绝对值三角不等式
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察； 法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
ab a b
当向量 a, 共b 线时，
同向： a b a b 反向： a b a b
y
ab b
a
O
x
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
绝对值三角不等式的证明方法
绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。
在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。
1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。
2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。
- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。
3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。
即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。
下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。
证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。
即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。
因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。
因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。
6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。
根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。
绝对值三角不等式
a b a b
ab 0 且 a b 时，等号成立。 当且仅当__________________
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b a b a b
ab 0 时，右边等号成立。 当且仅当_________
当且仅当
ab 0 时，左边等号成立； ab
x2 x1 x2 x1 x1 x2 1 x1、 x2 0，且 1 x1 x2 x2 x x1 x2 0， 3 ，
2 2 1
x2 x x1 x2 1 2
2 2 1
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x2 x1 .
证明 : (3)
f (0) f (1)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
f ( x2 ) f (1) f (0) f ( x1 )
又x1、 x2 0， 1
2 x2 1 2 0 x1
求证：
xy ab M
例关于 . x的方程x ax b 0两根
2
为、，若 a b 1， 求证 : 1且 1.
证法1 : 、 是方程x ax b 0两根， + = a， b a b 1
2
+ 1.又 1 ，
方程f ( x) 0的两实根在 11 ，内，
即 1 ， 1.
例4.已知 : f ( x) 1 x ，当a b时，
2
求证 : f (a) f (b) a b
证明 : f ( x) 1 x
绝对值型不等式和三角不等式类型
绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。
绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数)定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。
证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。
绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。
题型一 解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1).【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 绝对值三角不等式的应用[例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)|x |≤1，|a |≤1， ∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1＝－(|x |－12)2＋54≤54. ∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54. 规律：(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________． 解析：|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1＝3－2≤|a ＋b |≤3＋2＝5.答案：5 14．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1| 取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．解：a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a <[|x ＋1|－|x －2|]min.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3.∴a <－3.即a 的取值范围为(－∞，－3)．题型三 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ). 又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ). 解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52. 【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型四 利用绝对值不等式求参数范围【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞). (2)综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2， 解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}， 因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3； ②当3a ＋1＜2，即a ＜13时， B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}， 因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1. 综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.类型一：含一个绝对值符号的不等式的解法含一个绝对值符号的不等式的一般形式为()()f x g x > 或 ()()f x g x <，解这种不等式我们最常用的方法是等价转化法，有时也可用分类讨论法．例1.解不等式2|55|1x x -+<．［分析］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组.解：原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >， 所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［注］本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集.例2. 解不等式4321x x ->+.［分析］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或用分类讨论法解之.方法一：原不等式转化为4321x x ->+或43(21)x x -<-+，解之得原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. 方法二：原不等式等价于4304321x x x -≥⎧⎨->+⎩或430(43)21x x x -<⎧⎨-->+⎩.解之得342x x ⎧≥⎪⎨⎪>⎩ 或3413x x ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2x >或13x <.所以原不等式的解集为123x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或. ［注］⑴.通过例2可以发现：形如)()(x g x f <，)()(x g x f >型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，用同解变形法则更为简洁．⑵.分类讨论法也可讨论()0()0g x g x ≤或而解之，这实际上是同解变形法的推导依据. 类型二：含两个绝对值符号的不等式的解法含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或 1122a x b a x b c +±+<()0c ≥，我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数的方法，有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法．例3.解不等式||||x x +<+123［分析］两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0解：原不等式0)1()32()32()1(|32||1|222222>+-+⇔+<+⇔+<+⇔x x x x x x 解得x x <->-243或，故原不等式的解集为{|}x x x <->-243或 例4.解不等式127x x ++-≥．［分析］解法一 利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）． 不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法二 利用1020x x +=-=，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩，，；（2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩，，无解；（3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩，，． 综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）． 原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩⇔26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，，， 可解得原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．例5 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+［分析］原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，一般会分类讨论去绝对值号解题，即：通常分log log a a x x <--≤<12120，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错根据此题特点，不妨改变一下操作程序，即原不等式两边平方，再由定义去绝对值号，则分析将十分清晰，过程也简洁得多.解：原不等式可化为|log ||log |122+<+a a x x ，将两边平方可得：4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++，则有：（1）log ,(log )log a a a x x x ≥<⎧⎨⎩⇒≤<01012；（2）log ,log log log a a a a x x x x <+-<⎧⎨⎩⇒-<<03830302. 综上知-<<31log a x ，故当a >1时，解为a x a -<<3；当01<<a 时，解为a x a <<-3 ［注］形如()120ax b ax b c c +-+>>和()120ax b ax b c c +++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解． 例6解不等式 2331x x --≤［分析］解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值，使不等式化为不含绝对值的一般不等式．常用的方法有等价转化法、零点分段法和平方法，当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法，但这种方法比较抽象，一般不容易想到．但本题不可以采用零点分段法，也不能采用平方法，因为平方后既含有x 的项，又含有x 的项，所以我们先把不等式进行等价转化，然后把它看成有关x 的一元二次不等式组进行求解．解： 2331x x --≤ ⇔ 21331x x -≤--≤ ⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔ 22320340x x x x ⎧--≥⎪⎨--≤⎪⎩，，⇔4x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩， ⇔44x x x ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或， ∴原不等式的解集为33174422⎡⎡⎤++--⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，． 类型三：含参数的绝对值不等式的解法解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论，然后分别在各种情况下对不等式进行求解，最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的解．另外，有一些题也可通过转化，不进行讨论就可以轻松的解答出来．例7 解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［分析］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大.若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论.解：原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时，)3(232+-<-+>-m m x m m x 或∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x6当03<+m 即3-<m 时， x R ［注］形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式，简捷解法是等价命题法，即： ()f x a > ()f x a ≥ ()f x a < ()f x a ≤ 0a > ()()f x a f x a ><-或()()f x a f x a ≥≤-或 ()a f x a -<< ()a f x a -≤≤ 0a = ()0f x ≠ ()f x R ∈ ∅()0f x = 0a < R R ∅ ∅例8 （2004年海南卷）解关于x 的不等式a x x a x x +-->+--1111 ［分析］利用)()(x f x f <，无解或0)()()(<⇔>x f x f x f ，即利用绝对值的定义法求解.解：0111111<+--⇔+-->+--a x x a x x a x x a x a x -<-⇔<+-⇔11011 （1） 当0=a 时，原不等式等价于：1011<⇔<-x x（2） 当0>a 时，原不等式等价于：111011<<-⇔<-<-x ax a （3） 当0<a 时，原不等式等价于：01<-x 或ax 11->-1<⇔x 或a x 11-> 综上所述:（1） 当0=a 时，原不等式的解集为：{}1<x x（2） 当0>a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-111x a x （3） 当0<a 时，原不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-><a x x x 111或 类型四：含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题例9 （2010高考安徽卷）不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)+∞-∞-,41, B.(][)+∞-∞-,52,C.[]2,1D.(][)+∞-∞-,21,［分析］要使a a x x 3132-≤--+对任意实数x 恒成立，只要|x +3|－|x －1|的最大值小于或等于23a a -. 方法一：形如使,x m x n c x m x n c ---≤-+-≤恒成立型不等式.可利用绝对值三角不等式：b a b a b a +≤±≤-，结合极端性原理即可解得，即：()()()max c x m x n c x m x n x m x n n m ≥---⇔≥---=---=-；()()()m n n x m x n x m x c n x m x c -=---=---≤⇔-+-≤min ； 解：设函数()()41313)(=--+≤--+=x x x x x f ，所以4)(max =x f 而不等式a a x x 3132-≤--+对任意的实数x 恒成立.故41432≥-≤⇒≥-a a a a 或，故选择A方法二：因|x +3|的几何意义为数轴上点x 到－3的距离，|x －1|的几何意义为数轴上点x 到1的距离，|x +3|－|x －1|的几何意义为数轴上点x 到－3与1的距离的差，其最大值可求.解：根据绝对值的几何意义，设数x ，－3,1在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式即求|PA|－|PB|≤23a a -成立 ∵|AB|=4，即|x +3|－|x －1|≤4故当23a a -≥4时，即41432≥-≤⇒≥-a a a a 或原不等式恒成立 ［注］⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k 的取值范围，但过程较繁.⑵. 转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R 、有解或解集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题.[变式] （2012陕西文理）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.[解析]:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤ 例10（2012课标文理）已知函数()f x =|||2|x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集;(Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.［分析］本题(Ⅱ)有些同学可能会去解()f x ≤|4|x -这个不等式，再分析该不等式的解集与[1,2]的集合关系，结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式()f x ≤|4|x -在[1,2]恒成立的问题而解之.解：(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立 30a ⇔-≤≤例11（2010全国卷）设函数)(x f =24x - + 1. （Ⅰ）画出函数y=)(x f 的图像：（Ⅱ）若不等式)(x f ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+⎧=⎨-≥⎩则函数()y f x =的图像如图所示.（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12a ≥或2a -时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式)(x f ≤a 的解集非空时，a 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-⋃∞⎪⎢⎣⎭［注］㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问，比参变分离法转化为最值问题求解更为简洁，避免了分类讨论的麻烦.㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换（函数法）： ⑴.()f x a ≤有解()min a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()min a f x ⇒<；这两者互补.()f x a ≤恒成立()max a f x ⇒≥.⑵.()f x a <有解()min a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()min a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a <恒成立()max a f x ⇒>.⑶.()f x a ≥有解()max a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补.()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤.⑷.()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补.()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤.类型五 绝对值三角不等式问题例12 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f［分析］本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+<⇒<-≤-a x a x a x 进行替换． 证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ， ∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ．∴1+<a x ， ∴x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)1)((-+-=a x a x 1-+⋅-=a x a x)1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x ，即)1(2)()(+<-a a f x f ．［注］这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．例13 已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.［分析］要证|||11|22b a b a -<+-+，考察左边，是否能产生|a-b|. 证明：|f(a)-f(b)|=||||||||11|||11|222222b a b a b a b a b a b a +-⋅+<+++-=+-+||||||||||||b a b a b a b a -=-⋅++≤（其中||122a a a =>+，同理|,|12b b >+∴||||111122b a b a +<+++）［注］⑴.证题时，应注意式子两边代数式的联系，找出它们的共同点是证题成功的第一步.此外，综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中，用到了不等式的传递性，倒数性质，以及“三角形不等式”等等.⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数21x y +=是双曲线，122=-x y 的上支，而||2121x x y y --（即|)()(|ba b f a f --），则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值，很显然这一斜率的范围是在（-1，1）之间.类型六 含有绝对值的不等式的应用含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的问题，也用来解决一些实际问题，通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号的不等式，然后解出这个不等式就可以得到问题的答案，解这些不等式的常用的方法就是我们上面所总结的方法．例14 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么并说明为什么这一命题是符合要求的命题.［分析］本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足2151≤-a ，且≥+51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<，或51ax +>， 已知条件q 即01322>+-x x ，∴21<x ，或1>x ；令4=a ，则p 即53-<x ，或1>x ，此时必有q p ⇒成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 例15 已知数列通项公式n n naa a a a 2sin 23sin 22sin 2sin 32++++=对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 21<-． ［分析］已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决．证明：∵n m > ∴mn n n m maa n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=-++ mn n maa n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 211)211(21212121121--=+++≤-+++n m n m n n )12110(21)211(21<-<<-=--n m n n m n ． ［注］⑴.以121+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误．⑵.弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．⑶.把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．[高考试题精选] 2011年试题： 一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为 （A ）[] （B ）[-4,6]（C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确 二、填空题1. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.【答案】{}52|≤≤-∈x R x【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ，()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-⨯≥∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A .对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为 .【答案】53. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。
绝对值三角不等式
定理2 定理 如果a,b,c是实数,那么
a −c ≤ a −b + b−c
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 + a2 + a3 | ≤| a1 | + | a2 | + | a3 |
例1 已知 x − a <
ε
2M
,0 < y − b <
6 , | z |<
ε
9
2ε 3ε =ε ∴ | x | +2 | y | +3 | z | < + + 3 6 9
ε
∴ | x + 2 y − 3z | < ε
a+b
例3 求证
1+ a + b
≤
a 1+ a
+
b 1+ b
.
证明：在 a + b = 0 时，显然成立. 当 a + b ≠ 0 时，左边 =
复习
（一）绝对值的定义： 绝对值的定义： 绝对值的定义 对任意实数a， 对任意实数 ，
a (当 a 〉 0 时 ) a = （当 a = 0 时） 0 − a （当 a 〈 0 时）
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？ 哪位同学能回答
分析：如果生活区建于公路路牌的第 分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 处 之和为S(x)km,那么 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 于是，上面的问题就化 那么 于是， 之和为 归为数学问题： 取何值时， 归为数学问题：当x取何值时，函数 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 取得最小 取何值时 值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。 这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
&1.4绝对值三角不等式
0 | h | | k | 即 | hk | h (2)已知 | h | c , | x | c (c 0, 0), 求证 x 1 1 解：由0 c | x | 可知 0 |x| c 且0 | h | c
1 1 | h | c |x| c
h 即 x
a, 3 a, b 同号时右边取“=”，b 异号时左边取“=”
推论： | a | | b || a b || a | | b |
证明：在定理中以b 代b, 得： | a | | b | | a (b) | | a | | b |
即： | a | | b || a b || a | | b |
又 a c c 2 a a c c a
24 a c 2 c a
③
a b c d 由①，②，③得， 2 c d a a b c
2 c 4 a
a 2 c
c a
Байду номын сангаас
课堂练习：
1.(1)已知|h|< ,| k | ( 0), 求证 | hk |
1 a b 1 a b
1 1 ab
1 1 1 a b ab
a 1 a
b 1 b
.
例2已知 | x | .
3
, | y |
6
, | z |
9
求证：x 2 y 3z | |
证明：x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z | |
ab 例.3.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
绝对值的三角不等式公式证明
绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。
它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。
绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。
根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b<x-y < a+b。
接下来，假设y-x>0，也就是说x<y，此时有y-x<a+b，带入单射定理可得a-(y-x)<b，也就是说a-y+x < b，整理得x-y<a+b，故可证|x-y|<=a+b。
同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y<a+b，根据单射定理可得a-(x-y)<b，整理得a-x+y<b，故可证|x-y|<=a+b。
综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。
正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。
绝对值三角不等式-讲义+题目+答案-适合高一下册学生的初次学习
知识点 绝对值三角不等式3.11定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立. 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .当a 与b 不共线时，有|a ＋b |＜|a |＋|b |，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边； 若a ，b 共线，当a 与b 同向 时， |a ＋b |=|a |＋|b | ；由于定理1.定理1ab 同号取等，左边ab 同号取等）证明：把-b 代回到第一个式子的b 里面来证明第二个定理2（当且仅当 (a －b )(b －c )≥0 时，几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：(1)点B 在A 或C 上时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |；(2)点B 不在A ，C 上时，|a －c | ＜ |a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1. 求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a | ＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)| x 并运用绝对值三角不等式 ≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a -2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；答||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.例3 设函数f (x )＝＋|x －a |(a ＞0)， (1)证明：f (x )≥2；证明 由a ＞0，可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥|x+1a -（x-a ）|正负以消元为目的＝1a ＋a ≥2，。
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式是解决数学问题中经常用到的一种不等式形式。
它的一般形式如下：
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
其中，a和b是实数。
绝对值三角不等式有许多重要的性质和
应用，可以通过变形和推广得到更多有用的结果。
变形
通过变形，可以得到绝对值三角不等式的其他等价形式，例如：
1. $|a - b| \leq |a| + |b|$：通过将b改为-b，得到绝对值的差形式。
2. $||a| - |b|| \leq |a - b|$：通过将a和b的绝对值分别改为其差的
绝对值和绝对值的差的绝对值，得到绝对值的绝对值形式。
这些变形形式可以根据具体问题的需要灵活运用，帮助解决各种实际问题。
推广
除了变形，绝对值三角不等式还可以推广到更多元素和更复杂的情况。
例如：
1. 绝对值三角不等式在多个变量之间的应用：当不等式中涉及多个变量时，可以利用绝对值三角不等式的性质进行推导和求解。
2. 绝对值三角不等式在向量和矩阵中的应用：绝对值三角不等式可以推广到向量和矩阵中，帮助解决各种线性代数问题。
3. 绝对值三角不等式在概率和统计中的应用：绝对值三角不等式可以应用于概率和统计领域，帮助分析和推导随机变量的性质和概率分布。
通过推广绝对值三角不等式，我们可以扩展其适用范围，从而更好地解决各种数学和实际问题。
综上所述，绝对值三角不等式的变形和推广可以帮助我们更好地应用绝对值三角不等式解决各种数学问题。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选用适合的变形形式或推广方法，提高问题的求解效率和准确性。
高二数学绝对值三角不等式
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
a
1 1 b 1 1 Nhomakorabeaa ab
1
b a
b
a
1 a
b
1 b
.
布置作业
P19
4,5
；https:/// 配资网 ；
色の第五山,开始风化,开始变成漫天の紫色粉末,接着绿色第四山,变成了漫天绿色粉末… 高大雄伟,本身蕴藏着莫大力量の五帝山,那座让十多万强者望而生畏の五帝山,却是在众人眼中,就这样消失了,化成漫天の各色粉末,肆意在空中狂舞… "哗！" 看到这一幕,所有人最开始是沉默,死一样 の沉默.而是却是纷纷惊恐の大叫起来,这事情太不可思议了,是谁有这么大の能力,将五帝山直接化成齑粉? 云帝和妖帝对视一眼,雷帝和雨后也是对视一眼,纷纷惊疑不定,面色变得几多复杂起来.五帝山出现了异变,这是好事,这说明白重炙或许有可能成功了,但是,这异变の也太惨烈了吧,整个 五帝山都没了,如果白重炙不成功,那么就真の完了… "轰隆隆！" 这时五道震天の响声同时响起,整个遗忘之地のの地面都开始颤抖起来,无数道神识迅速扫过,却是发现,这一刻五个部落五座山,这一刻都和五帝山一样,瞬间风化,化成了齑粉！ "嗤嗤！" 众人还没醒悟过来,异变再起！ 那些在 空中漫天飞舞の各色粉末,突然开始朝中央聚集起来,开始在空中旋转起来,同时五部落の五座山,化成の齑粉,也快速の朝这边涌来.最后凝结成一些巨大の五彩缤纷の彩球起来.这彩球开始旋转起来,速度越转越快,这个彩球也越来越不咋大的.一开始有一座山那么大不咋大的,最后竟然是变成了 一些蓝球一样大不咋大的,并且还在旋转,还在不断の变不咋大的… "嘶嘶…" 这下就连云帝妖帝风帝都开始面色变得苍白起来. 五帝山和五部
绝对值三角不等式
等号成立的条件
中间部分为|a＋b|时， 两个绝 右端|a| 对值的 ≥中间 ab≥0，等号成立；中间 ＋|b| 和是非 部分 部分为|a－b|时，ab≤0， 负的 等号成立
所以（ S x）的最小值是10,
当 10 ≤ x ≤ 20 时取到 .
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 足条件.
60 40 20
y
0
10
20
30
x
典例讲评
例3 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab . 证明： xy ab xy ya ya ab yx a a y b
【思路点拨】
(1)由于xy<0，x，y异号，利
用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．
【解析】 (1) 法一：特殊值法：取 x ＝ 1 ， y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时， 显然成立． 当|a＋b|≠0 时， |a＋b| 1 1 ＝ ≤ 1 1 1＋|a＋b| ＋1 ＋1 |a＋b| |a|＋|b| |a|＋|b| |a| |b| ＝ ＝ ＋ 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| 1＋|a|＋|b| |a| |b| ≤ ＋ ，所以不等式成立． 1＋|a| 1＋|b|
绝对值三角不等式 课件
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)． 若|a|≤1，求|f(x)|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可 求解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1|| ≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值． 解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥ |1－x＋x＋1|＝2， 当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号． ∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1| 取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的 取值范围． 解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<[|x＋1|－|x－2|]min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为： 三角形的两边之和大于第三边 ． ②若a，b共线，当a与b 同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 反向 时，|a＋b|<|a|＋|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝 对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b| ≤|a|＋|b|.
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件
绝对值三角不等式取等条件：
1）如果$a=b=-c$，即a b c三个实数相等，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
2）如果$a=-b$ 且$a>c$或$a=-b$ 且$c>a$，则绝对值三角不等式成立：$|a|+|b|=|c|$
3）如果 $|a|+|b|<|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取等，即
$|a|+|b|≠|c|$
4）如果 $|a|+|b|>|c|$，则绝对值三角不等式的等号不能取两边都等，即$|a|+|b|≠|c|$
绝对值三角不等式是一个基本的数学不等式，它是数学中绝对值的一
个典型应用，也是教科书中常考查的题型。
绝对值三角不等式取等条
件共有四种：
1）如果a b c三个实数相等，即$a=b=-c$，则绝对值三角不等式会成立；2）如果$a=-b$，且$a$或$c$大于另一数则$|a|+|b|=|c|$；
3）如果$|a|+|b|<|c|$，则等号不能取等；
4）如果$|a|+|b|>|c|$，则等号不能取两边都等。
绝对值三角不等式是绝对值典型应用中的一个重要定理，它反映了绝对值的性质，如大小关系、计算等，也是数学知识应用中很实用的一种不等式，在学习数学时要把握其取等条件，从而掌握绝对值三角不等式的概念，把它运用到实际中。
绝对值三角不等式
当ab < 0时，ab = −ab,| a + b |= (a + b) 2 = a + 2ab + b = | a | −2 | ab | + | b |
2 2 2 2 2 2 2
< | a | +2 | ab | + | b | = (| a | + | b |) =| a | + | b |, 所以 | a + b |≤| a | + | b |, 当且仅当ab ≥ 0时，等号成立。
ε
2a
, y ∈ (0, M ) ，
xy − ab < ε .
证明： − ab = xy − ya + ya − ab = y(x − a) + a( y − b) xy
ε ε ≤ y x −a + a y −b < M ⋅ +a⋅ = ε. 2M 2a
补充练习 : a−b a+b 1.已知 a ≠ b , m = ,n = , 则m , n之间的 a−b a+b 大小关系是 ( D ) A.m > n B.m < n C.m = n D.m ≤ n π
例 : 若 x − m < ε , y − m < ε , 下列不等式中一定成立 的是 ( B ) A. x - y < ε B . x − y < 2ε C . x − y > 2ε D. x − y > ε
练习： 1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b|
小结：
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。 作业：课本 作业：课本P19第、4、5题 第 、 题
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
高二数学绝对值三角不等式
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2 x 30 ( x 10) S ( x) 10 (10 ≤ x ≤ 20) 2 x 30 ( x 20)
ab 所以 1 1 ab
典例讲评
例5 求证
ab 1 a b
. 1 a 1 b
a
b
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当ab
1 1 ab
0 时，左边
1 1 1 ab
a b a b . 1 a b 1 a b 1 1 a 1 b
ab a b
(2) 当 a , b 共线且同向时有
ab a b
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab
b
a
ab
a
b
这个不等式俗称“三角不等式”—— 绝对值三 三角形中两边之和大于第三边，两边 角不等式 之差小于第三边
探究新知
定理的证明
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
a c a b bc
当且仅当（a b)(b c ) 0时，等号成立
典例讲评
例1 求
已知ε >0,x-a ε , y b ε , 2x+3y-2a-3b 5ε
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?
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A
|a-b|
B
a
b
x
6
探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来? 定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当 ab≥0时，等号成立.
7
探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量 a , b ，能得出
(1) 当 a , b 不共线时有
19
课堂互动讲练
考点突破
考点一 含绝对值不等式的理解
例1 (1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是 () A．|x＋y|>|x－y| B．|x－y|<|x|＋|y| C．|x＋y|<|x－y| D．|x－y|<||x|－|y||
20
(2)已知|a|≠|b|，m＝|a|a|－ －b|b||，n＝|a|a|＋ ＋b|b||， 则 m，n 之间的大小关系是________． 【思路点拨】 (1)由于xy<0，x，y异号，利 用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定． (2)题易判定m，n与1的大小关系．
大家好
1
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义： 如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
3
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
4
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
5
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
21
【解析】 (1)法一：特殊值法：取x＝1，y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
所以 a b 1 1
b
例5 求证 1ab1a1.b
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1 ab 1 1 1ab 1ab
ab
a
1 a
b
1 b
.
18
思考感悟 如 何 理 解 |a| － |b|<|a±b|<|a| ＋ |b| 的 几 何 意 义 ？ 提示：三角形任意两边之差小于第三边，三 角形任意两边之和大于第三边．
25
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2. 由选择题的唯一性，其余可不判断．
10
探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
acabbc
当 且 仅 当 （ a b ) ( b c ) 0 时 ， 等 号 成 立
11
典例讲评
例 1 已 知 ε>0,x-aε, ybε, 求 2x+3y-2a-3b5ε
12
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工,这两个地点分别位于公路路 碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次,要使两个施工队每天往返的路程之和最 小,生活区应该建于何处?
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(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
23
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
24
变式训练1 0<a<1，下列不等式一定成立的 是( ) A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2 B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)| C ． |log(1 ＋ a)(1 － a) ＋ log(1 － a)(1 ＋ a)|<|log(1 ＋ a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)| D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋ a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|
yx aay bM a. 2 M 2a
16
典例讲评
例 4.已 知 |a|1,|b|1,求 证 ab1
证 明 ： ab
(ab)2 1
1ab
1
1ab
(1ab)2
a 2 2 a b b 2 1 2 a b a 2 b 2
1a 2b 2a 2b 20
(1a2)(1b2)0
由 |a| 1 , |b| 1 ,可 知 (1a2)(1b2)0成 立 ，
ab ab
(2) 当 a , b 共线且同向时有
ab ab
8
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab b
a
ab
a
b
这个不等式俗称“三角不等式”—— 三角形中两边绝之对值和三大于第三边，两边 之差小于第三角边不等式
9
探究新知
定理的证明
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
·
·
·
10
x
20
13
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km
处，两施工队每天往返的路程之和为
S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
-2x30 (x 10) S(x) 10 (10≤x≤20)
2x30 (x 20)
14
典例讲评
所 以 （ Sx） 的 最 小 值 是 10,
当10≤ x ≤20 时取到. y
60
答: 生活区建于两路 碑间的任意位置都满 40
足条件.
20
0 10 20 30 x
15
典例讲评
例3 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b