高三数学培优补差辅导专题讲座-集合、函数与导数单元易错题分析与练习p

集合与函数、导数部分易错题分析1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？[问题]:{}1|2-=x y x 、{}1|2-=x y y 、{}1|),(2-=x y y x 的区别是什么？ 4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？[问题]:如何解不等式：()0122>--b x a ？6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射？[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个A 到B 上的一一映射.9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？[问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）[问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,132图象与()11+=-x f y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =.10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?[问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。

12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？[问题]：写出函数)0()(>+=m xm x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？[问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线ax =对称”有什么不同吗？例题讲解1、忽略φ的存在：例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．【错解】A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －【分析】忽略A =φ的情况.【正解】（1）A ≠φ时，A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －； （2）A =φ 时，121->+m m ，得2<m .综上所述，m 的取值范围是（∞-,3]2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） （A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D .【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥分别表示函数)(x f y =定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式()()g x f x ≥的解集.【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C .3、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A ={x |x <－2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且B ⊆A ，求m 的范围.【错解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -<-⎧⇒>⎨+>⎩. 【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -≤-⎧⇒≥⎨+≥⎩. 4、不理解有关逻辑语言：例题4、“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M 的元素都不是P 的元素；⑵M 中有不属于P 元素；⑶M 中有P 的元素；⑷M 的元素不都是P 的元素，其中真命题的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对.【分析】实际上，由“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题知非空集合M 不是集合P 的子集，故“M 的元素不都是P 的元素”（M 的元素有的是、有的不是集合P 的元素，或M 的元素都不是P 的元素）是正确的.【正解】正确答案是B （2、4两个命题正确）.5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：例题5、若a <0, 则关于x 的不等式05422>--a ax x 的解集是 .【错解】x <－a 或x >5 a【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清5 a 和－a 的大小.【正解】{x |x <5 a 或x >－a }6、不能严谨地掌握充要条件的概念：例题6、题甲“a ，b ，c 成等比数列”，命题乙“ac b =”，那么甲是乙的………………（ ） （A ） 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又非必要条件【错解】选C 【分析】若a ，b ，c 成等比数列，则b =ac b =，则有可能0,0b a c ==或.【正解】正确答案为：D7、考虑充要条件时，忽略了前提条件：例题7、△ABC 中，“A =B ”是“sinA =sinB ”的…………………………………（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ） 非充分非必要【错解】错选A【分析】实际上，由“A =B ”能推出“sinA =sinB ”；在△ABC 中，由正弦定理2sin ,2sin a R A b R B ==及“sinA =sinB ”，可知a b =，从而有“A =B ”成立.【正解】正确答案为C .8、不能正确地理解有关概念，导致推理错误：例题8、已知直线m 、n 和平面α、β，其中m ⊂α、n ⊂β，则α∥β的一个充分不必要条件是：（ ）（A ）α⊥γ,β⊥γ （B ） m ∥β, n ∥β（C ） α∥γ,β∥γ （D ）α内不共线的三点到β的距离相等【错解】错选A .【分析】注意：寻找的是一个充分不必要条件.学生往往错误地认为：α∥β⇒某条件，且某条件不能推出α∥β.而实际上，应该是：某条件⇒α∥β，且α∥β不能推出某条件.【正解】正确答案为C .9、逻辑推理混乱：例题9、使不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立的充分而不必要的条件是…………………（ ）（A ）}11|{>-<x x x 或 （B ） }11|{<<-x x（C ） }11|{≠->x x x 且 （D ）}11|{-≠<x x x 且【错解】搞不清所要求的条件和不等式0)1|)(|1(>+-x x 的关系.【分析】所要求的“某条件”满足：（1）“某条件”⇒不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立；（2）“某条件”不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立；【正解】正确答案为：B10、不会用“等价命题”推理：例题10、设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是 . 【错解】常见错误解答是：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】解答此题比较好的思路是：由⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件得知p 是q 的充分而不必要条件，然后再解两个不等式，求a 的取值范围.【正解】正确答案是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 11、不注意数形结合，导致解题错误.例题11、曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同交点的充要条件是 【错解】误将半圆241x y -+=认为是圆.【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：53124k <≤ 二、函数部分1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称.例题1、函数xx x x f -+-=11)1()(的奇偶性为 【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误.【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识：例题2、()sin f x x x =⋅，若12,[,]22x x ππ∈-时，12()()f x f x >，则x 1、x 2满足的条件是 ； 【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题.【分析】可以判断出f (x )是偶函数，且在[0,]2π上是增函数. 【正解】由f (x )在[,]22ππ-上的图象可知答案为12 || ||2x x π≥≥. 3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：例3、函数log (01),a y x a a =>≠且当[)2,x ∈+∞时，1,y ≥则a 的取值范围是…（ ）（A ）2102≤<≥a a 或（B ）212≥≤a a 或 （C ） 21121≤<<≤a a 或 （D ） 221≤≤a 【错解】只想到1a >一种情况，选D【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C4、不理解函数的定义：例4、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是……………………………（ ）（A ）至少有一个 （B ） 至多有一个 （C ）必有一个 （D ） 有一个或两个【错解】选A 、C 或D【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A 到非空数集B 的映射，故定义域内的一个x 值只能对应一个y 值）.【正解】正确答案为：B变式、在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于…………………（ ）（A ） 原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ） 直线y =x 对称【错解】没有思路.【分析】要知道1()2,()2x x f x g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭两函数的图象关于y 轴对称. 【正解】1()2x f x +=的图象由的图象向左平移1个单位而得到，1()2x g x -=＝112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的图象由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移一个单位而得到.故选C.基础练习题1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ C ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或22、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ C ）A. [0，1] ，[1，2]B. [2，3] ，[3，4]C. [-2，-1] ，[1，2]D. [-1，2] ，[3，4]3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ A ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ B ）A. ()11log 2+-=x yB. ()11log 2--=x yC. ()11log 2++=x yD. ()11log 2-+=x y5、已知函数()()x x f a -=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是（ D ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,06、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ B ）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,2 7、设()x x x f sin =，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（ D ） A. 1x ＞2x B. 1x +2x ＞0 C. 1x ＜2x D. 21x ＞22x8、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ）A. α＜βB. α＞βC. α=βD. 无法确定α与β的大小9、若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则22βα+的最大值等于（ C ） A. 6 B.950 C. 18 D. 19 10、若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是（ C ） A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数11、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是（ B ）A. ()1,3--B. ()()3,11,1 -C. ()()+∞-,30,3D. ()()+∞-,21,312、不等式()32log 2+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ C ）A. [)+∞,2B. (]2,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D. ⎥⎦⎤⎝⎛21,013、方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ C ）A. 0<a ≤1B. a ＜1C.a ≤1D. 0<a ≤1或a < 014、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是C（A ） （B ）（C ） （D ）15、函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈（0，3）时()xx f 2=，则x ∈（6-，3-）时，()x f =（ B ）A. 62+xB. 62+-xC. 62-xD. 62--x16、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=348123的图象关于原点中心对称，则()x f BA. 在[]34,34-上为增函数B. 在[]34,34-上为减函数C. 在[)+∞,34上为增函数，在(]34,-∞-上为减函数D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数17、ααcos sin +=t 且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ A ） A. [)0,2- B. []2,2- C. ()(]2,10,1 - D. ()()+∞-,30,318、二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ D ）A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4]19、已知函数()d cx bx ax x f +++=23则 （ B ）A. ()0,∞-∈bB. ()1,0∈bC. ()2,1∈bD. ()+∞∈,2b20、设(){}12,2++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,，则S 的面积是 （ A ） A. 1 B. π C. 4 D. 4π二、填空题：21、函数x y 1=（x ＞-4）的值域是____()1,0,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ________________. 22、函数52--+=x x y 的值域是______[]7,7-__________________.23、函数x x y -+=3的值域是_________________________. 24、若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x =______10____.25、设定义在区间[]222,22---a a 上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是_________2______________.26、函数()12-=x x f （x <-1）的反函数是___)0y x =>____.27、函数()2p x p x x f +-=在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是______1p ≥______________.28、已知集合{}a x ax x x A -≤-=2，集合(){}21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是___[]1,3____.29、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞()x f 21-的解集是____()(),02,-∞+∞ ________.30、已知()()x x x f a a l o g l o g 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是_______1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭_______ 31、函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是______3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦________________.32、函数()cox x xcox x f ++=sin 1sin 的值域是___1⎡⎤⎛-- ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎦___. 33、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_________2___________________.34、已知a ＞1，m ＞p ＞0，若方程m x x a =+log 的解是p ，则方程m a x x =+的解是_______m p -_____________.35、已知函数()()3122--+=x a ax x f （a ≠0）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为1，则实数a 的值是____34或32--________________. 36、对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =____________4_____.37、已知函数()()()[]111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是_____53a >或1a ≤- ___________________. 38、若函数())4(log -+=x a x x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是___04a <≤或1a ≠_____________.39、若曲线()21a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则OP 的取值范围是___⎤⎦_____.40、若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A s i n s i n s i n++的最大值是____2________________. 41、正实数x 1，x 2及函数，f (x )满足1)()(,)(1)(1421=+-+=x f x f x f x f x 且，则)(21x x f +的最小值为 （ B ） A ．4 B ．54 C ．2 D ．41 42、已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“b > 2a ”是“f (－2) < 0”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件43、一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x x x f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个44、已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))；45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π ③xx f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上所有满足题意的序号）46、已知二次函数)1(,)(2++=x f bx ax x f 为偶函数，函数f （x ）的图象与直线y=x 相切.（1）求f （x ）的解析式（2）若函数),(])([)(+∞-∞-=在x k x f x g 上是单调减函数，求k 的取值范围.（1）∵f （x+1）为偶函数，∴即),1()1(+=+-x f x f )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立，即（2a+b ）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴ax ax x f 2)(2-=∵函数f （x ）的图象与直线y=x 相切，∴二次方程0)12(2=+-x a ax 有两相等实数根，∴004)12(2=⨯-+=∆a a ，x x x f a +-=-=∴221)(,21 （2）∵kx x x x g -+-=2321)(， '23()2,()(,)2g x x x k g x ∴=-+--∞+∞ 在上是单调减函数上恒成立，在),(0)('+∞-∞≤∴x g 32,0))(23(44≥≤---=∆∴k k 得，故k 的取值范围为),32[+∞ 48、定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为____ (答：(sin )(cos )f f αβ>)；49、函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)50、如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是__ (答：12x =-)． 51、已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。