西安交大概率论2016-2017期末试题解答

概率论与数理统计试题

2016—2017第一学期（期末）试题解答

一、完成下列各题（每小题4分，共24分） 1. 设随机事件A ，B ，C 相互独立，21)()(==B P A P ,4

1

)(=C P ,分别求出)(C B A P 及)(BC A P -的值。

解：)(1)()(1)()(1)(C P C P B P B P A P A P -=-=-=，， ∵C B A ,,相互独立 所以C B A ,,也相互独立

)()()(),()()(),()()(C P B P C B P C P A P C A P B P A P B A P ===

)()()()()()()()(C B A P C B P C A P B A P C P B P A P C B A P +---++=

16

15

= ))()(())(()()(C A B A P C B A P BC A P BC A P ===-

16

7)()()()()()()()()()(=-+=-+=C P B P A P C P A P B P A P C B A P C A P B A P 相关知识：

①_)()()()()(1)(AB P B P A P B A P A P A P -+=-= ，（书P11） ②事件的相互独立性：)()()(,B P A P AB P B A =⇔相互独立

四对事件}B ,A {,}B {A,B},,A {B},{A,中有一对是相互独立的，则另外三对也相互

独立，此结论可推广至n 个事件的情形。（书P20） ③事件的差：B A B A =- ④De Morgan 律：B A AB =

2. 房间内有5个人，每个人在一年中（按12个月计算）每个月出生的概率相等，求5个人中至少有两个人生于同一个月的概率。

解：设人中至少两人生于同月事件5=A

则人中无人同月出生5=A

则144

89

)()(114455

12)(5

5

5512=

-==⋅=A P A P A C A P 5人中至少两人生于同月概率144

89)(=A P 相关知识：

①正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用

)(1)(A P A P -=来求解。

②乘法原理：做一件事需经过n 个不同的步骤，而第i 步有i m 种方法，则完成它有

∏=n

i i

m

1

种不同的方法。

3. 设随机变量)(~λP X ，且的值。，求)3()2(4)1(≥==≤X P X P X P

解：)!

2(

4)1()1()0()1(2λ

λ

λλ--⨯=+==+==≤e e

X P X P X P

两边同除λ-e ，得221λλ=+ 解得1=λ或2

1

-=λ（舍去）

因此！

，k )k ()1(~1

-==e X P P X

)2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P 12

51--=e

综上12

51)3(--=≥e X P

相关知识：泊松分布：P37

设随机变量X 有!

)(k e k X P k λ

λ-=

=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为

)(~λP X 。其中且为常数；02,1,0>=λ k 。

4. 将一颗均匀骰子独立上抛两次，观察出现点数。若两次出现点数和为8或10即可获奖。求获奖概率。

解：设第一次上抛出现点数为X ,第二次上抛出现点数为Y 。

由上表可见，9

2

368))10()8((===+=+Y X Y X P 则获奖概率9

2=

P 5. 设随机变量X 与Y 相互独立且同分布，X 的概率密度为⎩⎨

⎧>=-)

(0

)0()(其他x e x f x

λλ，

0>λ，若3)1(-=>e X P ，求)2),(min(≤Y X P 的值。

解：31

1

)()1(--∞+-+∞

==-==

>⎰

e e e dx x

f X P x

λλ，则3=λ。

)2()2(1)2),(min(1)2),(min(>>-=>-=≤Y P X P Y X P Y X P

因为X ,Y 同分布

所以62

)()2()2(-+∞

==

>=>⎰

e dx x

f Y P X P

所以121)2),(min(--=≤e Y X P

相关知识：二维随机变量函数的概率分布（书本P62~P67）

①⎰⎰+∞

∞

-+∞

∞

--=-=

+=dy y y z f dx x z x f z f Y

X Z z ),(),()(

②dy y yz f y z f Y

X Z z ),(||)(⎰+∞

∞

-==

③

)

,min(),,max(Y X m Y X M ==))(1))((1(1)()()()(z F z F z F z F z F z F Y X m Y X M ---==

6. 设总体X 服从二项分布n x x x p m b ,,,),,(21 是来自x 的简单随机样本。 试求①参数p 的矩估计量 ②2p 的无偏估计量。

解：①∑====n

i i X n A mp X E 1

111)(α

由矩估计法可得，)(1

ˆˆ211n x x x n

p m +++== α 所以有)(1

ˆ21n x x x mn

p

+++= ②)()1(2X D p mp =-=μ

2μ的无偏估计量是)(11

1

22∑=--=n

i i n X n X n S

2122

21

11ˆˆˆX n n

X n p m p m n i i

---=-=∑=μ 承上题，p

m ˆ的无偏估计量是X 所以2122

1

11ˆX n n X n p m X n i i

---=-∑= )11112(1ˆ1

2

22

∑=----=n i i X n X n n m p