逻辑学导论第三章词项逻辑

真的欧拉图有可能使该三段论的结论为假，则它的结论就不是必然 得出的，该三段论因此也是无效的。
◦ （3）公理演绎法：首先给出明显有效的三段论公理，再根据保持
有效性的推理规则，能够推出的三段论式就是有效的。
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三段论的一般规则
◦ （1）在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项。 ◦ （2）中项在前提中至少要周延一次。 ◦ （3）在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。
概念表示为S，相应的负概念表示为S。
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◦ 如果S和P之间没有共同的外延，并且它们的外延之和小于 它们的属概念的外延，例如“数学”和“物理学”相对于 “自然科学”，“大学生”与“小学生”相对于“学生”，
则它们之间是反对关系。
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矛盾关系和反对关系图示如下：
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直言命题间的对当关系
◦ 直言命题之间的对当关系，是指有相同素材（即相同主项 和谓项）的直言命题间的真假关系。如果没有相同的主谓 项,则无法比较它们的真假。
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三段论的全部有效式
第一格 第二格 第三格 第四格
AAA，AAI，AII，EAE，EAO，EIO AEE，AEO，AOO，EAE，EAO，EIO AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO AAI，AEE，AEO，EAO，EIO，IAI
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三段论的化归
◦ 亚里士多德则试图把他的三段论发展成为一个公理系统。他把三段 论区分为三个格，共有19个有效式，其中第一格叫做“完善的格”， 其他两个格叫做“不完善的格”。他运用一套化归程序，即利用包 括对当关系、换质、换位推理，以及命题逻辑中所讲的反三段论等 在内的一些工具，试图把其他各格的有效三段论化归、还原为第一 格的三段论，后人进一步把全部有效式都化归、还原为第一格的 AAA式和EAE式。若把他的这套化归程序倒转过来，三段论就可以 被公理化。因此，亚氏三段论化归学说实际上是他试图把三段论公
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第二格规则：
◦ （1）两个前提必须有一个否定。
◦ （2）大前提必须全称。
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第三格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。
◦ （2）结论必须特称。
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第四格规则：
◦ （1）如果大前提肯定，则小前提必须全称。
◦ （2）如果小前提肯定，则结论必须特称。 ◦ （3）如果有一个前提否定，则大前提必须全称。 ◦ （4）如果大前提特称，则两个前提都必须肯定。 ◦ （5）如果小前提特称，则大前提必须否定。
P
同一关系
包含关系
包含于关系
交叉关系
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◦ 包含关系和包含于关系合称“种属关系”，其中外延大的 概念叫做“属概念”，外延小的概念叫做“种概念”。根 据种属关系，产生了一种非常重要的定义形式，叫做“属
加种差定义”。
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◦ 如果S和P之间没有共同的外延，并且它们的外延之和等于 它们的属概念的外延，则称这两个概念之间是矛盾关系。 有矛盾关系的概念可以分成正概念和负概念。一般地，正
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直接推理是从一个直言命题出发，推出一个直言命题
结论的推理。
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换质法
◦ 将一个直言命题由肯定变为否定，或者由否定变为肯定， 并且将其谓项变成其矛盾概念，由此得到一个与原直言命 题等值的直言命题，就是换质法。
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换质法有以下有效形式：
◦ （1）SAPSEP ◦ （2）SEPSAP ◦ （3）SIPSOP
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换质法和换位法可以结合进行，只要在换质、换位时遵 守相应的规则即可。可以先换质，再换位，再换质，再
换位，……。

如果从一个全称命题出发，经过连续的换质位，得到了 一个同质同量、以原命题谓项的矛盾概念为主项、以原 命题主项的矛盾概念为谓项的直言命题，这种方法被称 为“戾换法”。例如：
SAP→SEP→PES→PAS
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换质位法
◦ 对一个直言命题先换质，再换位，由此得到一个新的直言
命题，这就是换质位法。换质位法是换质法和换位法的相 继运用，当然要分别遵守它们的程序和规则。
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换质位法有以下有效形式：
◦ （1）SAP→SEP→PES
◦ （2）SEP→SAP→PIS ◦ （3）SIP不能换质位。 ◦ （4）SOP→SIP→PIS
理化的实践，当然其中不完善之处甚多。
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三段论的非标准形式
◦ 在日常思维中，所使用的三段论形式常常不标准，有时为 省略式，有时为复杂形式，如带证式三段论，复合式三段 论，连锁三段论，以及其他一些非标准形式。为了验证其
有效性，有时需要将它们化归为标准形式。
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传统词项逻辑有一个实质性的假定或预设，即直言命 题具有存在含义，其主项和谓项既不能是一个空类，也
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根据此表，A、E、I、O之间有如下四种关系：
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反对关系
◦ 指A与E的关系，它们之间不能同真，但可以同假。于是， 若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个真 假不定。
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矛盾关系
◦ 指A与O、E与I的关系，它们之间既不能同真，也不能同假，
因而必有一真，也必有一假。于是，由一个为真，就可以 推出另一个为假；由一个为假，就可以推出另一个为真。
◦ （4）SOPSIP
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换位法
◦ 将一个直言命题的主项和谓项互换位置，但让它的质保持
不变，原为肯定仍为肯定，原为否定仍为否定，并相应地 改变量项，由此得到一个新的直言命题，这就是换位法。
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换位法有以下有效形式：
◦ （1）SAP→PIS ◦ （2）SEP→PES ◦ （3）SIP→PIS ◦ （4）SOP不能换位。
◦ （4）从两个否定前提推不出任何确定的结论。
◦ （5）如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定 的；如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。
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以上五条三段论规则是基本的，用它们就足以把有 效的三段论与无效的三段论区分开来。为明确和方 便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例 如：
◦ （6）两个特称前提不能得结论。 ◦ （7）如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。
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根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的 一些定理，例如：
◦ 定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。
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三段论的特殊规则

第一格规则：
◦ （1）小前提必须肯定。
◦ （2）大前提必须全称。
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三段论有效式的判定方法
◦ （1）规则判定法：先给出三段论必须遵守的一些推理规则，根据 这些规则去判定一个具体的三段论是否有效。
◦ （2）图解判定法，即用欧拉图和文恩图去判定一个三段论是否有
效。 ◦ 如果使三段论的两个前提为真的欧拉图也一定使该三段论的结论为
真，则这个三段论就是有效的；反之，如果使三段论的两个前提为
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三段论式的总数目
◦ 一个三段论，它的大前提、小前提和结论分别可能是A、E、 I、O，因此其可能的排列组合是：4×4×4＝64个可能的 式。三段论还有四个不同的格，中项在这些格中的位置不
同，也就是作为大前提和小前提的主谓项不同，因此这些
前提就是由有不同的主谓项的A、E、I、O构成的。于是， 一个格共有64个可能的式，而三段论共有四个不同的格， 于是三段论总共有64×4＝256个可能的式。
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对当关系推理 Ⅰ. 反对关系推理
◦ （1）SAP→SEP
◦ （2）SEP→SAP
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Ⅱ. 差等关系推理
◦ （3）SAP→SIP
◦ （4）SEP→SOP
◦ （5）SIP→SAP ◦ （6）SOP→SEP
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Ⅲ. 矛盾关系推理
◦ （7）SAP→SOP ◦ （8）SEP→SIP ◦ （9）SIP→SEP ◦ （10）SOP→SAP
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◦ （1）只有直言命题的主项和谓项才有周延与否的问题， 离开直言命题的一个单独词项，无所谓周延和不周延。 ◦ （2）主、谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，而
不是相对于直言命题所断定的对象本身的实际情况而言的。
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根据词项周延性的上述定义及其解释，我们有如下
结论：
◦ （1）全称命题的主项都是周延的。 ◦ （2）特称命题的主项都是不周延的。 ◦ （3）肯定命题的谓项都是不周延的。 ◦ （4）否定命题的谓项都是周延的。
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下反对关系
◦ 指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能同假。于是， 由一个为假，可以逻辑地推出另一个为真；但从一个为真， 不能确切地知道另一个的真假。
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对当方阵
SAP 差 等 关 系 矛 盾 盾 矛 下反对关系 关 关 系 反对关系 系 差 等 关 系 SEP
SIP
SOP
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若考虑到单称命题与其他直言命题之间的真假关系， 上述对当方阵应扩展成下图：
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直言命题中主谓项的关系
◦ 直言命题的主项和谓项合称“词项”（term）。 ◦ 词项各有内涵和外延。其内涵是该词项所指称的对象所具 有的特有属性或本质属性。词项的外延是该词项所表示或
指称的那个对象或对象的类别。
◦ 用欧拉图表示，两个词项的外延之间有并且只有以下五种 关系：
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S
P
S
P
S
P
S
P
S 全异关系
SAP 等 关 系 差 等 关 系 关 系 SIP 下反对关系 SOP 矛 盾 盾 矛 关 反对关系 系 SEP 差 等 关
差 a （某个 S） 是P 差
等
差 等 关 关 系 系 差
系 系
a（某个 S） 不是 P