流体力学第2章

2013-5-24 12
2.1.2 欧拉方法
流体力学第二章
欧拉方法也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物 理量随空间点及时间而变化，也就是说，它把流体物理量 表示成空间坐标及时间的函数。 欧拉方法研究的是流体的场，相比较于拉格朗日方法，它 更适合于研究流体的运动。 拉格朗日方法着眼于流动过程中流体质点的运动，它比较 适合于研究刚体的运动。 根据欧拉的观点，任何物理量Φ（V,P,ρ）都是坐标和时间 的函数,在直角坐标系中，该物理量可以表示为
x a, b, c, t u t y a, b, c, t v t z a, b, c, t w t
其中
同样，质点的加速度可表示为 a
2013-5-24

V t

2 r
t
2
7
流体力学第二章
它在直角坐标系中的分量为
流体力学第二章
另一方面，于不同时刻通过某一固定点的不同流点之速 度一般也是不同的，但这种表示为
V t
x, y,z
u t
x, y,z
,
v t
x, y ,z
,
w t
x , y ,z
局地加速度 local acceleration
u
2013-5-24
V x
v
V y
w
dV dt lim lim V p V p t V p ', t t V p , t t V p ', t V p , t t V p ', t V p , t pp '
lim
2013-5-24
15
注意事项:
不要把空间点和流体质点混淆。
流体力学第二章
流体运动时，同一个空间点在不同的时刻由不同的流体质 点所占据。
所谓空间点上的物理量是指占据该点的各个流体质点的物 理量。
在欧拉方法中，各物理量将是时间和空间点的函数。欧拉 方法研究的是场。 最后指出，欧拉法和拉格朗日法只不过是描述流体运动的 两种不同方法。对于同一问题，既可用拉格朗日法也可用 欧拉法来描述。采用何种方法视具体问题而定。
2013-5-24
2
流体力学第二章
了解流体微元的运动分解机理，即微团运动可分解为 平移，整体转动，线变形运动及角变形运动。 掌握有旋运动与无旋运动的特点。无旋运动可引入速 度势。不可压无旋运动是一个纯粹运动学问题，正确 给出边界条件，是求解的关键。
2013-5-24
3
本章学习的内容
描述流体运动的两种方法 运动的几何描述 连续流体线的保持性 流体微团的运动分析 有旋运动的一般性质 无旋运动的一般性质 不可压无旋流动的基本方程 不可压无旋流的动能
( x, y, z, t)
x,y,z,t:欧拉变数－空间位置的标志
2013-5-24 13
流体力学第二章
速度场
V V x, y, z, t
压力场
p p x, y, z, t
密度场
x, y, z, t
温度场
T T
2013-5-24
t 0 t 0 t 0
lim
pp '
lim




第一项是指由于场的不定常性引起的速度变化，称为 局地导数； 第二项是指由于场的不均匀性引起的速度变化，称为 位变导数或对流导数。
2013-5-24 19
推导2
设与轨迹相对应的运动方程为
x x ( t ), y y ( t ), z z ( t )
3
dv dt

v t
u
v x
v
v y
w
v z
3tz ty x
2
dw dt

w t
u
w x
x a, b, c, t u ax 2 t t 2 y a, b, c, t v ay 2 t t 2 z a, b, c, t w az 2 t t
2
流体的密度、压力、温度也可以写成a,b,c,t的函数
流体力学第二章
积分得：
x y

a 1 e 1 d t a 1 e t c1
t t
b 1 e 1d t b 1 e t c 2
t t
代入条件：在 t=0 时刻，x=a，y=b，求得积分常数，
c1 1, c 2 1
2013-5-24 10
流体力学第二章
得各流体质点的一般分布规律
x a 1 e t 1 t y b 1 e t 1
t
所以: (1)在 t =2 时刻流场中质点分布规律
x a 1 e 3 2 y b 1 e 3

V t
V V V
V dt t
亦可写为：
u v w V dt t y z x V V V t
dV
V
式中
2013-5-24
V z
对流加速度 convective acceleration
22
随体导数（实质微商）
a V t (V )V
流体力学第二章
类似的，与流体有关的所有的物理量 Φ 如：
, T ...
都可以表示成
D Dt D Dt t t (V )
t 0
lim
t 0
V p ', t t V p ', t V p ', t t V p ', t t V t
t 0
lim
t 0
t V V V V V n· V V· V t s t t
流体力学第二章
第二章
流பைடு நூலகம்运动学基础
2013-5-24
1
第二章 流体运动学基础
流体力学第二章
流体运动学是运用几何的方法来研究流体的运动，通常不 考虑力和质量等因素的影响。 流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动规律，是 流体力学的一个组成部分。 本章的学习目标： 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉法）， 结合迹线，流线，流管，流体线等显示流动特性的曲 线研究流动特性。
(V )
实质微商，随体（物质、全）导数
2013-5-24 23
不可压缩流体的数学表示
流体力学第二章
质点的密度在运动过程中不变的流体称为不可压缩流体。 对于不可压缩流体，密度的随体导数为0，即
D Dt 0
思考：不可压缩流体可以用表示式 c 来表示吗？
D Dt t (V ) 0
t
流体力学第二章
式中，a,b 是 t=0 时刻流体质点的直角坐标值。 求： (1)t=2时刻流场中质点的分布规律； (2)a=1,b=2这个质点的运动规律； (3) 质点的加速度。
2013-5-24
9
解：
x t u a 1 e 1 t v y b 1 e t 1 t
x x a, b, c, t y y a, b, c, t z z a, b, c, t
拉格朗日方法的一般表达:
a,b,c,t称为拉格朗日变数—是流体质点的标志。
2013-5-24 6
流体力学第二章
拉格朗日方法表示的速度，则有
V ui v j wk
既要不可压缩，又要均质，才有密度处处为一个常数。
2013-5-24
24
例题：
已知
2 V 3 ti xzj ty k
2
流体力学第二章
求质点的加速度。
解： u 3 t , v xz , w ty
du dt u t u u x v u y
w
u z
2
2013-5-24
11
流体力学第二章
（2）a=1,b=2流体质点的运动规律
x 2e t 1 t y 3e t 1
t
（3） 加速度场
u t a a 1 e x t a v b 1 e t y t
i j k x y z
21
随体导数（实质微商、质点加速度）
写成分量形式为
du u u u u u u v w V u dt t x y z t dv v v v v v u v w V v dt t x y z t dw w w w w w u v w V w t y z t dt x
V V x, y, z, t V
t
思考：在欧拉方法中，
2013-5-24
表示什么？
17
欧拉描述的流体的随体导数
流体力学第二章
随体导数在欧拉方法中的表达。设物理量是空间和时 间的函数，以速度为例
a lim
2013-5-24
V t
18
t 0
流体力学第二章
x, y, z, t
14
流体力学第二章
x,y,z固定，t改变，表示空间固定点上速度随着时间的变 化规律； t固定， x,y,z改变，表示某一时刻中速度在空间中的分布 规律。 若场内函数不依赖于矢径r(x,y,z)，则称为均匀场，否则称 为非均匀场； 若场内函数不依赖于时间t，则称为定常场，否则称为非 定常场。 欧拉法的应用：气象站、海洋观测站等。
流体力学第二章
质点运动的速度为
V V x ( t ), y ( t ), z ( t ), t
则加速度为
dV dt
y dt V V V V u v w t x y z V V· V t
流体力学第二章
2013-5-24
4
流体力学第二章
2.1描述流体运动的两种方法
2013-5-24
5
2.1.1拉格朗日方法
流体力学第二章
拉格朗日方法是着眼于流体质点来描述流体的运动状态. 如何区别流体的质点呢? 质点标识----通常是用某时刻各质点的空间坐标（a,b,c） 来表征它们。 某时刻一般取运动刚开始的时间.以初始时刻流体质点 的坐标作为区分不同流体质点的标志.
2013-5-24 16
2.1.3随体导数、加速度
流体力学第二章
随体导数（又称质点导数、实质微商）：质点的物 理量随时间的变化率。
随体导数在拉格朗日方法中的表达
V a , b, c, t t a a, b, c, t
随体导数在欧拉方法中的表达，物理量是空间和时间 的函数，以速度为例
a, b, c, t p p a, b, c, t T T a , b , c , t
2013-5-24 8
例题
已知用拉格朗日变数表示的速度场为
u a 1 e 1 t v b 1 e 1

V t

V d x x dt

V d y

V d z z dt


2013-5-24
20
随体导数（实质微商、质点加速度）
流体力学第二章
某流体质点的速度对于时间的变化率就是该流体质点 的加速度。按定义
a lim a dV V t
t 0