2015届高考数学一轮复习函数的单调性及最值练习新人教A版必修1

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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时函数的单调性课件(48张)

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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

新人教A版高中数学必修1 函数的最大(小)值

函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值小值是0，有f (0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 答案：C3．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值答案：D4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________．答案：112[例1] 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值，即y max ＝3；当x ＝－1.5时，函数y ＝f (x )取得最小值，即y min ＝－2.用图象法求最值的3个步骤[活学活用]1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．[例2] 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)证明：f (x )在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f (x )在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0，又∵x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0，图象法求函数的最值利用单调性求函数的最值故(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f (x )在[2,4]上是增函数， ∴当x ∈[2,4]时，f (2)≤f (x )≤f (4)．又f (2)＝2＋12＝52，f (4)＝4＋14＝174，∴f (x )在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.[活学活用] 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：实际应用中的最值R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000. 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.[例4] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值．解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ，当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值．解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1；当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)；当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．二次函数的最大值，最小值由本例探究1知f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．层级一学业水平达标1.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1D ．以上都不对解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M ＝( )A.23B.38C.32D.83解析：选D 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.6．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，所以y min ＝13，y max ＝1，所以y max －y min ＝1－13＝23.答案：237．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：18．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)．答案：f (－2) f (6)9．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取2≤x 1<x 2≤5，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). 因为2≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ；当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.层级二应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8；x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6， ∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的，又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y (2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]．(2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．8．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

新教材高中数学第五章三角函数第2课时单调性最大值与最小值课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：第2课时单调性、最大值与最小值课后篇巩固提升合格考达标练1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )A.(-π4,π4) B.(π4,3π4)C.(π,3π2) D.(3π2,2π)y=|sin x|的图象即可求解.故选C .2.(2021山西太原高一期末)函数y=sin π3-2x 的单调递减区间是( )A.2k π-π12,2k π+5π12(k ∈Z ) B .k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) C .2k π+5π12,2k π+11π12(k ∈Z ) D .k π+5π12,k π+11π12(k ∈Z )解析y=sinπ3-2x =-sin 2x-π3,由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得k π-π12≤x ≤k π+512π,k ∈Z .故函数y=sinπ3-2x 的单调递减区间是k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ).故选B . 3.函数y=cos x+π6,x ∈0,π2的值域是( ) A.-√32,12B.-12,√32C.√32,1 D.12,1解析因为0≤x ≤π2,所以π6≤x+π6≤23π.所以cos 23π≤cos x+π6≤cos π6,所以-12≤y ≤√32.故选B .4.函数y=2sinxsinx+2的最小值是( )A.2B.-2C.1D.-1y=2sinxsinx+2=2-4sinx+2,当sin x=-1时,y=2sinxsinx+2取得最小值-2.故选B .5.函数y=sin 2x+2cos x (π3≤x ≤4π3)的最大值和最小值分别是( )A.74,-14 B.74,-2 C.2,-1D.2,-2y=sin 2x+2cos x (π3≤x ≤4π3)=1-cos 2x+2cos x=-(cos x-1)2+2, 又cos x ∈[-1,12].所以当cos x=-1,即x=π时,函数y 取得最小值为-4+2=-2;当cos x=12,即x=π3时,函数y 取得最大值为-14+2=74.6.函数f (x )=13sinπ4-x ,x ∈[0,π]的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .答案3π4,π 0,3π4解析f (x )=-13sin x-π4,令-π2+2k π≤x-π4≤π2+2k π,k ∈Z ,则-π4+2k π≤x ≤3π4+2k π,k ∈Z 时,f (x )单调递减. 又0≤x ≤π,所以0≤x ≤3π4, 即f (x )的单调递减区间为0,3π4, 同理f (x )的单调递增区间为3π4,π,所以f (x )在x ∈[0,π]上的单调递减区间为0,3π4,单调递增区间为3π4,π.7.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为 .<sin 1<sin 21<π2<2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.y=sin x 在0,π2上单调递增,且0<π-3<1<π-2<π2,所以sin(π-3)<sin1<sin(π-2), 即sin3<sin1<sin2.8.若y=a sin x+b 的最大值为3,最小值为1,则ab= .2a>0时,{a +b =3,-a +b =1,解得{a =1,b =2,所以ab=2.当a<0时,{a +b =1,-a +b =3,解得{a =-1,b =2,所以ab=-2. 综上可得,ab=±2.等级考提升练9.已知sin α>sin β,α∈-π2,0,β∈π,32π,则( )A.α+β>πB.α+β<πC.α-β≥-32πD.α-β≤-32π解析因为β∈π,32π,所以π-β∈-π2,0,且sin(π-β)=sin β.因为y=sin x 在x ∈-π2,0时单调递增,sin α>sin β, 所以sin α>sin(π-β),则α>π-β,即α+β>π.故选A . 10.函数y=2+cosx 2-cosx(x ∈R )的最大值是( )A.5B.52C.3D.5y=42-cosx -1,而1≤2-cos x ≤3,所以43≤42-cosx ≤4,所以13≤y ≤3.故函数y 的最大值是3. 11.已知函数f (x )=sin (x +π6),其中x ∈[-π3,α],若f (x )的值域是[-12,1],则α的取值范围是( ) A.(0,π3] B.[π3,π2] C.[π2,2π3]D.[π3,π]解析若-π3≤x ≤α,则-π6≤x+π6≤α+π6,∵当x+π6=-π6或x+π6=7π6时,sin x+π6=-12,∴要使f (x )的值域是[-12,1], 则有π2≤α+π6≤7π6,π3≤α≤π,即α的取值范围是[π3,π]. 12.函数f (x )=15sin x+π3+cos x-π6的最大值为 ( )A.6B.1C.35D.15解析因为x+π3+π6-x =π2, 所以f (x )=15sin x+π3+cos x-π6=15sin x+π3+cosπ6-x=15sin x+π3+sin x+π3=65sin x+π3≤65.所以f (x )max =65. 故选A .13.(多选题)(2021广州番禺高一期末)设函数f (x )=sin x-π4,则下列结论正确的是( ) A.f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的图象关于直线x=π4对称 C .f (x )的图象关于点-π4,0对称 D .f (x )在区间0,π2上单调递增A,ω=1,T=2π,故A 正确;对于B,由x-π4=k π+π2,k ∈Z ,解得x=k π+3π4,k ∈Z , k=0时,x=3π4,k=-1时,x=-π4,故B 错误;对于C,由x-π4=k π,k ∈Z ,解得x=k π+π4,k ∈Z ,k=0时,x=π4,k=-1时,x=-3π4,故C 错误; 对于D,由-π2<x-π4<π2,解得-π4<x<3π4, 故函数在-π4,3π4上单调递增,故D 正确.故选AD .14.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .3f (x )=sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y=sin ωx 单调递增;当π2≤ωx ≤3π2,即2ω≤x ≤3π2ω时,y=sin ωx 单调递减. 由f (x )=sin ωx (ω>0)在0,π3上单调递增, 在π3,π2上单调递减知,π2ω=π3,则ω=32.15.已知函数f (x )=1-2a-2a cos x-2sin 2x 的最小值为g (a ),a ∈R . (1)求g (a );(2)若g (a )=12,求a 及此时f (x )的最大值.y=f (x )=1-2a-2a cos x-2(1-cos 2x ),令t=cos x ,则y=2t 2-2at-2a-1,t ∈[-1,1], 当a2<-1,即a<-2时,y min =f (-1)=1;当-1≤a 2≤1,即-2≤a ≤2时,y min =f (a2)=-a 22-2a-1. 当a2>1,即a>2时,y min =f (1)=-4a+1.故g (a )={1,a <-2,-a 22-2a -1,-2≤a ≤2,-4a +1,a >2.(2)由g (a )=12,得a=-1,此时f (x )=2cos 2x+2cos x+1, 当cos x=1时,f (x )max =5,此时x=2k π,k ∈Z .16.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π2),若函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f (x )的单调递增区间; (3)若x ∈[-π6,π3],求y=f (x )的值域.因为函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数的周期T=π,所以ω=2ππ=2. (2)因为直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴,所以2×π6+φ=k π+π2,k ∈Z ,φ=k π+π6,k ∈Z .又|φ|<π2,所以φ=π6.所以函数f (x )的解析式是y=sin (2x +π6). 令2x+π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,解得x∈[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.(3)因为x∈[-π6,π3],所以2x+π6∈-π6,5π6.所以sin(2x+π6)∈[-12,1],即函数的值域为[-12,1].新情境创新练17.(2020浙江丽水高一期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω,φ∈R),若fπ4=0,且f(x)在区间5π28,2π7上是单调函数,则ω的最大值是.解析由fπ4=0,且f(x)在区间5π28,2π7上是单调函数,易得5π28<π4<2π7,且fπ4=0,可得当x∈5π28,π4时与x∈π4,2π7时,f(x)均单调,可得T4≥π4−5π28=π14,T≥2π7,同理T4≥2π7−π4=π28,T≥π7,综上可得T≥2π7,即2π|ω|≥2π7,可得|ω|≤7,故ω的最大值是7.。

2015届高考数学一轮复习单元检测：函数的应用(人教A版必修一)

2015届高考数学一轮复习单元检测：函数的应用(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口可相当于一个( )A ．新加坡(270万)B ．香港(560万)C ．瑞士(700万)D ．上海(1 200万)答案：D2．设函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 是定义在[]－2，2上的增函数，且 f (－1)f (1)<0，则方程f (x )＝0，在[]－2，2内( ) A ．可能有三个实数根 B ．可能有两个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根答案：C3．下列图形中，不能用零点定理判断函数的零点的是( )答案：A4．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜4B ．a ＞4C ．a ≤4D ．a ≥4答案：B5．若方程a x －x －a ＝0有两个解，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞) D ．1解析：∵a x －x －a ＝0，∴a x ＝x ＋a ，画y ＝a x 与y ＝x ＋a 函数图象知a ＞1有两解．答案：A6．某种细胞，每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细胞由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12小时B ．4小时C ．3小时D ．2小时解析：1次分裂1个分裂为2个； 2次分裂2个分裂为22个； 3次分裂3个分裂为23个． ∵212＝4 096，∴分裂12次，则共12×15分钟＝3小时．答案：C7．[2014·汉口模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)D. (3,4)答案：B8．拟定从甲地到乙地通话m 分钟，电话费f (m )＝1.06(0.5×[m ]＋1)给出，其中[m ]是大于或等于m 的最小整数，则通话5.5分钟的话费为( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77 答案：C9. 若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5分析：直接运用函数零点存在性定理及二分法思想，在区间[1,1.5]上进行研究．解析：易知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2在R上是连续的，根据表中数据，可知f(1.437 5)·f(1.406 25)<0，得到函数f(x)在区间(1.437 5,1.406 25)内有零点．所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. 选C.答案：C10．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断是()A．①B．①②C．①③D．①②③答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是________．答案：a＝0或－1 412．若函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为________．答案：m<1且m≠－113．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为________．答案：11k －114．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如右图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室．答案：(1)y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1(2)0.6三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的零点： (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12；(3)f (x )＝e x －1.解析：(1)令－8x 2＋7x ＋1＝0，得x ＝－18或x ＝1.∴f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点为－18，1.(2)令ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0，得x ＝32.∴f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的零点为32.(3)令e x －1＝0，得x ＝0，∴f (x )＝e x －1的零点为0.16.(本小题满分12分)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问：每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解析：设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝24.∴t ＝－2n ＋24.设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )＝－440(n －6)2＋15 840. 当n ＝6时，总人数最多为15 840人．答：每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．17．(本小题满分14分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．解析：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105, 代入 y ＝c e kx 得⎩⎪⎨⎪⎧ 1.01×105＝c e k ·0，0.90×105＝c e k ·1 000 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.01×105， ①0.90×105＝c e 1 000k . ② 将①代入②得0．90×105＝1.01×105e 1 000k⇒k ＝11 000×ln 0.901.01，计算得k ＝－1.15×10－4.∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.将x＝600 代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，计算得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600＝0.943×105(Pa) 答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.18.(本小题满分14分)某种消费品专卖店的经营情况是：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如下图所示；③每月该店职工最低生活开支5 600元．(1)为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在什么范围内？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大？并求最大余额．解析：根据图象知月销售量Q (百件)与销售价P (元)的关系是Q ＝⎩⎨⎧－2P ＋50(14≤P ≤20)，－32P ＋40(20≤P ≤26).(1)设W 1＝PQ －14Q ，该店至少能维持职工生活，则必须满足W 1≥56, 即P (－2P ＋50)－14(－2P ＋50)≥56(14≤P ≤20)， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40－14⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40≥56(20＜P ≤26)，解得18≤P ≤22.(2)设W 2＝PQ －14Q －56，则W 2＝⎩⎨⎧－2P 2＋78P －756 (14≤P ≤20)，－32P 2＋61P －616 (20≤P ≤26)，可推知当P ＝19.5(元)时，W 2最大，最大值为450元．19．(本小题满分14分)用二分法求方程x ＝5－e x 在(1,2)内的近似解．解析：令f (x )＝e x ＋x －5，因f (1)＝－1.28＜0，f (2)＝4.39＞0，f (1)·f (2)＜0.∴f (x )在(1,2)内有一个零点x 0，取(1,2)的中点x 1＝1.5，由计算器可得f (1.5)＝0.98＞0，f (1)·f (1.5)＜0，∴x 0∈(1,1.5)，取(1,1.5)的中点x 2＝1.25. 计算得f (1.25)＝－0.26＜0， f (1.25)·f (1.5)＜0， ∴x 0∈(1.25,1.5)．同理：x 0∈(1.25,1.375)， x 0∈(1.25,1.312 5)， x 0∈(1.281 25,1.312 5)， x 0∈(1.296 875,1.312 5)， ∵|1.296 875－1.312 5|＜0.1，故所求方程近似解为x ＝1.3.20．(本小题满分14分)求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上的零点．解析：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a .当Δ＜0，即a ＞2时，f (x )无零点．当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.当Δ＞0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，即⎩⎨⎧ 8－4a >0，14＋1＋a －1＜0⇒a ＜－14时，f (x )仅有一个零点：－1－2－a .当Δ＞0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0时，即⎩⎨⎧8－4a ＞0，14＋1＋a －1≥0⇒－14≤a ＜2时，f (x )有两个零点：x ＝－2±8－4a2＝－1±2－a .综上所述，当a ＞2时，f (x )无零点；当a ＝2时，f (x )有一个零点－1；当－14≤a ＜2时，f (x )有两个零点：x ＝－1±2－a ；1当a＜－4时，f(x)有一个零点：－1－2－a.。

高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最值课件新人教A版必修1

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？
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(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
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3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
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2．最值定义函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值几何函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的意义纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，，解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

2015届高考数学一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件跟踪检测理(含解析)新人教A版

课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013·潍坊模拟)命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤55．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题6．(2013·江西七校联考)已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即非充分也非必要条件 7．(2014·日照模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为( )A ．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行B ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行C ．若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2不平行D ．若a ≠1或a ≠－1，则直线l 1与l 2平行8．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．49．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．10．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.4．选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.5．选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．6．选A 由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.7．选A 命题“若A ，则B ”的否命题为“若綈A ，则綈B ”，显然“a ＝1或a ＝－1”的否定为“a ≠1且a ≠－1”，“直线l 1与l 2平行”的否定为“直线l 1与l 2不平行”．8．选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.9．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数10．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150° ⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.2．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。

新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)

【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增，在－ 33a， 33a上单调递减.

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第2章函数的概念与性质第2节函数的单调性与最值 (2)

B.
D.
3
,+∞
2
3
,4
2
)
答案:(1)B (2)D
解析:(1)f(x)=|x2-3x+2|=
2 -3 + 2, ≤ 1 或 ≥ 2,
-( 2 -3 + 2),1 < < 2.
如图所示,函数的单调递增区间是
3
1, 2
和[2,+∞).
(2)要使 f(x)=ln(4+3x-x2)有意义,需 4+3x-x2>0,解得 x∈(-1,4).
断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进
行判断
对点训练2(1)(2021广西贵港模拟)下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的
是(
)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)在(-∞,0]上单调递增
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
1,为有理数,
例如:函数 f(x)=
它的定义域为 R,但不具有单调性.
0,为无理数,
2.函数的最值
前提
条件
结论
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; ③对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
④存在x0∈I,使得 f(x0)=M
故函数f(x)的最大值为2.
突破技巧求函数最值的五种常用方法及其思路
单调性法
图象法
基本不等
式法
导数法
换元法
先确定函数的单调性,再由单调性求最值

高考数学一轮复习测试卷2-人教版高三全册数学试题

2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围：集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A ．2+i B ．2-i C ．-1+i D ．-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中，真命题是（）A ．2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥ D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（）A ．542-+x xB ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝log 0.50.8，b ＝log 1.10.8，c ＝1.10.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b8．函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于()．A ．1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为()．10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是：( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 11.“a =－1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x ＝5y＝10，则1x ＋1y＝________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3，则抛物线方程为。

2015高考数学一轮复习单元检测：导数及其应用(新人教A版选修1-1)

2015高考数学一轮复习单元检测：导数及其应用一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于（）A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．-)('0x fD ．-)('0x f -2．(2014·荆州质检)设函数f (x )在R 上可导，其导函数是f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是()3．函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为（） A 、2 B 、－2 C 、0 D 、－44．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )A 、0 B 、4- C 、2- D 、25．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A 、－1<a<2 B 、－3<a<6 C 、a<－1或a>2 D 、a<－3或a>66、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是（）A 、13k <B 、103k <≤C 、103k ≤≤ D 、13k ≤7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x) 可能为（）有（）A 、f （0）＋f （2）<2f （1）B 、f （0）＋f （2）≥2f （1）C 、f （0）＋f （2）>2f （1）D 、f （0）＋f （2）≥2f （1）9、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为() Ａ．3Ｂ．52Ｃ．2Ｄ．3210、f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（） A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.ABCDC ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)11. (2014·河南省三市调研)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为12．曲线S ：y=3x-x 3的过点A （2，-2）的切线的方程是。

高中数学的图象与性质5-4-2正弦函数余弦函数的性质第2课时单调性与最值课时作业新人教A版必修第一册

第2课时单调性与最值必备知识基础练1．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在[π2，π]和[－π，－π2]上是增函数，在[－π2，π2]上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在[－π2，π2]上是增函数，在[－π，－π2]和[π2，π]上是减函数2．函数f (x )＝sin (x ＋π2)，x ∈R 在( )A ．[－π2，π2]上是增函数 B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数 3．函数f (x )＝2sin x 在区间[0，3π4]上的最大值为( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．24．设函数y ＝1－2sin x ，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为( )A.3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈ZB ．1，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋32π，k ∈ZC ．3，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋32π，k ∈ZD ．1，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z 5．已知a ＝sin π5，b ＝sin π7，c ＝sin 5π6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a 6．(多选)函数y ＝sin (x ＋π4)在下列哪个区间为增函数( ) A ．[－34π，π4] B ．[－π，0]C ．[5π4，74π]D ．[－π2，π2]7．[2022·北京东城高一期末]函数y ＝sin 2x 的最小值为________． 8．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的单调递增区间为________．关键能力综合练1．下列四个函数中，以π为最小正周期，其在(π2，π)上单调递减的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin 2x2．已知函数y ＝2 021sin x 与y ＝2 022cos x 在下列区间内同为单调递增的是( ) A ．(0，π2) B ．(π2，π)C ．(π，3π2)D ．(3π2，2π)3．函数y ＝2sin (π4－2x )的单调减区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋38π，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋38π，2k π＋78π，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋38π，k π＋78π，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π8，2k π＋38π，k ∈Z 4．函数y ＝cos (π4－3x )的单调递减区间是( )A ．[π12＋2k π3，5π12＋2k π3](k ∈Z )B ．[－π4＋2k π3，π12＋2k π3](k ∈Z )C ．[π12＋2k π，5π12＋2k π](k ∈Z )D ．[－π4＋2k π，π12＋2k π](k ∈Z )5．函数f (x )＝sin (ωx －π2)(ω>0)在[0，π5]上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．16．(多选)已知函数f (x )＝cos x ，则下列函数在区间(0，π2)上单调递增的是( )A ．f (x －π)B ．f (x ＋π)C ．f (x －π2)D ．f (x ＋π2)7．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．则ω＝________．8．函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈[π3，2π3]的最大值是________，此时x 的值是________．9．[2022·广东汕尾高一期末]已知函数f (x )＝12sin (2x ＋π4)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈[0，π6]时，求f (x )的最大值和最小值．10．[2022·湖北武汉高一期末]已知函数f (x )＝3cos (2x ＋π6)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间x ∈[0，π2]上的最小值及相应的x 的值．核心素养升级练1．[2022·广东梅州高一期末](多选)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos xcos x ，sin x <cos x ，下列四个结论正确的是( )A ．f (x )是以2π为周期的函数B ．f (x )是偶函数C ．当且仅当在区间(2k π＋π2，2k π＋5π4)(k ∈Z )上，f (x )单调递减 D ．当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－222．[2022·海南高一期末]写出一个同时满足以下条件的函数________． ①是周期函数；②最大值为3，最小值为－1；③在[0，1]上单调． 3．已知函数f (x )＝2a sin (x ＋π4)＋b ＋a .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a <0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3，4]，求a 、b 的值．第2课时单调性与最值必备知识基础练1．答案：D解析：因为y ＝4sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2]，k ∈Z ，单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2]，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，所以函数y ＝4sin x 在[－π2，π2]上是增函数，在[－π，－π2]和[π2，π]上是减函数．2．答案：B解析：f (x )＝sin (x ＋π2)＝cos x ，所以f (x )在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减．B 正确，A 、C 、D 选项错误． 3．答案：D解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，∴sin x ∈[0，1]，∴2sin x ∈[0，2]，即函数f (x )有最大值2. 4．答案：C解析：由于－2≤2sin x ≤2，－2≤－2sin x ≤2，－1≤1－2sin x ≤3，所以当x ＝2k π＋32π，k ∈Z 时，函数y ＝1－2sin x 有最大值为3.5．答案：C解析：c ＝sin 5π6＝sin π6，∵0<π7<π6<π5<π2，∵y ＝sin x 在(0，π2)单调递增，∴sin π7<sin π6<sin π5，即b <c <a .6．答案：AC解析：函数y ＝sin (x ＋π4)，2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z ，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π4，当k ＝1时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，94π.7．答案：－1解析：由正弦型函数的性质知y ＝sin 2x ∈[－1，1]， ∴y ＝sin 2x 的最小值为－1. 8．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z解析：因为f (x )＝－cos 2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z . 关键能力综合练1．答案：A解析：y ＝|sin x |的最小正周期为π，在(π2，π)上单调递减，符合题意，故A 正确；y ＝sin |x |不是周期函数，故B 错误；y ＝cos 2x 中，x ∈(π2，π)，则2x ∈(π，2π)，故y ＝cos 2x 中在x ∈(π2，π)时不是单调函数，故C 错误；y ＝sin 2x ，x ∈(π2，π)，则2x ∈(π，2π)，故y ＝sin 2x 中在x ∈(π2，π)时不是单调函数，故D 错误．2．答案：D解析：由正弦函数的单调性可知，函数y ＝2 021sin x 在(3π2，2π)上单调递增；由余弦函数的单调性可知，函数y ＝2 022cos x 在(3π2，2π)上单调递增；所以函数y ＝2 021sin x 与y ＝2 022cos x 同为单调递增的区间是(3π2，2π).3．答案：A解析：由题设，有y ＝－2sin (2x －π4)，∴2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2上函数单调递减，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，而k ∈Z .4．答案：A解析：y ＝cos (π4－3x )＝cos (3x －π4)，令2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得π12＋2k π3≤x ≤5π12＋2k π3，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋2k π3，5π12＋2k π3，k ∈Z .5．答案：B解析：由题意得f (x )＝－cos ωx ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5ω， ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，∴π5ω≤π，又ω>0，解得0<ω≤5，∴ω的最大值为5. 6．答案：ABC解析：因为f (x －π)＝cos (x －π)＝cos (π－x )＝－cos x ，且f (x )＝cos x 在区间(0，π2)上单调递减，所以f (x －π)在区间(0，π2)上单调递增，即选项A 正确；因为f (x ＋π)＝cos (x ＋π)＝－cos x ，且f (x )＝cos x 在区间(0，π2)上单调递减，所以f (x ＋π)在区间(0，π2)上单调递增，即选项B 正确；因为f (x －π2)＝cos (x －π2)＝cos (π2－x )＝sin x ，且y ＝sin x 在区间(0，π2)上单调递增，所以f (x －π2)在区间(0，π2)上单调递增，即选项C 正确；因为f (x ＋π2)＝cos (x ＋π2)＝－sin x ，且y ＝sin x 在区间(0，π2)上单调递增，所以f (x ＋π2)在区间(0，π2)上单调递减，即选项D 错误．7．答案：32解析：因为f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过原点，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以π3为函数f (x )的14周期，所以2πω＝4×π3，解得ω＝32.8．答案：154 2π3解析：∵y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13，又∵π3≤x ≤2π3，∴－12≤cos x ≤12，结合函数解析式，当且仅当cos x ＝－12时，即x ＝2π3时，y max ＝154.9．解析：(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . (3)∵0≤x ≤π6，∴π4≤2x ＋π4≤7π12.当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )max ＝12sin π2＝12.当2x ＋π4＝π4，即x ＝0时，f (x )min ＝12sin π4＝24.10．解析：(1)函数f (x )＝3cos (2x ＋π6)中，由T ＝2π2＝π得f (x )的最小正周期π，由－π＋2k π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，解得－7π12＋k π≤x ≤－π12＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )在[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z )上单调递增，所以f (x )的最小正周期是π，单调递增区间是[－7π12＋k π，－π12＋k π](k ∈Z ).(2)当x ∈[0，π2]时，π6≤2x ＋π6≤7π6，则当2x ＋π6＝π，即x ＝5π12时，f (x )min ＝－3，所以函数f (x )的最小值为－3，此时x ＝5π12.核心素养升级练1．答案：AD解析：画出函数y ＝f (x )的图象如图所示：由图可知f (x )是以2π为最小正周期的周期函数，故A 正确；由图象知函数不关于y 轴对称，所以不是偶函数，故B 错误；函数在区间(2k π＋π2，2k π＋5π4)(k ∈Z )和(2k π，2k π＋π4)k ∈Z ，上为减函数，故C 错误；当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－22，故D 正确．2．答案：f (x )＝2cos x ＋1解析：由题意可知，f (x )＝2cos x ＋1，因为f (x )＝2cos x ＋1的周期为2π，满足条件①；又cos x ∈[－1，1]，所以2cos x ＋1∈[－1，3]，满足条件②；由于函数y ＝cos x 在区间[0，1]上单调递减，所以f (x )＝2cos x ＋1在区间[0，1]上单调递减，故满足条件③.3．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin (x ＋π4)＋b ＋1，令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ).(2)因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin (x ＋π4)≤1；又因为a <0，所以2a ≤2a sin (x ＋π4)≤－a ，所以2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b ；而f (x )的值域是[3，4]，所以⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝3b ＝4，解得a ＝1－2，b ＝4.。

2015届高考数学一轮复习幂函数练习新人教A版必修1

必修Ⅰ－07 幂函数与函数的图像幂函数的定义：一般地，形如x y a =的函数称为幂函数，其中x 为自变量，a 为常数，常见的幂函数有：231,,,,y x y x y x y x y -===== （1）所有幂函数在()0,+∞上有意义，并且都过点；（2）当0a >时，幂函数的图像过原点，且在()0,+∞上为增函数，当0a >时，在()0,+∞ 上为减函数.2、函数图像的作法：（1）描点法作图：①确定函数的；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；④画出函数的图像.（2）图像变换法：平移变换函数()(0)y f x a a =+≠的图像可以由()y f x =的图像 _______得到. 函数()(0)y f x b b =+≠的图像可以由()y f x =的图像得到.34（1）若()(),f x a f b x x R +=-∈，则()y f x =关于x = 对称；（2）函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图像关于1()2x b a =-对称；例1、关于x的方程|2|log(0,1)ax x a a-=>≠且的解的个数是 .例2、比较三个值1113221.1,1.4,1.1的大小，并说明理由.例3、作出下列函数的图像：（1）1y=（2）2|2|1y x x=-+例4、已知函数21()(0,0,)axy f x a b c Rbx c+==>>∈+是奇函数，当0x>时，()f x有最小值2，其中5,(1)2b N f∈<且，试求函数的解析式.例5、作出函数|1|12xy-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.。

备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第二章函数的单调性与最值

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为
A.(－∞，2]
√B.[2，＋∞)
C.[0,2]
D.[0，＋∞)
∵y＝|x－2|＝x－－x2＋，2x，≥x2<，2， ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
A.y＝ x2＋x－2 C.y＝x＋1x
B.y＝|x2－2x|
√D.y＝ex－e－x
对于选项 A，y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 A 不正确；
对于选项B，由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项 C，y′＝1－x12＝x2x－2 1， ∴当 x∈(0，＋∞)时，y＝x＋1x在(0,1)上单调递减，在(1＋∞)上单调递增，故 C 不正确；对于选项D，∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R 上的增函数，故D正确.
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
定义当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
√B.a<c<b
C.a<b<c
D.c<a<b
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， ∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，

2015届高考数学一轮复习双曲线跟踪检测理(含解析)新人教A版

课时跟踪检测(五十六) 双曲线第Ⅰ组：全员必做题1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 2．(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12B.32 C ．1 D. 33．(2013·深圳调研) 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14B.12 C ．2 D ．44. (2013·郑州模拟)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋125．(2013·武汉模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．86. (2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为________． 7．(2013·陕西高考) 双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________． 8. (2013·石家庄模拟)F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．10. P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC ＝λOA ＋OB ，求λ的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·河北省重点中学联考) 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.52 B.102C.53D.1032．(2014·武汉模拟) 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点．若|PF 1|2|PF 2|＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7. 2．选B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为32，故选B. 3．选D 双曲线方程可化为x 2－y 21m＝1， ∴实轴长为2，虚轴长为21m ， ∴2＝2⎝⎛⎭⎫2 1m ，解得m ＝4. 4．选B 连接AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||AF 2|－|AF 1|＝2c 3c －c＝3＋1，选B. 5．选C 设c ＝a 2＋b 2，则c a ＝54， ∴a ＝45c ，∴b ＝c 2－a 2＝35c . ∵1PF ·2PF ＝0(即PF 1⊥PF 2)，S △PF 1F 2＝9，∴|PF 1|·|PF 2|＝18.∵⎩⎪⎨⎪⎧ ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，两式相减得，2|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，∴b 2＝9，∴b ＝3，∴c ＝5，a ＝4，∴a ＋b ＝7.6．解析：由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，∴a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝17．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m 16⇒m ＝9.答案：98．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：79．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23 x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x 0y 0＝433，x 2012－y 23＝1.∴⎩⎨⎧ x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．10．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.第Ⅱ组：重点选做题1．选B 由题可知点A 在双曲线的右支上，则|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，则|AF 2|＝a ，得|AF 1|＝3a ，由∠F 1AF 2＝90°，得(3a )2＋a 2＝(2c )2，则e ＝c a ＝102. 2．解析：设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝c a≤3. 答案：(1,3]。

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数的符号．

人教a版高考数学(理)一轮课件：2.2函数的单调性及值域

3.函数的最值
前提条件结论设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M M 为最大值 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M M 为最小值
1.函数 y=1-
(1)求实数 a 的值,并证明 f(x)的图象关于原点对称; (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数.
a 5
【解】(1)因为函数 f(x)=x+ 的图象过点 A 2, 所以 =2+ ,解得 a=1.
5 2 a 2 1 x
a x
5 2
,
于是 f(x)=x+ ,因为函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 且 f(-x)=-x+ =-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数. 从而 f(x)的图象关于原点对称. (2)证明:设 x1,x2 是(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =x1-x2+ =(x1-x2)
1 ( x-1
) B.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减
A.在(-1,+∞)上单调递增 C.在(1,+∞)上单调递增【答案】C
1 x
【解析】数形结合,y=- 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得 y=11 的图象,故在区间(1,+∞)上单调递增. x-1
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的只有( A.y=- x C.y=lo��1x
)
B.k<
1 2 1 2
C.k>-

2015届高考数学一轮复习 函数的单调性及最值练习 新人教A版必修1

新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)