福建省高一数学竞赛试题参考答案
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ） A ．[)(]3114--⋃，， B ．[](]3114--⋃，， C ．[)[]3114--⋃，， D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。
由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。
所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。
2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）AB ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。
∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。
由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。
因此，(11)P -，，线段OP3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。
不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。
解析版-2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。
福建省高一数学竞赛试题
年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。
•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。
又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。
2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。
()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。
()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。
对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。
又 AB , _ OF 。
因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。
2020年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2020年福建省高中数学竞赛试卷
当1 x 2 时，f (x) ln x . 若关于 x 的方程 f (x) ax 1 0 在 x 3 ，5上有两个不相等的实数
根，则 a 的取值范围为
.
【答案】
0
，15
【解答】 如图，分别作出函数
y f (x) 与 y ax 1 的图像，其中
P(0 ，1) ， G( 1 ，0) . a
十八边形无公共边的三角形的个数为
1 3
18
(C125
14)
.
因此，所求的概率为
1 3
18 (C125 C138
14)
91 136
.
3
7．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 、 F 、G 分别在棱 AA1 、 A1D1 、 D1C1 上， E
为
AA1
中点，
D1F D1 A1
D1G D1C1
1. 3
记平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m ，则直线 m 与平面
ABCD 所成角的正切值为
.
【答案】 3 58 58
【解答】 如图，设 A1D 、 EF 的交点为 P . 延长 GF 、 B1A1
交于点 Q ，则 PQ 为平面 EFG 与平面 A1B1CD 的交线为 m .
不 妨 设 正 方 体 棱 长 为 3 ， 则 由 D1F D1G 1 知 ， D1 A1 D1C1 3
由图像可
知，当
xG
1 a
5
，即
（第 4 题答题图）
0
a
1 5
时，两函数图像在
x
3
，5
上有两个不同的交点.
所以，
a
的取值范围为
0
，1 5
精品解析：福建省莆田第一中学2022-2023学年高一下学期期初学科素养能力竞赛数学试题(原卷版)
莆田一中2021-2022学年度下学期期初学科素养能力竞赛考试高一数学必修第一册一，单选题（本大题共8小题,每题5分,共40.0分）1. 已知集合{}1,0,1M =-,{}2N y y x ==,则M N = （ ）A. {}0 B. {}1,1- C. {}0,1 D. {}1,0,1-2. 已知点()sin ,tan P αα在第二象限,则角α地终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 方程3log 4x x =-一个实根所在地区间是A. ()2,3 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,74. 已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ,则命题p 地否定为（ ）A.,21x x x ∃∈>+N B.,21x x x ∃∈≥+N C. ,21x x x ∀∈≤+N D. ,21x x x ∀∈>+N 5 已知0.32=a ,0.43b =,0.2log 0.3c =,则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c>>6. 函数21xy x =-地图象大约是（ ）A. B. C.D.7. 某地新能源汽车工厂2023年生产新能源汽车地年产量为260万辆,依据前期市场调研,为满足市场需求,以后每一年地产量都比上一年产量提高25%,那么该工厂到哪一年地产量才能首次超过800万辆（参考数据：lg1.250.097,lg1.30.11,lg 40.60≈≈≈）（ ）A. 2023年B. 2023年C. 2023年D. 2023年的.8. 设函数f(x)是定义在R 上地偶函数,且f(x ＋2)＝f(2－x),当x∈[－2,0]时,f(x)＝1x-,则在区间(－2,6)上有关x 地方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0地解地个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二，多选题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分）9. 若0a b <<则下面结论中错误地有（ ）A.11a b< B. 01a b << C. 2ab b > D.b a a b>10. 下面有关函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭表达正确地是（ ）A. 周期为π B. 增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 图像有关点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象有关直线23x π=对称11. +地值可能为（ ）A. 3B. 3- C. 1 D. 1-12. 已知函数3log (1),1()1,13xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,下面结论正确是（ ）A. 若()1f a =,则4a =B. 202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若()3f a ≥,则1a ≤-或28a ≥D. 若方程()f x k =有两个不同地实数根,则13k >三，填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 52cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭等于____________.14. 已知0x >,0y >,24xy x y =++,则x y +地最小值为______．15. 已知()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间(],0-∞上单调递增,若实数a 满足()(212a f f ->,的则a 地取值范围是______．16. 已知函数()4cos f x x =()[0,]x π∈图像与函数()15tan g x x =地图像交于A ,B 两点,则OAB （O 为坐标原点）地面积为_______．四，解答题（本大题共6小题,共70+6分）17. 化简与求值：（1）已知(),0x π∈-,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -地值。
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。
又x Z ∈。
因此{}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。
由243R ππ=，得R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
2017年福建省高一数学竞赛试题(原卷排版+解析)
6
3
6
∴ 1 c 1 ，且 1 c 1 。
66
2
6
∴ c1。 6
6
此时， f (0) 1 ，可见 f (x) 在区间 1，1 上的最小值为 f (0) 。
6
∴ f (x) 的对称轴为 x 0 ，即 1 a 0 ， a 1 。
3
3
∴ f (x) 1 x2 1 。 36
2xy yz 1 ，当且仅当 x 2y ，且 y z ，即 x 2 ， y z 1 时，等
2
10
10
号成立。
所以， 2xy yz 的最大值为 1 。 2
三、解答题（第 13、14、15、16 题每题 16 分，第 17 题 14 分，满分 78 分）
13．已知 f (x) ax2 (1 a)x c ，且当 1 x 1时， f (x) 1 恒成立。
2017 年福建省高一数学竞赛试题
（考试时间：5 月 14 日上午 8：30－11：00）
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
1．已知集合A来自 xx2 x3
0，x Z
，则集合
A 中所有元素的和为（
）
A． 1
B．0
C．2
D．3
【答案】 B
【解答】由 x 2 0 ，得 2 x 3。又 x Z 。因此 A 2，1，0，1，2 。
也是 1，0 ，则 a m 的值为
。
【答案】 5 2
【解答】当 a 1时， f (x) 在 1，0 上为增函数，依题意有
3
f (1) loga (1 m) 1，方程组无解。 f (0) loga (0 m) 0
2023年福建省泉州市普通高中数学学科竞赛试题参考答案
2023年泉州市普通高中数学学科竞赛参 考 答 案一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分。
1．设集合3{|}10x A x x ，2320{|}B x x x ，则A B =__________． 【答案】 2 【解析】由013x x 得13x ＜，则1{}3|A x x ＜，又2{}1,B ，因此 2A B ． 2．已知23x ，39log 2y ，则1y x__________． 【答案】2【解析】223log 3x x ，所以33319log 2log log 922y x ． 3．已知数列{}n a 满足11a ，*11()(1)n n n n a a a a n n n N ，则n a __________．【答案】21nn 【解析】由11(1)n n n n a a a a n n，得111111(1)1n n a a n n n n ，故111111n n a n a n，即{11}n a n 为常数列，得1111121n a n a ，所以21n na n． 4．若3sin()35x ，且5(,)66x ，则sin(2)3x__________．【答案】2425【解析】因为5(,)66x，所以,322x ，又3sin 35x ，所以4cos 35x，所以23424sin(2sin(22sin()2()33335525x x x x ．5．记,,max{,},,a ab a b b a b≥则函数2()max{|1|,|5|}f x x x 的最小值为__________． 【答案】1【解析】令212()1,()5f x x f x x ，则两个函数图象交于点,,,A B C D ，根据()f x 的定义可知()f x 的图象是图中实线的部分，易知点B的纵坐标是函数的最小值，由方程215x x ，解得3,2D B x x ，所以()(2)1B f x f ．6．设,a b 为实数，且0ab ，虚数z 为方程20ax bx a 的一个根，则|1i |z 的最大值为__________．1【解析】因为z 和z 为实系数二次方程02 a bx ax 的两个共轭虚根，由韦达定理知1az z a，即12z ，所以1 z ，z 对应的点Z 是复平面中以 0,0O 为圆心，半径1r 的圆上的点，1iz 可以看成点Z 与定点)1,1(A 的距离，当且仅当z 时，1i z 取最大值1AO r ．7．已知函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，当0x 时，1()e x f x ，设10a，b ，22tan201tan 20c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为__________．（请用“<”连接） 【答案】()()()f b f a f c【解析】函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，所以()y f x 的图象关于y 轴对称，当0x 时，1()e x f x ，所以()y f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，()()()1010f a f f，()(sin 10f b f f f ，22tan 20()((tan )101tan 20f c f f ，易知 0sintan 101010，所以()()()f b f a f c ． 8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点O 满足sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC，若2a ，6BC OA，则sin A 的最大值为__________．【答案】31【解析】易知O 是ABC △的外心．因为2211()622BC OA AO AB AC AO AB AO AC c b ，所以1222 b c ，又2a ，得2123a ，所以2223c b a ．由余弦定理，得2222222233342cos 2623b c a b c a b c A bc bc bc ，当且仅当bc 时取等号，所以sin A 的最大值为13．9．过点1(0,2F 的直线l 与抛物线22x y 交于,A B 两点，则4AF BF 的最小值为__________．【答案】92【解析】易知112AF BF ，故4111194(4)()(14222BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ， 当且仅当322AF BF时取等号．10．在直角ABC △中，2AB BC ，D 是ABC △内的动点，则2AD BD 的最小值为__________．【答案】【解析】如图，将ACD △绕着点C 按顺时针旋转90 ，再以C 点为位似中心放大到2倍，得到A CD △．2AD BD A D BD DD ，根据“两点之间线段最短”可知，当,,,B D D A四点共线时，2AD BD 取得最小值BA ．易知90ACA ，CA ，过A 作A H BC 交BC 延长线于H ，则ABC CHA △∽△，因为ABC △是等腰直角三角形，AB BC ，所以45BAC BCA ，所以45HA C A CH ，所以4CH A H ，所以''BA ．11．现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如右图），其杯口内径为4 cm ，深8cm ，现将一半径为r cm 的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r 的取值范围为__________．【答案】10,2【解析】杯口内径为短轴，杯深为长半轴，故可设半椭圆轴截面方程为221(0)644y x y ，设小球球心(0,)D t ， 8,t ，(,)P x y 为半椭圆轴截面上任一点，则 22222152416PD x y t y ty t，其中 8,0y ，当函数2215()2416f y y ty t 的对称轴1685y t，即1582t 时，函数()f y 在 2,0 递增，当8y 时，2PD 取最小，这时小球可以接触杯底，半径1(8)0,2r t．12．已知函数()f x (e )e x x a ，当(0,)x 时，()ef x x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】 ,1 【解析】e ee x x ax 两边同时取自然对数，得e ln eln e x x ax (e )1ln xx a x ，所以e ln 1x x x a x ，令ln e ln 1e (ln 1)()x x x x x x g x x x ，()e 1x h x x ，则()e 10(0)x h x x ，所以()h x 在(0,) 单调递增，所以 00h x h ，故ln e ln 1x x x x ，所以 ln eln 1ln 1ln 1e ln 11x xx x x x x x x g x x x x，故1a ．13．有2024个半径均为1的球密布在正四面体ABCD 内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为__________．【答案】3214．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22323a b c ，则ABC △面积的最大值为__________． 【答案】2316【解析】过点C 作CD AB 于D ．当点D 落在线段AB 上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,当且仅当8m ，4h 时取等号． 当点D 落在AB 或BA 的延长线上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,易知等号取不到． 故答案为：2316． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数[]()y x x R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设2024120242024(1)2023k kk k S，则S 除以2023的余数是__________． 【答案】1013【解析】当2k t 时，222202420242202412023212202412122023202320232023t t t t t t t t， 当21k t 时，212120242024(21)202412023(21)220232023t t t t t21211202421202422122023202320232023t t t t t t， 因此2212024101210121112024202420242024220242024(21)2023(1)20232023k t t k k t t k t t S221101210122111202412112024222(2024)12023202320232023t t t t t t t t t 1101211013(mod 2023) ．二、解答题(本大题共5小题，共110分。
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2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。
3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。
的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。
在直线2ll。
在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。
过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。
与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
aa bbP??????。
，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。
和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。
内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。
a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。
【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。
ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。
又。
因此，ABOEOEF?AB?面AB?OF111的平面角。
∴为面角B??ABE EOF?121aB?OF?A设正方体棱长为，，则。
a aEF?144EF∴。
2??tanEOF?2题答题图4第OF4?CBAB?CA满，为等腰直角三角形，，为中点，动点5．已知O△ABCPAB2长的最小值为（足条件：），则线段PBPO??PACP534 D．B．2 CA ．．B【答案】为坐标原点，建立平面直角坐标系。
则所在直线为轴，、【解答】以x，?0)2A(OAB、。
2)C(0，0)，B(22222222PB??PAPO。
，由，知设y2)x?2)?y??(xx?y??()y(x，P2222222)x?4?4x)(x(x??y?)y?(x4?y?4，∴222222222222??16?16?(x?yx)??8(xx?y(x?yy))即，化简，得。
22222241)??4?2(?2)y?y?2?y??4CPy?x(?y∴。
CP，?3P(1)。
此时，2 ∴时，有最小值。
1y???ee????a?eb?edcca，），，的大小关系为（，则，，6．记，db D．C．．A．Ba?b?b?ad?c?ca?d??bc?d?a?cd?b?????e，，0e?上（必要时，可以利用函数在上为增函数，在x?e(fx)?lnx A 【答为减函数）案】??【解答】。
，lndln?lnc?e?????，0ee?，上为减函数，，由设上为增函数，在在)x(fx?xlne?)x(f????，于是。
得0?e?(e))?f(e)?elnln?e?ff(f)?(e?e???∴，。
，即，于是e?c?d?lndeln?lnc??ee??。
，又显然，。
于是，b?a?e??ed??c bc?a?d?分）6分，共36二、填空题（每小题2x。
，则7．已知为奇函数，为偶函数，且x?2?f(x)?g(x)?f(g(x)x)(1)f3【答案】4①，…………【解答】依题意，有3?1?f(1)?g(1)?2331②。
…。
由为奇函数，为偶函数，得??1?(1)?ggf(?1)?(?1)??f(1))xg(f(x)22233?，①。
②，得?f?(1)2f(1)?342??围值范则角为的，若取，：8．已知直线的倾斜0??1x?By??120?45?lB。
为3)，(?1【答案】31??当；解当时，得【解答】当，时，；1??01?90??90?BB?0?45????B31??B0?时，，解得。
?3?????120?903B3)1，(?的取值范围为。
∴B3为等边三，中，，，9．如图，在三棱锥PBCPC△PA?PCP?ABCPA?PB?PB?PA。
所成角的正弦值为角形，则与平面ABCPC21【答案】7ABC面PO?与平【解答】如图，作于，则就是PCOPCO?面所成的角。
ABC图题9第∵，，PCPA?PBPA?PBCPA?面∴。
设，则a?PC?PB?PA．331132aa?S??a?V?V??PA?。
PBCPBCP?ABC△A?123437172??a?aS?a又，ABC△422712POa?PO?S?V??。
ABC△P?ABC12321P3，。
∴???sin?PCOPO?a题答题图第97PC77外接圆半径后，再求解。
或求出OCABC△22．函数10。
的最小值为6x2x?3?x?f(x)?x??6【答案】2?3x??1或x?03?2x?x???或。
由，知，【解答】3x?x??3??2x??3或x?206??x?x????????33??，?，??。
∴的定义域为)xf(????22?3，?3，???上都是增函∵在上都是减函数，和在6??yxx?2x?x3?y?21数。
????22??3，?3??，上是减函数，在在∴上是增函数。
6xf(x)?x?2x?3?x??中较小者。
的最小值是与∴(3)(?3)xf()ff6?f?(3)23f(?3)。
，∵6。
∴的最小值是)xf(5??xx24y?aa??51?1，，则）在区间上的最小值为（11．已知函数，且?1aa?0?4??x2x1，?14y?aa??5。
在区间上的最大值为10【答案】5415??x2x2x，???at?在上为增函数。
【解答】设，则?)(y?at??5a?4??? 242??11415????2，at?a，在，上为增函数。
时，?y?(t?)10?a?????aa42????415415152210?(2?)?y(a?)???a???y，。
∴maxmin42224411415????2t?，aa，时，在，上为增函数。
?ty?(?)1a?????aa24???? 1541554122。
，∴。
10??(2(?)????)?yy?2?amaxmin a244242x?3y?0?12．若实数，满足条件：，则的最小值为。
y2x?x y ?2236?9y4x??42【答案】，因此，2x?3，【解答】由条件知，y，。
0y02x?3y??2x?30?x由对称性，不妨设，则2x?y?2x?y。
0y?2222。
…………设，代入①，消并整理，得0?36?36?y8t?2ty4xy?9?xt?y?2x2242t??42t?。
由①的判别式或，得0△)?4t32(36??t?t?42。
由知，，y?3y?2x0?x?yt?22922x?y?24t?，符合又，得。
，此时时，①化为0?4?y8y?820??3y2x24 4242y2x?。
的最小值为∴。
因此，的最小值为t三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）22，求点，中，已知点，且它的内切圆的方程为13．在4?y?x8)?B(2，A(2，1)CABC △的坐标。
【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。
BCACOAB设直线的方程为，即。
0??2kkx?y?1ky?1?(x?2)AC1110?0?1?2k31，解得。
由直线与圆相切，知2??k?OAC1421?k1∴直线的方程为。
……………………… 8分0?y10?3x?4AC设直线的方程为，即。
0???2k(x?2)8kx?y?y?8k BC2220?0?2k?8152。
相切，知，解得与圆由直线2??k?OBC2821?k2∴直线的方程为。
…………………… 12分0?34?y15x?8BC3x?4y?10?0x??6??由，解得。
??15x?8y?34?0y?7??∴点的坐标为。
………………………… 16分7)?(6，C2（，，），且对任意实数，14．已知恒成立。
c?bx(fx)?x?xb2x?f(x)?0b?c?Rb（1）求证：；bc?22对满足条件的，恒成立，求的（2）若当时，不等式)fc)?(c(?bb)?f(Mc b?bcM 最小值。
【答案】（1）∵对任意实数，恒成立，xbx?(x)?2f22恒成立。
，即∴对任意实数，0b?x?cx??(b?2)xb?bx?c?2x?x22。
…………………，即 4分∴0?b)?4(c△＝(b?2)?0b??4c?42，。
………………………8分∴b?b4?44c?bc?（2）由以及（1）知，。
0?c?bb?c f(c)?f(b)22)b?b)?f(c)?fM(c(恒成立。
∴…………恒成立，等价于 12分?M22bc?cf(c)?f(b)(c?b)(c?2b)c?2bt?21，则设。
????1t??2222c?bt?b1tbcb??c1?cf(c)?f(b)13的取值范围为，知由。
)?t，1?1?(1?2212bt?bc?33，的最小值为。
……………………… 16分∴M?M22的切线，、是外接圆15．如图，、分别是的中线和高线，OPCABCABCCF△△PBAD是与圆的交点。
点OPAE）求证：；（1ACP△AFD∽△。
（2）求证：平分DCADE?。
【答案】（1）由为圆切线，知DCP???PCCAFO中点，∵、是圆的切线，为BCOPCDPB。
∴、、三点共线，且BC?OOPPD，∴。
CDP△AFC∽△?90?CDP??AFC?第15题图CDAF。
……………… 4分∴?CPAC∵，为中点，BC?CFABD1，。
∴DBFD??BC?DCDBF???DFB2CAFAAFFD。
∴。
于是，??CPFDACCP。
又∵ACP????DFB?180???ABC??AFD?180 8分∴。
………………ACPAFD∽△△第15题答题图。
，连结，，交圆（2）延长于点ECGEOBGGAD.，知由ACPAFD∽△△PAC???DAF分。
∴，……………… 12BCE?ECCBG???BG。
又为中点，DCBC?DBD ∴。
CDE△BDG≌△∴。
，CDE?ADC??BDG??BDG?CDE?? 16分平分。
…………………∴DCADE?、连结、、。
（2）或解：OEOAOBOD2POPDPB??，由，知。