绝对值三角不等式

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探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
acabbc
当 且 仅 当 （ a b ) ( b c ) 0 时 ， 等 号 成 立
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典例讲评
例 1 已 知 ε>0,x-aε, ybε, 求 2x+3y-2a-3b5ε
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典例讲评

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?

A

|a-b|

B

a

b

x

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探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来? 定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当 ab≥0时，等号成立.
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探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量 a , b ，能得出
(1) 当 a , b 不共线时有
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(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
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【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．

所以 a b 1 1 ab
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典例讲评

ab

a

b

例5 求证 1ab1a1.b

证明：在 a b 0 时，显然成立.

当 a b 0时，左边

1 1 1

ab

1 ab 1 1 1ab 1ab
ab

a
1 a
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b
1 b

.

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思考感悟 如 何 理 解 |a| － |b|<|a±b|<|a| ＋ |b| 的 几 何 意 义 ？ 提示：三角形任意两边之差小于第三边，三 角形任意两边之和大于第三边．
大家好
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绝对值三角不等式

探究新知
1.绝对值的几何意义： 如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
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探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
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探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
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探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
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变式训练1 0<a<1，下列不等式一定成立的 是( ) A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2 B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)| C ． |log(1 ＋ a)(1 － a) ＋ log(1 － a)(1 ＋ a)|<|log(1 ＋ a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)| D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋ a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|
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【解析】 (1)法一：特殊值法：取x＝1，y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
ab ab
(2) 当 a , b 共线且同向时有
ab ab
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探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|

ab b
a

ab

a

b

这个不等式俗称“三角不等式”—— 三角形中两边绝之对值和三大于第三边，两边 之差小于第三角边不等式
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探究新知

定理的证明

求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|

当10≤ x ≤20 时取到. y
60
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 40

足条件.

20

0 10 20 30 x

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典例讲评

例3 已知 xa,0yb,y 0,M ，

2M

2a

求证 xyab.

证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a. 2 M 2a

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典例讲评

例 4.已 知 |a|1,|b|1,求 证 ab1

证 明 ： ab

(ab)2 1

1ab
1

1ab

(1ab)2

a 2 2 a b b 2 1 2 a b a 2 b 2

1a 2b 2a 2b 20

(1a2)(1b2)0

由 |a| 1 , |b| 1 ,可 知 (1a2)(1b2)0成 立 ，
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解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2. 由选择题的唯一性，其余可不判断．

·

·

·

10

x

20

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典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km
处，两施工队每天往返的路程之和为
S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2x30 (x 10) S(x) 10 (10≤x≤20)
2x30 (x 20)
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典例讲评

所 以 （ Sx） 的 最 小 值 是 10,
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课堂互动讲练
考点突破
考点一 含绝对值不等式的理解
例1 (1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是 () A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y| C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
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(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|a|－ －b|b||，n＝|a|a|＋ ＋b|b||， 则 m，n 之间的大小关系是________． 【思路点拨】 (1)由于xy<0，x，y异号，利 用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．