春季五年制小学奥数四年级三角形等积变形(下)
小学四年级奥数下册三角形的等积变形教案
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我们已经掌握了三角形面积的计算公式：# 三角形面积=底×高÷2# 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来#角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．# 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：# ①等底等高的两个三角形面积相等．# ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．# ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．# #，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．#同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．#例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．#例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．###。
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】
小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。
四年级奥数之等积变形(下)
ABD BD ADC DC
1
【例3】(★★★) 如图，△ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，△ADE的面积是20cm2， △ABC的面积是多少？
【例4】(★★★) 如图，△ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、 AC和AD的中点。求： △DEF的面积。
4. “鸟头”模型：有角共线的两个三角形，它们的面积之比等于相 应边长乘积之比。
A D
E
E C
D
D
A
B
C
B
A
E
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
ABC AB AC ADE AD AE
2
【今日讲题】 例3，例5，超常大挑战
【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________。
A
C
E
D E
D
D
A
B
CB
ABC AB AC ADE AD AE
A
E
B
C
【例5】(★★★★) 如图，△ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果△ADE的面 积等于1，那么△ABC的面积是多少？
等积变形(下)
1. 三角形中的“二合一”模型。 2. 三角形中的“鸟头”模型。
【超常大挑战】(★★★★) 如图，△ABC的面积为2，其中AE＝3AB，BD＝ 2BC，△BDE的面积是多少？
【家长评价】
____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________。
春季五年制小学奥数四年级三角形等积变形(下)
三角形等积变形<例1正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米？例2两个正方形如图排列,面积相差60,求阴影部分梯形面积。
例3如图所示,已知正方形ABCD的边长为10厘米,EC＝2×BE,则,图中阴影部分的面积是________平方厘米。
例4如图,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD＝AB；延长BC至E,使CE＝2BC；延长CA至F,使AF＝3AC,求三角形DEF的面积。
例5如图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
例6如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF＝CE,BG＝DE,如果四边形ABCD面积是1,求△EFG 的面积？测试题1．如图,长方形ABCD 的面积是1,M 是AD 边的中点,N 在AB 边上,且2AN BN =。
则,阴影部分的面积是多少？NMDCBA2．如图,梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。
三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。
已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,它们的差是5分米。
求梯形ABCD 的面积。
AB CD3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,则图中阴影部分三角形的面积是〔 〕平方厘米。
4．正方形ABCD 和正方形CEFG ,且正方形ABCD 边长为10厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米？HG FEDCBA5．如图,已知三角形ABC 面积为1,延长AB 至D ,使BD AB =；延长BC 至E ,使2CE BC =；延长CA 至F ,使2AF AC =,求三角形DEF 的面积。
答案1．连接BM ,因为M 是中点所以ABM ∆的面积为14又因为2AN BN =,所以ANM ∆的面积为1114312⨯=,又因为BDC ∆面积为12,所以阴影部分的面积为：115112212--=2．CB如右图,作AB 的平行线DE 。
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正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。
如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC＝2×BE，那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。
例3
例2
例1
三角形等积变形(下)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA 至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。
求三角形CDF的面积。
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF＝CE，BG＝DE，如果四边形ABCD面积是1，求△EFG的面积？
例6
例5
例4
测试题
1．如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =。
那么，阴影部分的面积是多少？
N
M
D
A
2．如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。
三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大
10平方分米。
已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。
求梯形ABCD 的面积。
A
B
C D
3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。
4．正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
H
G F
E
C
B
A
5．如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长
CA 至F ，使2AF AC =，求三角形DEF 的面积。
答案
1．
连接BM ，因为M 是中点所以ABM ∆的面积为14又因为2AN BN =，所以ANM ∆的面积为111
4312⨯=，
又因为BDC ∆面积为12，所以阴影部分的面积为：115
112212--=
2．
C
B
如右图，作AB 的平行线DE 。
三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)。
从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：
21054⨯÷=（分米），梯形面积是：154230⨯÷=(平方分米)。
3．4428⨯÷=（平方厘米） 4．
A
B
E
F
（法1）三角形BEF 的面积2BE EF =⨯÷，
梯形EFDC 的面积()22EF CD CE BE EF =+⨯÷=⨯÷=三角形BEF 的面积，
而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以三角形DHF 的面积 =三角形BCH 的面积，
进而可得阴影面积 = 三角形BDF 的面积 = 三角形BCD 的面积1010250=⨯÷=（平方厘米）。
（法2）连接CF ，那么CF 平行BD ，
所以，阴影面积 = 三角形BDF 的面积 = 三角形BCD 的面积 50=（平方厘米）。
5．
A
B C
D
E
F
本题是性质的反复使用
（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）。
连接AE 、CD 、BF 。
1
111
ABC ABC DBC DBC S S S S ∆∆∆∆==∴=， 同理可得其它，最后三角形DEF 的面积7=。