二重积分-二次积分

例 4 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
D
故 ln( x y) 1,
D
D
=2 cos x sin ydxdy.故选(A) 。 D1
f (x, y)dxdy f ( cos, sin )dd.
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,
D
1( ) 2 ( ).

o
A
f ( cos, sin )dd
x
3y

0
1


6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy

3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
计算
x2 y2 dxdy, D为y x与
D 4a2 x2 y2
D1
D2
e 1
1
dx
x ex2 dy
1
dy
y e y2 dx
00
00
y a a2 x2 (a 0)所围闭区域
解
D用极坐标表示为：-

4


0
0 -2a sin
则I
0
d
2 a sin 0
4
a2( 2 1)
16 2
r r dr 4a2 r 2
例 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1. D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2 d D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2

1
dx
x2
( x2 y)dy
1
dx
1
( y x2 )dy
11.
1 0
1
x2
15
计算I emax{x2 ,y2}dxdy, 其中
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
最大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D 上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
f ( x, y)d f (,)
D
（二重积分中值定理）
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下

x y

r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
x y1
,
sin cos
f ( x, y)dxdy

2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
sin( x2 y2 ) dxdy
x y2
解 两曲线的交点
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
y x2
( x 2

y)dxdy

1
dx
0
x
x
2
(
x
2

y)dy
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
例
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy的次序.
并且被积函数f(x,y)关于y是奇函数(或偶函数)，即
f(x,-y)=-f(x,y)(或f(x,-y)=f(x,y)),则二重积分为
0

D
f(x,y)dxdy
=
2

D1
f(x,y)dxdy
f (x,y)为奇函数 f (x,y)为偶函数
其中D1是D的关于x轴对称的上半部分区域。 (2)如果积分区域D关于y轴对称，即（x,y） D，有（-x,y） D,
D
x2 y2

2
d
2 sin r rdr
0
1r
4.
例 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x

0
2


3
x2 y2 4 y r 4sin
多元函数的积分
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
当被积函数大于或小于零不定时，二重积分是柱 体的体积的代数和．
二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例 4 求 ( x2 y)dxdy，其中D 是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
D
D {( x, y) 0 x 1,0 y 1}
解 D D1 D2, D1 {(x, y) 0 x 1,0 y 1, y x}
D2 {(x, y) 0 x 1,0 y 1, y x}
I ex2 dxdy ey2 dxdy
D1是D在第一象限的部分，则（xy+cosxsiny）dxdy=( ). D
(A) 2 cos x sin ydxdy (B) 2 xydxdy
D1
D1
(C) 4 cos x sin ydxdy (D) 0 D1
解 画出D的草图，可以看出，D关于y对称，
所以，根据对称性知，
（xy+cosxsiny）dxdy= cos x sin ydxdy
D


d
2() f ( cos, sin )d.

1( )
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
0 ( ).
D

o
f ( cos, sin )dd
D

( )
d 0 f ( cos , sin )d.
并且被积函数f(x,y)关于x是奇函数(或偶函数)，即
f(-x,y)=-f(x,y)(或f(-x,y)=f(x,y)),则二重积分为
0

D
f(x,y)dxdy
=
2

D1
f(x,y)dxdy
f (x,y)为奇函数 f (x,y)为偶函数
其中D1是D的关于y轴对称的右半部分区域。
例1.设D是xoy平面上以（1,1）（-1,1）（0,0）为顶点的三角形域，
f (x, y)d
b
dx
2 (x)
f (x, y)dy.
D
a
1 ( x)
y 2(x)
D ［X－型］
y 1( x)
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
dy
0
y2
f ( x, y)dx

来自百度文库
2a
a
2a
dy 0
a a2 y2
f ( x, y)dx

2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
( )
A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
0 2, 0 ( ).
o
f ( cos, sin )dd
D
2
( )
0 d 0 f ( cos , sin )d.
( )
A
例 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
a
2a
= 原式
a
a a2 y2
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
y x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
在计算二重积分时，要注意对称性质的利用 (1)如果积分区域D关于x轴对称，即（x,y） D，有（x,-y） D,
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
特殊地 f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２ [ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
D
D
（1）两边夹确定a,b
（2）用平行于y轴的直线去截区域D，与边界最多两个交点
(3)出入口口表达式唯一
y y

1 ( x) 2 ( x)