正切函数的主要性质

y 3 tan u在u （k ，k ）， k Z上单调递增 . 2 2 1 1 y 3 tan( x )在k 〈 x 〈k 2 4 2 2 4 2


3 即x （2k ， 2k ）上单调递增 . 2 2
返 回
例6.求函数

k (1) y tan x , x ,( k Z ) 4 2 x (2) y 5 tan , x (2k 1) ,( k Z ) 2 4.不通过求值，比较大小 ：
(1)tan138。 与tan143。
13 17 （） 2 tan （ ）与tan （ ） 4 5
(3).y A tan(wx )的周期公式T

w
，它没有极值，在定义
域上不具有单调性，也 不存在减区间。
1.观察正切曲线，写出满足下列条件的x的
值的范围 . (1)tan x 0,(2)tan x 0,(3)tan x 0
2.求函数y tan3x的定义域 .
3.求下列函数的周期：
3.(1)T
1.(1) x ( k , k ),( k Z ) 2 (k Z ) (2) x k , (3) x ( k , k ),( k Z ) 2 k k 2. x ( , ),( k Z ) 3 6 3 6
4
, 那么函数 y tan z的定义域
所以函数 y tan( x )的定义域为 4 x | x k , k Z 返 回 4
例2.不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小. 11 13 tan( )与tan （ ） 4 5
11 3 解： tan （ ） tan （ ） 4 4
(2)T 2
4.(1)tan138。 < tan143。
13 17 （） 2 tan （ ） tan （ ） 4 5
y tan x 3 2
的定义域、周期和单调区间。

x
解：函数的自变量x应满足 2

3
k

2
,k Z.
即
1 x | x 2 k , k Z . 所以，函数的定义域是 3 f ( x ) tan x tan x 由于
叫做正切曲线.

2
k , (k Z )的图象 , 并把它
y

3 2


2
0
2

3 2
x
从图中可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线
x

2
k , (k Z ) 所隔的无穷多支曲线组成的.
正切函数的主要性质如下:
定义域
x | x k , k Z 2
例3.求下列函数的周期. y 3 tan(2 x ) 4 分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期 为 来解. 解:（ f x ） 3 tan （ 2x ） 4 3 tan(2 x )
3tan 2( x ) 2 4
现在利用正切线画出函 数y tan x, x (
y

, )的图象 2 2


1




2


4
o1
0

4

2
x
1
y tan x , x ( , ) 2 2

利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数
y tan x, x R且x
例题 例题
值 域
周期性 奇偶性
实数集
T
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（
例题
例题 例题
单调性

k， k），k Z内为增函数 2 2

例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4
解：令 z x

是 x|z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
3 3 3 1 又 < < < 2 4 5 2
13 3 tan( ) tan( ) 5 5
说明:比较两个正切型函数的大小,关键是把相应的角 诱导到y=tanx的同一单调区间内,利用y=tanx的 单调递增性来解决. 返 回
3 1 函数 y tan x，x （ ， ）是增函数 2 2 3 13 tan( ) tan( ) 4 5 11 13 即tan （ ）< tan （ ） 4 5
2 3 2 3
1 x 2k , k Z . 3
tan x 2 f ( x 2), 3 2
因此函数的周期为2 由 k x k , k Z 解的
5 1 2k x 2k , k Z . 3 3 1 5 因此，函数的单调区间是 2k , 2k , k Z . 3 3 2 2 3 2
(1). y tan x的作图是平移在（ ， ）上的图象得到的。 2 2 y
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3 2


2
0
2

3 2
x
(2).y tan x的性质
定义域
x | x k , k Z 2
值域 周期 奇偶性 单调增区间
对称中心
R

k） , k Z x k , k Z 奇函数 （ 2 k， 2 2
4
f (x

周期T

2
2
)
返 回
例4.判断下列函数的奇偶性：
y 2 cos x tan x
解： y 2 cos x tan x的定义域
为 x x k ，k Z 关于原点对称 2
f ( x) 2 cos( x ) tan( x ) f ( x )
f ( x)为偶函数 .
说明：函数具有奇.偶性的必要条件之一是定义域 关于原点对称，故验证f（-x）=f（-x）或 f（-x）= -f（x）成立前，要先判断定义域 是否关于原点对称.
返 回
例5.求下列函数的单调区间：
1 y 3 tan( x ) 2 4
分析：利用复合函数的 单调性求解 1 解：令 u x ，则 y tan u 2 4 1 u x 为增函数， 2 4