向边 简称边 有向边， 称为有向边，简称边. 用无向边代替D的所有有向边 用无向边代替 的所有有向边 所得到的无向图称作D的基图 所得到的无向图称作 的 右图是有向图，试写出它的 和 右图是有向图，试写出它的V和E 注意：图的数学定义与图形表示, 注意：图的数学定义与图形表示,在 同构(待叙)的意义下是一一对应的 同构(待叙)
但因为
图的度数列
设无向图G的顶点集 设无向图 的顶点集V={v1, v2, …, vn} 的顶点集 G的度数列 d(v1), d(v2), …, d(vn) 的度数列: 的度数列 如右图度数列:4,4,2,1,3 如右图度数列 设有向图D的顶点集 设有向图 的顶点集V={v1, v2, …, vn} 的顶点集 D的度数列 d(v1), d(v2), …, d(vn) 的度数列: 的度数列 D的出度列 d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) 的出度列: 的出度列 D的入度列 d−(v1), d−(v2), …, d−(vn) 的入度列: 的入度列 如右图度数列:5,3,3,3 如右图度数列 出度列:4,0,2,1 出度列 入度列:1,3,1,2 入度列
图论：有向图和无向图，有环和无环
图论：有向图和⽆向图，有环和⽆环
有向⽆环图：为什么不能有环，有环会导致死循环。
检查⼀个有向图是否存在环要⽐⽆向图复杂。
(有向图为什么⽐⽆向图检查环复杂呢？)
现实中管⽹会存在环吗？管⽹是有⽅向的，理论上也是⽆环的。
arcgis有向⽆环图最短路径。
有向⽆环图和⼆叉树的关系：如何确定⽗节点和⼦节点[没有⽗节点的就是⽗节点，没有⼦节点的就是叶⼦节点] 有向⽆环图并不⼀定能转化成树【那能不能把有向⽆环图劈开成多棵树】
⼀个⽆环的有向图称做有向⽆环图（Directed Acyclic Graph）。
简称DAG 图。
DAG 图是⼀类较有向树更⼀般的特殊有向图，如图给出了有向树、DAG 图和有向图的例⼦。
虽然DAG图是更⼀般的有向图，但是依然可以使⽤树的判断公式来判断复杂度。
判断是否有环：
1. 起点编码和终点编码是否相等
从OBJECTID为1的开始遍历：下⼀个点是否与OBJECTID为1的相等。
如果相等，则回到起点，为环。
>>性质：有向⽆环图的⽣成树个数等于⼊度⾮零的节点的⼊度积。
有向⽆环图⽣成树：
（百度百科上不是说有向⽆环图不⼀定能转换成树吗？严格意义上，树的叶⼦节点只有⼀个⽗节点）
DAG(有向⽆环图）能否转化为树？：
如果说⼀个叶⼦节点有两个⽗节点，会怎么样
有向⽆环图不⼀定能只⽣成⼀棵树，但是可以⽣成多棵树。
但是这样就破坏了什么信息呢？。
无向图及有向图
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关联与关联次数、环、孤立点
设G＝<V,E>为无向图，ek＝(vi,vj)∈E， 称vi,vj为ek的端点，ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 若vi≠vj，则称ek与vi或ek与vj的关联次数为1。 若vi＝vj，则称ek与vi的关联次数为2，并称ek为环。 任意的vl∈V，若vl≠vi且vl≠vj，则称ek与vl的关联次数 为0。
设D＝<V,E>为有向图，ek＝<vi,vj>∈E，称vi,vj为ek的
端点。
若vi＝vj，则称ek为D中的环。
无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的顶点均 称为孤立点(isolated vertices)。
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相邻与邻接
设无向图G＝<V，E>，vi，vj∈V，ek，el∈E。
以该序列为度数列设设vv1v2v3v4且dv1dv2dv33dv41由于dv41因而v4只能与v1v2v3之一相邻去掉v4后与v4关联的边也去掉于是剩余的v1v2v3组成的图的度数应该是233此时因为最大度为3不满足n12的要求因此这三个点构成的图必定有平行边或者环不是简单图此时若加入v4及与v4关联的边构成的图必定也不是简单图
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬 挂边。度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
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图的度数举例
度数列：4、4、2、1、3 边：7
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
出：4、0、2、1 入：1、3、1、2
d+(a)＝4，d-(a)＝1
无向图,有向图
无向图【定义】一个无向图(undirected graph)是一个二元组<V,E>，其中：1.V是非空集合，称为顶点集。
2.E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集。
【解释】直观来说，若一个图中每条边都是无方向的，则称为无向图。
（1）无向边的表示无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。
（2）无向图的表示【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：V(G2)={v1，v2，v3，v4}E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}注意：在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。
即若(v1，v2)或<vl，v2>是E(G)中的一条边，则要求v1≠v2。
此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。
3．图G的顶点数n和边数e的关系（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undirected Complete Graph)（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。
恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。
注意：完全图具有最多的边数。
任意一对顶点间均有边相连。
【例】上面(b)图的G2就是具有4个顶点的无向完全图。
有向图【定义】有向图是一个二元组<V,E>，其中1.V是非空集合，称为顶点集。
2.E是V×V的子集，称为弧集。
【解释】直观来说，若图中的每条边都是有方向的，则称为有向图。
有向图中的边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示，如<vi,vj>表示一条有向边，其中vi是边的始点，vj是边的终点。
七章图的基本概念-PPT精品
ek与vi(或 vj)的关联 次数
1 vi≠vj, 2 vi ＝ vj, 0 vi(vj)不是ek的端点
b
V’
v
a
设G＝<V,E>为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此时 又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
推论
任何图(无向的或有向的)中,度为奇数 的顶点个数为偶数.
定理
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,,v2,...,vn}为图G的顶点集, 称(d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度 数序列.
例7.1
(1) (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ (2) 已知图G中有10条边,4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2.问G中 至少有多少个顶点？为什么？
相邻
设无向图G＝〈V,E〉,vi, vj∈V, ek,el∈E.
(1)若存在一条边e以vi, vj为端点,即e＝ (vi, vj),则称vi, vj是彼此相邻的,简称相邻 的． (2)若ek, el至少有一个公共端点,则称ek, el是彼此相邻的,简称相邻的．
始点 终点
以上两定义对有向图也是类似的 若ek ＝〈vi, vj〉,除称vi, vj是ek的端点 外,还称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi 邻接到vj,vj邻接于vi.
平行边、重数、多重图、简单图
在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多 于1条,称这些边为平行边.平行边的条数称 为重数. 在有向图中,关联一对顶点的有向 边如果多于1条,且它们的始点与终点相同, 则称这些边为有向平行边,简称平行边. 含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也 不含环的图称为简单图.
离散件8-无向图与有向图
5阶零图H v3 v1 v5
v6 v2 v4 6阶的3度正则图
3。完全图：任何一对不同结点都互相邻接的简单图。
• n阶完全图记为Kn。n阶完全图的边数 =n(n-1)/2 。
•
•
n阶完全图可以看成n-1度正则图。
有向的n阶完全图称为竟赛图。
K1
K2
K3
K4
4。二部图：如果图G=(V, E)的结点集V可以分 划成两个子集合V1和V2，使每条边都与V1
此可以得到证明。
四、有向图的(结)点度
1。定义：有向图G中结点v的出度记为d+ (v), 其
值等于v的出边数目；结点v的入度记为d- (v),
其值等于v的入边数目。
• 图G中最大的结点出度记为+，最大的结点入
度记为-，最小的结点出度记为+，最小结点
入度记为-。 例：见下图：
在下图中，d+(v1)=2, d+(v2)=1, d+(v3)=3, d+(v4)=1, d+(v5)=1, d-(v1)=1, d-(v2)=2, d-(v3)=1, d-(v4)=3, d-(v5)=1, +=3, +=1, -=3, -=1
第十章 无向图与有向图
第一节 基本概念
一、无向简单图的定义
1。以结点集V={ v1，v2，...，vn}和边集E={ e1，e2，...， em}构成的二元组G= (V, E)称为一个无向简单图，其中每条 边 ei 与两个不同结点(设为 u 和 v)相联系，且没有两条边与 同一对结点相联系。
① 与结点u和 v相联系的边ei记为无序对uv或vu。
习题9.1 1、4、7、9、10 (吴子华) or 习题十 1、4、6、9、10 (冯伟森)