离散时间信号与系统
信号与系统-离散时间域分析
滤波器性能评估
分析滤波器的幅频响应、 相频响应、群延迟等性能 指标，以评估滤波器的性 能。
数字调制与解调技术
ASK调制与解调
通过改变载波的振幅来 传递数字信息，实现 ASK调制，并通过相干 或非相干解调方法恢复 原始信号。
FSK调制与解调
利用不同频率的载波表 示不同的数字信息，实 现FSK调制，通过鉴频 器或锁相环等实现FSK 信号的解调。
分类
根据信号的性质和特征，离散时间信 号可分为周期信号和非周期信号、确 定信号和随机信号等。
离散时间系统定义及性质
定义
离散时间系统是一种对离散时间输入 信号进行变换或处理的系统，其输出 也是离散时间信号。
性质
离散时间系统具有线性、时不变性、 因果性、稳定性等性质，这些性质对 于系统的分析和设计具有重要意义。
离散时间信号处理重要性
数字信号处理基础
理论分析基础
离散时间信号处理是数字信号处理的 基础，对于数字通信、音频视频处理、 雷达声呐等领域具有重要意义。
离散时间信号和系统分析的理论和方法 可以推广到连续时间信号和系统，为信 号处理和分析提供统一的理论框架。
计算机处理方便
离散时间信号适合计算机处理，可以 通过算法实现各种复杂的信号处理和 变换。
06 实验：离散时间信号处理 实践
实验目的和要求
理解和掌握离散时间 信号的基本概念和性 质
培养实验操作能力和 分析解决问题的能力
熟悉离散时间信号的 处理方法和实现过程
实验内容和步骤
01
实验内容
02
生成离散时间信号
对信号进行基本运算（如加减、乘除、平移、翻转等）
03
实验内容和步骤
01
对信号进行频谱分析，观察信号 的频谱特性
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统理论是信号与系统理论领域的重要分支，用于描述和分析在离散时间点上的信号及其相应的系统行为。
离散时间信号是在离散时间集合上定义的函数，通常由离散采样得到。
离散时间系统则是对输入离散时间信号进行操作和处理得到输出信号的过程。
离散时间信号是时间的一个离散序列，可以通过对连续时间信号进行采样得到。
最常见的离散时间信号是离散时间单位脉冲信号，其在一个时间点的值为1，其他时间点的值为0。
其他常见的离散时间信号包括阶跃信号、正弦信号、方波信号等。
每个离散时间信号都有其特定的频谱和幅度特性。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理和操作的载体。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统可以通过线性时不变（LTI）系统模型来描述，即系统的输入和输出之间存在线性时不变关系。
LTI系统可以用巴特沃斯（Bartow）方程式或其它传输方程式来表示，并可以通过离散时间卷积来分析系统的响应。
非线性系统则不满足线性性质的要求，其描述和分析方法更为复杂。
离散时间信号和系统理论的基本概念包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。
线性性要求系统对输入信号的加法性和乘法性具有反应；时不变性要求系统的性质不随时间变化而改变；因果性要求系统的响应仅依赖于过去和当前的输入信号；稳定性要求系统的输出有界且有限。
离散时间信号和系统的分析方法包括时域分析和频域分析。
时域分析主要关注信号和系统在时间域上的行为，如脉冲响应、单位样本响应、单位阶跃响应等；频域分析则关注信号和系统在频域上的特性，如频谱分析、频率响应等。
离散时间信号和系统在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于数字音频处理、数字图像处理、通信系统、控制系统等领域中。
在这些应用中，离散时间信号和系统的理论方法可以帮助我们分析和设计系统，优化信号处理算法，并提高系统的性能。
总而言之，离散时间信号和系统理论是信号与系统理论中重要的一部分，用于描述和分析离散时间信号和系统的特性。
第一章 离散时间信号与系统
k =−∞
∑ δ (k )
n
u (n )
1
1
1
1 L n
-1
0
1
2
3
单位阶跃序列示意图
3. 矩形序列
• 矩形序列又称门函数序列，定义如下：
1 (0 ≤ n ≤ N −1) Rn (n) = 0 (n < 0 orn ≥ N) = u(n) −u(n − n0 )
R (n )
k
1
1
1
1
卷积和计算的步骤
•置换： z(n) →z(m) •翻转：x(m) ，z(m) →z(-m) 翻转： • 移位：z(-m) → z(n-m) 移位： •相乘：z(n-m) • x(m) （m值相同） 相乘： 相加： =∑ • 相加：y(n) =∑{z(n-m) • x(m)}
图解法举例
• 设两离散信号如图，求卷积和
四、用单位抽样序列表示 任意序列
• 任意序列都可以表示成单位抽样序列的加 ∞ 权和。 x(n) = ∑ x(m)δ (n − m)
m = −∞
x ( n) x(n)δ (n − m) = 0
m=n 其他
五、序列的能量
• 序列的能量为：序列各序列值的平方和：
∞
E=
n = −∞
∑ x ( n)
L
-1 0 1 2 k −1 k n
矩形序列示意图
4. 斜变序列
单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号 R(t)的抽样信号，如下图所示，表示为：
n R (n) = nu ( n) = 0
n
0
n<0
R (n) 2 1
3
L n -1 0 1 2 3
数字信号处理教学课件-第一章 离散时间信号与系统
三、序列的基本运算 1、序列的和 ：
❖ 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成
z(n) = x(n) + y(n)
的新序列x。(n)
22 1 11
0 123456 n
…… z(0) = x(0) + y(0) = 3 z(1) = x(1) + y(1) = 2 z(2) = x(2) + y(2) = 3 z(3) = x(3) + y(3) = 2 z(4) = x(4) + y(4) = 2
3 x(-n+1)
2 1
x(-n+1) 是x(-n) 右移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
3
x(-n-1)
2
1
x(-n-1) 是x(-n) 左移一位后的序列
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n
2020/7/27
❖ 仿真实验(Matlab)
x = wavread(‘w2.wav’); %读入声音文件 y = fliplr(x); %反褶 figure(1); plot(x); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(y); grid on;
……
y(n)
11 1 1 1
0 123456 n z(n)
33 2 22
2020/7/27
0 123456 n
❖ 仿真实验(Matlab)
x1=wavread(‘w1.wav’); %读入声音文件 x2=wavread(‘w2.wav’); y=x1+x2; %序列求和 figure(1); plot(x1); grid on; %画图显示结果 figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,‘w3.wav’); %结果保存为声音文件
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
离散时间信号与离散系统
三、离散信号的基本运算
1.加减运算（对应样点值相加减）
如 (n) U (n) U (n 1)
函数
U (n) (n k)
k 0
2.相乘（除）运算（对应样点值相乘除）
如 因果信号（序列）f (n)U (n) — — — n 0 才有非零值
离散信号与系统的时域分析
反因果信号 f (n)U (n 1) ――― n 0 才有非零值
n －m n －m
0
m
注意： （1）f (n) 1与 (n) 区别
（2） (t) 与 (n) 区别
离散信号与系统的时域分析
n
函数
2. 单位阶跃序列
1, n 0 U (n) 0, n 0
位移
U
(n
m)
1, 0,
nm nm
注意与 U(t) 区别
3.矩形序列
1, GN (n) 0,
0 n N 1 其他
离散信号与系统的时域分析
U(n)
1
仿真
源码
0 12 GN(n) 1
0 1 N-1 N
n
函数1
函数2
仿真
n
源码
仿真 源码
以上三种序列关系
（1）U
(n)
(nk)＝n Nhomakorabea(k
)
k 0
k
t
U (t) ( )d
证明：
(n k) (n) (n 1) (n 2) ...
k 0
k
n
(k
(1 2
n),
f
(2n)
f
(n)
解：f (n) {10
n0,1,2,3 其他
1
12 3
函数
第一章 离散时间信号与系统1
根据定义
n y ( n ) 1 ( 1 ) k , n 1 2 2 k 1 y ( n) 0, n 1
14
我们计算几个值，画出图形。显然，
n 2 n 1 n0 n 1 n2
y(2) 0
1 3 2 2 3 1 7 y(1) y(0) x(1) 2 4 4 7 1 15 y(2) y(1) x(2) 4 8 8
j 0 n
0 ：复正弦的数字域频率 用欧拉公式将复指数序列展开： n n n x(n) e (cos0 n j sin 0 n) e cos0 n j e sin 0 n
用极坐标表示 其中 x(n)
x(n) x (n)
n
e
j arg[ x ( n )]
f2 (t )
0 1 1 0
, t 1 , 1 t 1 , 1 t 3 , t 3
定义域是连续的（-∞，∞），但是函数值只取-1，0，1三个离 散的值。（在间断点-1，1，3处一般不定义其函数值） f 以上两例中，1 (t ) 我们也称为模拟信号。
8
2 n , n 1 1 1 1 1 z (n) x(n) y(n) 2 ( 2 ) 2 3 , n 1 2 1 1 n 2 ( 2 ) n 1, n 0
图 1· 9 在求序列的和的时候要注意：相同序列 (n) 的序列值相加。
9
4．积（相乘） 两序列的积指相同序号 (n) 的序列值逐项对应相乘： z (n) x(n) y(n) 0.5, n 1 1.5, n 0 例1.1.4已知序列 x(n) = 1, n 1 求 y(n) x(n) 2 x(n) x(n 2) 0.5, n 2 0, n为其它值
6.离散时间信号与系统的时域分析
0, n 1 1 z ( n) x ( n) y ( n) , n 1 2 1 n 1 ( 2 )( n 1)( 2 ) , n 0
6 线性时不变离散系统的时域分析
5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为
y ( n)
k
x(k ) x(n) * u(n)
n
根据上述性质可以推得以下结论：
f (n n1 ) * (n n2 ) f (n n1 n2 )
6 线性时不变离散系统的时域分析
例 已知 x1 (n) (n) 3 (n 1) 2 (n 2) x2 (n) u(n) u(n 3) 试求信号 x (n) ，它满足 x(n) x1 (n) x2 (n) 解：可利用上面讲述的性质求解。
1 1/ 2 1/4 -2 -1 0 1 1/8 ... 2
n
x(-n) 1 1/2 1/8 1/4 ... -2 -1 0
1
2
n
6 线性时不变离散系统的时域分析
3.序列的加减 两序列的加、减是指同序号(n)的序列值逐项对 应相加得一新序列。
6 线性时不变离散系统的时域分析
例：
x(n) 1 1/2 1/4 -2 -1 0 y(n) 2 1 1/4 1/2 1 2 n …
6 线性时不变离散系统的时域分析
2.单位阶跃序列
u（n）
1, u ( n) 0,
n0 n0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
(n) u (n) u (n) u (n 1)
m 0
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、 连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、 离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ下图表示了)(n k -δ的波形。
连续信号离散信号 数字信号 取样量化这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+(a) 0.9a = (d) 0.9a =-(b) 1a = (e) 1a =-(c) 1.1a = (f) 1.1a =-双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、 离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
第一章 离散时间信号与系统3,4,5
1 h(0) h(1) (1) 0 a 1 h(1) h(0) (0) a 1 a 1 h(2) h(1) (1) a 2 a ┇ 1 h(n) h(n 1) a n a 0, n 0 ∴ h(n) a n u (n 1) h( n) n a , n 0 从上一节例题知道，此系统是非因果系统，当 a 1 时，系 统稳定。 同样道理，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不 变系统，同样取决于所选的边界条件，边就是说边界条件合适 时，一个常系数线性差分方程相当于一个线性移不变系统。例 如上面例题，边界条件为：
边界条件 y (0) 1，讨论此系统是否是线性移不变系统。 解：（1）令 x1 (n) (n) , y1 (0) 1 ←讨论 n 0 的情况 y1 (1) ay1 (0) x1 (1) a 则 y1 (2) ay1 (1) x1 (2) a 2
┇ y1 (n) ay1 (n 1) x1 (n) a n
在以后的讨论中，我们都假设常系数线性差分方程就代表线 性移不变系统，而且在大多数情况下，代表可实现的因果系统。 差分方程表示法的优点：可以直接得到系统的结构（将输入 变换成输出的运算结构，并非实际结构）例如： y(n) b0 x(n) a1 y(n 1) 方框图表示法如下：
§1.4连续时间信号及傅里叶级数 1．单位阶跃信号
1
第1章离散时间信号与系统-
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
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40
例 ： 判 断 系 统 y ( n ) x ( n ) s i n ( 2 n ) 是 否 线 性 97
：N 解 1 g2 2 c 3 ,4 3 d 4 )6 6 ( 72 N 2 g3 3 c 3 ,2 3 d 2 )4 4 ( 54
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35
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？
当 1 4 T 3 T 0 时 ， x ( n ) 为 周 期 为 1 4 的 周 期 序 列
37
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
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返回到本章
38
1.2 线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成 输出序列的一种运算， 记为：T[]
要 使 x ( n N ) x ( n ) ， 即 x ( n ) 为 周 期 为 N 的 周 期 序 列
则 要 求 0N2k， 即 N 20k， N ， k为 整 数 ，
且 k的 取 值 保 证 N 是 最 小 的 正 整 数
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分情况讨论
2 N 0 k
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8
（3）和
x(n)x1(n)x2(n)
第1章离散时间信号与系统
右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 上图为：
与
的线性卷积。
计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面 举例说明。
y[k] x[n]h[k n] n
例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[kn] * x2[km]。
结论： y1[k]= y[km+n)]
例：x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4
求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
单位脉冲响应（Impulse response）
定义： h[k ] T{ [k ]}
例：累加器:
k
y[k] x[n]
n
h[k ] u[k ]
LTI系统对任意输入的响应
T{x[k]} T{ x[n][k n]}
n
x[n]T{[k n]}
n
x[n]h[k n]
n
x[k]* h[k]
第1章离散时间信号与系 统
2021年8月29日星期日
离散信号(序列)的表示
2 x[k]
1
1
1
2
k
-1
0
1
3
-1
x[k] {1,1, 2,1,1}
x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}
离散序列的产生
▪ 对连续信号抽样 x[k]=x(kT) ▪ 信号本身是离散的 ▪ 计算机产生
信号与系统 07离散时间信号离散时间系统
arg ?x?n??? ? 0n
§7.3 离散时间系统的数学 模型—差分方程
?用差分方程描述线性时不变离散系统 ?由实际问题直接得到差分方程 ?由微分方程导出差分方程 ?由系统框图写差分方程 ?差分方程的特点
第
一．用差分方程描述线性时不变离散系统2页7
线性： 均匀性、可加性均成立；
x1 (n )
数值。
离散正弦序列 x?n?? sin?? 0n?是周期序列应满足
x?n ? N ?? x?n?
N称为序列的 周期，为任意 正整数 。
第
正弦序列周期性的判别
23 页
① 2π ? N，N是正整数
?0
sin?? 0 ?n ? N ?? ? sin
正弦序列是周期的
???
?
0
????n
?
2π
?0
????????
3.1
1.5 0.9
o T 2T 3T t
fq ?t ? 4
幅值量化 —— 幅值只能分级变化。
3
2
1
o T 2T 3T t
数字信号： 离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
离散时间系统的优点
第 5
页
?便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优 越性； ?容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精 度取决于位数； ?可靠性好； ?存储器的合理运用使系统具有灵活的功能； ?易消除噪声干扰； ?数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大 大改善了系统的灵活性和通用性； ?易处理速率很低的信号。
??
?
?? n? 0
??
第
2．单位阶跃序列
18 页
u(n )
?
数字信号处理_离散时间信号与系统
离散时间信号与系统
主要内容
1、知识回顾
…
2、离散时间信号与系统
常用序列及其运算 LTI系统的概念及其因果稳定性的判断 系统的差分方程描述及其求解 信号的采样与恢复
2
知识回顾
1、什么是信号？
——是信息的物理表现形式，是信息的载体。 根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、光的、机
4
周期信号和非周期信号（信号随时间变量变化的规律） ——信号波形按一定的时间间隔随着自变量周而复始的变化，而且无始
无终。 周期信号满足一下条件： 连续时间信号：x(t)=x(t+kT) 离散时间信号：x(n)=x(n+kN) k为整数，满足条件的最小正实数T或正整数N称为信号的周期
——不满足上述关系式的信号是非周期信号。
械的、热的等各种信号 ——在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数。 变量：时间、空间坐标、温度、压力…
本门课主要讨论一维时间信号。
3
2、信号的分类
确定性信号和随机信号（信号与时间的函数关系） ——确定性信号指信号在任意时刻的取值能精确确定，可以用 明确的数学关系式表示的时间函数 （如正弦信号）。 ——随机信号不能用确定的时间函数来描述，其函数（信号） 值具有随机性，只能用统计方法分析（如噪声）。
出均为离散时间信号。 ——数字系统：系统输入、输出均为数字信号。
18
第一节 常用序列及其运算
1.1 离散时间信号——序列
在离散时间系统中，信号要用离散时间的数字序列来表示。
20
1.2 序列的运算
序列的运算包括移位、反褶、尺度变换、和、积、累加、差 分、卷积等。 1. 移位
——设某一序列x(n)，当n0 为正时，x(n-n0)是将x(n)沿n轴正方向平移n0 个序号，x(n+n0)是将x(n)沿n轴负方向平移n0个单位。n0为负时， 则相反。
离散时间信号与系统
稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。
充要条件
当且仅当 时，该线性时不变系统是稳定的。
充分条件
证明：如上式成立，且x有界，即对所有n，|x(n)|<m，
则
y有界，满足充分条件。
必要条件
反之，如h(k)不符合上式，S=∞，则可求得一种有界输入，能使该系统产生一个无界输出。如取输入为
4
3
6
5
2.2.5 稳定性
线性时不变(LTI)系统
01
——既满足叠加原理又具有时不变性的系统。
02
这类系统在信号处理中特别有用，因为线性系统是用叠加定理定义的，如果将序列表示成一组单位样本序列的线性组合，那么线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。
03
2.3 线性时不变系统
我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应， 则系统对任一输入序列x(n)的响应为 由于系统是线性的，满足叠加定理
两种表示方法：
01
相位:
03
幅度:
02
主值:
04
可逆性
共轭对称序列
共轭反对称序列
一般序列的表示
2.8傅里叶变换的对称性质
1 和 具有相同的幅频响应：
下图分别为 和 的相频响应图
同理幅频响应相同(同1)，相频响应不同：
下面两图对比可发现相频响应互为轴对称
01
相频响应： 的相频响应为 即x[n]的共轭反对称部分的傅氏变换为虚数
以下性质仅适用于x[n]为实序列 共轭对称 （实部为偶函数） （虚部为奇函数） （幅度为偶函数） （相位为奇函数）
线性
2.9 傅里叶变换定理
第一章 离散时间信号和系统
30
一、线性时不变系统
1.线性系统
y1 ( n) T [ x1 ( n)]
y2 ( n) T [ x2 ( n)]
（1）可加性 （2）奇次性
y1 (n) y2 (n) T [ x1 (n) x2 (n)]
u( n) ( n m )
m 0
(n)
1
0 u(n)
1
0 1
n
…
n
22
(3). 矩形序列
1, 0 n N 1 R N ( n) 0 , 其他n
RN (n) 和 (n) 、 (n) 的关系为： u
RN (n)
RN (n) u(n) u(n N )
取和
11
例1 - 1 - 2 已知x(n) h(n) 1 ， 3，求x(n) h(n)。 2， n 0
x(m)
解：
（1）翻褶 (2) 移位、相乘、累加
n<0, y(n)=0 n＝0, y(n)=1 n=1, y(n)=1•2+2•1=4 n=2, y(n)=1•3+2•2+ 1•3 =10
(n 1) 2 (n) (n 2) 0.5 (n 3) 1.5 (n 4) 28
1.2 离散时间系统
29
离散时间系统定义: 离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
x(n)
T[.]
y(n)
y(n)=T[x(n)]
例如 理想时延系统 : y ( n) x( n n0 )
2
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。
离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。
其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。
有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。
无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。
离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。
输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。
不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性离散时间信号与系统具有许多特性。
其中一些重要的特性包括时域特性、频域特性和稳定性。
时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。
离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和单位阶跃响应来描述。
频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。
其中一些常见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和解码。
它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
第1章离散时间信号与系统
2 (a)若： N ，N为整数，则序列的最小周期为N
0
(b)若： 2 N S L ，N为有理数但不是整数，L、S 0
为整数，则序列的最小周期为S。
2 0 N , 不是有理数，则序列是非周期性的 (c)若：
所以 x(n) 的周期N是 N1 , N2的最小公倍数30
(2) 1 2 1 , N1 8 ; 4 14
2
4
, N2
2 8; 4
13
N1/N2是无理数，所以x(n)是非周期的。
n0 n0
u(n-n0),n0>0
…
-1
…
0 1
(a)
2
3
n
… … -1
u(-n0-n),n0>0
…
0 1 (b) n0
… …
n
… … 图1.1.2
-n0
…
-1
… 0 1 …
n
思考： u(n+n0),n0>0; 的图形。
4
(c)
单位脉冲序列与单位阶跃序列的相互关系：
(n) u (n) u (n 1)
u(n) (n) (n 1) (n 2) (n m)
m 0
5
（３）矩形序列 (Rectangle sequence)
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
RN ( n )
1
…
0 1
-3 -2 -1
第1章 离散时间信号与系统
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（9.59）
这个符号代表一个变换而非一个函数；就是说，T(x[n])不是一个来替代x[n]和直接计算y[n]的数学函数。
有关输入x[n]和输出y[n]的方程组被称为一个数学模型，或者简单来说，模型。给定输入x[n]，就有对应的解y[n]。时域离散系统的模型，通常是一组差分方程。
通常被用于采样的硬件在标9.1(b)中。正如第一章所述，模数转换器（A/D或ADC）是一个电子电路，将每个样品取样电压信号并将其转换成一个二进制数，二进制数字可以被发送到数字计算机来被处理。因此，一个A/D勇于生成和传输数列给计算机。取样时间是由计算机的定时脉冲决定。
一个信息是关于符号整齐的。符号f（t）表示一个连续信号。符号f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符号f[n]表示一个时域离散信号，只被定义在整数。圆括号表示连续时间；括号表示离散时间。然而，这个符号不是万能的；他在这里是用来区分f(nT)和f[n].如果f[n]是有f(t)间隔T秒采样而得，然后
如上所述，一个离散信号只被定义为在离散的时间。例如，假设一个连续时间信号f(t)被一个数字电脑处理。[这个操作成为数字信号处理DSP。]因为计算机处理一个数字，连续时间信号必须被转换成一个序列。这种转换过程叫做采样。如果信号是按时间t的增量采样的，数字序列f(nT),n=…,-2,-1,0,1,2,…,结果。时间增量T被称为采样周期。（这里与接下来的章节有一点混乱的危险，符号T被用于表示采样周期，而在章节5和6不是这样.）图9.1(a)所示是采样过程，其中每个样本值由通过一条垂线端点表示。
比如这个信号，正弦曲线，我们在第9.3节中提到过。例如，一个数字计算机可编程输出一个离散正弦信号来产生可变频率的声音。离散正弦信号传输到计算机数字模拟转换器（D/A），模数转换器是一个电子电路，它可以把二进制数转换为一个时间连续的电压信号。（见1.3章）然后这个电压通过功率放大器到达扬声器。计算机定时芯片用来确定采样周期T还有，音调的频率。
以我们现在使用一个系统为例，来介绍常见的时域离散信号。本装置的例子是在数字计算机中的以为计算机或者内存的位置。每隔T秒，我们改变储存在设备的数量。然后一个不同的数字被转换到设备然后被存储下来。如果我们用x[n]来表示转换到设备的数字，那么被转移出的数字一定是x[n-1]。按这种方式使用的设备称作一个理想时间延迟。长期的理想表明，数字不会有任何方式的改变，仅仅是被延迟。
其中A和B是常数，不一定是整数，例如：
,
值A=-3.1产生振幅反转（因为符号为负）还有幅度缩放（ ），还有值B=-5.75给出了信号的振幅变化的直流电平移位（平均值）。现在幅度缩放的一个例子已经给出了。
9.3时域离散信号的特征
在2.2章节中，我们定义了时域连续信号的一些有用的特性。现在我们考虑时域离散信号的相同的特征。
在这个等式中，x[n]是琼斯指数今天的平均值，x[n-1]是琼斯指数昨天的平均值，等等。而y[n]是最近20天的平均值。在数字计算机中实现该算法，延迟实现了19个记忆坐标。
方程（9.66）可以被认作一个数字滤波器，他的输出滤波为日平均。所有数字滤波的重要理论都可以用来确定这个系统的特性。例如，每日随机波动在20日平均值的作用是什么？如果每日平均值发生一个显著的变化，那么有多少延迟在这个变化改变20日平均值之前？本章中的定义允许我们把系统分类，以便于能够更好的回答这样的问题。此外，离散傅立叶变换（本书12章中）将让我们能够确认这样的系统的特性。
(9.5)
这种类型的方程叫做差分方程。一般的n阶常系数线性差分方程的形式为
,(9.6)
其中常系数为ai和bi是常数，i=1,2,…,N。把n替换为(n+N)，我们也可以把差分方程表达为
,(9.7)
(9.6)和(9.7)的格式被用于指定的差分方程。在本章节，我们考虑的时域离散信号是在(9.6)和(9.7)中x[n]和y[n]的类型还有差分方程描述的离散系统。但是，我们不限制差分方程是否为线性。
时间标度
给定一个信号x[n]，时间缩放版本的这个信号为
,(9.21)
这里我们只考虑在a=k或者a=1/k的情况下（k的值为整数）。为了看起来更清晰，这里在此把原始信号的时间变量替换为m。
振幅变换
接下来我们考虑关于振幅的3个变换。振幅变换也沿用与时间变换的相同的规则。
三种振幅变换的基本形式为
，（9.24）
我们看到输出是取决于输入的过去的所有的值。
第二个有记忆离散系统的例子是，他的输出为输出的最近两个值的平均值。描述这个系统的差分方程为
这个方程是平均滤波器；他是一个在电视画面生成图片时的应用程序。（见参考文献，章节1.3）
第三个有记忆离散系统的例子是，计算琼斯工业指数在美国股市的20天的平均值。这个系统的差分方程为
接下来，x[n]表示系统输入，y[n]表示系统输出。我们用这种符号来表示他们的关系。
（9.63）
就像时域连续系统那样，我们把这种关系比作x[n]产生y[n]。这和（9.63）关系式有相同的意义
[等式（9.59）]
这里给出的定义与在2.7章中对时域连续系统的定义相似。
有记忆系统
我们首先对有记忆系统一个定义：
在9.1节中描述的欧拉积分和差分方程是一个时间离散系统的例子。
[eq(9.5)]
在这个方程中，x[n]是数字积分器的输入信号，y[n]是输出信号。一个数字控制系统是一个由数字计算机控制的系统，它没有人类的干预。一个例子是商业飞机的自动着陆系统。某些种类的数字滤波器的基础成分在数字控制系统被用于积分器。欧拉积分是被用于这些滤波器中。另一种流星的积分器是基于梯形规则。（见习题9.22）
时间变换
首先，我们考虑3次变换。在这些变换中，为了更清晰理解，我们用m来表示原始信号中的时间，用n来表示信号变换后的离散时间。
时间反转
对于时间反转信号x[m]，我们用-n来取代独立变量m。这样，我们得到
,(9.20)
其中y[n]表示变换后的信号。这个操作可以得到x[m]关于坐标系垂直轴的镜像效果。
在第十章中我们将看到，时间反转的一个应用是在计算某些系统的响应。
让y(t)作为下面x(t)的积分：
(9.2)
x(t)的积分从t=0到t=nH在图9.2中表示为可积的，对于t=0到t=(n-1)H加上积分(n-1)H到nH。因此，在公式(9.2)中，
(9.3)
忽略锁设计的近似，我们把方程表示为
(9.4)
然而，y(nH)只是x(t)在t=nH时的一个近似的积分。
以前讨论的时域离散信号中的符号，(9.4)被解释为
f(nT)=f(t)|t=nT
还有
f[n]=f(t)|t=nT≠f(t)|t=n（9.1）
公式9.1(c)阐述了数字信号处理的整个系统。将时域连续信号f(t)采样，得到时域离散信号f(nT)=f[n]；处理器输出的信号是g[n]；f(t)定义在所有的时间，g[n]仅被定义在n个整数；例如，g[1.2]根本不存在。
时域离散信号x[n]的6种变换。其中3个变换是关于独立变量n和其他3个独立变量x[•]。
对于离散信号变化的命名，我们继续使用术语离散时间，或者单时间点，对于离散增量变了n，由于通常，我们考虑到采样信号。对于采样信号，我们用n来表示时间t=nT，T为采样周期。
总之，一个时间离散信号就是一个数字序列。序列通常被表示为{f[n]}，这个符号代表序列…,f[-2],f[-1],f[0],f[1],f[2],…我们通常认为f[n]，其中n是一个整数，没有定义的。
一些工程师对时域离散信号感兴趣的原因有以下几个：
1.如果我们使用数字信号处理采样是必要的，这比模拟信号处理更有通用性。
9.1时域离散信号与系统
在这一部分中，我们介绍了时域离散信号的例子。我们用数值积分为例。加入我们希望一个电压信号，x(t)，使用一个数字计算机。由数字计算机集成需要我们用一个数值算法。在一半情况下，数值算法是基于近似一个信号与一个位置积分和一个信号有一个已知积分。因此，所有的集成算法在本身是近似。
我们使用欧拉法则(在章节1.3中讨论过的)，在图9.1中描绘的。欧拉规则估算曲线x(t)下的面积由显示的矩形区域的和表示。在图中步长H（每个矩形的宽）被称为数值积分增量。该算法的实施要求x(t)在每H秒被采样，结果为数列x(nH)，n为整数。
一个时域离散信号的平均值是有下面这个公式得来：
（9.31）
和时域连续信号的情况一样，一个时域离散信号的平均值包含在偶部分，奇信号的平均值总是为零。（见习题9.11）
奇偶信号有一下几个特性：
1.两个偶信号的和是偶信号。
2.两个奇信号的和是奇信号。
3.一个奇信号与一个偶信号的和既不是奇信号也不是偶信号。
一个时域离散信号x[n]可以作为一个幅度连续的信号，他的振幅可以是任意值-∞<x[n]< ∞。第二类时域离散信号是一种离散复读信号，其中x[n]只能取被定义的幅度。一个幅度离散时间离散的信号也被称作数字信号。
一个复读离散时间离散信号的例子是一个数模转换器的输出。（见表1.19）例如，如果数模转换器输出8位二进制，输出信号幅度只能为28=256个不同的值。幅度离散时域离散信号的第二个例子是任何一个在数字计算机内部的信号。
奇偶信号
在本节中，我们定义了奇偶信号（函数）。如果一个时域离散信号xe[n]是偶信号的话
xe[n]=xe[-n]（9.25）
如果xo[n]是奇信号的话
xo[n]=-xo[-n]（9.26）
任何时域离散信号x[n]都可以表示为一个奇信号与偶信号的总和：
x[n]=xe[n]+xo[n]（9.27）
为了证明这一点，我们用-n来替代变量n
记忆
一个有记忆的系统，它在n0时刻的输出取决于输入的值x[n0]。否则，这个系统是无记忆的。
对于一个离散信号x[n]，时间是由离散增量n表示。一个简单的无记忆的时域离散系统的例子为：