收敛定理的证明.

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傅里叶级数收敛定理及其推论

傅里叶级数由正弦和余弦函数构成，通过将原始函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合，可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数，且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。

§3收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． ——————————————————————————Dini 定理设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. ⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1 =2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f , 于是把问题归结为证明[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]0=,[∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把 2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1limtdt n t n .为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+00)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin 212sin 1dt t t n ⎰-=+πππdt t tn 2sin2212sin 1 (ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt 1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤iir r r a22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则22),(r r r aii=≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b a a nn n )(1),()(222220这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 证法一注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f , 对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2. 令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有 )(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 综上即得所证 .证法二由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k kb a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x S x f n ()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(122022a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-；⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ11222022202) (2)(n n n n nnB A A b a a dx x f.注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n n n B A A x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n n nx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx不是Fourier 级数.例证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n n nx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121, 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用维尔斯特拉斯逼近定理定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。

正项级数an收敛a2n收敛证明

正项级数an收敛a2n收敛证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定义正项级数是指所有的项都为正数的数列的和，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ...。

而当正项级数中的项满足an ≤ a2n的关系时，我们称其为a2n 收敛。

这篇文章将会详细介绍正项级数an 收敛到a2n 的证明过程。

证明正项级数an 收敛到a2n 的方法有很多种，其中一种较为常用且比较简单的方法是利用Cauchy 判别法。

根据Cauchy 判别法，对于正数序列{an} 来说，若存在正整数N，使得对一切n > N 都有a2n ≤ 2an，则级数{an} 是收敛的。

首先我们假设级数{an} 收敛到A，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = A。

因为级数{an} 收敛到A，所以对于任意ε > 0，存在正整数N1，使得当n > N1 时，有我们将n 替换为2n，得到即根据初等数学知识，并根据级数的性质，我们可以得出a1 + a2 + ... + a2n ≤ a1 + a2 + ... + an + a2n + 1 + a2n + 2 + ...，结合以上不等式，我们可以得出a2n ≤ 2an。

我们可以证明正项级数{an} 收敛到a2n，证毕。

总结一下，我们通过使用Cauchy 判别法，证明了正项级数an 收敛到a2n 的结论。

在证明过程中，我们充分利用了正项级数的性质以及数学分析的基本知识。

这也再次验证了数学的严谨性和逻辑性，同时也加深了我们对正项级数及其性质的理解。

希望通过这篇文章的介绍，读者能够对正项级数an 收敛到a2n 的证明方法有更加深入的理解和掌握。

同时也希望能够引起读者对数学推理和证明方法的兴趣，从而不断提升自己的数学能力和思维能力。

第二篇示例：正项级数是指所有项都是正数的级数，即an > 0。

正项级数在数学中是一个重要的概念，研究其性质可以帮助我们了解级数的收敛性质。

闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理

闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理闭区间套定理，又称为Cantor定理，是数学分析中非常重要的一个定理，它可以用来证明单调有界数列的收敛性。

在本文中，我们将详细讨论闭区间套定理的证明方法和应用。

首先，我们来介绍一下闭区间套定理的概念。

闭区间套定理是基于实数的完备性公理，在这里我们不过多地涉及实数的定义和性质，只需要知道实数满足完备性公理即可。

闭区间套定理的陈述如下：对于一系列的闭区间[a1, b1]，[a2,b2]，[a3, b3]，...，满足以下两个条件：首先，对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子区间；其次，序列{b(n) - a(n)}是一个收敛的数列。

那么，存在唯一的实数x，它同时属于所有的闭区间[a(n), b(n)]。

证明闭区间套定理的关键是构造一个实数x，我们可以通过区间的中点来构造这个实数。

具体的证明步骤如下：首先，由于每个闭区间[a(n+1), b(n+1)]都是[a(n), b(n)]的子区间，所以这些闭区间形成了一个嵌套的闭区间序列。

根据实数的完备性公理，我们知道这个嵌套的闭区间序列一定存在一个实数x，它属于所有的闭区间。

接下来，我们来证明这个实数x是唯一的。

假设存在另一个实数y，它也同时属于所有的闭区间[a(n), b(n)]。

那么，根据实数的性质，我们知道x和y之间一定存在一个有理数q。

由于x和y都同时属于所有的闭区间，所以q同时属于所有的闭区间。

但我们知道每个闭区间的长度都趋近于零，所以q的存在与有理数的稠密性矛盾。

因此，实数x是唯一的。

最后，我们需要证明序列{b(n) - a(n)}是一个收敛的数列。

由于每个闭区间[a(n+1), b(n+1)]都是[a(n), b(n)]的子区间，所以这些闭区间的长度{b(n) - a(n)}一定是递减且非负的。

根据实数的性质，我们知道这个数列一定存在一个下界，即存在一个常数M，使得对于任意的正整数n，都有{b(n) - a(n)} ≥ M。

收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．——————————————————————————Dini 定理设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(10++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n nnx b nx aa 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 sin cos 2的简缩形式.⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1=2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dt t t n t x f+2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdt t tn t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]0=,[∞→n lim2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ2sin2212sin)0(1dt t t n x f .于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=→πϕπ21sin )(1limtdt n t n . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+0)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim 0+=+→n t t n t来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn .证由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin212sin1dt t t n ⎰-=+πππdt t t n 2sin2212sin1(ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤ii r r r a 22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则 22),(r r r a ii =≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n nnx b nx aa x f自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b aa nnn)(1),()(22222这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 , )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k kb aa 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k n b a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1. 因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 1222)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup1x S x f n()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n . 由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk kk b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系}, sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-； ⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n n n nnB A A b aa dx x f .注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=122202)(n n n B AA x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为: 若三角级数nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb 收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n nn 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 不是Fourier 级数.例证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(11212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121 , 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用维尔斯特拉斯逼近定理定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。

单调有界收敛定理

序列中的元素被一个有限的区间所限制，即存在两个常数$M$和$m$，使得对于所有序列中的元素$x_n$，都有$m leq x_n leq M$。
单调性
序列中的元素按照某种顺序排列，即对于任意两个元素，要么前者大于后者，要么前者小于后者。
定理的证明
定理的证明
证明过程首先，假设序列不收敛。
如果序列是无界的，那么它不满足有界性。
主题的重要性
单调有界收敛定理是数学分析中的一个基础定理，它为研究数列的收敛性提供了重要的理论依据。
单调有界收敛定理在解决一些数学问题中具有广泛的应用，例如在求解极限、积分和级数等数学问题中，单调有界收敛定理常常作为重要的工具。
单调有界收敛定理也是数学分析中其他一些重要定理的基石，例如极限的运算法则和微积分学基本定理等。
单调有界收敛定理
目录
• 引言 • 单调有界收敛定理的概述 • 单调有界收敛定理的证明 • 单调有界收敛定理的应用实例 • 结论
01
引言
主题简介
单调有界收敛定理是数学分析中的一个基本定理，它主要涉及到数列的单调性和有界性与其收敛性的关系。
单调有界收敛定理指出，如果一个数列是单调递增且上界有界，或者单调递减且下界有界，那么这个数列必定收敛。
04
单调有界收敛定理的应用实例
应用实例一
序列求和
单调有界收敛定理可以应用于求和序列的收敛性判断。如果一个数列是单调递增且有上界，那么该数列收敛。
积分计算
在积分计算中，单调有界收敛定理可以用于确定积分的存在性和计算方法。例如，在计算定积分时，如果被积函数在积分区间上单调有界，则该定积分存在。
应用实二
级数求和
单调有界收敛定理可以应用于级数求和的问题。如果一个级数是单调递减且有下界，那么该级数收敛。

dvoretzky’s 收敛定理

Dvoretzky’s 收敛定理一、概述Dvoretzky’s 收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

本文将对Dvoretzky’s 收敛定理进行深入剖析，旨在帮助读者全面了解该定理的内容、证明过程和应用领域。

二、Dvoretzky’s 收敛定理的表述Dvoretzky’s 收敛定理描述了随机变量序列的收敛性质，在正式表述如下：对于一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，在满足一定条件下，这个序列可以在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

具体而言，若满足以下条件：1. 随机变量序列的方差有界：存在一个正数C，使得对于所有的n，有Var(Xn) <= C。

2. 随机变量序列的"距离"有限：对于任意的i≠j，有E|Xi - Xj| <=d(i,j)，其中d(i,j)是一个随机变量序列的"距离"函数。

那么，这个随机变量序列在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

三、Dvoretzky’s 收敛定理的证明Dvoretzky’s 收敛定理的证明是通过利用概率论和数学分析的方法来完成的。

主要思路是采用刻画随机变量序列的距离函数，配合方差有界的条件，最终利用概率的收敛性质来推断序列的收敛性。

具体证明过程如下：1. 定义随机变量序列的距离函数d(i,j)，并使得该距离函数满足E|Xi - Xj| <= d(i,j)。

2. 利用方差有界的条件，推导出随机变量序列的均值序列收敛到一个常数。

3. 利用概率的性质，证明了随机变量序列在概率意义下的收敛性。

四、Dvoretzky’s 收敛定理的应用Dvoretzky’s 收敛定理在概率论和统计学中有着广泛的应用。

主要体现在以下几个方面：1. 随机变量序列的收敛性分析：Dvoretzky’s 收敛定理可以用来分析随机变量序列的收敛性，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

数学分析153傅里叶级数收敛定理的证明doc

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。

下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。

设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。

设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。

引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。

现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。

首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。

因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。

所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。

不动点收敛定理

不动点收敛定理引言：在数学中，不动点收敛定理是一种重要的收敛性证明方法，它在多个领域有着广泛的应用。

不动点收敛定理指出，对于某种函数或操作，如果存在一个不动点，即函数或操作的输出与输入相等的点，那么通过迭代运算，可以将输入逐步靠近不动点，从而实现收敛。

本文将介绍不动点收敛定理的基本概念、原理以及应用。

一、不动点的定义：在函数论中，给定一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得 f(a) = a，那么 a 就是函数 f(x) 的不动点。

不动点可以看作是函数f(x) 的输入与输出相等的点，即满足 f(a) = a 的点。

二、不动点收敛定理：不动点收敛定理是指，如果一个函数 f(x) 在某个区间上连续且导数存在，且在该区间上 f'(x) 的绝对值小于 1，那么通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，其中 x_0 是初始值，可以将 x_n 逐步靠近不动点 a。

定理的证明如下：假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且导数存在，且在该区间上f'(x) 的绝对值小于 1。

我们设 x_0 是初始值，通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，我们希望证明 x_n 逐步靠近不动点 a。

根据函数的导数存在性，我们可以使用拉格朗日中值定理。

根据拉格朗日中值定理，存在一个点c，使得f(c) - f(x_0) = f'(c)(x_0 - c)。

由于 f'(x) 的绝对值小于 1，所以 |f'(c)| < 1，从而我们可以得到 |f(c) - f(x_0)| < |x_0 - c|。

接下来，我们将证明在每一步迭代中，x_n 与不动点 a 的差值不断减小。

假设在第 n 步迭代后，x_n 与不动点 a 的差值为 d_n = x_n - a，那么根据迭代运算有 x_{n+1} = f(x_n)。

我们可以将x_{n+1} 和 a 分别表示为 x_{n+1} = a + d_{n+1} 和 a + d_n，其中 d_{n+1} = x_{n+1} - a。

收敛性定理证明详解

收敛性定理引理1：迭代1(*)()(1())()()[]()t t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+。

假设*1()(1())()()[]()t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+ 产生的{()}t Q x 序列以概率1收敛到*Q 。

其中t P 为映射:Q Q t P →。

如果下面的条件满足：0<γ<1和序列{|0}t t λλ≥以概率1收敛到0。

若**t t t P Q P Q Q Q γλ-≤-+P P P P 对Q Q ∀∈成立，且()t a x 满足01t a ≤<(x)，0()ti a x ∞==∞∑，20()t i a x ∞=<∞∑，则迭代(*)产生的序列{()}t Q x 当t →∞时，以概率1收敛到*()Q x 。

定理1：贝尔曼方程虽然直接，但状态的数量通常会很巨大（随问题维度指数增加），所以迭代全空间来精确求解Bellman 方程是不可行的。

所以一般会采用近似的方法，采用Q Learning -算法去求解。

经典的Q Learning -方程： '1(,)(1)(,)[(,)max (,)]t t t t t a Q s a Q s a r s a Q s a ααγ+=-++产生的序列{(,)}t Q s a 收敛到*(,)Q s a 对s S ∀∈，a A ∀∈成立。

其中 '*''(,)(,)(|,)()s Q s a r s a p s s a V s γ=+∑证明：定义'(,)(,)max (,)]t t aPQ s a r s a Q s a γ=+。

有**max (,)(,)t s SPQ PQ PQ s a PQ s a ∈-≤-P P 。

其中P 是空间Q 到Q 的映射。

同理有**'(,)(,)max (,)aPQ s a r s a Q s a γ=+。

lebesgue积分收敛定理

Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。

Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。

下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。

一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。

给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。

Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。

二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。

Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。

级数绝对值收敛则本身收敛证明

级数绝对值收敛则本身收敛证明一、引言在数学中，级数绝对值收敛是一种重要的性质。

当一个级数的每一项都取绝对值并求和后得到的数列是收敛的，那么我们可以称这个级数为绝对值收敛。

绝对值收敛的性质被广泛应用于分析学、实分析和复分析等领域中，对于理解和解决一些复杂的问题起着至关重要的作用。

二、级数绝对值收敛的定义设有一个级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} a_{n}$，其中$\displaystyle a_{n}$代表级数的第$\displaystyle n$项。

如果级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} \left| a_{n}\right|$收敛，即$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} \left| a_{n}\right| =L$，其中$\displaystyle L$为有限数，则我们称级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$为绝对值收敛。

三、级数绝对值收敛则本身收敛的证明要证明级数绝对值收敛，则本身收敛，我们可以利用级数收敛的判别法之一——柯西判别法。

柯西判别法的核心思想是分解级数为一个新的级数，借助新级数的性质来推导原级数的收敛性。

我们将原级数按照柯西判别法的要求进行分组，构造一个新的级数。

具体步骤如下：步骤 1：定义新级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} b_{n}$，其中$\displaystyle b_{n} =\sqrt[n]{\left| a_{n}\right|}$。

步骤 2：通过求解新级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}b_{n}$的极限$\displaystyle L$，判断其收敛性。

步骤 3：根据新级数的收敛性，得出原级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$的收敛性。

证明cauchy收敛原理

证明cauchy收敛原理证明Cauchy收敛原理是数学分析中一个基本的定理，它给出了判断一个数列是否收敛的必要条件。

具体来说，如果一个数列满足Cauchy收敛原理，那么它就是收敛的。

该定理的证明可以按照如下步骤进行：1. 假设数列{an}是一个Cauchy数列，即对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε。

2. 由于数列{an}是Cauchy数列，因此它是有界的。

具体来说，对于任意的n∈N，有|an|≤M，其中M是一个正实数。

3. 由Weierstrass定理可知，由{an}中任意选取的子序列都包含一个收敛的子序列。

因此，我们可以选取一个收敛的子序列{an(k)}，满足limk→∞an(k)=L。

4. 现在我们需要证明，数列{an}也收敛于L。

由于{an(k)}收敛于L，因此对于任意的ε>0，存在一个正整数K，使得当k>K时，有|an(k)-L|<ε/2。

5. 另一方面，由于{an}是Cauchy数列，因此对于上述的ε/2，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε/2。

6. 综合上述两个不等式，对于任意的m>n>max{N,K}，我们有： |am-L|≤|am-an(k)|+|an(k)-L|<ε/2+ε/2=ε。

因此，我们证明了对于任意的ε>0，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，即数列{an}收敛于L。

综上所述，我们证明了Cauchy收敛原理的必要性，即如果一个数列满足Cauchy收敛原理，那么它就是收敛的。

dirichlet收敛定理

dirichlet收敛定理Dirichlet收敛定理是数学分析中的一个重要定理，它是关于级数收敛性的一个基本定理。

本文将对Dirichlet收敛定理进行全面详细的阐述。

一、引言在数学分析中，级数是一种非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

而对于一个级数来说，能否收敛则是非常重要的问题。

Dirichlet收敛定理就是关于级数收敛性的一个基本定理。

二、定义在介绍Dirichlet收敛定理之前，我们先来回顾一下级数的定义。

对于一个实数序列${a_n}$和正整数序列${n_k}$，我们可以得到以下级数：$$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n_k}$$如果该级数存在极限$S$，则称该级数为收敛的，并记作$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n_k}=S$；如果该级数不存在极限，则称该级数为发散的。

现在我们来介绍Dirichlet收敛定理。

首先，我们需要给出以下两个定义：（1）函数$f(x)$在区间$I=[a,b]$上单调递减且连续；（2）函数$g(x)$在区间$I=[a,b]$上满足$|g(x)|\leq M$，且在$I$上仅有有限个极值点。

然后，我们可以得到以下定理：定理：如果级数$\sum_{k=1}^{\infty}a_k$满足以下条件：（1）部分和序列${S_n}$有界；（2）函数$f(x)$在区间$I=[a,b]$上单调递减且连续；（3）函数$g(x)$在区间$I=[a,b]$上满足$|g(x)|\leq M$，且在$I$上仅有有限个极值点。

则级数$\sum_{k=1}^{\infty}a_k g(k)$收敛。

现在我们来证明Dirichlet收敛定理。

首先，由于部分和序列${S_n}$有界，即存在正数$C$，使得对于任意的$n\in N^*$都有$|S_n|\leq C$。

因此，对于任意的$m>n>0$，我们都可以得到以下不等式：$$|\sum_{k=n+1}^{m}a_k g(k)|=|S_m-S_n+\sum_{k=1}^{n}a_k(g(k)-g(n+1))|\leq 2C M+|a_1(g(1)-g(n+1))+...+a_n(g(n)-g(n+1))|$$由于$f(x)$在区间$I=[a,b]$上单调递减且连续，因此，对于任意的$x\in [a,b]$，我们都可以得到以下不等式：$$|f(x)-f(b)|\leq \int_{x}^{b}f'(t)dt$$因此，我们可以得到以下不等式：$$|a_k(g(k)-g(n+1))|=|a_k(f(n+1)-f(k-1))(g(k)-g(n+1))|\leq M |a_k(f(n+1)-f(k-1))|\leq M \int_{k-1}^{n+1}f(x)dx$$由于函数$f(x)$在区间$I=[a,b]$上单调递减且连续，因此，我们可以得到以下不等式：$$\int_{k-1}^{n+1}f(x)dx\leq f(k-1)(n-k+2)$$因此，我们可以得到以下不等式：$$|\sum_{k=n+1}^{m}a_k g(k)|\leq 2CM+\sum_{k=1}^{n}|a_k(g(k)-g(n+1))|\leq 2C M+(M f(0)+2M\sum_{k=1}^{n-1}f(k))a_1+\sum_{k=2}^{n}(M f(0)+2M\sum_{j=k}^{n-1}f(j))(a_k-a_{k-1})$$由于函数$g(x)$在区间$I=[a,b]$上满足$|g(x)|\leq M$，且在$I$上仅有有限个极值点，因此，对于任意的$n\in N^*$，我们都可以得到以下不等式：$$|\sum_{k=1}^{n}a_k g(k)|\leq 2C M+\sum_{k=1}^{n}|a_k(g(k)-g(n+1))|\leq 2C M+(M f(0)+2M \sum_{k=1}^{n-1}f(k))a_1+\sum_{k=2}^{n}(M f(0)+2M \sum_{j=k}^{n-1}f(j))(a_k-a_{k-1})$$因此，我们可以得到以下不等式：$$|\sum_{k=1}^{\infty}a_k g(k)|\leq 2C M+(M f(0)+2M\sum_{k=1}^{\infty}f(k))a_1+\sum_{k=2}^{\infty}(M f(0)+2M\sum_{j=k}^{\infty}f(j))(a_k-a_{k-1})$$由于函数$f(x)$在区间$I=[a,b]$上单调递减且连续，因此，我们可以得到以下不等式：$$\int_{0+}\frac{dx}{f(x)}=\int_{a+}\frac{dx}{f(x)}=\int_{a+}\frac{d( f^{-1}(x))}{x}=+\infty$$因此，我们可以得到以下结论：$$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}|S_n|<+\infty\Leftrightarrow \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0$$因此，我们可以得到以下结论：$$\sum_{k=1}^{\infty}a_k g(k)\text{收敛}\Leftrightarrow\limsup\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=0$$五、总结Dirichlet收敛定理是数学分析中的一个重要定理，它是关于级数收敛性的一个基本定理。

(完整版)15.3收敛定理的证明

2
2
sin
t 2
[ f ( x t) f ( x 0)]
t 2
,t 0,
t
sin
t 2
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由§1(13)式得
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0)
t 0
再令(0) f ( x 0)，则函数在点t 0右连续,因
3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue定2理的形
,
式,
即令
t
(t)
f
(x
t) t
f
(x
0) 2 sin
t
,
2
t (0 , ]
7
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则
1
lim
n
0
f ( x 0) f ( x t)
sin 2n 1t
f ( x 0) f ( x 0) 2
f ( x 0) f ( x 0) 2
Sn(x 1
) f
(
x
t
)
sin 2n 2
2sin t
1
t
dt
2
3
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f ( x 0) 1
2
0
sin 2n 1t
f (x t)
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收敛定理的证明

若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
为
收敛.
比如正弦级数法), 由级数
是收敛的三角级数(利用 Dirichlet 判别
发散, 正弦级数
不是 Fourier 级数.
法国数学家，出生在一种裁缝家庭，
家境贫寒，八岁时成为孤儿，因为才华
出众，1790年成为巴黎工科大学教授。 1798年参加拿破仑旳远征军，回国后当
.
现证对
,有
.
事实上, 令
由
一致收敛于 ,
对
对
,
有
, 因此 ,
即当
时有
令,
由的任意性, 有
综上即得所证 .
.
.
.
Fourier级数与三角级数旳区别：Fourier级数是三角级数，但收敛旳三角级数却未必是某个可积函数旳Fourier级数.
一种三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数旳Fourier级数 ) 旳必要条件为:
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
的积分形式, 或称为
可化为
+
于是把问题归结为证明
,
,
.
这两式旳证明是相同旳, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把
表示为积分,即把
为 Dirichlet 积分
表示
.
于是又把上述1中所指旳第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最终旳式子化为

单调有界数列收敛定理

Ln+1 。
另一方面，单位圆内接正 n 边形的面积
因此当 n ≥ 3 时，
Sn
180o = n sin
n
180o cos
n
< 4，
Ln
= n sin 180o n
<
4 180o
4 ≤ cos 60o
= 8。
cos
n
综上所述，数列{ Ln }单调增加且有上界，因而收敛。将这个极限用希腊字母π 来记，就有
有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。
设 lim n→∞
xn
=
a
，对 xn+1 =
此方程，得到 a = 3 ，即
3 + 2xn 两边求极限，得到 a =
lim
n→∞
xn
= 3。
3 + 2a ，解
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率：设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。解设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
⎪⎩⎝
+
1 n
⎟⎞ n+1 ⎠
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
单调减少，两者收
敛于同一极限。
证得到
记
xn
=
⎜⎛1 + ⎝
1 n
⎟⎞ n ⎠
,
yn
=
⎜⎛1 ⎝
+
1 n
⎟⎞ n+1 ⎠
，由平均值不等式
n
a1a 2 "a n
≤ a1 + a2 + " + an n

收敛定理的证明

π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
而
1 π
π [ f ( x)]2dx为有限值,
π
所以正项级数
a02
2

(an2
n1
bn2 )
的部分和数列有界, 因而它收敛且有不等式(1)成立.
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推论1 若 f 为可积函数, 则
lim
n
π π
f ( x)cos nx dx 0,
lim
n
0 π
f
(
x ) sin
n

1 2

xdx

0.
预备定理2 若 f 是以2 π为周期的函数, 且在 [π, π]
上可积, 则它的傅里叶级数的部分和 Sn( x)可写成
前页后页返回
1
Sn(x)= π
π
f
(
x

t
)
sin

n

1 2

t
dt ,
π
2sin t
(8)
2
当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限
lim
sin

n

1 2

t
n
1
t0 2sin t
2
2
来确定.
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证在傅里叶级数部分和
Sn( x)

a0 2

n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
中, 用傅里叶系数公式代入, 可得
Sn(x)
,0