福建省高一数学竞赛试题参考答案
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准(考试时间:5月8日上午8:30-11:00)一、选择题(每小题6分,共36分)1.若集合{}2120A x x x =--≤,101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭,{}C x x A x B =∈∉且,则集合C =( ) A .[)(]3114--⋃,, B .[](]3114--⋃,, C .[)[]3114--⋃,, D .[][]3114--⋃,, 【答案】 D【解答】 依题意,{}[]212034A x x x =--≤=-,,10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭,。
由x A ∈,知34x -≤≤;x B ∉,知1x ≤-或1x ≥。
所以,31x -≤≤-或14x ≤≤,即[][]3114C =--⋃,,。
2.已知直线1l :(2)310m x my +++=与直线2l :(2)(2)40m x m y -++-=(0m >)相互垂直,垂足为P ,O 为坐标原点,则线段OP 的长为( )AB .2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知,(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=,结合0m >,得230m m -+=,12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=,即5320x y ++=;2l 方程为:354022x y -+-=,即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩,得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此,(11)P -,,线段OP3.如图,在三棱锥P ABC -中,PAB △,PBC △均为等边三角形,且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为( )A.3 B.3 C.3D .13【答案】 B【解答】如图,取AC 中点O ,PC 中点D ,连结OP ,OB ,OD ,DB 。
不妨设2AB =,则由条件知,2PA PC ==,AC = ∴ PA PC ⊥,12OP AC OC ===。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
福建省高一数学竞赛试题

年福建省高一数学竞赛试题(考试时间:月日上午:一:)、选择题(每小题分,共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有()•个【答案】【解答】由x—1 <3,知—2<xc4,结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。
•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称,则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1),则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。
又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点,其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点,J与坐标轴围成的三角形的面积为—。
2 4•给出下列四个判断:()若a , b为异面直线,则过空间任意一点P,总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1,若二」】,I」,则I// 。
()对平面:,和直线I,若I _ :■ , 1 ,则:1。
()对直线11 , 12和平面[,若11 //〉,12 // 11,且12过平面〉内一点P,则12 ―其中正确的判断有()•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确;()、()不止确。
对于(),设a // a,过a和b的平面为〉,则当点P在平面〉内,且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图,已知正方体 ABCD , E 为CD 中点,则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图,作EF _ AB 于F ,作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体,知 EF _ 面 ABB ,A ,, EF _ AB ,。
又 AB , _ OF 。
因此,AB , _ 面 OEF ,0E _ AB ,。
2020年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷

当1 x 2 时,f (x) ln x . 若关于 x 的方程 f (x) ax 1 0 在 x 3 ,5上有两个不相等的实数
根,则 a 的取值范围为
.
【答案】
0
,15
【解答】 如图,分别作出函数
y f (x) 与 y ax 1 的图像,其中
P(0 ,1) , G( 1 ,0) . a
十八边形无公共边的三角形的个数为
1 3
18
(C125
14)
.
因此,所求的概率为
1 3
18 (C125 C138
14)
91 136
.
3
7.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 E 、 F 、G 分别在棱 AA1 、 A1D1 、 D1C1 上, E
为
AA1
中点,
D1F D1 A1
D1G D1C1
1. 3
记平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m ,则直线 m 与平面
ABCD 所成角的正切值为
.
【答案】 3 58 58
【解答】 如图,设 A1D 、 EF 的交点为 P . 延长 GF 、 B1A1
交于点 Q ,则 PQ 为平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m .
不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 3 , 则 由 D1F D1G 1 知 , D1 A1 D1C1 3
由图像可
知,当
xG
1 a
5
,即
(第 4 题答题图)
0
a
1 5
时,两函数图像在
x
3
,5
上有两个不同的交点.
所以,
a
的取值范围为
0
,1 5
精品解析:福建省莆田第一中学2022-2023学年高一下学期期初学科素养能力竞赛数学试题(原卷版)

莆田一中2021-2022学年度下学期期初学科素养能力竞赛考试高一数学必修第一册一,单选题(本大题共8小题,每题5分,共40.0分)1. 已知集合{}1,0,1M =-,{}2N y y x ==,则M N = ( )A. {}0 B. {}1,1- C. {}0,1 D. {}1,0,1-2. 已知点()sin ,tan P αα在第二象限,则角α地终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 方程3log 4x x =-一个实根所在地区间是A. ()2,3 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,74. 已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ,则命题p 地否定为( )A.,21x x x ∃∈>+N B.,21x x x ∃∈≥+N C. ,21x x x ∀∈≤+N D. ,21x x x ∀∈>+N 5 已知0.32=a ,0.43b =,0.2log 0.3c =,则( )A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c>>6. 函数21xy x =-地图象大约是( )A. B. C.D.7. 某地新能源汽车工厂2023年生产新能源汽车地年产量为260万辆,依据前期市场调研,为满足市场需求,以后每一年地产量都比上一年产量提高25%,那么该工厂到哪一年地产量才能首次超过800万辆(参考数据:lg1.250.097,lg1.30.11,lg 40.60≈≈≈)( )A. 2023年B. 2023年C. 2023年D. 2023年的.8. 设函数f(x)是定义在R 上地偶函数,且f(x +2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=1x-,则在区间(-2,6)上有关x 地方程f(x)-log 8(x +2)=0地解地个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二,多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分)9. 若0a b <<则下面结论中错误地有( )A.11a b< B. 01a b << C. 2ab b > D.b a a b>10. 下面有关函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭表达正确地是( )A. 周期为π B. 增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 图像有关点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象有关直线23x π=对称11. +地值可能为( )A. 3B. 3- C. 1 D. 1-12. 已知函数3log (1),1()1,13xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,下面结论正确是( )A. 若()1f a =,则4a =B. 202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若()3f a ≥,则1a ≤-或28a ≥D. 若方程()f x k =有两个不同地实数根,则13k >三,填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 52cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭等于____________.14. 已知0x >,0y >,24xy x y =++,则x y +地最小值为______.15. 已知()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间(],0-∞上单调递增,若实数a 满足()(212a f f ->,的则a 地取值范围是______.16. 已知函数()4cos f x x =()[0,]x π∈图像与函数()15tan g x x =地图像交于A ,B 两点,则OAB (O 为坐标原点)地面积为_______.四,解答题(本大题共6小题,共70+6分)17. 化简与求值:(1)已知(),0x π∈-,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -地值。
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准(考试时间:5月14日上午8:30-11:00)一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭,,则集合A 中所有元素的和为( ) A .1- B .0 C .2 D .3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-,得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--,,,,。
所以,集合A 中所有元素的和为0。
2.已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直,若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π,则三棱锥A BCD -的体积为( )A .43B .23C .16D .19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===,则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。
由243R ππ=,得R =。
∴ 1a =,三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3.已知x 为实数,若存在实数y ,使得20x y +<,且23xy x y =-,则x 的取值范围为( )A .(43)(0)--⋃+∞,, B .(02)(4)⋃+∞,, C .(4)(30)-∞-⋃-,, D .(0)(24)-∞⋃,, 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-,得23xy x =+ ∵ 20x y +<, ∴ 2203x x x +<+,即(4)03x x x +<+,解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-,,。
BC(第2题图)4.m 、n 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则下列命题中,正确的命题的个数是( )(1)对m 、n 外任意一点P ,存在过点P 且与m 、n 都相交的直线; (2)若m α⊥,n m ∥,n β∥,则αβ⊥; (3)若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥; (4)若m α∥,n α∥,m β∥,n β∥,则αβ∥。
2017年福建省高一数学竞赛试题(原卷排版+解析)

6
3
6
∴ 1 c 1 ,且 1 c 1 。
66
2
6
∴ c1。 6
6
此时, f (0) 1 ,可见 f (x) 在区间 1,1 上的最小值为 f (0) 。
6
∴ f (x) 的对称轴为 x 0 ,即 1 a 0 , a 1 。
3
3
∴ f (x) 1 x2 1 。 36
2xy yz 1 ,当且仅当 x 2y ,且 y z ,即 x 2 , y z 1 时,等
2
10
10
号成立。
所以, 2xy yz 的最大值为 1 。 2
三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分)
13.已知 f (x) ax2 (1 a)x c ,且当 1 x 1时, f (x) 1 恒成立。
2017 年福建省高一数学竞赛试题
(考试时间:5 月 14 日上午 8:30-11:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
1.已知集合A来自 xx2 x3
0,x Z
,则集合
A 中所有元素的和为(
)
A. 1
B.0
C.2
D.3
【答案】 B
【解答】由 x 2 0 ,得 2 x 3。又 x Z 。因此 A 2,1,0,1,2 。
也是 1,0 ,则 a m 的值为
。
【答案】 5 2
【解答】当 a 1时, f (x) 在 1,0 上为增函数,依题意有
3
f (1) loga (1 m) 1,方程组无解。 f (0) loga (0 m) 0
2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题参考答案

2023年泉州市普通高中数学学科竞赛参 考 答 案一、填空题:本题共15小题,每小题6分,共90分。
1.设集合3{|}10x A x x ,2320{|}B x x x ,则A B =__________. 【答案】 2 【解析】由013x x 得13x <,则1{}3|A x x <,又2{}1,B ,因此 2A B . 2.已知23x ,39log 2y ,则1y x__________. 【答案】2【解析】223log 3x x ,所以33319log 2log log 922y x . 3.已知数列{}n a 满足11a ,*11()(1)n n n n a a a a n n n N ,则n a __________.【答案】21nn 【解析】由11(1)n n n n a a a a n n,得111111(1)1n n a a n n n n ,故111111n n a n a n,即{11}n a n 为常数列,得1111121n a n a ,所以21n na n. 4.若3sin()35x ,且5(,)66x ,则sin(2)3x__________.【答案】2425【解析】因为5(,)66x,所以,322x ,又3sin 35x ,所以4cos 35x,所以23424sin(2sin(22sin()2()33335525x x x x .5.记,,max{,},,a ab a b b a b≥则函数2()max{|1|,|5|}f x x x 的最小值为__________. 【答案】1【解析】令212()1,()5f x x f x x ,则两个函数图象交于点,,,A B C D ,根据()f x 的定义可知()f x 的图象是图中实线的部分,易知点B的纵坐标是函数的最小值,由方程215x x ,解得3,2D B x x ,所以()(2)1B f x f .6.设,a b 为实数,且0ab ,虚数z 为方程20ax bx a 的一个根,则|1i |z 的最大值为__________.1【解析】因为z 和z 为实系数二次方程02 a bx ax 的两个共轭虚根,由韦达定理知1az z a,即12z ,所以1 z ,z 对应的点Z 是复平面中以 0,0O 为圆心,半径1r 的圆上的点,1iz 可以看成点Z 与定点)1,1(A 的距离,当且仅当z 时,1i z 取最大值1AO r .7.已知函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称,当0x 时,1()e x f x ,设10a,b ,22tan201tan 20c,则(),(),()f a f b f c 的大小关系为__________.(请用“<”连接) 【答案】()()()f b f a f c【解析】函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称,所以()y f x 的图象关于y 轴对称,当0x 时,1()e x f x ,所以()y f x 在 ,0 上单调递减,在 0, 上单调递增,()()()1010f a f f,()(sin 10f b f f f ,22tan 20()((tan )101tan 20f c f f ,易知 0sintan 101010,所以()()()f b f a f c . 8.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,点O 满足sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC,若2a ,6BC OA,则sin A 的最大值为__________.【答案】31【解析】易知O 是ABC △的外心.因为2211()622BC OA AO AB AC AO AB AO AC c b ,所以1222 b c ,又2a ,得2123a ,所以2223c b a .由余弦定理,得2222222233342cos 2623b c a b c a b c A bc bc bc ,当且仅当bc 时取等号,所以sin A 的最大值为13.9.过点1(0,2F 的直线l 与抛物线22x y 交于,A B 两点,则4AF BF 的最小值为__________.【答案】92【解析】易知112AF BF ,故4111194(4)()(14222BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF , 当且仅当322AF BF时取等号.10.在直角ABC △中,2AB BC ,D 是ABC △内的动点,则2AD BD 的最小值为__________.【答案】【解析】如图,将ACD △绕着点C 按顺时针旋转90 ,再以C 点为位似中心放大到2倍,得到A CD △.2AD BD A D BD DD ,根据“两点之间线段最短”可知,当,,,B D D A四点共线时,2AD BD 取得最小值BA .易知90ACA ,CA ,过A 作A H BC 交BC 延长线于H ,则ABC CHA △∽△,因为ABC △是等腰直角三角形,AB BC ,所以45BAC BCA ,所以45HA C A CH ,所以4CH A H ,所以''BA .11.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯(如右图),其杯口内径为4 cm ,深8cm ,现将一半径为r cm 的小球放入玻璃杯中,若小球可以接触杯底,则r 的取值范围为__________.【答案】10,2【解析】杯口内径为短轴,杯深为长半轴,故可设半椭圆轴截面方程为221(0)644y x y ,设小球球心(0,)D t , 8,t ,(,)P x y 为半椭圆轴截面上任一点,则 22222152416PD x y t y ty t,其中 8,0y ,当函数2215()2416f y y ty t 的对称轴1685y t,即1582t 时,函数()f y 在 2,0 递增,当8y 时,2PD 取最小,这时小球可以接触杯底,半径1(8)0,2r t.12.已知函数()f x (e )e x x a ,当(0,)x 时,()ef x x ,则实数a 的取值范围为__________.【答案】 ,1 【解析】e ee x x ax 两边同时取自然对数,得e ln eln e x x ax (e )1ln xx a x ,所以e ln 1x x x a x ,令ln e ln 1e (ln 1)()x x x x x x g x x x ,()e 1x h x x ,则()e 10(0)x h x x ,所以()h x 在(0,) 单调递增,所以 00h x h ,故ln e ln 1x x x x ,所以 ln eln 1ln 1ln 1e ln 11x xx x x x x x x g x x x x,故1a .13.有2024个半径均为1的球密布在正四面体ABCD 内(相邻两球外切,且边上的球与正四面体的面相切),则此正四面体的外接球半径为__________.【答案】3214.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且22323a b c ,则ABC △面积的最大值为__________. 【答案】2316【解析】过点C 作CD AB 于D .当点D 落在线段AB 上时,设CD h ,BD m ,AD n ,根据题设条件有:22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ,因此2316S,当且仅当8m ,4h 时取等号. 当点D 落在AB 或BA 的延长线上时,设CD h ,BD m ,AD n ,根据题设条件有:22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ,因此2316S,易知等号取不到. 故答案为:2316. 15.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,为了纪念他,人们把函数[]()y x x R 称为高斯函数,其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设2024120242024(1)2023k kk k S,则S 除以2023的余数是__________. 【答案】1013【解析】当2k t 时,222202420242202412023212202412122023202320232023t t t t t t t t, 当21k t 时,212120242024(21)202412023(21)220232023t t t t t21211202421202422122023202320232023t t t t t t, 因此2212024101210121112024202420242024220242024(21)2023(1)20232023k t t k k t t k t t S221101210122111202412112024222(2024)12023202320232023t t t t t t t t t 1101211013(mod 2023) .二、解答题(本大题共5小题,共110分。
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2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准(考试时间:5月10日上午8:30-11:00)一、选择题(每小题6分,共36分)??的子集有(集合1.)Nx?xx?1?3,A?A.4个B.8个C.16个D.32个【答案】 C??。
3 ,,,1,知,结合,得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。
的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称,则:2.若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为()211C.B.D.A.1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线,:取点xy?(?11)0,?1),y?2x?1AA(0,0)A(?1l 上。
在直线2ll。
在直线的交点又直线与直线x?y1)P,(11211?l。
过和∴两点,其方程为?xy?1)0),P(1A?(1,22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。
与坐标轴交于和∴两点,),(00)(?1,22243.给出下列四个判断:(1)若,为异面直线,则过空间任意一点,总可以找到直线与,都相交。
aa bbP??????。
,和直线,若(2)对平面,则,??l∥ll??????。
和直线,若,则(3)对平面,,?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。
内一点,且(4)对直线,,和平面,则,若过平面P2211122其中正确的判断有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解答】(3)、(4)正确;(1)、(2)不正确。
????内,且不在直线上时,,过1),设的平面为和在平面,则当点对于(ba∥aabP 找不到直线同时与,都相交。
a b中点,则二面,为4.如图,已知正方体DC?ABABCD CDE1111)角的正切值为(BAB?E?12222 D..A.1 B . C 4【答案】 D图第4题于如图,作于,作,连结。
【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体,知由,。
ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111,。
又。
因此,ABOEOEF?AB?面AB?OF111的平面角。
∴为面角B??ABE EOF?121aB?OF?A设正方体棱长为,,则。
a aEF?144EF∴。
2??tanEOF?2题答题图4第OF4?CBAB?CA满,为等腰直角三角形,,为中点,动点5.已知O△ABCPAB2长的最小值为(足条件:),则线段PBPO??PACP534 D.B.2 CA ..B【答案】为坐标原点,建立平面直角坐标系。
则所在直线为轴,、【解答】以x,?0)2A(OAB、。
2)C(0,0),B(22222222PB??PAPO。
,由,知设y2)x?2)?y??(xx?y??()y(x,P2222222)x?4?4x)(x(x??y?)y?(x4?y?4,∴222222222222??16?16?(x?yx)??8(xx?y(x?yy))即,化简,得。
22222241)??4?2(?2)y?y?2?y??4CPy?x(?y∴。
CP,?3P(1)。
此时,2 ∴时,有最小值。
1y???ee????a?eb?edcca,),,的大小关系为(,则,,6.记,db D.C..A.Ba?b?b?ad?c?ca?d??bc?d?a?cd?b?????e,,0e?上(必要时,可以利用函数在上为增函数,在x?e(fx)?lnx A 【答为减函数)案】??【解答】。
,lndln?lnc?e?????,0ee?,上为减函数,,由设上为增函数,在在)x(fx?xlne?)x(f????,于是。
得0?e?(e))?f(e)?elnln?e?ff(f)?(e?e???∴,。
,即,于是e?c?d?lndeln?lnc??ee??。
,又显然,。
于是,b?a?e??ed??c bc?a?d?分)6分,共36二、填空题(每小题2x。
,则7.已知为奇函数,为偶函数,且x?2?f(x)?g(x)?f(g(x)x)(1)f3【答案】4①,…………【解答】依题意,有3?1?f(1)?g(1)?2331②。
…。
由为奇函数,为偶函数,得??1?(1)?ggf(?1)?(?1)??f(1))xg(f(x)22233?,①。
②,得?f?(1)2f(1)?342??围值范则角为的,若取,:8.已知直线的倾斜0??1x?By??120?45?lB。
为3),(?1【答案】31??当;解当时,得【解答】当,时,;1??01?90??90?BB?0?45????B31??B0?时,,解得。
?3?????120?903B3)1,(?的取值范围为。
∴B3为等边三,中,,,9.如图,在三棱锥PBCPC△PA?PCP?ABCPA?PB?PB?PA。
所成角的正弦值为角形,则与平面ABCPC21【答案】7ABC面PO?与平【解答】如图,作于,则就是PCOPCO?面所成的角。
ABC图题9第∵,,PCPA?PBPA?PBCPA?面∴。
设,则a?PC?PB?PA.331132aa?S??a?V?V??PA?。
PBCPBCP?ABC△A?123437172??a?aS?a又,ABC△422712POa?PO?S?V??。
ABC△P?ABC12321P3,。
∴???sin?PCOPO?a题答题图第97PC77外接圆半径后,再求解。
或求出OCABC△22.函数10。
的最小值为6x2x?3?x?f(x)?x??6【答案】2?3x??1或x?03?2x?x???或。
由,知,【解答】3x?x??3??2x??3或x?206??x?x????????33??,?,??。
∴的定义域为)xf(????22?3,?3,???上都是增函∵在上都是减函数,和在6??yxx?2x?x3?y?21数。
????22??3,?3??,上是减函数,在在∴上是增函数。
6xf(x)?x?2x?3?x??中较小者。
的最小值是与∴(3)(?3)xf()ff6?f?(3)23f(?3)。
,∵6。
∴的最小值是)xf(5??xx24y?aa??51?1,,则)在区间上的最小值为(11.已知函数,且?1aa?0?4??x2x1,?14y?aa??5。
在区间上的最大值为10【答案】5415??x2x2x,???at?在上为增函数。
【解答】设,则?)(y?at??5a?4??? 242??11415????2,at?a,在,上为增函数。
时,?y?(t?)10?a?????aa42????415415152210?(2?)?y(a?)???a???y,。
∴maxmin42224411415????2t?,aa,时,在,上为增函数。
?ty?(?)1a?????aa24???? 1541554122。
,∴。
10??(2(?)????)?yy?2?amaxmin a244242x?3y?0?12.若实数,满足条件:,则的最小值为。
y2x?x y ?2236?9y4x??42【答案】,因此,2x?3,【解答】由条件知,y,。
0y02x?3y??2x?30?x由对称性,不妨设,则2x?y?2x?y。
0y?2222。
…………设,代入①,消并整理,得0?36?36?y8t?2ty4xy?9?xt?y?2x2242t??42t?。
由①的判别式或,得0△)?4t32(36??t?t?42。
由知,,y?3y?2x0?x?yt?22922x?y?24t?,符合又,得。
,此时时,①化为0?4?y8y?820??3y2x24 4242y2x?。
的最小值为∴。
因此,的最小值为t三、解答题(第13、14、15、16题每题16分,第17题14分,满分78分)22,求点,中,已知点,且它的内切圆的方程为13.在4?y?x8)?B(2,A(2,1)CABC △的坐标。
【答案】易知直线于圆相切,直线、的斜率存在。
BCACOAB设直线的方程为,即。
0??2kkx?y?1ky?1?(x?2)AC1110?0?1?2k31,解得。
由直线与圆相切,知2??k?OAC1421?k1∴直线的方程为。
……………………… 8分0?y10?3x?4AC设直线的方程为,即。
0???2k(x?2)8kx?y?y?8k BC2220?0?2k?8152。
相切,知,解得与圆由直线2??k?OBC2821?k2∴直线的方程为。
…………………… 12分0?34?y15x?8BC3x?4y?10?0x??6??由,解得。
??15x?8y?34?0y?7??∴点的坐标为。
………………………… 16分7)?(6,C2(,,),且对任意实数,14.已知恒成立。
c?bx(fx)?x?xb2x?f(x)?0b?c?Rb(1)求证:;bc?22对满足条件的,恒成立,求的(2)若当时,不等式)fc)?(c(?bb)?f(Mc b?bcM 最小值。
【答案】(1)∵对任意实数,恒成立,xbx?(x)?2f22恒成立。
,即∴对任意实数,0b?x?cx??(b?2)xb?bx?c?2x?x22。
…………………,即 4分∴0?b)?4(c△=(b?2)?0b??4c?42,。
………………………8分∴b?b4?44c?bc?(2)由以及(1)知,。
0?c?bb?c f(c)?f(b)22)b?b)?f(c)?fM(c(恒成立。
∴…………恒成立,等价于 12分?M22bc?cf(c)?f(b)(c?b)(c?2b)c?2bt?21,则设。
????1t??2222c?bt?b1tbcb??c1?cf(c)?f(b)13的取值范围为,知由。
)?t,1?1?(1?2212bt?bc?33,的最小值为。
……………………… 16分∴M?M22的切线,、是外接圆15.如图,、分别是的中线和高线,OPCABCABCCF△△PBAD是与圆的交点。
点OPAE)求证:;(1ACP△AFD∽△。
(2)求证:平分DCADE?。
【答案】(1)由为圆切线,知DCP???PCCAFO中点,∵、是圆的切线,为BCOPCDPB。
∴、、三点共线,且BC?OOPPD,∴。
CDP△AFC∽△?90?CDP??AFC?第15题图CDAF。
……………… 4分∴?CPAC∵,为中点,BC?CFABD1,。
∴DBFD??BC?DCDBF???DFB2CAFAAFFD。
∴。
于是,??CPFDACCP。
又∵ACP????DFB?180???ABC??AFD?180 8分∴。
………………ACPAFD∽△△第15题答题图。
,连结,,交圆(2)延长于点ECGEOBGGAD.,知由ACPAFD∽△△PAC???DAF分。
∴,……………… 12BCE?ECCBG???BG。
又为中点,DCBC?DBD ∴。
CDE△BDG≌△∴。
,CDE?ADC??BDG??BDG?CDE?? 16分平分。
…………………∴DCADE?、连结、、。
(2)或解:OEOAOBOD2POPDPB??,由,知。