5函数单调性与最大(小)值

引领”，然后在教学过程中的“学思静悟、精讲点拨、交流互动、目标达成”这五个
环节，达到以学生自主学习的目的的高效的数学课堂。
七、课型：新授课；
八、教学时长：1 课时（45 分钟）；
九、教学准备：教材、教参、、粉笔、板擦、多媒体课件、投影仪等教学仪器；
十、教学过程：
教学 环节
师生活动
设计意图
1. 以生活实例为情 景，激发学生的学习 兴趣。
（2）已知函数 f (x) 对于区间 D 上的任意实数 x1, x2 都满足：
f (x1) − f (x2 ) < 0 则函数在区间 D 上是减函数吗？ x1 − x2
十一、板书设计： PPT 课件
增函数的定义 ……………… ……………… ………………
单调性的定义 减函数的定义 ……………… ……………… ………………
纳总结如何用符号
语言描述 y 随 x 的增
问题 9：你能用符号语言描述 f (x) = x2 在 (0,+∞) y 随 x 的增大而
大而增大。培养学生 数学抽象素养。
增大这一规律了吗？
学生总结如何用符号语言描述 y 随 x 的增大而增大：
7.问题 10 帮助学生
问题 10：对任一函数而言，如果满足：在定义域 I 的某个区间 D 实现从“特殊到一
有三大语言，图形语
师：巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究 言和文字语言都能
成果。
描述函数变化趋势，
讲
生：展示图像及研究结果，是补充纠正。
符号语言能否描述
师：学生展示完后在 PPT 上小结研究过程：我们已经从图形语言、 函数变化趋势？如
文字语言的角度研究了函数的变化趋势；那么如何用符号语言描述 何描述?从而激发学
辨 析 (1,5]上一定也是增函数吗？
会正因为单调性强
强 化 生：练习后展示
调“任意……
理 解 师：点评
都……”从而导致了
单调性是函数的局
动
辨析 3：反比例函数 f (x) = 1 在整个定义域上是减函数吗？ x
部性质这一特征。 3. 通过辨析 3 让
生：练习后展示
学生对初中三大函
师：点评
数单调性有了完整 的认识。
生：抽 1 学生回答、其他学生补充。
性的直观认识。
问题 2：如果把时间设为 x，最高气温设为 y，y 是 x 的函数吗？
生：一起回答。
4.提出本节课题。
问题 3：若果 y 是 x 的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？
生：抽 1 学生回答、其他学生补充。
师：那么如何研究函数这种变化趋势呢？这就是今天我们要学习的
般”的过度和认识，
上任意取的两个数 x1, x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 ) ，能 抽象出增函数的定
流
说明函数是上升的吗？
义。
抽象增函数的定义：
8.通过探究 3 设计让
学生体会“类比”方
法的作用。
9.问题 11 帮助学生 找到类比探究方向。
问题 11：我们应该如何类比探究呢？ 生：只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大 小即可。
2. 问题 2 体现数学
学
建模过程，培养学生
（一）
建模意识。
思创 设
情境
3.问题 3 让学生直观
静引 入
感知图像“上升（下
新课
降）”并用文字语言
悟
“y 随 x 的增大而增
大（或减小）”描述
问题 1：国庆期间朋友要来看望我，你能结合天气预报给我的好朋 “上升”“下降”趋
友一些建议吗？
势；完成学生对单调
f (x) = x2 − 4x − 5 的图像，并根据图像说出函数
1. 通 过 学 生 练 习 进 一步强化学生对定
练 习 的单调区间，以及在各区间上函数是增函数还是减函数？ 标 加 深 生：练习后展示
义的理解和掌握。 2. 通 过 展 示 学 生 研
理 解 师：点评
究结果进一步强化
规范作图的习惯。
二、教学目标： 1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势， 并能用文字语言描述函数的变化趋势。 2.通过例题 1 和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义. 3.通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。 4．通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一 般、类比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯 物观。
三、教学重点： 通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域 I 的某个区间 D 上任意
取的两个数 x1, x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 ) （或 f (x1) > f (x2 ) ）则称函
数为区间 D 上的增函数（或减函数）来刻画“函数值 y 随自变量值 x 的增大而增大 （或减小）”这一特征。
学科：数学
课题：1.3 函数的单调性与最值
年级: 高一
版本: 人教 A 版必修一
一、教材分析：本节课选自人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学必修 1》第一章第 1.3 节第 一课时，函数是贯穿整个数学的始终，本节课的学习是在学习了一次函数、二次函数、 反比例和正比例函数后，进一步来研究函数的一般性质，为以后函数的学习做了铺垫， 所以本节课总的来说，起到了承上启下的作用。
函数的变化趋势呢？
生学习兴趣，明确研
究方向提出研究问
题。
1. 问题 5 引导学生
点
回顾函数的一些研
究思路和方法，帮助
学生找到一些探究
思路。
（三）
探究
2. 问题 6 进一步引
本质
导学生从列表法和
抽象
解析法（利用解析
定义
式）去探究。
拨
师：问题 5：函数的表示方法有？
3. 问题 7 帮助学生
生：图像法、列表法、解析法。
10.通过学生在电脑 上用几何画板探究， 体会“任意…… 都……”的含义，进 而归纳抽象出减函 数的定义。
师：下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们 自变量和函数值的大小它们有何关系？
探究完成后老师引导学生完成下列问题：
1.学生用符号语言描述 y 随 x 的增大而减小：
互
2.学生类比增函数定义得出减函数的定义：
四、教学难点：如何用符号语言刻画“y 随 x 的增大而增大（或减小）”
源自文库
五、学情分析：学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数 概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方 法。初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随 x 的增大而增大 （或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可 以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。此外通过 学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数 据处理等，为新知学习提供了一定的保障。
点就可以把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完。
探究方向 2：解析法（利用解析式研究）： 师：几何画板演示探究过程.
引导学生能发现“任 取”两点作比较的思 路。
5. 通过几何画板动 画演示帮助学体会 如何实现“任意”两 个自变量和函数值 大小的比较。帮助学 生实现从“有限”到 “无限”的过度。
交
6.问题 9 帮助学生归
1. 通过必做作业检
2.选做题
验学生学习成果。
（1）已知函数 f (x) 对于区间 D 上的任意实数 x1, x2 都满足：
2. 通过选做作业培 养学生自主学习能
f (x1) − f (x2 ) > 0 则函数在区间 D 上是增函数吗？ x1 − x2
力。 3. 通过分层作业让 不同学生都有不同
收获和提高。
例 1 下图是定义在[-5,5]上的函数 y=f(x），根据图像说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
（五） 举例 应用 掌握 目 定义
通过例 1 让单调性 情境再现，让学生掌 握如何用函数图像 找函数的单调区间， 用图像判断函数的 单调性。
师生共答。
（六） 学生
练习: 画出函数
函数的单调性。
1.问题 4 回顾图
像画法为学生规范
画图做准备。
2. 学生展示图像
后引导学生结合属
相用文字语言描述
（二）
函数变化趋势完成
精由 形
学生第二次对函数
入数
变化趋势的直观认
提出
识。
问题
3.通过 PPT 启发
问题 4：画图基本步骤是：1.
，2.
，3.
引导学生思考：数学
生：一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。
六、教法分析：在本节课的教学中，我将采用以教师为主导，学生为主体的自主式的课堂教学；本节
课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯
片及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式
开展教学。主要是“20 字，五环节”的目标教学模式引领课堂：通过学案上的“目标
x
发学生认知冲突。
f(x)
问题 7：列表法能把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完吗？
4. 问题 8 提出后老 师停顿让学生思考，
给予学生思考时间
问题 8：如何才能把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完呢？
师：停顿 30 秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点 作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两个
认识列表法的局限
师：问题 6：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们 性：只能实现“有限”
可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？
个自变量和函数值
探究方向 1：列表探究
大小的比较；不能把
在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现 所有自变量和函数
什么结论？
值大小的比较完。激
（七） 归纳 小结 提高 认识
师：这节课你有何收获？ 1. 知识方面。 2. 获取知识的思想方法方面。 3. 体验和感悟方面？ 生：学生小结，请不同的学生发言，交流学习心得。
通过学生总结交流 培养学生归纳总结 的习惯，培养学生
（八） 达布 置
作业 检测 成 目标
1.必做题
（1）教材 39 页习题 2—3A 组 1 题。
师：学生叙述减函数的定义时，老师在 PPT 上同步播放定义。
辨析 1：若定义在区间[-2,3]的函数 f(x)满足 f(-2）<f(3),则函数在该 1. 通过三个辨析让
区间上是一定是增函数吗？
学生再次体会“任
生：练习后展示 师：点评
意……都……”的含 义，加深学生对定义
（四）
的理解。
定 义 辨析 2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 2. 通过辨析 2、3 体
十二、教学反思： 本节课采用了探究式教学，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生
通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试、体验活动，基本完成了教学目标。