特殊角的三角函数值
常用特殊角三角函数值表
常用特殊角三角函数值表常用特殊角三角函数值表下表列出了常用特殊角的正弦、余弦和正切值。
可以通过这个表格来快速计算三角函数的值。
角度：30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°弧度：π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π正弦y=sinx 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0余弦y=cosx √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1正切y=tanx 1/√3 1 √3 不存在 -√3 -1 1/√3 0角度：210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度：7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π正弦y=sinx -1/2 -√2/2 -√3/2 -1.-√3/2 -√2/2 -1/2 0余弦y=cosx -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1正切y=tanx √3 1/√3 -√3 不存在。
√3 -1/√3 -√3 0口诀：奇变偶不变，符号看象限。
在计算三角函数值时，有一个小规律可以帮助我们快速计算。
当角度为偶数时，同名三角函数值等于原三角函数值。
当角度为奇数时，异名三角函数值等于原三角函数值。
同时，符号由象限决定。
例如，sin15°可以看作sin(45°-30°)，因为30°为偶数，所以sin15°等于sin45°的异名函数值，即cos45°。
而cos15°可以看作cos(45°-30°)，因为30°为偶数，所以cos15°等于cos45°的同名函数值，即√2/2.另外，当两个角互余时，它们的正弦和余弦值相等，只是交叉位置不同。
特殊角的三角函数值
同角之间的三角函数的关系
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
求证: sin2 A cos2 A 1.
a b 2 证明 : sin A , cos A , a b 2 c 2 , c c 2 2 a b a 2 b2 c 2 2 2 sin A cos A 2 1. 2 c c c c 即sin 2 A cos2 A 1.
cosA=sinB.
cotA=tanB.
sin 90 cos , cos 90 0 sin ,
0
tan 90 cot ,
0
cot 90 tan ,
0
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin30°等于多少?
则下底BC的长为 __________．
A 30° B D 60° C
【答案】10
24 4.计算： 2(2 cos 45 sin 60) 4 2 3 2 6 原式 2(2 ) 【解析】 2 2 4
6 6 2 2 2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊三角函数值及推导 方式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
(2)cos30°等于多少? (3)tan30°等于多少? (4)cot30°等于多少?
45° 45° ┌ 60°
30°
┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
(5)sin45°,sin60°等于多少? (6)cos45°,cos60°等于多少?
特殊角的三角函数值口诀
特殊角的三角函数值口诀
三角函数是数学中重要的概念，而特殊角的三角函数值口诀则是帮助我们快速记忆各种特殊角的三角函数值的方法。
下面将介绍一些有关特殊角的三角函数值口诀。
0度角
•正弦值：0
•余弦值：1
•正切值：0
30度角
•正弦值：1/2
•余弦值：√3/2
•正切值：√3/3
45度角
•正弦值：√2/2
•余弦值：√2/2
•正切值：1
60度角
•正弦值：√3/2
•余弦值：1/2
•正切值：√3
90度角
•不存在正弦值
•余弦值：0
•正切值：不存在
以上便是有关特殊角的三角函数值口诀，通过这些口诀，我们可以快速地了解各个特殊角的三角函数值，为解题提供便利。
希望这些口诀能够帮助你更加轻松地学习和记忆三角函数的知识。
要特别注意，这些口诀只适用于特殊角度，对于其他角度需要通过计算得出具体数值。
现实生活中，三角函数也被广泛应用于建筑、制图、物理等领域，深入了解三角函数将有助于更好地理解这些领域中的问题。
希望通过学习特殊角的三角函数值口诀，能够帮助我们更好地掌握三角函数的知识，提升数学能力，解决实际问题。
特殊角三角函数数值表
特殊角三角函数数值表
三角函数是数学中十分重要的一个分支，它在物理、工程、计算机等领域都有着广泛的应用。
特殊角是指 $0^\\circ$、$30^\\circ$、$45^\\circ$、$60^\\circ$、$90^\\circ$ 这几
个常见角度，它们的三角函数数值是一些基本常数，熟练掌握这些数值对于解决问题非常有帮助。
下面是特殊角 $0^\\circ$、$30^\\circ$、$45^\\circ$、$60^\\circ$、$90^\\circ$ 的正弦、余弦、正切数值表：
角度正弦值余弦值正切值
0°010
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10无穷大
其中正弦值、余弦值、正切值分别代表相应角度下的正弦
函数值、余弦函数值、正切函数值。
特殊角的三角函数数值表可以帮助我们迅速计算出这几个角度下的三角函数值，进而解决一些数学和物理问题。
特殊角的三角函数数值表是数学学习的基础之一，熟练掌
握这些数值表可以为我们的学习和工作带来很多便利。
希望大家能够通过这个数值表熟练掌握特殊角下的三角函数值，提高自己的数学素养！。
特殊角度的三角函数值对照表
特殊角度的三角函数值对照表特殊角度的三角函数值对照表是一个非常重要的数学工具，它帮助我们快速计算一些特定角度的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，特殊角度是指那些可以被简化表示的角度，例如30度、45度、60度等。
下面将为大家详细介绍一张特殊角度的三角函数值对照表。
角度（度）角度（弧度）正弦值余弦值正切值0001030π/61/2√3/2√3/345π/4√2/2√2/2160π/3√3/21/2√390π/210无穷首先，角度为0度时的三角函数值是比较特殊的。
正弦值为0，因为正弦函数在0处为最小值，然后会向正无穷方向增加。
余弦值为1，因为余弦函数在0处为最大值，然后会向负无穷方向减小。
正切值为0，因为正切函数的周期是180度，所以正切在0度处还没有开始一个周期。
接下来，角度为30度时的三角函数值可以通过三角函数的定义和特殊角度三角函数值得出。
正弦值为1/2，因为30度的正弦函数值在三角函数表中是已知的。
余弦值为√3/2，因为30度的余弦函数值是正弦值的补余，通过勾股定理可以得到。
正切值为√3/3，通过反正切函数(arctan)可以得到。
角度为45度时的三角函数值是较为常见的特殊角度，也是勾股定理中的一条基本关系。
正弦值为√2/2，通过正弦函数在45度处的值可以得到。
余弦值为√2/2，因为余弦函数在45度处与正弦函数相等。
正切值为1，因为正切函数是正弦函数与余弦函数的商。
角度为60度时的三角函数值也可以通过特殊角度三角函数值和勾股定理得到。
正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3、角度为90度时的正弦值为1，余弦值为0，正切值为无穷。
在使用特殊角度的三角函数值对照表时，可以根据所给的角度，通过查表快速得出三角函数的值。
这对于在数学、物理等领域进行各种计算和推导时非常有用。
需要注意的是，特殊角度三角函数值表给出的值是近似值，通常保留到小数点后几位，具体的计算则需要使用科学计算器或计算机进行精确计算。
特殊三角函数值
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
特殊角的三角函数值
sin30°=
A的对边 斜边
1 2
cos30°=
A 的 邻 边 斜边
3 2
tan30°= A的对边 3 A的邻边 3
B
1 600
C
2
°A
3
sin60°= A斜的边对边
3 2
cos60°=
A 的邻边 斜边
1 2
tan60°=
A 的对边 A 的邻边
3
sin45°=A的对边 2
B
斜边
2
2
1
cos45°= A的邻边 2
3、 sin60°·cos60° 4、tan45°- sin30° 5、sin60°·tan30°-cos45° 6、tans45°- sin30°-cos60°
7、 cos 45 tan2 30
(1).2
sin
60°
3
tan
30°
1 3
0
(1)2009
(2). (
3
2)0
1 3
1
4
cos
30°
|
12 |
例2、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB= 6 ， BC= 3 。求∠A的度数。
B
A
6
3
A
C
(1)
O B
(2)
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面 半径OB的 3 倍,求α.
练习2：求锐角 的度数:
2sin 2 0
3 tan 1 0 2 sin( 15 ) 3
例3.求适合下列各式的锐角α
( 1 ) 3 t a n α 3
( 2 )2 c o s α 1 2
1
(3) 3tan2 4 tan 3 0
三角函数特殊角值表
一、特殊角三角函数值
角度
120
180
0° 30° 45° 60° 90°
135° 150°
函数
°
°
270 360°
°
角 a 的弧 0
度
sin
0
1
0 —1 0
cos
1
0 —1 — 2
2
2
— 3
—1
0
1
2
tan
0
1
二、诱导公式
—
- 3 —1
0 3
0
3
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关
系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
sin（－α）＝－sinα
——仅供参考
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
特殊角的三角函数值记忆口诀
特殊角的三角函数值记忆口诀
一、特殊角的定义
在三角函数中，特殊角通常指的是0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊角度。
这些角度具有特殊的三角函数值，对于学习和记忆这些数值，可以通过口诀来帮助记忆。
二、口诀的编制
为了方便记忆特殊角的三角函数值，可以借助以下口诀：0度，一个圆缺一点，
sin为零，cos为一，
30度，一角箭头眉，
sin为一半，cos为根三分之一，
45度，锐角二等分，
sin为根二分之一，cos也然，
60度，钟头指牵引，
sin为根三分之一，cos为一半，
90度，劈腿分海洋，
sin是一，cos是零。
三、口诀的应用
借助这个口诀，我们可以轻松记忆0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊角的正弦值和余弦值，从而在学习三角函数时更加得心应手。
四、总结
通过口诀的记忆方法，可以帮助我们更好地掌握特殊角的三角函数值，这对于学习三角函数和解题将大有裨益。
因此，
在学习三角函数的过程中，可以尝试借助口诀这一记忆方法，以提高学习效率。
希望以上内容对特殊角的三角函数值的记忆有所帮助，更好地掌握知识。
三角函数特殊角系数数值
三角函数特殊角系数数值三角函数是数学中的重要概念，它描述了角度和三角形之间的关系。
在三角函数中，特殊角是指常见的角度值，通常是30度、45度和60度的倍数，这些角度往往在数学和科学中经常出现，因此研究它们的三角函数数值具有重要意义。
首先，我们来看一下正弦函数和余弦函数在特殊角的数值。
正弦函数和余弦函数是三角函数中的两个基本函数，它们描述了角度和直角三角形的边长之间的关系。
在特殊角下，正弦函数和余弦函数的数值可以直接通过三角形的边长比例来计算。
例如，在30度角下，三角形的斜边和对边的比值为1：2，因此sin(30°) = 1/2，cos(30°) = √3/2。
在45度角下，三角形的三条边相等，因此sin(45°) = √2/2，cos(45°) = √2/2。
在60度角下，三角形的斜边和对边的比值为2：1，因此sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2。
通过这些数值，我们可以得到正弦函数和余弦函数在特殊角下的数值。
接下来，我们来看一下正切函数在特殊角下的数值。
正切函数描述的是角度和直角三角形的对边和邻边的比值。
在特殊角下，正切函数的数值可以直接通过三角形的边长比值来计算。
例如，在30度角下，三角形的对边和邻边的比值为1/√3，因此tan(30°) = 1/√3。
在45度角下，三角形的对边和邻边相等，因此tan(45°) = 1。
在60度角下，三角形的对边和邻边的比值为√3，因此tan(60°) = √3。
通过这些数值，我们可以得到正切函数在特殊角下的数值。
在实际应用中，特殊角的三角函数数值可以帮助我们简化计算，并且对于计算直角三角形的边长和角度具有重要意义。
此外，在数学和科学领域中，特殊角的三角函数数值也常常出现在各种公式和方程中，因此研究它们的数值具有重要意义。
总之，特殊角的三角函数数值是三角函数中的重要概念，它描述了角度和三角形之间的关系。
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特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．
探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，
2，
分子按角度增加分别为．对于正切，60•度的正切
，即是下
一个角的正切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒
-tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
解：（1）cos 260°+sin 260°=（12
）2+2=1
（2）cos 45sin 45︒︒
-tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，
，，求∠A
的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
a ．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA=3
6
BC
AB
=
2，
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana=3
AO OB
OB
=3
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第80页练习第1、2题．
课时总结
1、学生要牢记下表：
30
°
45
°
60
°
sinα1
2
2
2
3
2
2、特殊三角函数值记忆口诀
1,2,3；
3,2,1；
3,9,27；
弦比2；
切比3；
根号帽子头上戴
3、对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
4、互为余角的两角正切值的积为1。
即tanA×tanB=1 (∠A+ ∠B= ）
5、一个锐角正弦值等于它余角的余弦值；
一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。
即sinA=cos( -A) cosA=sin( -A) 外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3
5，AB=15，则AC
90o90o
90o
的长是（）．
A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．
A．2 B
C
D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤1
2
，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=1
2，
cosB=
2
，
则△ABC的形状是（）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana•的值为（）．
A．3
4B．4
3
C．3
5
D．4
5
7．当锐角a>60°时，cosa的值（）．
A．小于1
2B．大于1
2
C
．大于
2
D．大于
1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1
2，则
sinA+tanA
等于（ ）．
A
1
.2
B C D + 9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC
•则∠CAB
等于（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12
D
．
2
11
）2+│
│=0，则△ABC （
）．
A ．是直角三角形
B ．是等边三角形
C ．是含有60°的任意三角形
D ．是顶角为钝角的等腰三角形 二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______． 13．
cos 45sin 301
cos 60tan 452
︒-︒
︒+︒
的值是_______． 14．已知，等腰△ABC•的腰长为
•底为
30•°，•则底边
上的高为______，•周长为______．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知
tanB=，则
cosA=________．
16．正方形ABCD 边长为1，如果将线段BD 绕点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点D ′处，那么tan ∠BAD ′
=________．
17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，得AB AC CD
CD
-的值为_______．
三、解答题． 18．求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）2cos 602sin 302
︒
︒-;
（4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒
-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°
（6）sin 45tan 30tan 60︒
︒-︒
+cos45°·cos30°
19．在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC ．
20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 为CQ•上，•且∠OBC=30°，分别求点A ，D 到OP 的距离．
30
Q
P
O
D
C
B
A
21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．。