例谈圆锥曲线双切线问题的处理方法
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
圆锥曲线解题方法之方程组联立求解如何通过将两个圆锥曲线的方程组联立解决求交点相切点等问题
圆锥曲线解题方法之方程组联立求解如何通过将两个圆锥曲线的方程组联立解决求交点相切点等问题圆锥曲线是数学中重要的几何概念，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)确定的曲线。
求解圆锥曲线的交点和切点是解决许多几何问题的关键，其中一个有效的方法是通过将两个圆锥曲线的方程组联立求解。
本文将介绍如何使用这一方法解决圆锥曲线的交点和切点问题。
首先，我们需要确定两个圆锥曲线的方程。
一个常见的圆锥曲线是椭圆，其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a$ 和$b$ 分别是椭圆的横轴和纵轴的半长轴。
另一个常见的圆锥曲线是双曲线，其方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
在这里，我们以椭圆和双曲线为例进行讨论。
假设我们要求解椭圆和双曲线的交点。
首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。
我们可以将方程1和方程2联立，得到如下方程组：$\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$接下来，我们可以通过消元法求解方程组。
将方程1减去方程2，可以消除 $x$ 的平方项和 $y$ 的平方项：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。
因此，椭圆和双曲线的交点为 $(a,0)$ 和 $(-a,0)$。
接下来，我们来求解椭圆和双曲线的切点。
切点是指两个圆锥曲线在某一点处的切线相同。
我们可以通过联立方程组求解切点。
假设我们要求解椭圆和双曲线的切点。
首先，将椭圆的方程记为方程1，双曲线的方程记为方程2。
我们可以将方程1减去方程2，得到如下方程组：$\begin{cases}2\frac{y^2}{b^2}=0\\\frac{y^2}{b^2}=0\end{cases}$这意味着 $y=0$，代入方程1可以得到 $x=\pm a$。
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
从一道试题谈圆锥曲线的切割线定理
圆锥曲线的切割线定理是指，在圆锥曲线上任取一点P，过P
点做曲线的切线，该切线与曲线的交点记为N，则PN称为该
点P的切线斜率，且PN的斜率为该点P的曲率半径。
具体来说，对于椭圆、双曲线和抛物线的某一点P，其切线斜
率k和曲率半径r分别为：
椭圆：k=±(b²/a²-x²/y²)½，r=a²/b
双曲线：k=±(x²/a²-y²/b²)½，r=a²/b
抛物线：k=2ax，r=2a
其中，a和b分别为椭圆和双曲线的半轴长，a为抛物线的参数。
切割线定理的实际应用非常广泛。
例如，在计算圆锥曲线的焦点和直线方程时，常需要用到切割线定理。
此外，在图像处理、建模等领域也经常涉及到切割线定理。
因此，掌握切割线定理对于理解和应用圆锥曲线有重要意义。
圆锥曲线中的双切线题型(学生版)
高级思维技能训练（15）圆锥曲线中的双切线题型(手电筒模型）解题技能一、极点与极线问题（同构）已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点()00,P x y 和直线()()0000l Ax x Cy y D x x E y y F ++++=：++0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x （另一变量y 同理），即可得到点()00,P x y 的极线方程．例1．教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=.我们将其结论推广：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点()0,o x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用.已知，直线30x y -+=与椭圆222:1(1)x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A B 、分别作该椭圆的两条切线12l l 、，且1l 与2l 交于点(2,)M m .当m 变化时，求OAB 面积的最大值.【跟踪练习】已知动点P 到直线:2l y =-的距离比到点(0,1)F 的距离大1（1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）A B 、为M 上两点，O 为坐标原点，12OA OB k k ⋅=-，过A B 、分别作M 的两条切线，相交于点C ，求ABC ∆面积的最小值.解题技能二、判别式法（0=∆21k k ,为方程的两根）（1）设切线的斜率为k ，写出切线的方程；（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；（3）由（2）中方程满足判别式0=∆，建立关于k 的一元二次方程，两切线的斜率21k k ,为方程的两根；（4）结合韦达定理，计算2121k k k k ,+等，并将之用于其他量的计算。
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义---切线问题
第六章切线切线问题的处理（1）若直线与圆锥曲线相切，那么联立后的一元二次方程△=0，其中二次项系数不为0.（2）遇到抛物线c bx ax y ++=2可以利用导数找切线方程（3）对于直线与圆相切，可以考虑圆心到直线的距离=半径（4）抛物线中有用的结论：pypy x x y x py x pxpx y y y x px y +==+==0000200002 ),(2 ),(2处的切线方程为在②处的切线方程为在①有些题设切点会有出其不意的效果.,22px px yy px y +==拆分为计算上均等拆开，如记忆技巧：对等原则，线的标准方程：同样适用于椭圆于双曲与分别换为然后将其中的,,00x y x y 结论虽好但是不建议直接使用。
下面的了解一下即可：那么若切点为),,(00y x 1120202222=+=+by y a x x b y a x 的切线方程为椭圆200222))(())(()()(r b y b y a x a x r b y a x =--+--=-+-的切线方程为圆对于全国卷的童鞋，熟练运用前3条即可。
当然你知道的越多，你的思路也越开阔.下面给出题目汇总，具体不再一一解析两点交于与直线理】已知曲线全国【N M a a kx y l x y C ,)0(:4:120152>+==处的切线方程；和在点时，分别求N M C k 0)1(=.44:,20172的横坐标之和为与上两点，为曲线全国文】设【B A x y C B A =的斜率；求直线AB )1(求直线平行，且处的切线与直线在上一点，为曲线设,)2(BM AM AB M C C M ⊥.的方程AB H.C ON ,,)0(2:,)0(:20162于点并延长交连接的对称点为关于于点交抛物线轴于点交全国文】直线【N P M P p px y C M y t t y l >=≠=;ON OH)1(求.)2(明理由是否有其他公共点？说与抛物线以外，直线除C MH H ,3),1,0(2011OA MB M y B A ∥点满足上，点在直线新课标理】已知【-=-C M BA MB AB MA 点的轨迹为设,⋅=⋅.点的轨迹方程求M )1(.,)2(距离的最小值点到处的切线，求在为上的动点为l O P C l C P .2OB OA B 2A O ,42C 20142222的位置关系，并证明与圆，判断直线上，且椭圆在上，点在直线为原点，若点设：北京理】已知椭圆【=+⊥==+y x AB C y y x 已上顶点为右顶点为的左右焦点为天津理】设椭圆【,,,,12014212222B A F F by a x =+2123F F AB =知求椭圆的离心率)1(的经过原点为直径的圆经过一点，以线段为椭圆上异于其顶点的设O F PB P ,)2(1.的斜率线直线与该圆相切，求直l ,)2,0(,4:20142A C M y x C 相交于任作一直线与过点物线江西文】如图，已知抛【=DAO y B B 相交于点轴的平行线与直线作两点，过点在定直线上；证明：动点D )1(,,2)2(21N N y l C 于点与第一问的定直线相交相交于点与直线的任意一条切线作=.2122为定值，并求此定值证明：MN MN -.),0,1()0(1:20121122221上在且点的左焦点广东文】已知椭圆【C P F b a by a x C ->>=+的方程；求椭圆1)1(C .4)2(221的方程相切，求直线：和抛物线同时与椭圆设直线l x y C C l =的，抛物线的离心率是山东理】椭圆【y x E b a by a x C 2:23)0(1:201622222=>>=+.的一个顶点是焦点C F 的方程求椭圆C )1(交于不同的两点与处的切线在点象限，上的动点，且位于第一是设C l P E E P )2(.,,,M x P OD D AB B A 轴的直线交于点且垂直于与过直线的中点为线段在定直线上①求证：点M 个端点是的一个焦点与短轴的两四川理】已知椭圆【)0(1:20162222>>=+b a by a x E .33T E x y l 有且只有一个公共点与椭圆：个顶点，直线直角三角形的+-=的坐标的方程及点求椭圆T E )1(的左：分别是椭圆安徽理】如图，点【)0(1)0,(),0,(2012222221>>=+-b a by a x C c F c F 的垂线作直线过点的上半部分于点轴的垂线交椭圆作右焦点，过点221,PF F P C x F .2Q ca x 于点交直线=4,4(的方程；Q),)1(如果点C求此时椭圆的坐标是PQ证明：直线C)2(只有一个交点.与椭圆。
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题及蒙日圆
公众：数学其实没那么难
例题剖析:
例 1.已知圆 O： x2 + y2 = 1， 若直线 y=kx+2 上总存在点 P，使得过点 P 作圆 O 的两条切线相互垂
直，则实数 k 的取值范围是______________．
【解析】由前述蒙日圆概念可知,P 点轨迹为圆: x2 + y2 = 2 , 由于点 P 又在直线 y=kx+2 上，即点 P
公众：数学其实没那么难
“同构思想”秒杀圆锥曲线双切线问题
北京大学 钟老师 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题,该点可能
是定点也可能是动点,题目也可能给出两条切线的斜率的关系,此类双切线问题常常采用
同构的思想来解题.
数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.
1. 若实数 a、b 分别满足 f (a) = 0 和 f (b) = 0 ，则它们呈现同构特征，由此 a、b 可视为方
既在圆上又在直线上，也就是说直线与圆恒有公共点，即直线与圆相切或相交，依据点到直线间的 距离 d≤r 可得 k≥1 或 k≤－1.
例 2.(2014 东北师大附中四模.20)给定椭圆 C:
x2
+
y
2
=
a2 b2
1 (a > b > 0) ,称圆心在原点 O,半径为
a2 + b2 的圆时椭圆 C 的”准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离
②
过双曲线
x2 a2
−
y
2
=
b2
1 (a > b > 0) 上任意不同两点 A、B 作椭圆的切线，若切线垂直且相
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中重要的课题之一，本文将深入探讨解决这一问题的几种方法。
首先介绍了圆锥曲线的概念和问题的重要性。
接着分别从几何法、代数法、参数法、向量法和微积分法五个方面展开讨论各种解决问题的方法。
在对各种方法进行了综合比较，并指出它们在不同场景下的适用性。
最后展望未来，提出了关于圆锥曲线问题研究的一些新的思路和方向。
通过本文的阐述，读者将对解决圆锥曲线问题有更深入的认识，同时也对未来的研究方向有了一定的启发。
【关键词】圆锥曲线, 解决问题, 方法, 几何法, 代数法, 参数法, 向量法, 微积分法, 综合比较, 适用场景, 未来展望, 引言, 正文, 结论.1. 引言1.1 圆锥曲线概述圆锥曲线是平面上具有特定几何性质的曲线。
根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为椭圆、双曲线、抛物线和圆。
它们在几何学和代数学中具有广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学中都有着重要的作用。
椭圆是一个闭合的曲线，其定义是所有到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一个开放的曲线，其定义是到两个固定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
抛物线是一个开放的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的集合。
圆是一个闭合的曲线，其定义是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
圆锥曲线的研究对于理解几何及代数概念具有重要意义。
掌握不同方法解决圆锥曲线问题将有助于我们更深入地理解这些曲线的性质和特点，从而在实际问题中应用这些知识。
在接下来的内容中，我们将介绍几种不同的方法来解决圆锥曲线问题，希望读者能从中受益。
1.2 问题的重要性圆锥曲线在几何学和数学中具有重要的地位，它们是平面上特殊的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
解决圆锥曲线问题的方法不仅仅是为了解题，更重要的是培养数学思维和逻辑推理能力。
圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，掌握解决圆锥曲线问题的方法可以帮助我们更好地理解这些领域的知识和解决实际问题。
高中数学专题---切线问题
高中数学专题--- 切线问题基本方法：圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点00(,)x y 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=∆，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.一、典型例题1．已知椭圆C ：221(0)42x y a b +=>>上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线l DF ，且与y 轴交于点()0,P t ，又在直线y t =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OQ OE ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222x y +=相切；（2）判断直线EQ 与圆222x y +=是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.x2． 已知椭圆221:143x y C +=，在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.二、课堂练习1．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足252QF =． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y kx m =+交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．三、课后作业1．已知椭圆22:162x y C +=，点()3,0A ，P 是椭圆C 上的动点. 若直线AP 与椭圆C 相切，求点P 的坐标.2．对任意的椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b+=．利用此结论解答下列问题．已知椭圆22143x y +=，若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．3．已知抛物线2:2E x y =，O 为坐标原点，设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交于E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N . 求证：25||2NT NA NB =⋅.。
(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+byy a x x证明：（1）22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为200020()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b yy a x x 、12222=+b yy a x x 。
又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、1202202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a bya x 上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程12020=+byy a x x 表示直线的几何意义亦不同。
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
与圆锥曲线切线相关的速解结论及示例
x＋x０ yy０＋D ２
y＋y０ ＋E ２
与圆锥曲线切线相关的速解结论及示例
刘祯怡 王永利
(牡 丹 江 市 第 一 高 级 中 学 , 黑 龙 江 牡 丹 江 １５７０００)
[摘 要] 通过对历年高考数学真题和模拟题的大量研 习,分 析 现 行 考 试 中 与 圆 锥 曲 线 切 线相关的热点问题,用简洁易懂的方式总结考试实战常 用 的 ３ 个 结 论,形 成 答 题 模 式,有 效 提 高 小 题 压 轴 题 的 解 题 速 度 和 准 确 度 ,并 给 出 近 年 典 型 例 题 ,指 导 高 考 考 生 更 好 理 解 和 运 用 .
圆与直线 x＋ ３y＋４＝０ 有 且 仅 有 一 个 交 点,则 椭 圆 的 长 轴７ D．４ ２
解析:若采 用 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程,Δ＝０ 求
解 ,计 算 量 较 大 . 采 用 带 一 半 的 方 法 可 大 大 简 化 计
曲线上 一 点 M(x０,y０)的 切 线 方 程 为:xx０＋yy０＋
Dx＋２x０ ＋Ey＋２y０ ＋F＝０．证 明 过 程 可 以 利 用 导 数
或直线与曲线相切位置关系证明.若点在曲线外,
只 能 利 用 直 线 与 曲 线 相 切 位 置 关 系 求 解 切 线 ,注 意
讨 论 直 线 斜 率 是 否 存 在 ,避 免 丢 解 .
例１ 圆x２＋y２－４x＝０在点 P(１,３)处的切 线 方 程 为 ( )
A．x＋ ３y－２＝０B．x＋ ３y－４＝０ C．x－ ３
y＋４＝０ D．x－ ３y＋２＝０ 解析:由已知可判 断 点 P(１,３)在 圆 上,利 用
带一半的方法求切线方程为 x＋ ３y－４１＋２x＝０, 选 D.
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题圆锥曲线的双切线问题一直以来都是广泛研究的一个重要课题，也是几何学中一个极具挑战性的问题。
历来，圆锥曲线的双切线问题都是通过已知条件来求解，但其复杂性及耗费的时间也是一个值得重视的问题。
为了解决这一问题，一些学者提出了利用同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法，其主要研究的是如何以最少的操作和最快的速度来求解这一问题，并极大地提高了求解效率，为此，本文以《同构法巧解圆锥曲线的双切线问题》为标题，讨论同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的方法与相关理论。
一、同构法原理及研究基础同构是指将一个几何图形通过平移、旋转、放缩或其组合变换，再次同构到另一个几何图形，这样变换成的两个几何图形之间可以称之为同构图形。
两个同构图形之间具有相同的角度和距离关系，因此在同构变换下，两个图形会共享相同的几何空间，即使在另一个空间中，也可以在有限的步骤中实现相同的目标。
同构法巧解圆锥曲线的双切线问题是以几何变换同构法为基础而进行的研究，其具体的工作原理如下：首先，确定几何变换的类型，即一次同构变换或者多次同构变换；然后，求出变换前后所有相关几何元素的变换表（如角度、线长等）；最后，根据初始几何元素和变换表求出变换后所有几何元素的关系表。
这样，根据同构法巧解圆锥曲线的双切线问题的原理，可以避免大量的求解步骤，快速准确地求出双切线的坐标。
二、同构法巧解圆锥曲线双切线的求解方法1、确定几何变换类型首先，根据要求，需要确定几何变换的类型，即求解圆锥曲线的双切线需要使用什么几何变换，多次几何变换或者一次同构变换？一般情况下，如果需要求解的图形是复杂且有多个要素的，则建议采用多次几何变换的方法；如果图形的形状或规模不复杂，只包含几个要素的，则可以采用一次几何变换的方法。
2、变换表的求解接下来，根据几何变换的类型，求出变换前后相关几何元素的变换表，一般而言，多次几何变换时，需要根据每次变换的几何元素类型求出其变换表，而一次几何变换时，则可以根据变换后相关几何元素的坐标求出变换前元素的坐标，并求出变换表。
圆锥曲线切线切点处理方法
圆锥曲线切线切点处理方法
圆锥曲线切线切点处理方法有两种：
1. 导数法：将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线。
2. 根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程。
以上是圆锥曲线切线切点处理的两种方法，如需更多信息，可以查阅高等数学专业书籍，或者咨询专业数学学者。
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线：
1、概述：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在曲线的某一点
上的切线方向无论如何都不会重合，它们交于这个圆锥曲线外的无限
远处。
2、定义：圆锥曲线上一点作圆的两条切线，是指从一个圆锥曲线上一
点出发，以曲线为切线方向，以圆为切线形式作为圆锥曲线上该点出
发的两条切线。
3、特点：
(1) 切线方向无论如何都不会重合：从圆锥曲线上一点出发，它们的切
线方向是有一定的角度关系的，但这个角度度数是不会重合的，这一
点是它们的特点之一。
(2) 两条切线的交点：这两条切线交于这个圆锥曲线外的一个无限远处，是一个比较远的地方，是无法触及的，但它们是相交的。
4、应用：两条切线能够用来解决新一类几何问题，比如通过圆锥曲线
上一点，求解两条相交线段的夹角；而且它们还可以用来刻画单位圆
中的形状，比如椭圆，圆台等。
5、总结：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在某一点处的切线方向无论如何都不会重合，而且它们的交点在一个比较远的地方，是无法触及的；结合单位圆，它们还能够解决新一类几何问题，可以用来刻画单位圆中的形状，是一种重要的数学概念。
圆锥曲线的切线方程的探究
圆锥曲线的切线方程的探究金长林问题：求过抛物线2y x =上的点00(,)P x y 的切线方程。
学生1：求导得002x x y x ='=，所以所求的切线方程为0020xx y y --=学生2：设切线方程，与抛物线方程联立，判别式为0。
变式：求过抛物线2y x =上的点00(,)P x y 的切线方程。
学生3：方法1：联立 方法2：求导， （1）当0y ≥时，y =y '=，所以所求的切线方程为00)y y x x -=-，因0y =，所以切线方程为0020yy x x --= （2）当0y ≤时，y =，y '=故切线地斜率为，所以所求的切线方程为00)y y x x -=-，因0y =0020yy x x --= 综上可得所求的切线方程为0020yy x x --= 学生4：2y x =的两边对x 求导，得21yy '=，得y '12x x y ==，由点斜式得切线方程为0020yy x x --=（好！）进一步探索：1、 设00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，求过该点的切线方程。
解：22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为200020()b x y y x x a y -=--即22000022221x x y y x y a b a b +=+=即00221x x y y a b +=2、 设00(,)P x y 是双曲线22221x y a b-=上的点，求过该点的切线方程。
学生：过该点的切线方程为00221x x y ya b-= 师：为什么？学生：根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点00(,)P x y 的切线方程为：把原方程中的2x 用0x x 代，2y 用0y y 代，得到的方程即为过该点的切线方程师：若原方程中含有x 或y 的一次项时呢？ 学生：可能把x 用02x x +代，y 用02y y +代吧？！ 继续探究求过圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=上的点00(,)P x y 的切线方程。
处理“切”问题的两种方法
处理“切”问题的两种方法浙江省天台中学 高二（6）班 吴俊霖指导教师： 郑秋蝉 邮编：317200 近来，在圆锥曲线的课外作业中，与切线切点相关的综合试题大量出现，是圆锥曲线试题的最难点且运算量比较大．多数同学对于这样的题尽管做了很多，也进行了深刻的思考、分析、总结，不过，还是很迷惑，理不出清晰的解决思路．根据笔者近来做题后的感悟，对于解决圆锥曲线与切点切线相关问题的方法选择，要么选择“方程法”，要么选择“导数法”，千万不要混在一起，这两种方法也有区别，应该根据提供的圆锥曲线方程的特征结合其它条件来综合选择判断．一、 方法概括设圆锥曲线方程为0),(=y x f ，切线为b kx y +=．方程法：如果题供的方程是椭圆、双曲线等标准方程（即同时含有2x ，2y 形式）应该首选这一方法；主要思想就是从方程组的关于另一个未知数的方程，b 关系式，就是直线b kx y +=导数法：如果题供的方程是抛物线方程（实际是函数形式）的x 线的斜率，写出切线方程，再根据切点),(00y x P 数都是由着这个关于0x ，0y 路．二、 例1：已知函数xt x x f +=)(过点)0,1(P 作曲线)(x f y =的两条切线PN PM ,，切点分别为M 、N ．设MN t g =)(，试求)(t g 的表达式．分析：欲求MN t g =)(，关键是求切点M 、N 的坐标．方法一．方程法：为了节约版面，具体请读者模仿例2自行完成．方法二．导数法：设两个切点统一为),(a t a a Q +，由211)(xt x f ⋅-='，得切线方程统一为))(1()(2a x a t a t a y --=+-，它过)0,1(P 点，则)1)(1()(2a a t a t a --=+-，即022=-+t ta a ，关于a 方程的两根就是M x ，N x ；从而有t x x N M 2-=+，t x x N M -=，即t t x x N M +=-22，所以2222)]1)([()()()()(N M N M N M N M N M x x t x x x x y y x x MN t g --+-=-+-== 2)(22NM N M N M x x t x x t x x +--=t t t t +=++⋅+=22521222． 评注：从以上两种解法可以看出：由于题供的函数是t x x f +=)(，这样“导数法”就巧的方法．三、专注方程法例2：设点00(,)P x y 在直线x =过点P 作双曲线221x y -=A 、B ，定点1(,0)M m分析：此时方程为221x y -=能用方程思想．方法一：设),(11y x A 、,(22y x B 且22111x y -=、22221x y -=， 设切线PA 的方程为：1(y y k -=22111(1)2()(k x k y kx x y -----从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=，结合22111x y -=，化简得0)(211=-ky x ，即11x k y =， 因此PA 的方程为：111y y x x =-；同理PB 的方程为：221y y x x =-；又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =-，即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上，从而，过A 、B 两点的直线方程就是01y y mx =-，又1(,0)M m也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线． 评注：这里求PB 方程用了“类比”思想；“过A 、B 两点的直线方程就是01y y mx =-”推断是用了“同一法”思想，是下面一个课外的练习题解题思想的迁移．已知圆222r y x =+，圆外一点),(00y x P ，引圆的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，求证：AB 的直线方程为200r y y x x =+． 方法二：设),(0y m P ，切点为1122(,),(,)A x y B x y ；切线统一设为)(0m x k y y -=-，代入122=-y x 得01)()(2)1(20022=------km y x km y k x k ，1±≠k ，所以，01=∆即0)1(2)1(20022=++--y k my k m ，结合10<<m ，有04442202>-+=∆m y ，从而有两根1k 、2k ，且122021-=+m my k k ，1122021-+=m y k k ； 对于1k ，2121012110111)1(2)(2k m k y k k m k y k x --=--=，2110101111)(k m k y m k y x k y --=-+=； 同理对于2k ，22220221k m k y k x --=，222021k m k y y --=；所以，2121x x y y k AB--=)1)(()1)(()1)(()1)((21220222210121202210k m k y k k m k y k k m k y k m k y ----------==+-++-+=)()1()1()(2121021210k k m k k y k k m k k y 02200220)()(y m m y y m y m =--；从而，直线AB 的方程为)(101x x y m y y -=-，令0=y 得)1(21121200122121100212101011k m y y mk m k k m k y m y k m k y k m y y x x M --+-=--⋅---=⋅-=，由01=∆即0)1(2)1(2010212=++--y k my k m 的式子可得21201022112k y k my m k -=-+-，从而有m x M 1=，即直线AB 过点1(,0)M m． 评注：方法二比起方法一，是繁得多，运算时不能出错，否则前功尽弃，但思路自然；尽管这样，还是需要较强的基本功；另外，请读者注意例2与例1的方程思想解决问题时有一个共同的特点——设切线斜率为1k 、2k ，然后切点都是用1k 、2k 来表示的．求圆锥曲线与切点、切线相关的问题，通过上面的理论与实践的结合，读者应该比较清楚了，在解决问题时还需要灵活运用．特别强调：方程法首先是设切线方程，导数法首先是设切点．最后，希望读者与笔者一样，能把解题的体验写下来，与大家分享！。