高中数学解题方法系列：定积分在高考中的常见题型解法

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定积分的求解技巧

定积分的求解技巧定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算函数在一定范围内的面积、体积以及平均值等量。

在实际应用中，我们常常需要利用定积分来解决各种问题。

下面，我将向您介绍一些定积分求解的技巧。

求解定积分有多种方法，包括换元法、分部积分法、三角函数恒等式等等。

其中，最常用和最基础的方法是换元法。

换元法的基本思想是通过变量代换的方式，将被积函数中的自变量进行替换，从而将原来的积分转化为更容易计算的形式。

具体步骤如下：1. 选取适当的变量代换。

根据被积函数中的形式，选择合适的变量代换可以简化积分的计算。

常用的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换等等。

需要注意的是，变量代换应该是一一对应的函数关系，且变换后的积分区域是良好定义的。

2. 对被积函数中的自变量进行变换。

根据选取的变量代换，将被积函数中的自变量进行替换。

需要注意的是，同时要对原函数中的微元进行变换，确保积分区域的变换是正确的。

3. 计算变换后的积分。

将变换后的积分进行计算，得到新的积分表达式。

此时，注意将变量代换前的极限进行替换，确保积分的区域不变。

4. 变量恢复。

将计算得到的结果转换为原自变量的函数形式。

需要注意将原来的积分区域变换回来。

除了换元法，我们还可以利用分部积分法来解决一些定积分。

分部积分法是利用求导和乘法法则的逆过程，将一个积分转化为两个函数的乘积的积分。

具体步骤如下：1. 选择被积函数中的两个函数。

根据积分的形式，选择两个函数f(x)和g(x)，其中一个函数求导后容易计算，另一个函数积分后容易计算。

2. 进行分部积分。

根据分部积分公式∫[f(x)g'(x)]dx = f(x)g(x) - ∫[g(x)f'(x)]dx，将原函数分解为两个部分，一个部分是求导后容易计算的函数，另一个部分是积分后容易计算的函数。

3. 计算新的积分式子。

利用上一步得到的分部积分公式，将原函数进行分解，得到新的积分式子。

4. 递归处理。

高考数学一轮总复习积分与定积分的典型题型

高考数学一轮总复习积分与定积分的典型题型在高考数学中，积分与定积分是一种重要的数学概念和求解方法。

本文将介绍高考中积分与定积分的典型题型及解题方法，以帮助同学们更好地准备数学考试。

1. 第一类题型：确定积分上限和下限，求解定积分这类题目常见于计算某一区间上函数的平均值、求解某一函数的定积分等。

解题的关键是确定积分上限和下限，并进行求解。

例如，设函数f(x)在区间[1,3]上的定积分为4，求f(x)在[1,2]上的定积分。

解：根据定积分的性质，可知f(x)在[1,2]上的定积分为：∫[1,2] f(x)dx = ∫[1,3] f(x)dx - ∫[2,3] f(x)dx即∫[1,2] f(x)dx = 4 - ∫[2,3] f(x)dx通过计算∫[2,3] f(x)dx的值，可以求得∫[1,2] f(x)dx的值。

2. 第二类题型：已知函数f(x)满足某一条件，求定积分的值这类题目常见于利用定积分求解函数特性、函数性质等。

解题的关键是根据已知条件构造函数表达式，并求解定积分。

例如，已知函数f(x)在区间[0,1]上连续且f(0)=0，且定积分∫[0,1]f(x)dx=2，求f(x)在[0,1]上的某一点c处的取值。

解：根据中值定理，可知存在c∈[0,1]，使得f(c) = 1/(b-a) * ∫[0,1] f(x)dx代入已知条件可得f(c) = 1/1 * 2 = 2因此，f(x)在[0,1]上的某一点c处的取值为2。

3. 第三类题型：利用积分求解函数的曲线长度、面积等这类题目常见于计算曲线长度、求解曲线下面积等。

解题的关键是根据已知条件确定积分上限和下限，并利用积分性质求解。

例如，已知曲线y=x^2在区间[1,2]上的长度为L，求曲线y=x^2在该区间上的面积。

解：曲线长度L可以表示为定积分的形式：L = ∫[1,2] √(1+(dx/dt)^2) dt由于曲线方程为y=x^2，求导得到dx/dt=2t。

高考数学复习点拨：有关定积分问题的常见题型解析

有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有非常重要的地位，它能解决很多实际应用问题。

在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。

题型一用定义求定积分例1、用定义求dx x 301⎰。

分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解。

解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<nn n n n n Λ。

（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=Λ。

（因为x 3连续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故我们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。

）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。

（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n ΛΛ。

）因此dx x 301⎰＝41。

评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。

体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。

题型二利用微积分基本定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41dx +⎰ 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2121x x =+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以41dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

高中数学总结归纳高考中的定积分

高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分： ⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰．分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -．所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ．所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14．评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分：⑴322dx ⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)．二、逆向型主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为．分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+． 033x =∴．评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -•⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（）A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 2分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)．评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。

高中数学常见题型解法归纳求定积分的方法

高中数学常见题型解法归纳求定积分的方法【知识要点】一、曲边梯形的定义我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1x ¢+=+八、求定积分的方法(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】【例1】定积分11(||1)x dx --ò的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于313)dx =ò1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò263π+ ．故答案为：263π．。

高中定积分的计算

高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。

本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。

一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。

定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。

在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。

定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。

二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。

1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。

常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。

通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。

2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。

这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。

通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。

根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。

三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。

以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。

2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。

求解定积分的技巧与方法

求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。

对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。

本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。

当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。

例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。

2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。

通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。

例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。

word完整版定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题型解法贵州省印江一中(555200) 王代鸿定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算，也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。

从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。

一、利用微积分基本定理求定积分1、微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F (x) f (x)，那么bf(x)dx F(a) F(b).这个结论叫做微积分基本a定理(又叫牛顿-莱布尼兹公式)。

2、例题讲义e1例1、计算1(- 2x)dx1x解：因为(In x x2) 12xxe1所以j (一2x)dx =(|nx x2) I：(In e e2) (In 1 12) e21x【解题关键】：计算b f(X)dx的关键是找到满足F(x) f(x)的函数aF(x)。

跟踪训练：1计算02 (e x cosx)dx二、利用定积分的几何意义求定积分。

1、定积分的几何意义：设函数y=f(x)在a,b上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积bS= a f (X)dx2、例题讲义：【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和4 |例3、求0 . 4(X 2)2dx的值解：令y 4 (x 2)2(y 0)则有y2 4 (x 2)2(y 0)及(x 2)2 y24(y 0)右图所以1-(x 2)2dx - S a A 2 o / 2【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点求其定积分_83(lx+2)2^y2=2,,…y 丄及x 轴所围图形的面积为（） 2 x A. 15 B. 17 C.如 2 4 4 2 三、利用变换被积函数求定积分1从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变换被积函数求其定积分。

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板

专题14 定积分求值问题【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等. 【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1 0sin xdx π⎰的值为（）A ．2πB ．πC ．1D ．2 【答案】D【变式演练1】下列计算错误的是（） A ．ππsin 0xdx -=⎰ B ．23xdx =⎰C ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰D ．π2πsin 0xdx -=⎰【答案】D 【解析】试题分析：A 选项，()sin cos 0xdx x ππππ--=-=⎰，所以A 正确；B 选项，1312002233xdx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，所以B正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。

考点：定积分的计算。

【变式演练2】若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<【答案】B 【解析】试题分析：3222211213117|,ln |ln 2,|33x S x S x S e e e ======-∴213S S S << 考点：定积分运算【变式演练3】2231111dx x xx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰（）A ．7ln 28+B ．7ln 22-C ．5ln 28-D ．17ln 28- 【答案】A考点：定积分的应用. 【变式演练4】若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是___________．【答案】2a = 【解析】试题分析：由22111(2)(ln )|ln 13ln 2aa x dx x x a a x +=+=+-=+⎰，得213ln ln 2a a ⎧-=⎨=⎩，所以2a =．考点：定积分的运算．【变式演练5】⎰-=+221)(sin dx x _____________．【答案】4 【解析】试题分析：由题意得2222(sin 1)(cos )|(cos 22)[cos(2)2]4x dx x x --+=+=+---=⎰．考点：定积分的计算．【变式演练6】设20lg 0()30ax x f x x t dt x>⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰若((1))1f f =，则a= ．【答案】1考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）A ．23．53 C ．323 D ．353【答案】C 【解析】试题分析：面积为()312213332323|33x x x dx x x --⎛⎫--=--+= ⎪⎝⎭⎰．考点：定积分．类型二利用定积分的几何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步画出被积函数的图像；第二步作出直线计算函数,,0x a x b y ===所围成的图形；第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2 计算定积分dx x ⎰-124.【答案】233+π. 考点：定积分的计算．【变式演练8】设[]221,[1,1)()1,1,2x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则21()f x dx -⎰的值为（）A ．4+23πB ．32π+C ．443π+D ．34π+【答案】A 【解析】试题分析：2122223211111()1(1)1()|23f x dx x dx x dx x x π--=-+-=⨯+-=⎰⎰⎰4+23π,故选A ．考点：定积分．【变式演练9】定积分209x dx -⎰的值为（）A ．9πB ．3πC ．94πD ．92π 【答案】C 【解析】试题分析：令t x sin 3=,则]2,0[,cos 3,cos 392π∈==-t t dx t x ,则222099cos x dx tdt π-=⎰⎰201cos 29199sin 22222240t dt t ππππ⎛⎫+ ⎪==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰,故应选C ．考点：定积分及运算．【变式演练10】=++-⎰dx x x x )1(312______.【答案】43+π【解析】试题分析：因为11330)()x x dx x x dx +=++⎰⎰⎰，130()x x dx +⎰2410113|244x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，⎰dx 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为4π，所以=++-⎰dx x x x )1(31243+π，故答案为43+π.考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.【变式演练11】已知0>a ，6)x-展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰___________【答案】2233π++【解析】试题分析：由6)x-的展开式的通项公式为()3662161r r r rr T C a x --+=-，令3602r -=，求得r=2，故常数项为44615C a =，可得a=1，因此原式为((11221022233x x dx x dx π-++==+⎰⎰考点：二项式定理；微积分基本定理【变式演练12】已知数列{}n a 为等差数列，且201320150a a +=⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为（）A ．πB ．2πC ．2πD ．24π 【答案】考点：等差数列性质及定积分．类型三导数与定积分的综合应用例 3 如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a 元(0)a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元. （1）求等待开垦土地的面积；（2）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大.【答案】（1）43；（2）点C 的坐标为)0,33(.考点：1.定积分；2.函数的最值.【变式演练13】给定可导函数()y f x =，如果存在0[,]x a b ∈，使得0()()baf x dx f x b a=-⎰成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“平均值点”.(1)函数3()3f x x x =-在区间[2,2]-上的平均值点为； (2)如果函数在区间[1,1]-上有两个“平均值点”，则实数m 的取值范围是.【答案】(1)1；(2),44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦结合图像不难得到,44m ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1()()(0)()g x af x x f x '=+≠' （1）当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;（2）若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;（3）在（2）的条件下,求直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积. 【答案】（1）()a y g x x x ==+；（2）1a =；（3）2ln 23ln 247-+.（2）∵由（1）知当0x >时,()a g x x x=+, ∴当0,0a x >>时, ()2≥g x a x a =.∴函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是a , ∴依题意得22a =∴1a =.（3）由27361y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得2121322,51326x x y y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩∴直线2736y x =+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()36S x x dx x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=2ln 23ln 247-+ 考点：导数及函数单调性、定积分的应用.【变式演练15】如下图，过曲线C ：xy e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作 x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l 与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）．(1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；(2) 设曲线C 与切线n l 及直线11n n P Q ++所围成的图形面积为n S ，求n S 的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列{}n S 的前n 项和为n T，求证：11n n n nT x T x ++<(n ∈N *).【答案】(1) 11x =-，22x =-，n x n =-；(2)212ne e e -⋅；(3)见解析.证法1：（数学归纳法）①当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立； ②假设n k =时，1(1)k ee k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>，(1)(1)(1)e e k e e k e ∴-+>-++，2(1)(1)k e e k e +∴>-++，1n k =+时，也成立，由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切*n N ∈都成立. 证法2：110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n ee C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+.所以不等式11n n n nT x T x ++<对一切*n N ∈都成立. 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x f x e e +=--, 当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ∴当0x >时, ()()00f x f >=. ∵n ∈N *, ∴()0f n >, 即()110n e e n e +--->.∴()11n e e n e +>-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. 考点：1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积. 【高考再现】1.【2015高考湖南，理11】20(1)x dx ⎰-= .【答案】0.2．【2015高考天津，理11】曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组2y x y x⎧=⎨=⎩得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.21.510.50.511.522.543211234【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积是()baf x dx ⎰．【反馈练习】1．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若，，，则的大小关系（）A. B. C. D.【答案】D2．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】（）A. 7B.C.D. 4【答案】C【解析】.故选：C3．【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0x =， x π=所围成的阴影部分的面积为（）2 C. 2 D. 22【答案】D 【解析】()()44cos sin sin cos xx x x d x x d πππ-+-⎰⎰ ()()sin cos cos sin 404x x x x πππ=++-- 21+1222=-+= ，选D.4．【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试（理）数学试题】已知等比数列，且，则的值为（）A. B. C.D.【答案】D【解析】由定积分的几何意义，表示圆在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即=4 ，所以.又因为为等比数列，所以.故选D.5．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学理试题】曲线12y x=+，直线1,x x e ==和x 轴所围成的区域的面积是____________【答案】2e ﹣1．6．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】由曲线所围成图形的面积是，则__________．【答案】1【解析】由，得图象的交点坐标为，所以曲线所围成图形的面积是，所以故答案为：1点睛：用定积分处理面积问题的方法：牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.7．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】已知函数()[](]2213,3,03{ 9,0,3x x f x x x -+∈-=-∈，则()33f x dx -=⎰__________.【答案】964π+【解析】由题意结合定积分的法则可得：()()()33333023113|39496.4f x dx f x dx f x dxx x ππ---=+⎛⎫=-++⨯⨯ ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰. 8．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】()321112x dx x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭⎰__________．【答案】ln32π+9．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示，由直线,1(0)x a x a a ==+>，2y x =及x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即()12221a aa x dx a +<<+⎰．类比之，若对n N +∀∈，不等式14122k kk n n n n +++<++ 121k k kn n n <++++-恒成立，则实数k 等于__________．【答案】2。

求定积分的四种方法

求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。

下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。

第一种方法是基本函数法。

基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。

在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。

例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。

因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。

第二种方法是换元法。

换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。

在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。

例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。

将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。

最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。

第三种方法是分部积分法。

分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。

在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。

如何快速解决高考数学中的定积分

如何快速解决高考数学中的定积分高考是让许多学生感到畏惧的重大事件，而高考数学中的定积分更是让学生们感到棘手的难题。

对于那些不擅长数学的学生来说，搞定定积分是一项重大的成就。

因此，本文旨在介绍如何快速解决高考中的定积分。

1. 学会基础概念在快速解决高考中的定积分之前，我们必须先掌握基础概念。

定积分，简而言之，就是求一个函数在某个区间内的面积。

如果在高中阶段你已经掌握了基本概念，那么现在你应该拥有足够的知识储备。

如果你还不熟悉这些术语，那么建议重新学习一下。

2. 了解不同种类的定积分在高中的数学教学中，我们通常只学习了定积分的一些基础概念，例如定积分的定义、洛必达法则等等。

但实际上，高中生应该了解不同种类的定积分。

这些种类包括：反常定积分、广义定积分、定积分及其应用、定积分的计算等等。

如果你想快速解决高考中的定积分，你需要熟悉这些不同种类的定积分，并学会如何应用这些概念。

3. 从前往后逐步解决题目一个常见的错误是，许多学生发现题目很难后，就会立刻放弃，或者不愿意继续考虑。

这是一种不可取的行为。

如果你试图通过快速解决问题来提高你的定积分水平，我们建议从前往后，逐步解决每个问题。

通过这种方法，你可以为自己提供足够的思考时间，也可以逐步理解和掌握概念。

4. 给自己足够的时间解决数学问题需要足够的时间和注意力。

如果你在解决数学问题的时候缺乏专注力，你可能会错过某些非常重要的细节。

这是一种很常见的错误。

给自己足够的时间，同时保持专注，这样才能够快速高效地解决问题。

5. 参加补习班或者找到一个良师益友如果你确实想快速解决高考数学中的定积分，在这个过程中你需要全面地学习，甚至需要参加一些补习班，找一个良师益友。

如果你能找到一个优秀的老师或者同学帮助你理解这些概念，你会快速进步。

实际上，这种异质式学习方法可能是快速掌握数学概念的最佳方式。

总之，高考数学中的定积分对于学生来说是一项很具挑战性的任务。

如果你能够熟练掌握基础概念，了解不同种类的定积分，从前往后逐步解决问题，并给自己足够的时间，你将会在这方面真正的取得进步。

定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下方的面积、质量、体积等问题。

在实际应用中，掌握定积分的计算方法和技巧是非常重要的。

本文将介绍几种常见的定积分计算方法和一些实用的技巧。

一、基本定积分的计算基本定积分是指像多项式函数、指数函数、对数函数等这类基本函数的积分。

对于这种类型的函数，我们可以直接利用积分的基本性质进行计算。

1. 多项式函数的定积分对于多项式函数，我们可以利用幂重要性质进行积分计算。

具体来说，我们只需要按照原来多项式的基本形式，将每一项的次数加1，并且除以新的次数，即可得到原多项式函数的不定积分。

例如，要计算函数f(x)=3x^2+4x+1 的定积分∫f(x)dx，我们只需要按照下列步骤进行计算：i) 将每一项次数加1并除以新的次数：f(x)=3x^3/3+4x^2/2+xii) 化简简化后的函数：f(x)=x^3+2x^2+xiii) 最后对得到的简化函数积分：∫f(x)dx=(1/4)x^4+(2/3)x^3+1/2x^2+C2. 指数函数的定积分对于指数函数，我们可以运用特定的计算规则来求解。

例如，e^x 的不定积分为自身，e^x 的定积分同样为自身：∫e^xdx = e^x + C3. 对数函数的定积分对于对数函数，我们可以利用换元积分法来求解。

例如，lnx 的不定积分为xlnx-x，lnx 的定积分可以通过换元积分法计算得到：∫lnxdx = xlnx - x + C二、常用计算技巧除了基本定积分的计算方法，还有一些常用的计算技巧可以帮助我们更快地求解定积分。

1. 利用对称性对称性是一个有用的技巧，它可以帮助我们简化积分的计算。

当函数在某个区间上是对称的时候，我们可以利用对称性将积分区间缩小一半。

这样一来，我们只需要计算一半的积分，然后乘以2即可得到整个区间上的定积分。

2. 利用换元积分法换元积分法是另一个常用的技巧，它可以帮助我们将一个复杂的积分转化成一个简单的积分。

有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版

有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。

解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。

（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。

如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像，图像为圆或者三角形则直接求其面积。

题型二利用定积分求平面图形的面积例2 如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。

分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。

解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。

故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。

评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。

关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。

高考数学复习解题方法与解题模板专题讲解14---定积分求值问题

0
2
=
9π 2 2
+
1 sin 2t 2
π 2 0
=
9π 4
考点：定积分及运算．
【变式演练 10】 ∫1( 1− x2 + x + x3)dx = ______. 0
【答案】 π + 3 【解析】 4
试题分析：因为，， ∫ ∫ ∫ ∫ 1 (
1− x2 + x + x3)dx =
1
1− x2 dx +
B． π + 3 2
D． π + 3 4
试题分析： ,故选 A． ∫ ∫ ∫ 2 f (x)dx = −1
1 −1
1− x2 dx +
2 1
(x2
−1)dx
=
1 2
π
×12
+
(1 3
x3
−
x)
|12
=
π 2
+
4 3
考点：定积分．
【变式演练 9】定积分 ∫3 9 − x2dx 的值为（） 0
A． 9π
B． ln 2 − 7 2
C． ln 2 − 5 8
D． ln 2 − 17 8
考点：定积分的应用.
【变式演练 4】若 ∫a (2x + 1)dx = 3+ ln 2(a >1) ，则a 的值是___________．
1
x
【答案】a = 2
【解析】
试题分析：由，得，所以． ∫a 1
(2x
+
1 x
第二步求方程 f '(x) = 0 的根；第三步判断 f '(x)在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例 1 ∫π sin xdx 的值为（）

求定积分的四种方法

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以1211x dx --⎰＝2π．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0．评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

定积分的计算与题型总结

定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。

内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。

)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。

您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。

1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。

这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。

（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。

）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。

若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。

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