激光原理 非均匀增宽介质的增益系数

2.4 非均匀增宽介质的增益饱和
回顾非均匀增宽 回顾非均匀增宽
f (v)
△非均匀增宽情形:只有 非均匀增宽情形: 谱线中心频率与入射光表 谱线中心频率与入射光表 观中心频率相应的粒子才 观中心频率相应的粒子才 参予受激发射/ 参予受激发射/吸收
对线型函数为fD(ν)的非均匀 多普勒加宽工作物质,在计算增益 系数时,必须将反转粒子数密度 Δn按表观中心频率分类。
µ
f (v) 的中心频率,当
v − v1 >
∆v 时的 2
f (v) 的
值迅速趋近于零,实际上 v1 的取值范围为
∆v ∆v ～v1 + 2 2 ∆v ∆v 0 v1 − < v < v1 + G D (v)实际是由频率在 2 2 范围内的粒子数密度反转分布 值贡献的,在此范围内 f D (v1 ) ⇒ f D (v) v1 −
1
③当入射光频率为v1时,对谱线中心频率 为 vc = vb + dv 的粒子,由于入射光频率v1偏 离中心频率vc已大于 (1+
I 12 ∆v ) ,所以 Is 2
∆n (υ)
引的光波仅使围绕中心频
A→A1 → B→B1 → C→ C →
ν1、宽度为 ν − ν1 = ±[1+ (I Is )]1 2 ⋅ (∆ν 2)范 率
三.图(2-12)描绘了 ν1 光波对频率为 ν 的粒子数密度反转 分布的饱和作用以及起作用的频率范围。
∆n(v)
A→A1 → B→B1 →
四.反转粒子数 ∆n(v) 烧孔效应 曲线1: 较小 较小( 小信号情形； 曲线 I较小 I << I s ),小信号情形； 小信号情形 较大( 大信号情形. 曲线2: 较大 曲线 I较大 I ~ I s ),大信号情形 大信号情形 原因:非均匀增宽物质中特定类 型粒子只与特定频率v的入射光 有相互作用.
= ∆n B21
0
µ
c
hν ⋅ f D (ν) ⋅ ∫
∞
0
dν1 ∆ν 2π (ν − ν1 ) 2 + ( ∆ν 2) 2
由归一化条件
= ∆n B21
0
µ
c
hν ⋅ f D (ν)
G ( v ) = ∆ n B 21
0 D 0
µ
c
hν ⋅ f D ( ν )
0 GD (ν0 ) 二. 中心频率处的小讯号增益系数 1 ∝ ∆v D 2µ ln 2 12 0 0 GD (ν0 ) = ∆n B21 hν0 ( ) c∆νD π 0
v
v1
频率v1的准单色入射光入射时:
①当入射光频率为v1时,对谱线中心频率为 va = v1的粒子刚好是A点的中心频 率,因此,在光强为I的光波作用下 ∆n(v1 )下降到 A 点. 1 ②当入射光频率为v1时,对谱线中心频率为 b = v1 + dv 的粒子,由于入射光频率 v v1偏离中心频率vb,所以引起的饱和效应较小，它仅下降到 B → B 点.
图(2-14) 非均匀增宽型激光器 中的增益饱和
增益曲线烧孔的孔 宽和孔深随饱和信 号光强的增大而变 宽、变深
vx
GD (v)
υ1 −υ0 − c υ0
υ1 −υ0 c υ0
∆n(vx )
2υ0 −υ1 υ0
υ1
υ
2.4.1 介质在小信号时的粒子数反转分布值
一.在系统到达动平衡时，对非均匀增宽介质仍有： ∆n 0 ∆n = n2 − n1 = (2-7) 1 + τ 2 B21ρf (ν)
0 ∆n 0 = ∆n2 − ∆n10 = R2τ 2 − ( R1 + R2 )τ 1
(2-8)
二.由于介质内的粒子在作紊乱的热运动，粒子运动的速度沿 腔轴方向的分量满足麦克斯韦速度分布律 (小信号情况下) E2能级上的粒子中速度在υ1 − υ1 + dυ1 之间的粒子数密度为
{
∝ ∆n
2.4.3 非均匀增宽介质稳态粒子数密度反转分布
一.当频率为 ν1 、光强为I 的光波在其中传播时，对中心 频率为 ν1 的粒子来说:(由(2-10)式)
∆n 0 (ν1 ) ∆n 0 ∆n(ν1 ) = = f D (ν1 ) 1+ I Is 1+ I Is
二.当频率为 ν1 、光强为I的光波在其中传播时，对中心 频率为 ν 附近单位频率间隔内粒子数反转分布值 ∆n(ν) 的饱和效应规律为： ∆n 0 ∆n 0 (ν) ∆n(ν) = = f (ν ) f (ν1 ) f (ν1 ) D I I 1+ 1+ I s f (ν ) I s f (ν ) ∆ν 2 2 (ν1 − ν) + ( ) 2 ⋅ ∆n 0 f D (ν) = I ∆ν (ν1 − ν) 2 + (1 + )( ) 2 Is 2
图(2-13) 非均匀增宽型增益饱和曲线
1+
I ∆ν的范围内有增益饱和作用，如图(2-13) Is
只是孔的深度浅了一点。
0 GD (ν1 ) 3.在频率为 ν1 、强度为I 的光波作用下，G (ν ) = 3. D 1 I 可以计算出介质的增益系数: (1 + )1 2 Is
4.从上面的分析可以看出，光波I 使非均匀增宽型介质发生增 4. 益饱和的速率要比均匀增宽型介质缓慢。
dG (ν ) = ∆n (ν1 ) ⋅ dν1 ⋅ B 21
0 D 0
µ
c µ = ∆n 0 f D (ν1 )dν1 B21 hν ⋅ f (ν) c
f (ν ) hν
2.介质的小讯号增益系数是介质中各种速度的粒子数密度反转 2. 分布的贡献之和，故有 ∞ ∞ µ 0 0 0
G D (ν) = ∫ dG D (ν) = ∫ ∆n f D (ν1 )dν1 B21
故输出激光功率∝ 故输出激光功率∝δS
2.4.4 非均匀增宽介质稳态情况下的增益饱和
1.在非均匀增宽型介质中，频率为 ν1 、强度为I 的光波只在 1. 附近宽度约为 所示 2.增益系数在 ν1 处下降的现象称为增益 2. 系数的“烧孔”效应。孔的中心频率仍 是光频 ，孔宽仍为： I 1 ν1 (1 + ) 2 ∆ν Is
m 12 mυ12 ∆n 0 (υ1 )dυ1 = ∫ ∆n 0 ( ) exp(− ) ⋅ dυ1 = ∆n 0 (υ ) ∫∞ 2πkT 2kT − −∞
三.在非均匀增宽型介质中， 单位速度间隔内粒子数密度反 转分布值随速度的分布情况如 图(2-10)所示。
图(2-10)
∞
∞
∆ n 0 (υ ) − υ
m 12 mυ12 0 0 n2 (υ1 ) dυ1 = n2 ( ) exp( − ) ⋅ dυ1 2πkT 2 kT E1能级上的粒子中速度在 υ1 − υ1 + dυ1 之间的粒子数密度为 m 12 mυ12 n10 (υ1 )dυ1 = n10 ( ) exp(− ) ⋅ dυ1 2πkT 2kT
围内的粒子有饱和作用，因此在∆n(ν)曲线上 形成一个以 ν1 为中心的凹陷，习惯上把它叫 做烧孔效应
υ
v1
孔的深度为 ∆n0 (ν1 ) − ∆n(ν1 ) =
1
I Is ∆n0 (ν1 ) 1+ I Is
I 2 孔的宽度为 δν = (1 + ) ∆ν Is I Is 0 孔的面积为 δS ≈ ∆n (ν1 )∆ν
υ1 c ν1 = ν0 (1 + ) ⇒ υ1 = ( ν1 − ν0 ) c ν0
反转分布值为
mc 2 (ν1 − ν0 ) 2 c m 12 ∆n 0 (ν1 )dν1 = ∆n 0 ( ) exp[− ] ⋅ dν1 2 2πkT ν0 2kTν0
= ∆n 0 f D (ν1 ) ⋅ dν1
1 0 G H (v 0 , I s ) = G H (v 0 ) 2 1 0 G D (v 0 , I s ) = G D (v 0 ) 2 5.从上面的分析可以看出，光波I 使均匀增宽型介质对各种频 5. 率的光波的增益系数都下降同样的倍数；而对非均匀增宽型 介质它只能引起某个范围内的光波的增益系数下降，并且下 降的倍数不同。
0 0
c
hν ⋅ f (ν)
G (ν) = ∫ dG (ν) = ∫ ∆n f D (ν1 )dν1 B21
0 D 0 0 D 0 0
0
∞
∞
µ
c
hν ⋅ f (ν)
dν1 ∆ν ∞ = ∆n B21 hν ∫0 f D (ν1 ) (ν − ν1 ) 2 + (∆ν 2) 2 c 2π
虽然积分是在0～∞区内进行的,但是由于 v1 是
曲线
四.在E1、E2能级间跃迁的粒子辐射的光波也是中心频率 为 ν0 的自然增宽型函数。但由于多普勒效应，在正对着 粒子运动（运动速度为 υ1 ）的方向上接受到的光波的线 型函数变为中心频率为 ν1 的自然增宽型函数了。
ν1 和 υ1 的关系为：
ν0 c d ν1 = d υ1 ⇒ d υ1 = d ν1 c ν0 介质中能够辐射中心频率为 ν1 − ν1 + dν1 光波的粒子数密度
若E2、E1能级的简并度相等，速度在 υ1 − υ1 + dυ1间的粒子数密 度反转分布值为
0 ∆n 0 (υ1 )dυ1 = n 2 (υ1 ) dυ1 − n10 (υ1 ) dυ1
mυ12 m 12 = ∆n 0 ( ) exp(− ) ⋅ dυ1 2πkT 2kT
在E2、E1能级间各种速度的粒子数密度反转分布值之和为
f D (v1 ) (v
f D (ν1 ) 是非均匀增宽介质的线
型函数在 ν1 处的大小. f D (ν) 的 中心频率也是 ν0 ,但 f D (ν) 的线 宽却远大于均匀增宽谱线 f (ν) 的线宽.