5函数单调性与最大(小)值
函数的单调性与最大(小)值
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三 抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
单调性与最大(小)值(第二课时)教案
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。
函数的单调性与最大(小)值
函数的单调性与最大(小)值
函数的单调性是指函数的图像从某一点开始递增或者递减，而不发生变化。
最大值是指在函数定义域内，函数图像达到最高点时所对应的函数值，它和函数的单调性有关。
最小值是指在函数定义域内，函数图像达到最低点时所对应的函数值，它也和函数的单调性有关。
计算单调性和求函数最大(小)值的方法需要根据单调函数的特性来考虑：
对于在x=a点处连续可导的单调函数，有f'(a)>0时，f(x)在[a,+∞)上单调递增，f(a)为此区间内的极大值；
对于在x=a点处连续可导的单调函数，有f'(a) < 0时，f(x)在(-∞,a]上单调递减，f(a)为此区间的极小值。
另外，如果函数在整个定义域内单调，则可以通过比较函数的值来确定其最大/最小值。
《单调性与最大(小)值》课标解读
《单调性与最大（小）值》课标解读教材分析本节的主要内容是函数的单调性、函数的单调区间、增函数与减函数、函数的最大值与最小值.函数的单调性是本节的重要内容，研究函数的单调性在高中阶段通过两次来进行，第一次是利用函数单调性的定义，第二次利用导数来研究.通过图形观察，了解函数的单调性，体会函数自变量的变化引起函数的值变化规律，能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质，在动态中感悟x与y之间的变化关系。
本节的重点是函数单调性的定义，难点是函数单调性的证明与应用.突破重点与难点的关键，首先是理解其含义，其次要结合具体实例进行体会，要结合函数图象的直观意义去理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：直观想象、数学抽象、数学运算等. 学情分析对学生而言，前面已经学习了函数的概念，在初中已经掌握了正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象.初中学段的学习只是谈到函数图象的变化趋势，还没有上升到函数的性质，有了前面的基础，学生学习起来还是比较感兴趣的.学生学习本节内容时可能会在以下两个方面感到困难：一是增（减）函数形式化定义的形成，这个困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解；二是利用增（减）函数的定义判断函数的单调性，其主要原因是比较大小的能力不够，因此对函数的复杂程度要加以控制，同时要明确判断函教单调性的基本步骤.教学建议函数的单调性描述了函数的整体特征，观察函数图象时，首先要注意的是图象的上升或下降（单调性），然后是图象在某些特殊位置的状态（如最大值或最小值、零点）.但是由函数图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证.在内容处理上，教师要充分利用函数图象，让学生观察图象获得对函数基本性质的直观认识，这样处理体现了直观想象的数学核心素养.教学时，要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概况过程，并要引导学生用数学语言表达出来.这往往是形成数学概念，培养学生探究能力的契机，体现了数学抽象的核心素养.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以缩短学生画函数图象的时间，使学生有更多的时间用于思考、探究函数的单调性等性质.第1课时 函数的单调性学科核心素养目标与素养1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.理解用符号形式表达数学定义的必要性，掌握这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次.4.理解增（减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性，达到数学运算核心素养学业质量水平三的层次.情境与问题1.案例一以复习“函数的概念及表示法，全称量词与存在量词的写法”引入，引导学生复习相关内容，为研究函数的性质做准备.2.案例二以阅读教材内容，回答问题：“函数2()f x x 的图象如图，观察其变化规律，指出图象中体现的x ，()f x 之间的变化关系是什么”引入，引导学生探求新知，掌握新知.内容与节点函数的单调性是函数性质的重要内容，增函数、减函数、单调区间是研究函数的重要特征，需要熟练掌握.过程与方法1.理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由图形语言和自然语言到符号语言表达的过程，发展学生的数学抽象素养.2.在把握函数单调性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养.3.在函数单调性证明的过程中，发展学生的数学运算素养.教学重点难点重点借助图象、表格和自然语言、数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题.难点在形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性.第2课时函数的最大（小）值学科核心素养目标与素养1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题的能力，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.理解函数最值的定义，会求函数在给定区间上的最值，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题复习函数的单调性，并创设情境：观察本节的图，可以发现，二次函数2的图象上有一个最低点(0,0)，对于这个最低点我们如何来进行描述呢f x x()如果二次函数的开口向下，有没有最高点呢引导学生探求新知，通过思考问题，引出新知，掌握新知，达成要求的核心素养学业质量水平.内容与节点函数的最大（小）值，是在学习了函数的单调性之后进行学习的内容，由此可见研究函数的最值不能仅靠观察最高点与最低点的方法，还要通过函数单调性的方法来进行，最大（小）值是函数较重要的特征，需要熟练掌握.过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，发展学生的直观想象素养.2.通过探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确，发展学生的数学抽象与数学运算素养.3.通过对生活中的最值问题研究的过程，理性描述生活中的最大（小）、最多（少）等现象.教学重点难点重点函数最大（小）值的定义和求法.难点如何求一个具体函数的最值.。
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
函数的单调性求函数的最值
函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像.图像在y 轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是增函数.图像在y 轴的左侧部分是下降的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有12y y <。
这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（4）若函数()f x 在其定义的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()f x 在区间A B U 上是增（减）函数. 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ②作差；作差f (x 1)－f (x 2)； ③变形；通常是因式分解和配方； ④定符号；即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论．指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数.练习：讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性.在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数2.基本函数的单调性例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)是减函数,在[a,2]是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是增函数, ()h x 在区间[],c d 上是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是减函数, ()h x 在区间[],c d 上是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例：已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1，x 2，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值围是( )A ．(0,14] B ．(0,1) C ．[14,1) D ．(0,3)5．函数的最值例：f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max ＝________.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-.1212,0.x x x x >∴->Q 又0x >Q 时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数.(2)Q 函数()f x 是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也是减函数.从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小.2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-Q (3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2.练习：已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y ).，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
函数的单调性、奇偶性与最值
函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。
函数的单调性与最大小值
条件
f(x)≤M；
②存在x0∈A，使得f(x0)＝M.
结论 M为最大值
考基联动
考向导析
限时规范训练
联动思考
想一想：单调区间与函数定义域有何关系？ 答案：单调区间是定义域的子区间． 议一议：若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，能否用“∪”来联结？ 1 答案：不能．如函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不能说函数在 x (－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，因为若可以这么说，由于－1＜1，由函数递减知 f (－1)＞f (1)，但f (－1)＝－1，f(1)＝1，f (－1)＜f (1)矛盾，故不能将两个单调区间 并起来．
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 函数单调性判断与证明
2 1 【例1】 试判断函数f (x)＝x － 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． x 1 解：解法一：函数f (x)＝x2 － 在(0，＋∞)上是单调增函数，设0＜x1 ＜x2 ， x 1 1 1 2 2 则f (x1 )－f (x2)＝x1 －x 2 － － ＝(x1 －x2 )x1 ＋x2 ＋ x1 x2 x1 x2 1 ∵x2 ＞x1 ＞0，∴x1 －x2 ＜0，x1 ＋x2 ＋ ＞0，∴f (x1 )－f(x2 )＜0，即f(x1 )＜f(x2 )． x1 x2 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 解法二：f ′(x)＝2x＋ 2 ，当x＞0时，f ′(x)＞0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数． x
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法，(1)可以结 合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利 用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
函数的单调性与极值、最值
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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风 险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸 性发生变化的点，即函数的一 阶导数在该点为零或不存在的 点。
在数学上，函数拐点的定义是 函数在某点的二阶导数为零的 点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解 最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转 化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小 值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题 中，常常需要通过求解最值来达 到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如 果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该 区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上 随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该 区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值 问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比 其右侧邻近点的值小。
《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值.docx
第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) </(I),即曲线在点(1,/(1))处达到“峰顶”：同样，对“2 的某个邻域内的任一点X(XH2),恒有f(x) > /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3笫二充分条件★例4★例5★例6最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例］2内容小结★课堂练习★习题3・5 ★返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;(2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；(4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.例题选讲求函数的极值例1 (E01)求出函数/(%) = x3 -3x2 -9x4-5的极值.解f(x) =3X2-6X-9=3(X +1)(X一3),令f(x) = 0,得驻点x1=-l,x2=3.列表讨论如下：X(―-1)-1(-1, 3)3(3, 4- °°)•厂⑴+0——0+f(x)f极大值1极小值t所以，极大值/(-!) = 10,极小值/(3) = -22.例2 (E02)求函数的极值.解⑴ 函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x = -l外处处可导，且厂(无)=孝二2;3沿+1(2)令f\x) = 0,得驻点x = l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;(3)列表讨论如下：(-00,-1)-1(-1, 1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+/⑴f极大值1极小值t⑷ 极大值为/(-1) = 0,极小值为/⑴=-3^4.3例3求函数y(x) = x-jx2/3的单调增减区间和极值.解求导数= 当"1时八0) = 0,而x = 0时/©)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(一8,0)0(0,1)1(1, + °°) f\x)+ 不存在—0+fM/极大值0极小值-丄2/由上表可见：函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x =()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I) = 如图.例4 (E03)求出函数/(x) = x3 + 3x2一24兀- 20的极值.解f(x) = 3x2 +6x-24 = 3(x + 4)(兀—2),令f\x) = 0,得驻点册=-4,勺=2.又/'(x) = 6x + 6, ・・・/"(-4) = —18vO,故极大值于(一4) = 60, /*(2) = 18>0,故极小值/(2) = -4&注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条件进行判断.2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例5 (E04)求函数f(x) =(X2 -厅+ I的极值.解由/，(X)=6X(X2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1. f\x) = 6(x2 -l)(5x2 -1).因f\x) = 6 > 0,故/(x)在x = 0处収得极小值，极小值为/(0) = 0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数f\x)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：当兀取-1左侧邻近的值时，f(x) < 0;当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x) < 0;因厂(兀)的符号没有改变，故/(兀)在x = -l处没有极值.同理，/(兀)在x = l 处也没有极值.如图所示.例6求出函数/W=1-(X-2)2/3的极值.2 --解f'M = -一(兀-2) '("2). x = 2是函数的不可导点.当xv2时，f(x) > 0;当x>2时，.厂(兀)v0. /. /(2) = 1为/(兀)的极大值.例7 (E05)求y = 2疋+ 3兀$ _ 12x + 14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解*«*= 6(x + 2)(兀一1),解方程f\x) = 0,得x, =-2,X2 =1.计算/(-3) = 23; /(—2) = 34; /⑴二7; /⑷二142;比较得最大值/⑷=142,最小值/(I) = 7.例8求函数)usin2x-x在-彳冷上的最大值及最小值.解函数y = sin2x- x在-巴工上连f\x) = / = 2cos2x-1, 2 2令)/ = (),得/ = 土牛.故皿¥上最大值为务最小值为号例9 (E06)设工厂4到铁路线的垂直距离为20km,垂足为3.铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC屮间某处D修建一个原料屮转车站，再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D 应 选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省？解 BD = x (km), CD = 100 — x (km), AD = ^202 + x 2 ・铁路每公里运费眈公路每公里5R,记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: y = 5kAD + 3k-CD 即y = 5k ・ 7400 +x 2 + 3k(l 00-x) (0<x<100).问题归结为：x 収何值时目标函数y 最小./ \ I求导得y f = k 1 =一3，令y" = 0得x = 15(km).、V400 + x~ ) 由于 y(0) = 400£, y(15) = 380£, y(100) = 100@£. 从而当BD = 15 (kmJB'J-，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部 租111去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月兀元，租出去的房子有50-（犬二型］套，每月总收入为10V =70 一一，解 R\x ） = 0,得兀=350 （唯一驻点）. 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为/?（350） = 10890（元）.求函数的最大值最小值例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从 河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何吋射击最好（相距最近射击 最好）?解（1）建立敌我相距函数关系 设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件（分）.敌我相距函数5（/）5(f) = J(0.5 + r)2+(4-2r)2⑵求5 = 5(r)的最小值点5/-7.5 7(0.5 + z)2+(4-2r)2令= o,得唯一驻点（ = 1.5.故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：（1） 建立目标函数； （2） 求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最人（或最小）值.R(x) = U - 20) 50- x-180、10 )X = (x-20) 68——,I 10丿 + (“20)卜茁2 2例12求内接于椭圆与+务=1而面积最大的矩形的各边之长. a~ b~ 解 设M(x,y)为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为S(x) = 2x- 2y = — x^a 1 -x 2,0 <x<a,a且 S(0) = S(d) = 0.Qyla 2-x 2是S(x)的最人值,最大值仏=乎诗卜倍!=切课堂练习1. 下列命题正确吗？若兀()为/(X )的极小值点，则必存在旳的某邻域，在此邻域内，/(兀)在兀()的左侧下降，而 在兀()的右侧上升.2. 若/(d)是/(兀)在［d,切上的最大值或最小值，且广⑺)存在，是否一定有f(a) = 0?4b a 2 -2x 2 万需2“由 S3 = o,求得驻点尤0 =为唯一的极值可疑点.依题意，S(x)存在最大值，故对应的y 值为即当矩形的边长分别为血a, Qb 时面积最大.。
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
函数的单调性与最大(小)值
－|x|
1 ≤ 得－|x|≤－1， 2
∴|x|≥1.∴x≥1 或 x≤－1. ∴fK(x)＝1 2，－1<x<1.
－|x| 2 ，x≥1或x≤－1，
当 x∈(1，＋∞)时，fK(x)＝2
－|x|
1x ＝2 ，在(1，＋∞)上为减函数．
当 x∈(－∞，－1)时，fK(x)＝2x，在(－∞，－1)上为增函数．
【答案】
3 [ ，2) 2
错因分析：(1)仅考虑函数f(x)的单调性，忽略定义区间的限制(1 －x2＞0)． (2)作为分段函数，忽视x取值范围影响对应关系，缺乏分类讨论 的思想意识． 防范措施： (1)分段函数的求解策略是 “分段函数分段解决 ”， 树立分类讨论的思想． (2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应 关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．
课前自修
2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实
数x的取值范围是( D )
A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵f(x)为R上的减函数，且f(|x|)＜f(1)， ∴|x|＞1，∴x＜－1或x＞1.故选D. 栏 目 链 接
函数 f(x)对任意的 m，n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1， 并且 x>0 时，恒有 f(x)>1. (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； 2 (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a ＋a－5)<2.
答题模板 解函数不等式的问题一般步骤是： 第一步：确定函数 f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式； 第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”， 转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集； 第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
单调性与最大(小)值
3、最小值定义
谢谢！
设计意图
通过例题的讲解，让学生充 分理解单调性的概念并初步了解 函数单调性的应用，提高学生的 学习兴趣。
四、教学过程
3、观察对比，探究新知（10分钟）
探 究： 画出反比例函数y=1/x的图象。
(1)这个函数的定义域I是什么？ (2)它在定义域I上的单调性是怎样的？ 再观察对比 图1中的图象(1)和图象(2)它 们的图象有什么区别？
定义：
一般地，设f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数； 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数。
设计意图：即时训练，使学生及时认识
到自己对知识的掌握情况。
四、教学过程
6、总结归纳，布置作业（3分钟）
提出问题，引导学生回顾定义 及其证明方法，鼓励学生积极回 答，带引学生总结归纳函数单调 性的判定方法和注意事项，了解 函数单调性的应用。
课后作业：
必做题：A组第1，第2题。
选做题：A组第3题。
设计意图
可以发现： 二次函数的图象上有有一个最低 点（0,0），即对于任意的x∈R，都 有f(x) ≥f(0).
当一个函数的图象有最低点时，我们 就说函数f(x)有最小值。
概括 定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么，我们称M是y=f(x)的最小值
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x
发学生认知冲突。
f(x)
问题 7：列表法能把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完吗？
4. 问题 8 提出后老 师停顿让学生思考，
给予学生思考时间
问题 8：如何才能把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完呢？
师：停顿 30 秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点 作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两个
六、教法分析：在本节课的教学中，我将采用以教师为主导，学生为主体的自主式的课堂教学；本节
课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯
片及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式
开展教学。主要是“20 字，五环节”的目标教学模式引领课堂：通过学案上的“目标
生：抽 1 学生回答、其他学生补充。
性的直观认识。
问题 2：如果把时间设为 x，最高气温设为 y，y 是 x 的函数吗？
生：一起回答。
4.提出本节课题。
问题 3：若果 y 是 x 的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？
生：抽 1 学生回答、其他学生补充。
师：那么如何研究函数这种变化趋势呢？这就是今天我们要学习的
有三大语言，图形语
师：巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究 言和文字语言都能
成果。
描述函数变化趋势，
讲
生：展示图像及研究结果，是补充纠正。
符号语言能否描述
师：学生展示完后在 PPT 上小结研究过程：我们已经从图形语言、 函数变化趋势？如
文字语言的角度研究了函数的变化趋势；那么如何用符号语言描述 何描述?从而激发学
辨 析 (1,5]上一定也是增函数吗？
会正因为单调性强
强 化 生：练习后展示
调“任意……
理 解 师：点评
都……”从而导致了
单调性是函数的局
动
辨析 3：反比例函数 f (x) = 1 在整个定义域上是减函数吗？ x
部性质这一特征。 3. 通过辨析 3 让
生：练习后展示
学生对初中三大函
师：点评
数单调性有了完整 的认识。
例 1 下图是定义在[-5,5]上的函数 y=f(x），根据图像说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
（五） 举例 应用 掌握 目 定义
通过例 1 让单调性 情境再现，让学生掌 握如何用函数图像 找函数的单调区间， 用图像判断函数的 单调性。
师生共答。
（六） 学生
练习: 画出函数
（七） 归纳 小结 提高 认识
师：这节课你有何收获？ 1. 知识方面。 2. 获取知识的思想方法方面。 3. 体验和感悟方面？ 生：学生小结，请不同的学生发言，交流学习心得。
通过学生总结交流 培养学生归纳总结 的习惯，培养学生
（八） 达布 置
作业 检测 成 目标
1.必做题
（1）教材 39 页习题 2—3A 组 1 题。
2. 问题 2 体现数学
学
建模过程，培养学生
（一）
建模意识。
思创 设
情境
3.问题 3 让学生直观
静引 入
感知图像“上升（下
新课
降）”并用文字语言
悟
“y 随 x 的增大而增
大（或减小）”描述
问题 1：国庆期间朋友要来看望我，你能结合天气预报给我的好朋 “上升”“下降”趋
友一些建议吗？
势；完成学生对单调
认识列表法的局限
师：问题 6：我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们 性：只能实现“有限”
可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？
个自变量和函数值
探究方向 1：列表探究
大小的比较；不能把
在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现 所有自变量和函数
什么结论？
值大小的比较完。激
10.通过学生在电脑 上用几何画板探究， 体会“任意…… 都……”的含义，进 而归纳抽象出减函 数的定义。
师：下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们 自变量和函数值的大小它们有何关系？
探究完成后老师引导学生完成下列问题：
1.学生用符号语言描述 y 随 x 的增大而减小：
互
2.学生类比增函数定义得出减函数的定义：
十二、教学反思： 本节课采用了探究式教学，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生
通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试、体验活动，基本完成了教学目标。
函数的单调性。
1.问题 4 回顾图
像画法为学生规范
画图做准备。
2. 学生展示图像
后引导学生结合属
相用文字语言描述
（二）
函数变化趋势完成
精由 形
学生第二次对函数
入数
变化趋势的直观认
提出
识。
问题
3.通过 PPT 启发
问题 4：画图基本步骤是：1.
，2.
，3.
引导学生思考：数学
生：一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。
（2）已知函数 f (x) 对于区间 D 上的任意实数 x1, x2 都满足：
f (x1) − f (x2 ) < 0 则函数在区间 D 上是减函数吗？ x1 − x2
十一、板书设计： PPT 课件
增函数的定义 ……………… ……………… ………………
单调性的定义 减函数的定义 ……………… ……………… ………………
点就可以把 (0,+∞) 内的所有的数都比较完。
探究方向 2：解析法（利用解析式研究）： 师：几何画板演示探究过程.
引导学生能发现“任 取”两点作比较的思 路。
5. 通过几何画板动 画演示帮助学体会 如何实现“任意”两 个自变量和函数值 大小的比较。帮助学 生实现从“有限”到 “无限”的过度。
交
6.问题 9 帮助学生归
纳总结如何用符号
语言描述 y 随 x 的增
问题 9：你能用符号语言描述 f (x) = x2 在 (0,+∞) y 随 x 的增大而
大而增大。培养学生 数学抽象素养。
增大这一规律了吗？
学生总结如何用符号语言描述 y 随 x 的增大而增大：
7.问题 10 帮助学生
问题 10：对任一函数而言，如果满足：在定义域 I 的某个区间 D 实现从“特殊到一
师：学生叙述减函数的定义时，老师在 PPT 上同步播放定义。
辨析 1：若定义在区间[-2,3]的函数 f(x)满足 f(-2）<f(3),则函数在该 1. 通过三个辨析让
区间上是一定是增函数吗？
学生再次体会“任
生：练习后展示 师：点评
意……都……”的含 义，加深学生对定义
（四）
的理解。
定 义 辨析 2：函数在区间(1,3) 和[3,5]都是增函数，则函数在区间 2. 通过辨析 2、3 体
三、教学重点： 通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：在定义域 I 的某个区间 D 上任意
取的两个数 x1, x2 ，当 x1 < x2 时，都有 f (x1) < f (x2 ) （或 f (x1) > f (x2 ) ）则称函
数为区间 D 上的增函数（或减函数）来刻画“函数值 y 随自变量值 x 的增大而增大 （或减小）”这一特征。
函数的变化趋势呢？
生学习兴趣，明确研
究方向提出研究问
题。
1些研
究思路和方法，帮助
学生找到一些探究
思路。
（三）
探究
2. 问题 6 进一步引
本质
导学生从列表法和
抽象
解析法（利用解析
定义
式）去探究。
拨
师：问题 5：函数的表示方法有？
3. 问题 7 帮助学生
生：图像法、列表法、解析法。
引领”，然后在教学过程中的“学思静悟、精讲点拨、交流互动、目标达成”这五个
环节，达到以学生自主学习的目的的高效的数学课堂。
七、课型：新授课；
八、教学时长：1 课时（45 分钟）；
九、教学准备：教材、教参、、粉笔、板擦、多媒体课件、投影仪等教学仪器；
十、教学过程：
教学 环节
师生活动
设计意图
1. 以生活实例为情 景，激发学生的学习 兴趣。
1. 通过必做作业检
2.选做题
验学生学习成果。
（1）已知函数 f (x) 对于区间 D 上的任意实数 x1, x2 都满足：
2. 通过选做作业培 养学生自主学习能
f (x1) − f (x2 ) > 0 则函数在区间 D 上是增函数吗？ x1 − x2
力。 3. 通过分层作业让 不同学生都有不同
收获和提高。
f (x) = x2 − 4x − 5 的图像，并根据图像说出函数
1. 通 过 学 生 练 习 进 一步强化学生对定
练 习 的单调区间，以及在各区间上函数是增函数还是减函数？ 标 加 深 生：练习后展示
义的理解和掌握。 2. 通 过 展 示 学 生 研
理 解 师：点评
究结果进一步强化
规范作图的习惯。
四、教学难点：如何用符号语言刻画“y 随 x 的增大而增大（或减小）”
五、学情分析：学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数 概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方 法。初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随 x 的增大而增大 （或减小）”来描述变量之间的依赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可 以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。此外通过 学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：如抽象概括、类比推理、数 据处理等，为新知学习提供了一定的保障。