弹性理论ppt课件
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弹性力学5PPT课件
在小变形条件下，一个复杂载荷可以等效为几个简单载荷的叠加，每个简单载荷引起的 位移、应变和应力可以分别计算，然后叠加得到复杂载荷下的结果。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
《需求弹性理论》课件
非弹性需求是指对上 述因素变化不敏感的 需求，即不因价格变 动、市场替代品、不 确定性等因素而引起 显著变化。
3 弹性需求与非弹
性需求的比较
弹性需求和非弹性需 求在价格变动、市场 替代品、不确定性等 方面具有不同的反应， 理解两者的差异对于 制定市场营销策略具 有重要意义。
影响需求弹性的因素
产品价格的 影响
了解需求弹性理论对于制定有效的市场营销策略以及预测市场变化具有重要意义。
相关实践案例
通过分享相关实践案例，探讨如何应用需求弹性理论解决实际问题。
未来发展趋势
展望需求弹性理论在新经济环境下的未来发展趋势，并提出相应的应对措施。
参考文献
1. 张三，(2022)。《需求弹性理论研究》。北京：经济出版社。 2. 李四，(2021)。《市场需求分析与预测》。上海：上海人民出版社。 3. 王五，(2020)。《市场营销战略与策划》。北京：高等教育出版社。
2
通过对需求弹性的分析，优化折扣
策略，提高销售量和利润。3来自市场营销策略4
需求弹性的了解有助于制定有效的 市场营销策略，使公司更好地适应
市场变化。
定价策略
了解需求弹性可以帮助制定合理的 定价策略，平衡利润和市场份额。
促销策略
利用需求弹性的特点，制定有针对 性的促销策略，吸引顾客并增加销 售额。
结论
需求弹性理论的重要性
产品可替代 性的影响
产品的可替代性越 高，需求的弹性越 大，顾客更容易转 移其购买决策。
影响需求弹性的因素（续）
客单价的影响
购买单价较高的产品，需求倾向于弹性，因 为购买者对价格的敏感度更高。
顾客购买量的影响
购买量较大的顾客倾向于更注重价格因素， 因此需求对价格的反应更弹性。
西方经济学课件 第三章 弹性理论
2022年3月13日星期日
东华理工大学
3
第三章 弹性理论 第一节 需求弹性
三、需求的价格弹性：弧弹性
1.需求的价格弧弹性的计算 根据给出的条件，运用需求的价格弧弹性的公式，
计算出需求的价格弧弹性系数
2022年3月13日星期日
东华理工大学
4
图2—10需求的价格弧弹性
2022年3月13日星期日
东华理工大学
四、需求的价格弹性：点弹性
3.非线性需求的价格点弹性的几何意义 非线性需求曲线上的任何一点的弹性的几何意义，
可以先过该点作需求曲线的切线，然后用与推导线性需 求曲线的点弹性的几何意义相类似的方法来得到。
2022年3月1314非线性需求曲线的点弹性
2022年3月13日星期日
三、需求的价格弹性：弧弹性
3.需求的价格弧弹性的五种类型 第五，需求完全无弹性：ed=0，表示无论价格如何变化， 需求量的变化量总是为零，需求曲线是一条垂直线。
2022年3月13日星期日
东华理工大学
11
图2—11需求的价格弧弹性的五种类型
2022年3月13日星期日
东华理工大学
12
第三章 弹性理论 第一节 需求弹性
五、需求的价格弹性和厂商的 销售收入
2.第二种情况 对于ed＜1的缺乏弹性的商品，降低价格会使厂商的
销售收入减少，相反，提高价格会使厂商的销售收入增 加，即销售收入与商品的价格成同方向的变动。
2022年3月13日星期日
2022年3月13日星期日
东华理工大学
20
第三章 弹性理论 第一节 需求弹性
四、需求的价格弹性：点弹性
5.斜率与需求的价格弹性 需求曲线的斜率和需求的价格弹性是两个紧密联系
微观经济学Ch2弹性理论Elasticity课件
同比例于 价格的上 升而增加
既定价格下， 收益可以无限 增加。因此， 厂商不会降价
收益会减少
为零
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
分析：住宅的用水需求
有两位经济学家估计了美国五个不同地区:东南、平原、 太平洋、中部、西南对水的需求。根据他们的分析，发 现：
1) 在户外用水占总用水量相对较大比例的地区，水 的需求价格弹性较高；
3、分类 1) Es = 0 (zero elasticity of supply，供给完全无弹性) 2) Es = ∞ (infinite elasticity of supply，供给完全有弹性) 3) Es = 1 (unit elasticity，供给单位弹性) 4) 0 < Es < 1 (inelastic supply，供给缺乏弹性) 5) Es > 1 (elastic supply，供给富有弹性)
P
P
P2 P2
E2 E2 T
S2 S1
P2
P1
T
E1
P2 P1
E2 E2
S2
S2
T
S1 S1
E1
D
D
0
Q2 Q2 Q1
Q
D
0
Q2 Q2 Q1 Q
• Ed ＜ Es
• Es＜ Ed
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
四、蛛网模型 (cobweb model ):
均衡价格、需求弹性、供给弹性的综合运用
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
§2 收入弹性、交叉弹性、 供给价格弹性
一、需求收入弹性 (income elasticity of demand) 二、需求交叉弹性 (cross elasticity of demand) 三、供给价格弹性 (price elasticity of supply)
既定价格下， 收益可以无限 增加。因此， 厂商不会降价
收益会减少
为零
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
分析：住宅的用水需求
有两位经济学家估计了美国五个不同地区:东南、平原、 太平洋、中部、西南对水的需求。根据他们的分析，发 现：
1) 在户外用水占总用水量相对较大比例的地区，水 的需求价格弹性较高；
3、分类 1) Es = 0 (zero elasticity of supply，供给完全无弹性) 2) Es = ∞ (infinite elasticity of supply，供给完全有弹性) 3) Es = 1 (unit elasticity，供给单位弹性) 4) 0 < Es < 1 (inelastic supply，供给缺乏弹性) 5) Es > 1 (elastic supply，供给富有弹性)
P
P
P2 P2
E2 E2 T
S2 S1
P2
P1
T
E1
P2 P1
E2 E2
S2
S2
T
S1 S1
E1
D
D
0
Q2 Q2 Q1
Q
D
0
Q2 Q2 Q1 Q
• Ed ＜ Es
• Es＜ Ed
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
四、蛛网模型 (cobweb model ):
均衡价格、需求弹性、供给弹性的综合运用
微观经济学-Ch2弹性理论Elasticity
§2 收入弹性、交叉弹性、 供给价格弹性
一、需求收入弹性 (income elasticity of demand) 二、需求交叉弹性 (cross elasticity of demand) 三、供给价格弹性 (price elasticity of supply)
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
微观经济学课件(第三章)弹性理论
2.商品的可替代程度
如果某种商品的替代品越多，其价格稍 有一点变化，往往会引起其需求量较大 变化，那么其需求价格弹性就越大；如 果某种商品或服务的替代品少，即使其 价格发生较大变化，但其需求量往往也 变化很小，那么其需求价格弹性就小。
3.商品在家庭总支出中所占的比重
与需求价格弹性成正比。
4.商品使用时间的长短
3.在同一条需求曲线上，不同点的 弹性是不同的。其中左上方的点 的弹性大于右下方的点的弹性， 这可以通过点弹性的计算来说明。 同时，还需要注意的是：两条需 求曲线的交点所对应的弹性也是 不同的。
P
A
P1
R
O Q1
RB Ed
RA
图形 表示
Q B
如上图所示，设R为需求曲线上的一点， 相 应 的 价 格 为OP1, 需 求 量 为OQ1 则其需求价格弹性系数 Ed dQ P OB OP1 ( dQ 为AB线斜率的倒数）
2. 收入 富有 弹性
即EI>1，表示需求变动的百分 比大于收入变动的百分比。需
求收入曲线是一条比较平坦的 线。
3. 收入 缺乏 弹性
即0<EI<1，表示需求变动的百 分比小于收入变动的百分比。
需求收入曲线是一条比较陡峭 的线。
4. 收入 单元 弹性
即EI=1，表示需求变动的百分 比与收入变动的百分比相等，
4. 需求 富有 弹性
即Ed>1，它表示需求量变动的 比率大于价格变动的比率。一
般而言，非生活必需品、奢侈
品、享受性劳务多数是这种情
况，这时的需求曲线是一条比 较平坦的线。
5. 需求 缺乏 弹性
即0<Ed<1，它表示需求量变动 的比率小于价格变动的比率。
第3章弹性理论-PPT课件
西方经济学· 微观· 第2章 8
（3）需求弧弹性分类。
A. E = 0 完全无弹性（perfect inelastic）
价格无论如何变动， 需求量都不会变动。 （如：急救药）
P
D1
Q
西方经济学· 微观· 第2章 9
B. E = 无限弹性（perfect elastic）
价格为既定时， 需求量是无限的。 银行以某一固定 的价格收购黄金 实行保护价的农 产品
西方经济学· 微观· 第2章 18
3.影响需求弹性的因素
（3）重要程度。 需求程度大 Ed小 必需品——粮食 需求程度小 Ed大 奢侈品——旅游 （4）支出中比例。 所占的比例大 Ed大 汽车 所占的比例小 Ed小 香烟 （5）调节时间或使用时间。 时间长 Ed大 耐用品——冰箱 时间短 Ed小 非耐用品——报纸
西方经济学· 微观· 第2章 2
1.弹性
弹性（elasticity）,
物理学名词 , 指一物体对 外部力量的反应程度。
弹性是相对数之间的相互关系，即百分数变动的比率，或
者说它是一个量变动1%，引起另一个量变动百分之多少（程 度）的概念。 对于任何存在函数关系的经济变量之 间，都可以建立二者之间的弹性关系或 进行弹性分析。 弹性系数：表示弹性的大小。
需求弹性最小的是？ A.小汽车 B.药酒 C.食盐 D.化妆品
西方经济学· 微观· 第2章 19
4.需求弹性和销售收入
（1）总收益(Total revenue）
收益TR = P * Q ＝价格×销售量
价格从3元降到２元，需求量从８个单位增加到10个 单位，这时卖者的总收益怎样？ 减少 讨论： 从上述例子可看出，厂商在决定价格策略变动时要 考虑什么因素？
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
相关主题
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2
• 度量弹性大小的弹性系数就是因变量的
变化率与自变量的变化率之比，公式为：
弹性系数
因变量变化的百分比 自变量变化的百分比
(3.1)
• 弹性系数是这样一个数字，它告诉我们， 当一个经济变量发生1%的变动时，由它引 起的另一个经济变量变动的百分比。比如， 它可以表示当一种商品的价格上升1%时， 相应的需求量和供给量的变化的百分比具 体是多少。
B点的需求的价格弹性可以表示为：
Q
Ed
||
f
(P) |Leabharlann P Q|f
1 1 (Q) |
P Q
1 BD / DC
BD OD
DC OD
BC AB
(3.9)
14
初学者往往容易把弹性与导数(或斜率)混
淆起来，其实这两者是既有联系又有区别。
3
一般来说，只要两个经济变量之间存在着
函数关系，我们就可用弹性来表示因变量
对自变量变化的反应程度。设一函数Y=f(X)，
当X→X+△X时，Y→Y+△Y，我们定义X的相
对变动为：△X/X，Y的相对变动为：
△Y/Y=△f(X)/ f(X)。则具体的弹性公式
为：
E / /
11
可见，由点a到点b和由点b到点a的弧弹性系数 值是不同的。其原因在于：尽管在上面两个计 算中，ΔQ和ΔP的绝对值都相等,但由于Q和P所 取的基数值不相同，所以，两种计算结果便不 相同。这样一来，在需求曲线的同一条弧上， 涨价和降价所产生的需求价格弹性系数值就不 相等。为了避免这个问题，经济学家通常用中 点法来计算弹性。即取两点价格的平均值 (P1+P2)/2和两点需求量的平均值(Q1+Q2)/2来 分别代替上式中的P值和Q值。此时，需求的 价格弧弹性计算公式为：
13
2. 点弹性
点弹性是需求曲线上某一点的弹性，也就 是价格变动无限小时所引起的需求量变动的反
应程度。它的计算是以一点为基准，测量价格
P作分微形小式变表动示时为， ：E需d 求= dd量QP 变QP动的程度，故使用(微3.8)
A E
Q=f(P) P=f -1(Q) B
O
D
C
图3.1 点弹性的几何意义
9
3.2.2 需求点弹性和弧弹性
1. 弧弹性
需求的价格弧弹性，表示某商品需求曲线上两
点之间，需求量变动对于价格变动的反应程度。简
单地说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。设需
求函数为Q=Q(P)，如果以Ed代表需求价格的弧弹性 系数，则
Ed
=
Q/Q P/P
=
Q P
P Q
(3.6)
式中，ΔQ/Q代表需求量变动的比率，ΔP/P代 表价格变动的比率。
8
Ed
=
需求量变动百分比 价格变动百分比
(3.5)
商品式而中言：，E由d表于示需需求求量的与价价格格弹变性动；的对方大向多相数反， 因此，用上式计算的弹性系数是负值，负号表 示方向，大小用│Ed│衡量。 各种物品的需求弹性是不同的，如果价格 变动引起需求量相当大的变动，则需求是富有 弹量＜1性微。的小，的即变│动E，d│则＞需1；求如是果缺价乏格弹变性动的引。起│E需d│求
(3.2)
其中E为弹性系数；ΔY、ΔX分别为因变量Y、 自变量X的改变量。该式表示：当自变量X 变化百分之一时，因变量Y变化百分之几。
4
如果经济变量的变化是连续的，当它们趋 于无穷小，即当上式中的ΔX→0，且ΔY→0时， 弹性公式为：
E lim Y /Y dY /Y dY X
(3.3)
x0 X / X dX / X dX Y
通常，将(3.2)式称为弧弹性公式，将(3.3)
式称为点弹性公式。
需要指出的是，由弹性的公式可以清楚地 看到，弹性是两个变量各自变化比例的一个比 值，所以，弹性是无量纲的，是一个具体的数 字，它与自变量和因变量的度量单位无关。这 就使得需求对价格的敏感性可以在不同的商品 之间进行比较，从而加深对经济现象的理解和 认识。
10
例1 某商品的需求曲线上有两点a(8，3)和 b(10，1)。
如果我们把自变量看作是由小到大(即涨价)
变化，则
Ed
(1- 3)/3 (10 - 8)/8
=
-8/3
(3.6)
反之，如果我们把自变量看作是由大到小
(即降价)变化，则(3 - 1)/1
Ed (8 -10)/10
=
-10
第3章 弹 性 理 论
1
3.1 弹性的一般定义
弹性(Elasticity)原是物理学的概念，是 指某一物体受外力作用而作出的反应程度。 把弹性这一物理学的概念引申到经济学中 来，是用来说明某经济变量对另一经济变 量变化的反应程度。如果从数学的角度看， 作为一般概念的弹性是表示在一个函数中 一个因变量对自变量变化的反应程度。
5
3.2 需 求 弹 性
需求弹性衡量一种商品的需求数量对于 某些决定因素变化的反应程度。更具体地 说，需求弹性就是一种决定因素(自变量， 如商品自身的价格、消费者的收入、相关 商品的价格)的值每变动百分之一所引起的 需求量变化的百分比，其计算公式 如下：
Ed
=
需求量变动百分比 价格变动百分比
(3.4)
6
需求弹性可以分为需求的价格弹性、需求的收入弹 性和需求的交叉价格弹性三种类型，它们分别说明了需 求量变动与自身价格、收入及其他商品价格变动之间的 关系。
需求弹性
价格弹性 收入弹性 交叉弹性
7
3.2.1 需求价格弹性的含义
需求价格弹性也称需求弹性，是指在一 定时期内一种商品价格变动的比率所引起 的需求量变动的比率，即需求量变动对价 格变动的反应程度，或者说，价格变动百 分之一会使需求量变动百分之几。一般用 弹性系数来表示弹性的大小。
Ed
Q P
(P1 (Q1
P2 ) / 2 Q2 ) / 2
(3.7)
12
用该公式计算例1中a、b两点间的需求的价格
弧弹性为：
Ed
= 1-3 10 - 8
(8 10) / 2 (3 1) / 2
=
9 / 2
由于采用的是平均值，因此在一定程度上能更 有效地反映价格从一个水平变到另一个水平时， 需求量变化的灵敏度。在实际中弧弹性运用非 常广泛，这是因为人们通常只能得到极其贫乏 的关于自变量与因变量之间关系的离散数据。 因此，计算弹性只能用弧弹性。
• 度量弹性大小的弹性系数就是因变量的
变化率与自变量的变化率之比，公式为：
弹性系数
因变量变化的百分比 自变量变化的百分比
(3.1)
• 弹性系数是这样一个数字，它告诉我们， 当一个经济变量发生1%的变动时，由它引 起的另一个经济变量变动的百分比。比如， 它可以表示当一种商品的价格上升1%时， 相应的需求量和供给量的变化的百分比具 体是多少。
B点的需求的价格弹性可以表示为：
Q
Ed
||
f
(P) |Leabharlann P Q|f
1 1 (Q) |
P Q
1 BD / DC
BD OD
DC OD
BC AB
(3.9)
14
初学者往往容易把弹性与导数(或斜率)混
淆起来，其实这两者是既有联系又有区别。
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一般来说，只要两个经济变量之间存在着
函数关系，我们就可用弹性来表示因变量
对自变量变化的反应程度。设一函数Y=f(X)，
当X→X+△X时，Y→Y+△Y，我们定义X的相
对变动为：△X/X，Y的相对变动为：
△Y/Y=△f(X)/ f(X)。则具体的弹性公式
为：
E / /
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可见，由点a到点b和由点b到点a的弧弹性系数 值是不同的。其原因在于：尽管在上面两个计 算中，ΔQ和ΔP的绝对值都相等,但由于Q和P所 取的基数值不相同，所以，两种计算结果便不 相同。这样一来，在需求曲线的同一条弧上， 涨价和降价所产生的需求价格弹性系数值就不 相等。为了避免这个问题，经济学家通常用中 点法来计算弹性。即取两点价格的平均值 (P1+P2)/2和两点需求量的平均值(Q1+Q2)/2来 分别代替上式中的P值和Q值。此时，需求的 价格弧弹性计算公式为：
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2. 点弹性
点弹性是需求曲线上某一点的弹性，也就 是价格变动无限小时所引起的需求量变动的反
应程度。它的计算是以一点为基准，测量价格
P作分微形小式变表动示时为， ：E需d 求= dd量QP 变QP动的程度，故使用(微3.8)
A E
Q=f(P) P=f -1(Q) B
O
D
C
图3.1 点弹性的几何意义
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3.2.2 需求点弹性和弧弹性
1. 弧弹性
需求的价格弧弹性，表示某商品需求曲线上两
点之间，需求量变动对于价格变动的反应程度。简
单地说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。设需
求函数为Q=Q(P)，如果以Ed代表需求价格的弧弹性 系数，则
Ed
=
Q/Q P/P
=
Q P
P Q
(3.6)
式中，ΔQ/Q代表需求量变动的比率，ΔP/P代 表价格变动的比率。
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Ed
=
需求量变动百分比 价格变动百分比
(3.5)
商品式而中言：，E由d表于示需需求求量的与价价格格弹变性动；的对方大向多相数反， 因此，用上式计算的弹性系数是负值，负号表 示方向，大小用│Ed│衡量。 各种物品的需求弹性是不同的，如果价格 变动引起需求量相当大的变动，则需求是富有 弹量＜1性微。的小，的即变│动E，d│则＞需1；求如是果缺价乏格弹变性动的引。起│E需d│求
(3.2)
其中E为弹性系数；ΔY、ΔX分别为因变量Y、 自变量X的改变量。该式表示：当自变量X 变化百分之一时，因变量Y变化百分之几。
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如果经济变量的变化是连续的，当它们趋 于无穷小，即当上式中的ΔX→0，且ΔY→0时， 弹性公式为：
E lim Y /Y dY /Y dY X
(3.3)
x0 X / X dX / X dX Y
通常，将(3.2)式称为弧弹性公式，将(3.3)
式称为点弹性公式。
需要指出的是，由弹性的公式可以清楚地 看到，弹性是两个变量各自变化比例的一个比 值，所以，弹性是无量纲的，是一个具体的数 字，它与自变量和因变量的度量单位无关。这 就使得需求对价格的敏感性可以在不同的商品 之间进行比较，从而加深对经济现象的理解和 认识。
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例1 某商品的需求曲线上有两点a(8，3)和 b(10，1)。
如果我们把自变量看作是由小到大(即涨价)
变化，则
Ed
(1- 3)/3 (10 - 8)/8
=
-8/3
(3.6)
反之，如果我们把自变量看作是由大到小
(即降价)变化，则(3 - 1)/1
Ed (8 -10)/10
=
-10
第3章 弹 性 理 论
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3.1 弹性的一般定义
弹性(Elasticity)原是物理学的概念，是 指某一物体受外力作用而作出的反应程度。 把弹性这一物理学的概念引申到经济学中 来，是用来说明某经济变量对另一经济变 量变化的反应程度。如果从数学的角度看， 作为一般概念的弹性是表示在一个函数中 一个因变量对自变量变化的反应程度。
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3.2 需 求 弹 性
需求弹性衡量一种商品的需求数量对于 某些决定因素变化的反应程度。更具体地 说，需求弹性就是一种决定因素(自变量， 如商品自身的价格、消费者的收入、相关 商品的价格)的值每变动百分之一所引起的 需求量变化的百分比，其计算公式 如下：
Ed
=
需求量变动百分比 价格变动百分比
(3.4)
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需求弹性可以分为需求的价格弹性、需求的收入弹 性和需求的交叉价格弹性三种类型，它们分别说明了需 求量变动与自身价格、收入及其他商品价格变动之间的 关系。
需求弹性
价格弹性 收入弹性 交叉弹性
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3.2.1 需求价格弹性的含义
需求价格弹性也称需求弹性，是指在一 定时期内一种商品价格变动的比率所引起 的需求量变动的比率，即需求量变动对价 格变动的反应程度，或者说，价格变动百 分之一会使需求量变动百分之几。一般用 弹性系数来表示弹性的大小。
Ed
Q P
(P1 (Q1
P2 ) / 2 Q2 ) / 2
(3.7)
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用该公式计算例1中a、b两点间的需求的价格
弧弹性为：
Ed
= 1-3 10 - 8
(8 10) / 2 (3 1) / 2
=
9 / 2
由于采用的是平均值，因此在一定程度上能更 有效地反映价格从一个水平变到另一个水平时， 需求量变化的灵敏度。在实际中弧弹性运用非 常广泛，这是因为人们通常只能得到极其贫乏 的关于自变量与因变量之间关系的离散数据。 因此，计算弹性只能用弧弹性。