高中数学培优练习
高中数学培优班排列组合训练题
高中数学培优班排列组合训练题解排列组合应用题的21种策略1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种，答案：D.2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600A A=种，选B.3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A=种，选B.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种B、44412843C C C种C、4431283C C A种D、444128433C C CA种答案：A.6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A种，故共有23 4336C A=种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C=种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A+++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中数学培优试题及答案
高中数学培优试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=2x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值：A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A3. 计算下列定积分的值：∫(0,2) (x^2 - 3x + 2) dx：A. 0B. 4C. 6D. 8答案：C4. 若复数z满足|z-1|=2，则z的模长|z|的最小值为：A. 1B. √3C. 2D. √5答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的极值点个数为_______。
答案：26. 一个圆的半径为5，圆心在原点，求该圆的面积为_______。
答案：25π7. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的对称轴方程为_______。
答案：x=18. 若直线y=3x+2与抛物线y^2=4x相交于点A和B，求线段AB的中点坐标为_______。
答案：(1, 5/3)三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知等比数列{bn}的前三项依次为b1=2，b2=4，b3=8，求该数列的通项公式。
答案：bn=2^n10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数f(x)的单调递增区间。
答案：(-∞, 1)和(2, +∞)四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：若a, b, c为实数，且满足a^2+b^2+c^2=1，则(a+b+c)^2≤3。
答案：证明如下：由柯西-施瓦茨不等式可知，对于任意实数a, b, c有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即(a^2+b^2+c^2)(3)≥(a+b+c)^2。
又因为a^2+b^2+c^2=1，所以(a+b+c)^2≤3。
五、应用题（每题15分，共15分）12. 某商场进行促销活动，规定顾客每消费满100元即可获得一张优惠券，每张优惠券可以抵用10元。
高三数学 数学数列多选题的专项培优练习题(含答案
高三数学 数学数列多选题的专项培优练习题(含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.2．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.3．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．4．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC.方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】 由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,7．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.8．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1115()n F F n n -+=+， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b ++， 所以1n n b b +=-，所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-所以1n n b -+，所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．二、平面向量多选题9．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪⎪ ⎪⋅⎭⎭21y =⎪+⎭==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.。
高中数学培优练习(2)(附答案)
高中数学培优练习（2）选择题：1、由方程 1||||=+y y x x 确定的函数y = f (x )在(－∞，+ ∞)上是A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数2、设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-tC ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或 3、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 A .17B. 18C. 19D. 204、过双曲线12222=-by a x 的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于PNFMF 的定值为.222b a 类比双曲线这一结论，在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0NFMF是定值A. 222b a -B. 22ab 2-C. 22b a 2D. 22a b 2一、填空题 5、设等比数列)1}({1>-q qn 的前n 项和为n S ，前n+1项的和为1+n S ，1+∞→n nn S S iml =______.6、在一个棱长为cm 65的正四面体内有一点P ，它到三个面的距离分别是1cm ，2cm ，3cm ，则它到第四个面的距离为_______________cm .7、已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .8、已知函数f(x) = 2x 2－x,则使得数列{qpn n f +)(}(n ∈N +)成等差数列的非零常数p 与q 所满足的关系式为 .三、解答题 9、（本题满分12分）某工厂最近用50万元购买一台德国仿型铣床，在买回来以后的第二天投入使用，使用后的第t 天应付的保养费是(t + 500)元，(买来当天的保养维修费以t = 0计算)，机器从买来当天到报废共付的保养维修费与购买机器费用的和平均摊到每一天的费用叫做每天的平均损耗．当平均损耗达到最小值时，机器报废最划算．(1) 求每天平均损耗y (元)表示为天数x 的函数；(2) 求该机器买回来后多少天应报废． 10、（本题满分12分）已知 f (θ) = a sin θ + b cos θ，θ ∈ [ 0, π ]，且1与2 cos 2 θ2 的等差中项大于1与 sin 2 θ2的等比中项的平方．求：(1) 当a = 4, b = 3时，f (θ) 的最大值及相应的 θ 值；(2) 当a > b > 0时，f (θ) 的值域． 11、（本题满分12分）已知椭圆C 的方程为x 2 + y 22 = 1，点P (a , b )的坐标满足a 2+ b 22≤ 1，过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：(1) 点Q 的轨迹方程；(2) 点Q 的轨迹与坐标轴交点个数。
09-章末培优专练高中数学必修一北师大版
= lg ⋅ lg ⋅ lg ⋅ lg = 5 × 2 × 2 = 20.
章末培优专练
过高考 高考真题同步挑战
1.[2022天津卷·6,5分]化简 2log 4 3 + log 8 3 ⋅ log 3 2 + log 9 2 的值为( B
A.1
B.2
C.4
)
D.6
【解析】 原式
4.故选C.
类型2 强基计划
5.[2023上海交通大学强基计划]已知55 < 84 ,134 < 85 ,设 = log 5 3,
= log 8 5, = log13 8，则( A )
A. < <
B. < <
C. < <
D. < <
ln 3
ln 5
ln 8
② ∗ ∗ =∗ ∗ ；
③ ∗ + = + ∗ + .
其中正确结论的个数是( D )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 由题意，得 ∗ = lg 10 + 10 = lg 10 + 10 = ∗ ，故
①正确；
∗ ∗ = lg
10
+
10 ൯,
2 −2
=
1
2
−
，即
2 < 2 − 1 = 1，故D错误.
4.[2024湖北黄冈联考]中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽
的著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不
论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再
新高考高三数学培优试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[1, 2]上存在极值，则f'(x) =0的解集为（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. {0}2. 下列命题正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递增B. 函数y = 2^x在定义域内单调递减C. 函数y = x^2在定义域内单调递增D. 函数y = 3x + 2在定义域内单调递减3. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-1, 1]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {0, 1}B. {0, -1}C. {0}D. {-1}4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-2, 2]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1}B. {-1, 2}C. {1, 2}D. {-1, 0, 1}5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-3, 3]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2}B. {-1, 1, 0}C. {-1, 0, 2}D. {-1, 0, 1, 2}6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-4, 4]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3}B. {-1, 1, 0, 3}C. {-1, 0, 2, 3}D. {-1, 0, 1, 3}7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-5, 5]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4}B. {-1, 1, 0, 3, 4}C. {-1, 0, 2, 3, 4}D. {-1, 0, 1, 3, 4}8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-6, 6]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5}9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-7, 7]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5, 6}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6}10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)在区间[-8, 8]上存在极值，则f'(x) = 0的解集为（）A. {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}B. {-1, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 7}C. {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}D. {-1, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1的导数为______。
高中数学之数列培优习题大全
【例1】 请写出下面数列的一个通项公式．⑴2，0，2，0，2，…⑵12-，16，112-，120，…⑶请写出下面数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,【例2】 ⑴ 请写出下面数列的一个通项公式：12，2，92，8，252…，⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：1，2，3，4，5，8，7，16，9…，【例3】 观察下列等式：2111,22n i i n n ==+∑ 2321111,326n i i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212n i i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642n i i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nk k k k k k k k k i i a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑ 可以推测，当2n ≥时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .典例分析数列的概念【例4】 ⑴根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.⑵将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．【例5】 如下图，第⑴个多边形是由正三角形“扩展“而来，第⑵个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a【例6】 观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个【例7】 将正ABC ∆分割成2n （2≥n ，n *∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了2n =，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_________，，()f n =_____________．图3图2【例8】 已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-.⑴ 问60-是否是这个数列中的项？ ⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值.【例9】 一个数列的通项公式是2813n a n n =-+，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？【例10】 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．【例11】 已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（ ）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【例12】 已知数列()1212:,,,0,3nn A a a a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ；② 数列0,2,4,6具有性质P ； ③ 若数列A 具有性质P ，则10a =；④ 若数列()123123,,0a a a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=． 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例13】 在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2,n n *∈N ≥，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n -是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （k *∈N ，k 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）【例14】 数列{}n a 满足11a =，23a =，()12n n a n a λ+=-（1,2,n =），则3a 等于（ ）A ．15B ．10C ．9D ．5【例15】 在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积．若数列{}n a 是等积数列，且62a =，公积为6，则159********a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是（ ）A ．5022B ．5023C ．5032D ．5033【例16】 判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？【例17】 若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（ ）A ．19B ．21C ．37D ．41【例18】 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．【例19】 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75【例20】 在等差数列{}n a 中，533a =，45153a =，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63典例分析等差数列的定义【例21】 在等差数列{}n a 中，47a =，1121a =，则它的首项1a =_______，前n 项和n S =_______．【例22】 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【例23】 ⑴ 在等差数列{}n a 的公差为d ，第m 项为m a ，求其第n 项n a ．⑵ 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，①求通项n a ；②若242n S =，求n .⑵ 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2329,S S =424S S =，求数列{}n a 的通项公式．【例24】 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，求证1{}na 是等差数列，并求通项n a ．【例25】 等差数列{}n a 中, 25a =，633a =，则35a a +=______________．【例26】 设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．【例27】 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．35B ．33C ．31D ．29【例28】 证明以下命题：⑴ 对任一正整数a ，都存在正整数b ，c ()b c <使得2a ，2b ，2c 成等差数列；⑵存在无穷多个互不相等的三角形n △，其边长n a ，n b ，n c ，为正整数，且2n a ，2n b ，2n c 成等差数列．【例29】 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35【例30】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例31】 数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．典例分析等差数列的通项公式与求和【例32】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例33】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++=_______.【例34】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S .【例35】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且416S =，864S =，求12S .【例36】 有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b ．【例37】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++的表达式.【例38】 等差数列{}n a 的前m 项和m S 为30，前2m 项和2m S 为100，则它的前3m 项和3mS 为_______．【例39】 等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例40】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中*n ∈N ．⑴ 设函数()y f x =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列；⑵ 设函数()y f x =的图象的顶点到y 轴的距离构成数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【例41】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项及公差．【例42】 设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >，且9100,0S S ><，求当n S 取得最大值时n 的值．【例43】 已知等差数列{}n a 中，150a =，2d =-，0n S =，则n =（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例44】 已知{}n a 是等差数列，且253,9a a ==，11n n n b a a +=，求数列{}n a 的通项公式及{}n b 的前n 项和n S ．【例45】 在各项均不为0的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --等于（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例46】 设数列{}n a 满足1a 6=，24a =，33a =，且数列{}1n n a a +-()n *∈N 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．【例47】 已知22()2(1)57f x x n x n n =-+++-，⑴ 设()f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证{}n a 为等差数列． ⑵ 设()f x 的图象的顶点到x 轴的距离构成{}n b ，求{}n b 的前n 项和．【例48】 已知数列{}n a 是等差数列，其前项和为n S ，347,24a S ==．⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 设,p q 是正整数，且p q ≠，证明221()2p q p q S S S +<+．【例49】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ；⑵求123n n T a a a a =++++的表达式.【例50】 有固定项的数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79．⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例51】 已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，123n a a a a ⋅⋅⋅，，，，成等差数列(n 为正偶数)．又2(1)f n =，(1)f n -=-，⑴求数列的通项n a ；⑵试比较12f ⎛⎫⎪⎝⎭与3的大小，并说明理由．【例52】 设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=则d 的取值范围是 ．【例53】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【例54】 在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．【例55】 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，2a ，3a 成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项； ⑵求数列{}2n a 的前n 项和n S ．【例56】 已知数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，n *∈N 都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求3a ，5a ；⑵设2121n n n b a a +-=-()n *∈N 证明：{}n b 是等差数列；⑶设12121()n n n n c a a q -+-=-(0)q n *∈N ≠，，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【例57】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30【例58】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【例59】 若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ）A B ．C ．D ．【例60】 已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-【例61】 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．80【例62】 等差数列{}n a 中，35a =-，61a =，此数列的通项公式为 ，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则8S 等于 ．【例63】 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数） ⑴在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中11a =，22a =，33a =，44a =，55a =， 11b =，24b =，35b =，44b =，51b =；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；⑵设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，34c =，18n S =证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；⑶设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =． 求证：123k k k d d d +++>>．【例64】 已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n =．⑴求345,,a a a 的值； ⑵设121n n b a -=+，1,2,3,n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的2m ≥，*m ∈N ，在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由．【例65】 若三个数4,2,262a a a -+-，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．【例66】 若关于x 的方程20x x a -+=和20()x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则a b +的值是_________．【例67】 已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-．⑴ 问60-是否是这个数列中的项？⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值．典例分析等差数列的性质【例68】 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____【例69】 等差数列123,,,,n a a a a 的公差为d ，则数列1235,5,5,,5n a a a a 是（）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为5d 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对【例70】 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【例71】 在等差数列{}n a 中，4512a a +=，那么它的前8项和8S 等于（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【例72】 已知{}n a 为等差数列，p a q =，q a p =（,,p q p q ≠为正整数），则p q a +的值为（ ）A ．0B ．p q +C ．p q -D ．2p【例73】 等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且139960a a a +++=，则12100a a a +++= A ．170B ．150C ．145D ．120【例74】 四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则（ ）A ．2a d +B ．2a d +<C ．2a d +=D ．2a d +【例75】 已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -等于A ．1B ．34 C ．12 D ．38【例76】 在等差数列{}n a 中，11101a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，那么{}n S 中最小的是第_____项．【例77】 已知数列{}n a 为等差数列，首项1a a =，公差0d ≠，且0()n a n +≠∈N ，21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例1】 在等比数列}{n a 中, 116a =-，48a =，则=7a （ ）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±【例2】 在等比数列{}n a 中，若39,a a 是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是 .典例分析等比数列的定义【例3】 在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152【例4】 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a = ．【例5】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．【例6】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)3n n S a =-*()n ∈N⑴求1a ，2a ；⑵求证：数列{}n a 是等比数列．【例8】 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求其通项公式．【例9】 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a ．【例10】 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a【例11】 已知1172a =-，13()5(2)2n n a a n -=-+≥，求n a ．【例12】 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【例13】 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n *∈N ．⑴证明数列{}n a n -是等比数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例14】 已知数列{}n a 的前n 项和为2*251()n S n n n =++∈N数列{}n b 的前n 项和n B 满足33()22n n B b n *=-∈N⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【例15】 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n --=-∈N ．⑴ 证明对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅；⑵ 假设对任意1n ≥有1n n a a ->，求0a 的取值范围．【例16】 在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ．21k a -，2k a ，21k a +成等差数列，其公差为k d ．⑴若2k d k =，证明2k a ，21k a +，22k a +成等比数列()k *∈N ⑵若对任意k *∈N ，2k a ，21k a +，22k a +成等比数列，其公比为k q ．【例17】 在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【例18】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例19】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例20】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3【例21】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ． 典例分析等比数列的通项公式与求和【例22】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例23】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例24】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ．【例25】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【例26】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．【例27】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．【例28】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例29】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【例30】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n -【例31】 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值.【例32】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例33】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n 和公比q ．【例34】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例35】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【例36】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【例37】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项；⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例38】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例39】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【例40】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【例41】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．【例42】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【例43】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例44】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例45】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>【例46】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．【例47】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例48】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【例49】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【例50】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例51】 用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
高中数学培优专题
高中数学培优专题专题一：数列与数学归纳法一、知识点梳理1、数列的定义、分类及通项公式；2、等差数列与等比数列的判定与性质；3、数列求和的方法：裂项相消法、错位相减法等；4、数学归纳法的原理与应用。
二、难点突破1、数列的综合问题常常涉及到不等式、函数等知识点，需要灵活运用相关知识进行求解；2、数学归纳法在证明一些与自然数有关的命题时非常有用，但使用时需要注意初始条件和递推关系的正确性。
三、典型例题1、已知数列{an}满足an+1=an+log2(3n−1)(n∈N∗)，且a1=2，则a4=，an=．2、已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+log3(1−2n+12)，则a41=____．3、已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n(n∈N∗)，则a4=____．4、用数学归纳法证明：(a−b)∗(a2−b2)∗…∗(an−1−bn−1)=a−ban−bn．5、用数学归纳法证明：1+221+321+…+n21<34−3n1．专题二：解析几何一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系判定；2、圆锥曲线的标准方程与几何性质；3、直线与圆锥曲线的位置关系判定；4、最值问题与定点定值问题。
二、难点突破1、解决解析几何问题需要灵活运用几何性质和代数方法；2、对于最值问题和定点定值问题，需要构建适当的代数表达式，并进行合理的转化。
三、典型例题1、圆心在直线x−2y−3=0上的圆C与y轴交于两点A(0,1)、B(0,4)，则圆C的方程为____．2、过点(0,2)且与直线x−y−5=0垂直的直线方程为____．3、已知椭圆C：4x2+y2=1，不与坐标轴垂直的直线l过点(0,1)．(1)求证：直线l与椭圆C有公共点；(2)设直线l与椭圆C交于两点A，B，求OA∗∗OB∗的最大值．4、在平面直角坐标系xOy中，直线l：kx - y + 1 + k = 0(k∈Z)．给出下列四个命题：①当k = 3时，存在实数m，使得直线l₁：y = mx + 2与直线l有公共点；②若直线l和直线x + k(y - 1) = 0互相垂直，则k = 0或k = - 2；③若直线l与x轴正半轴相交，则k < - 1；④若命题“直线l₁：y = k(x - 1)与直线l平行”为真命题，则k的取值范围是R．其中真命题的序号是____（写出所有真命题的序号）．5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，点A(m,0)在抛物线C上，且C与直线y = x - m相切于点D．过点A作抛物线C的切线交抛物线C于点B，并交直线y = -m于点E．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：AD∗∗AE∗=0；(3)设点D的横坐标为x0，求x0∣BE∗∣的取值范围．专题三：函数与导数四、知识点梳理1、函数的定义域与值域；2、函数的单调性与奇偶性；3、导数的概念与运算；4、导数在研究函数中的应用。
多项式培优练习题
多项式培优练习题多项式培优练习题多项式是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。
它在代数学、数论、几何学等领域中都有广泛的应用。
为了帮助同学们更好地理解和掌握多项式的知识，下面将为大家提供一些多项式培优练习题。
练习题1：求解多项式的值已知多项式P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求P(2)的值。
解析：将x的值代入多项式P(x)中，即可求得P(2)的值。
将x替换为2，得到P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 7 = 24 - 8 + 10 - 7 = 19。
练习题2：多项式的展开将多项式P(x) = (x + 2)(x - 3)展开，并化简。
解析：将多项式P(x)进行展开，得到P(x) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6。
练习题3：多项式的因式分解将多项式P(x) = x^3 - 8进行因式分解。
解析：首先观察到P(x)是一个立方差的形式，根据立方差公式a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)，将P(x)进行因式分解得到P(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
练习题4：多项式的除法将多项式P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7除以多项式D(x) = x - 2，求商式和余式。
解析：使用长除法的方法进行计算，将P(x)除以D(x)得到商式为Q(x) = 3x^2 +4x + 13，余式为R(x) = 19。
练习题5：多项式的根已知多项式P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2，求P(x)的根。
解析：根据多项式的定义，将P(x) = 0，即x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0，通过因式分解或者使用求根公式等方法，可以求得P(x)的根为x = 1，x = 1 + √3，x = 1 - √3。
通过以上的多项式培优练习题，相信大家对多项式的概念和相关操作有了更深入的理解。
06-章末培优专练高中数学必修一北师大版
变式：参数位置变若函数 =
2 −+1
2
(
> 0且 ≠ 1)在区间 1,3 上
(1,4]
单调递增，则实数的取值范围为______.
【解析】 当0 < < 1时， 在
−∞,
4
上单调递增，在
, +∞
4
上单调
0 < < 1,
递减，又函数 在 1,3 上单调递增，所以൝
−
3
⋅ 2− − 2 = 3 ⋅ 2 − 2− 对任意的 ∈ 恒成立,所以
3 ( − 1)(2 + 2− ) = 0对任意的 ∈ 恒成立,所以 = 1.
优解一（取特殊值检验法） 因为 = 3 ⋅ 2 − 2− 的定义域为,且
是偶函数,所以 −1 = 1 ,所以−
1, ≥ 0.
min
2
−
4
=2
.
类型2 强基计划
3.[2022全国高中数学联赛吉林赛区初赛]设实数,满足3 + 13 = 17 ,
5 + 7 = 11 ，则,的大小关系是( C )
A. >
B. =
C. <
D.不确定
【解析】 假设 ≥ ，则17 = 3 + 13 ≤ 3 + 13 ，即
增，在 1, +∞ 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知， 在
−∞, 1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减.又 的图象关于直线 = 1
对称（ =
2
−
−1
e
的图象是由
的.），所以 =
2
高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题1.8 充分条件与必要条件-重难点题型检测 含解析
高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题1.8充分条件与必要条件-重难点题型检测一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•兰州期末）下列选项是“a＞1”的必要条件的是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜0D．a＞0【解题思路】是a＞1的必要条件，集合{a|a＞1}是对应集合的子集，即可判断出答案。
【解答过程】解：若是a＞1的必要条件，则集合{a|a＞1}是对应集合的子集。
∵{a|a＞1}⊆{a|a＞0}。
∴a＞0是a＞1的必要条件。
故选：D。
2．（3分）（2022•象山区校级一模）“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用充要条件的定义，可求得答案。
【解答过程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分条件。
由m≥﹣2不能够推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要条件。
综上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要条件。
故选：A。
3．（3分）（2022春•湖南期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机经毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据充分与必要条件概念判断。
【解答过程】解：∵“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必须具备的前提条件。
∴由“找到驾驶员座舱录音器”不能推出“初步事故原因认定”。
反过来由“初步事故原因认定”可推出“找到驾驶员座舱录音器”。
∴“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件。
07-章末培优专练 (2)高中数学必修一北师大版
①样本数据过少,不能很好地反映总体数据的特征；
②调查的人数中年龄在[60,100]的只有18人,也许这部分人刚好对防骗知识
的知晓率高,从而导致调查结果不能很好地代表实际情况.
类型2 强基计划
3.[2023全国高中数学联赛吉林赛区预赛]已知如下的两组数据：
第一组：20,21,22,25,24,23；
【名师点评】
结合题目所给的散点图对数据特征进行直观判断,简单易行,本题中若对标
准差进行严格计算,则较为烦琐,且容易出错.
3.[2023上海春季卷·14，5分]如图为2017— 2021年中国货物进出口总额的
统计图，则下列说法错误的是( C )
A.从2018年开始，每年与上一年相比，2
021年的进出口总额增长率最大
后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如图，则(
)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
√
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【解析】
B.从2018年开始，进出口总额逐年增大
C.从2018年开始，进口总额逐年增大
D.从2018年开始，每年与上一年相比,
2020年的进出口总额增长率最小
【解析】 由题图可知，2020年的进口总额小于2019年的进口总额，故C
说法不正确;由题图可知，2017— 2021年中国货物进出口总额依次为
27.81,30.50,31.57,32.22,39.10，故B说法正确；与上一年相比，2018年的
第二组：22,24,23,25,,26.
高一数学培优练习(3)
高一数学培优练习（8）班级 姓名 学号 得分 批改日期 1、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=3、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n nA nB n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是4、在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= 5.各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为6.在等比数列==+=101810275,5,6,}{a a a a a a a n 则中7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．8、各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2110(,2)n n n a a a n n *-+--=∈≥N ，则2009S 等于 9、已知等差数列}{n a 的公差，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为 ．10、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若31=a ，前三项的和为21 ，则=++654a a a 11.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题序号是12．给出下面四个命题：①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行；④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等。
高一数学培优训练习题
高一数学培优训练习题1、已知集合{}73|<≤=x x A ，{}102|<<=x x B ，{}a x a x C <<-=5|.(1) 求B A ，()B A C R ；(2) 若()B A C ⊆，求a 的取值范围.2、设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C .①B A ⋂=B A ⋃，求a 的值； ②φB A ⋂，且C A ⋂=φ，求a 的值；③B A ⋂=C A ⋂≠φ，求a 的值；3、已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）求f (x )的值域；（3）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.4、有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲丶乙两家商场均有销售,甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元,依此类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?5、是否存在实数a ，使函数2()2f x x ax a =-+的定义域为[]11-，，值域为[]22-，？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE.7、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值．A B C D P E8\一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱. （1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？9、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
高三数学培优训练(二)
高三数学培优训练(二)1、若集合A 和B 各含6个元素，A ∩B 含有3个元素，C 同时满足两个条件：①C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素；②C ∩A ≠φ，则如此的集合C 的个数是（ ） A ．82 B ．83 C ．84 D ．219 2、下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为确实是（ ） A ．p ：0=φ；q ：0∈φB ．p ：在△ABC 中，若cos2A=cos2B ，则A=B ；q ：y=sinx 在第一象限是增函数 C ．p ：a+b ≥2ab （a ，b ∈R ）；q ：不等式|x|＞x 的解集为（－∞，0）D ．p ：y=|2sinx|＞2；q ：y=3sinx(tanxtan2x)的最小正周期为π 3、已知数列}{n a 的通项公式)(21log *2N n n n a n ∈++=，设其前n 项和为n S ，则使5-＜n S 成立的自然数n （ ）A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314、等比数列{a n }中，a 1=512，公比q=21-，用n ∏表示它的前n 项之积：21a a n ⋅=∏…n a ， 则21∏∏，，…，中最大的是 （ ） A ．11∏ B ．10∏ C ．9∏ D ．8∏5、已知函数f(x)=1(0)0(0)1(0)x x x -<⎧⎪=⎨⎪>⎩, 则2 b)-f(a )(•-++b a b a (a ≠b)的值应为( )A | a |B | b |C a, b 之中较少的数D a, b 之中较大的数6、已知→a ，→b ，→c 是三个非零向量，命题|||:|→→=b a p ，命题:q ||||→→→→⋅=⋅c b c a ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、如图甲所示，点P 在边长为1的正方形边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿A —B —C —运动时，点P 通过的路程x 为自变量，△APM 的面积为y 的函数，则)(x f y =的图象形状大致是（ ）8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为（ ）9、抽象函数是由专门的、具体的函数抽象而得到的.如正比例函数)0()(≠=k kx x f ，)()()()(,)(,)(212121212211x f x f kx kx x x k x x f kx x f kx x f +=+=+=+==可抽象为写出下列抽象函数是由什么专门函数抽象而成（每项填入一个函数即可）. 特 殊 函 数 抽 象 函 数)()()(y f x f y x f =+)()()(y f x f xy f +=)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+ 10、下列命题：①动点M 至两定点A 、B 的距离之比为常数λλλ.则动点M 的轨迹是圆.②椭圆c c b e b a by a x (,22)0(12222==>>=+则的离心率为半焦距）③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离为b ④已知抛物线),(),,(222112y x B y x A px y 上两点=且OA ⊥OB （O 为原点）.则221p y y -=⋅。
高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题4.7对数函数-重难点题型精讲
第五章 第3讲[A 级 基础达标]1．(2020年芜湖模拟)若tan ⎝⎛⎭⎫α＋7π4＝13，则tan α＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】C2．(2020年重庆模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝( ) A ．－55B ．55 C ．－255D ．255【答案】B3．(2020年郑州模拟)已知sin(α＋π)＝13，则cos 2αsin α＝( )A ．－37B ．－73C ．37D ．73【答案】B4．(2020年六安月考)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则cos θ的值为( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32【答案】C5．(多选)已知函数f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下面结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π 【答案】ABC 【解析】因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x )，易知T ＝2π4＝π2，A 正确，D 错误；f (－x )＝f (x )，B 正确；f (x )的最大值为18×[1－(－1)]＝14，C 正确．6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 【答案】1 【解析】根据已知条件，得 cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0， 即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α，β为锐角，则sin β＋cos β＞0， 所以cos α－sin α＝0.所以tan α＝17．求值：cos 40°(1＋3tan 10°)＝________. 【答案】1 【解析】cos 40°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(cos 10°＋3sin 10°)cos 10°＝2sin 50°sin (30°＋10°)cos 10°＝2cos 40°sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝sin 80°sin 80°＝1．8．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________. 【答案】π4 【解析】因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22.所以β＝π4. 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2.故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. [B 级 能力提升]10．(2020年青岛模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，则cos α＝( ) A.2＋236B ．－2＋236C.22＋36D ．22－36【答案】D 【解析】由α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3，可得α－π3∈⎝⎛⎭⎫0，π3.所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝223，则cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π3·cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3sin π3＝223×12－13×32＝22－36. 11．(多选)(2020年石家庄模拟)已知0＜θ＜π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，且m ≠n ，则下列选项中与tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ恒相等的有( )A.n1＋m B ．m 1＋nC ．1－n mD ．1－m n【答案】AD 【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos 2θ－sin 2θ(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ1＋sin 2θ＝n 1＋m .由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝(cos θ－sin θ)2cos 2θ－sin 2θ＝1－sin 2θcos 2θ＝1－m n .12．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 【答案】2－156 【解析】因为cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，所以sin 2α＝1－cos 22α＝53. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.13．(2020年海口模拟)若A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )·(1＋tan B )＝____________，应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)的值为________．【答案】2 222 【解析】A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A ·tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A ·tan B )＋1＋tan A ·tan B ＝tan 45°·(1－tan A ·tan B )＋1＋tan A ·tan B ＝2.(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]·[(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]＝222.14．(2020年上海二模)设常数a ∈R ，函数f (x )＝3sin 2x ＋a cos 2x . (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π6＝3，求方程f (x )＝2在区间[0，π]上的解． 解：(1)当f (x )为奇函数时，由f (0)＝0⇒a ＝0.(2)f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin π3＋a cos 2π6＝32＋3a 4＝3⇒a ＝2，得f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1．由f (x )＝2⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12⇒2x ＋π6＝π6＋2k π或2x ＋π6＝5π6＋2k π⇒x ＝k π或x ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以在区间[0，π]上的解为x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，π3，π.15．(2020年上海二模)设函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1． (1)当0<ω<1时，若函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，求函数f (x )的最小正周期； (2)若函数f (x )在区间()π，2π内不存在零点，求正实数ω的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π6＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1＝1－cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫ω·π2＋π6＝1，得ω＝4k ＋23，k ∈Z .又0<ω<1，则ω＝23，则函数f (x )的最小正周期为2πω＝3π.(2)因为函数f (x )在区间()π，2π内不存在零点，所以⎝⎛⎭⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π6⊆()k π，k π＋π，k ∈Z .所以⎩⎨⎧ωπ＋π6≥k π，2ωπ＋π6≤k π＋π，则k －16≤ω≤k 2＋512，k ∈Z ，因为k －16≤k 2＋512，k ∈Z .所以k ≤76，k ∈Z ，即k ＝0或1，则所求的ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，512∪⎣⎡⎦⎤56，1112. [C 级 创新突破]16．已知0＜α＜π2＜β＜π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210，则β的值为________．【答案】3π4 【解析】因为tan α2＝12，所以tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43.由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去.所以cos α＝1－sin 2α＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，所以β－α∈(0，π)．而cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝7210.故sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4. 17．(2020年浙江调研)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋76π＋1在区间⎣⎡⎦⎤－π6，a 的值域为[－2,1]．(1)求实数a 的取值范围；(2)若f (x 0)＝－13，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋76π＋1 ＝－4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋16π＋1 ＝－4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋1＝－23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝－3sin 2x －cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，a 时，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1． 令u ＝2x ＋π6，则u ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2a ＋π6， 所以π2≤2a ＋π6≤76π，解得π6≤a ≤π2.(2)由题意得sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝16<12，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则π2<2x 0＋π6<π. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－356. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6＝1－10512.。
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数学培优练习一．填空1.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141322.使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab的取值范围 （ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-4. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+425. 点M （，），N （，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函是 （ ）A ．B ．C ．6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．7.在抛物线2x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB=31OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为 （ ）2-a 4-b b a >32+-=x y 4)3(22++-=x y xy 2-=1)2(32--=x y 2A ．231x y = B ．29x y = C ．291x y = D ．23x y =8．二次函数21y x bx =+-的图象如图，对称轴为直线1x =，若关于x 的一元二次方程2210x x t ---=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数解，则t 的取值范围是 （ ） A ．2t ≥- B ．27t -≤< C ．22t -≤< D ．27t <<9．已知，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠ABC =30°，∠ADC =45°. 若D 是BC 边的中点，则∠ACB 的度数为 （ ） A ．95 B ．100 C ．105 D ．11010．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A =52，∠B =98，∠AOB =120，AB =a ，BC=b ， CD =c ，DA =d ，则此四边形的面积为 （ ）（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示） A ．1()2ab cd + B ．1()2ac bd + C ．1()2ad bc + D ． 1()4ab bc cd ad +++ 11．设a 、b 、c 都是实数，有如下三个命题：①若0<b<2，且a 2+ab+c>0，则c>1；②若c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；③若a 2+ab+c>0，且c>1，则O<b<2．其中真命题 （ ） A ．只有① B ．只有② C ．①和② D ．②和③ 12．如图，Rt △ABC 中，∠=∠Rt C ，BC =26，⊙O 与AB 相切于D ，与AC 相交于E ，ED ∥BC ，且22tan =∠ADE ，BD =23，则⊙O 的半径是 （ ） A ．23 B ．32 C ．24 D ．6213．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“※”，满足x ※y =57)1()1(249462222-+++-++y x y xy x ，且 x ※y ※z =（x ※y ）※z ．在下列各结论中：①2※1=5；②x ※3=6；③这一运算满足交换律，即x ※y =y ※x ；④2014※2013※2012※……※4※3※2=19．其中正确的个数是ABC D． O（第10题）（第9题）（第8题）ABCDEO． （第9题）（）A．1 B．2 C．3 D．414.若n为整数，则能使11-+nn也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15.已知a为实数，则代数式221227aa+-的最小值为（）A.0B.3C.33 D.916.一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，a n=（n为不小于2的整数），则a100=（）A ．B．2C．﹣1D．﹣218.已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA （）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似D．无法确定二．填空19.设由1～8的自然数写成的数列为1a，2a，…，8a.则21aa-+32aa-+43aa-+ 54aa-+65aa-+76aa-+87aa-+18aa-的最大值为.20.设非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则t=29x++24y++21z+的最小值为A．B．C．D．21. 已知是64的立方根，是的平方根，则的算术平方根为 ． 22. 直线：，当变化时，原点到这条直线的距离的最大值为 ． 23. 已知实数,a b 满足15403a -=，4032015b =，则11a b+= ．24.如图（第16题图，由于转载原因，会有排版失误），矩形ABCD 的边长AD =3，AB =2，E 为AB 中点，F 在线段BC 上，且，AF 分别与DE 、DB 交于点M 、N ．则MN = ．25.．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件：1a =0，2a =11+-a ，3a =22+-a ，4a =33+-a ，…，依此类推，则2014a 的值为 ．26.国际上通常用恩格尔系数（记作n ）来衡量一个国家和地区人民的生活水平的状况，它 的计算公式：xn y=（x ：家庭食品支出总额；y ：家庭消费支出总额）．各种家庭类型的n 如下表：家庭类型贫困温饱小康富裕n n>60% 50%< n ≤60% 40%< n ≤50% 30%< n ≤40%已知王先生居住地2013年比2010年食品价格上升了25%，该家庭在2013年购买食品和2010年完全相同的情况下多支出2000元，并且y=2x+3600(单位：元)，则该家庭今年属于 （填家庭类型）.27.如图，等腰△ABC 的底边在y 轴正半轴上，顶点C 在第一象限，延长AC 交双曲线xk y = 于D ，且CD=AC ，延长CB 交x 轴于E ．若△ABE 的面积为5，则k = ．28．已知，点I 是△ABC 的内心， E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF 过点I ，AE=AF ，BE=4，a 23b -a 1144a b -l 512y kx k =++(0)k ≠k 12BF FC =B AC DE O（第15题）．IACBF E(第16题)CF=3，则EF 的长为 ．29.如图，E 、F 分别是 ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD =15cm ²，S △BQC =25cm ²，则阴影部分的面积为 2cm ．30.如果函数y=b 的图象与函数y=x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3的图象恰有三个交点，则b 的可能值是 ．三．解答31. 解方程：32. 如图，在△ABC 中，∠BAC =， D 是AB 上一点，AC =BD ，P 是CD 中点。
求证：AP=12BC 。
33.．已知二次函数211322y x =-+在a x b ≤≤（a b ≠）时的最小值为2a ，最大值为2b ．求,a b 的值。
60PA BCDE Q（第16题图）1223111111++=+++x x xABCDP33. ．一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，且（为任意正整数），青蛙从开始，经过次跳动的位置依次为，，，……，． （1）写出一种跳动4次的情况，使，且； （2）若，20162020a =，求；（3）对于整数，如果存在一种跳动次的情形，能同时满足如下两个条件： ①，②+++=2． 求整数被4除的余数．35．某公司现有甲、乙两种品牌的打印机，其中甲品牌有A ，B 两种型号，乙品牌有C,D,E三种型号.朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机. （1）利用树状图或列表法写出所有的选购方案；（2）若各种型号的打印机被选购的可能性相同，那么C 型号打印机被选购的概率是多少？ （3）各种型号的打印机的价格如下表：朝阳中学购买了两种品牌的打印机共30台，其中乙品牌只选购了E 型号，共用去资金 5万元，问E 型号打印机共购买了多少台？k a 1+k a 11=-+k k a a k 1a )1(-n 1a 2a 3a n a 051==a a 0521>+++a a a 71=a 2000a )2(≥n n )1(-n 21=a 1a 2a 3a n a + n36. 若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“优美三角形”．（1）如图①，在3×3的网格中找一个格点C ，使得△ABC 是优美三角形．符合条件的 点共几个？ （2）已知抛物线2yax 经过A （1-，1)，P 是y 轴正半轴上一动点（除原点），射线AP与抛物线交另一点B ．问：△AOP 和△POB 是否一定是“优美三角形”，若是，说明理由；若不是，求出当P 点在什么位置时，能使其成为“优美三角形”．37.计算：2330tan 3)2(0----.38.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.B A AOP x yB图① 图②ABCDMN39.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛8925，－，且经过点)14,8(A.(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；(3)设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC．试判断：PBPA+与BCAC+的大小关系，并说明理由.40.如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．（1）求直线AC的解析式；（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PE⊥AC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由．DAO xyCB．41.如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．42.在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，E是BC边上的一个动点（不运动至B，C），过点E作弧BD的切线EF，交CD于F，H是切点，过点E作EG ⊥EF，交AB于点G，连接AE．（1）求证：△AGE是等腰三角形；（2）设BE=x，△BGE与△CEF的面积比，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在BC边上（点B、C除外）是否存在一点E，使得GE=EF，若存在，求出此时BE 的长，若不存在，请说明理由．。