2017年江苏省无锡市新吴区中考数学一模试卷

2017年江苏省无锡市新吴区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数等于（）A．B．4 C．D．±2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣y2）3=y6C．（m2n）3=m5n3D．﹣2x2+5x2=3x23．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（3分）下列事件中，是确定事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．打开电视机正在播放动画片C．篮球运动员身高都在2米以上D．抛一枚硬币，正面向上5．（3分）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞06．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（）A．AB=CD B．∠BAD=∠DCBC．AC=BD D．∠ABC+∠BAD=180°7．（3分）某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是28分C．该班学生这次考试成绩的中位数是28分D．该班学生这次考试成绩的平均数是28分8．（3分）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确9．（3分）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cm B．cm C．8cm D．cm10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）无锡阳山，风景如画，粉红的桃花，洁白的梨花，金灿灿的油菜花，引得众多游客流连忘返，据统计今年清明小长假前往阳山踏青赏花游客超过130000人次，把130000用科学记数法表示为．13．（2分）分解因式：4a2﹣b2=．14．（2分）反比例函数的图象经过点（﹣1，2），图象上有两个点的坐标为（﹣1，y1），（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系为．15．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=．16．（2分）已知直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），则PQ的最小值为．17．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．18．（2分）点B（a，5）在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）（1）计算：+（2011﹣）0﹣（）﹣1（2）计算：（+）÷．20．（8分）（1）解方程：=1﹣（2）解不等式组：．21．（8分）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．22．（7分）如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1，2，3，4四个数字）．游戏规则是游戏者每掷一次骰子，棋子按着地一面所示的数字前进相应的格数．例如：若棋子位于A处，游戏者所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A处前进3个方格到达B处．请用画树形图法（或列表法）求掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的概率．23．（7分）某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2016年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A，B，C，D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C 类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：（1）表中的a=，b=；（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为D的人数约为多少？24．（8分）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．25．（8分）如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP 的度数．26．（10分）虽然近几年无锡市政府加大了太湖水治污力度，但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷，使部分太湖水域水质恶化，富营养化不断加剧．为了保护水资源，我市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y关于x的函数关系式；（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．27．（10分）如图，A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，将线段BA 绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）若该抛物线经过原点O，且a=﹣，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点P（m，n）在抛物线上，且∠POB锐角，满足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范围．28．（10分）（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα=，CD=5，AD=12，求BD的长．2017年江苏省无锡市新吴区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•无锡一模）的相反数等于（）A．B．4 C．D．±【解答】解：的相反数等于﹣，故选：A．2．（3分）（2007•泰州）下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣y2）3=y6C．（m2n）3=m5n3D．﹣2x2+5x2=3x2【解答】解：A、应为a2•a3=a5，故本选项错误；B、应为（﹣y2）3=﹣y2×3=﹣y6，故本选项错误；C、应为（m2n）3=m6n3，故本选项错误；D、﹣2x2+5x2=3x2，正确．故选D．3．（3分）（2013•天水）下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形．故共3个中心对称图形．故选C．4．（3分）（2017•无锡一模）下列事件中，是确定事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．打开电视机正在播放动画片C．篮球运动员身高都在2米以上D．抛一枚硬币，正面向上【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A符合题意；B、打开电视机正在播放动画片是随机事件，故B不符合题意；C、篮球运动员身高都在2米以上是随机事件，故C不符合题意；D、抛一枚硬币，正面向上是随机事件，故D不符合题意；故选：A．5．（3分）（2009•江苏）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项B错误；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故选项C正确；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故选项D错误．故选：C．6．（3分）（2017•无锡一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（）A．AB=CD B．∠BAD=∠DCBC．AC=BD D．∠ABC+∠BAD=180°【解答】解：A、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．B、正确．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=∠DCB，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．C、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．D、错误．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC，与题目条件，重复，无法判断，四边形是不是平行四边形．故选B．7．（3分）（2017•无锡一模）某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是28分C．该班学生这次考试成绩的中位数是28分D．该班学生这次考试成绩的平均数是28分【解答】解：A、该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，故选项A正确，不符合题意要求；B、得28分的人数最多，众数为28，故选项B正确，不符合题意要求；C、第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：（28+28）÷2=28，故选项C正确，不符合题意要求；D、平均数为：（24×2+25×5+26×6+27×6+28×8+25×8+29×7+30×6）÷40=28.125．故选项D错误，符合题意要求．故选：D．8．（3分）（2017•无锡一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x1=4，x2=1，根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能为4、4、1，∴等腰三角形的周长是4+4+1=9，即等腰三角形的周长是9，故选B．9．（3分）（2010•济宁）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（）A．6cm B．cm C．8cm D．cm【解答】解：∵从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，∴剩下的扇形的角度=360°×=240°，∴留下的扇形的弧长==12π，∴圆锥的底面半径r==6cm，∴圆锥的高===3cm．故选B．10．（3分）（2017•无锡一模）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，点P是矩形边上的一个动点，点P从M出发在矩形的边上沿着逆时针方向运动，则当点P沿着矩形的边逆时针旋转一周时，△DMP面积刚好为5cm2的时刻有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，点M是边AB的中点，∴AM=BM=3cm，△ADM=×3×4cm2=6cm2，∵△DMP面积达到5cm2，∴点P可能在AD上有1个点，在AB边上有2个点，在CD边上有1个点，不可能在BC上，∴当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是4次，故选C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）（2017•无锡一模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴3x﹣6≥0，解得x≥2，∴x的取值范围为x≥2．故答案为：x≥2．12．（2分）（2017•无锡一模）无锡阳山，风景如画，粉红的桃花，洁白的梨花，金灿灿的油菜花，引得众多游客流连忘返，据统计今年清明小长假前往阳山踏青赏花游客超过130000人次，把130000用科学记数法表示为 1.3×105．【解答】解：130000=1.3×105，故答案为：1.3×105．13．（2分）（2017•无锡一模）分解因式：4a2﹣b2=（2a+b）（2a﹣b ）．【解答】解：4a 2─b2=（2a）2﹣b2=（2a+b）（2a﹣b ），故答案为：（2a+b）（2a﹣b ）．14．（2分）（2017•无锡一模）反比例函数的图象经过点（﹣1，2），图象上有两个点的坐标为（﹣1，y1），（﹣2，y2），则y1与y2的大小关系为y1＞y2．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=，∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k=（﹣1）×2=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点（﹣1，y1），（﹣2，y2）在反比例函数的图象上，∴y1=2，y2=1，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．15．（2分）（2017•无锡一模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O 作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC=64°．【解答】解：∵∠BOD与∠BCD为所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB为直径，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°，故答案为：64°．16．（2分）（2017•无锡一模）已知直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），则PQ的最小值为2．【解答】解：∵直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），∴PQ==，∴当a=2时，PQ的最小值为2．故答案为：2．17．（2分）（2017•无锡一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD 重叠部分的面积是2﹣2．【解答】解：如图，设CD与AB1交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，=BA•AB1=2，S△ABE=1，∴S△ABB1∴CB1=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCB1=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，∴CO=OB1=2﹣．∴S=OC•OB1=3﹣2，△COB1∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2．18．（2分）（2017•无锡一模）点B（a，5）在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是y=﹣x+5或y=x+5．【解答】解：如图，作BF⊥y轴于F，交CD于G，连接DF．∵∠BGD=∠CGF，∠BDG=∠CFG=90°，∴△BGD∽△CGF，∴=，∴=，∵∠DGF=∠BGC，∴△DGF∽△BGC，∴∠DFG=∠GCB=45°，∴当点C运动时，点D在直线DF上运动，且∠DFB=45°，易知直线DF∥直线y=﹣x，∵F（0，5），∴直线DF的解析式为y=﹣x+5，同法当D′在BC的下方时，点D′在Z直线FD′运动，且∠CFD′=45°，易知D′F∥直线y=x，直线D′F的解析式为y=x+5，故答案为y=﹣x+5或y=x+5．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）（2017•无锡一模）（1）计算：+（2011﹣）0﹣（）﹣1（2）计算：（+）÷．【解答】解：（1）原式=2+1﹣2=2﹣1；（2）原式=•=．20．（8分）（2017•无锡一模）（1）解方程：=1﹣（2）解不等式组：．【解答】解：（1）去分母得2﹣x=x﹣3+1，解得x=2，检验：当x=2时，x﹣3≠0，所以原方程的解为x=2；（2），∵解①得x≤，解②得x＞﹣3，∴﹣3＜x≤．21．（8分）（2017•无锡一模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°，BC=2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC===2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=∴==，==．∴△ABC∽△DEF．22．（7分）（2012•吉林）如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1，2，3，4四个数字）．游戏规则是游戏者每掷一次骰子，棋子按着地一面所示的数字前进相应的格数．例如：若棋子位于A处，游戏者所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A处前进3个方格到达B处．请用画树形图法（或列表法）求掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的有（2，4），（3，3），（4，2），∴掷骰子两次后，棋子恰好由A处前进6个方格到达C处的概率为：．23．（7分）（2017•无锡一模）某校课外兴趣小组在本校学生中开展“感动中国2016年度人物”先进事迹知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A，B，C，D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，划分类别后的数据整理如下表：（1）表中的a=0.3，b=6；（2）根据表中数据，求扇形统计图中类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数；（3）若该校有学生1000名，根据调查结果估计该校学生中类别为D的人数约为多少？【解答】解：（1）问卷调查的总人数是：=100（名），a==0.3，b=100×0.06=6（名），故答案为：0.3，6；（2）类别为B的学生数所对应的扇形圆心角的度数是：360°×0.4=144°；（3）根据题意得：1000×0.06=60（名）．答：该校学生中类别为D的人数约为60名．24．（8分）（2017•无锡一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE=∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD=5，设BF=x，则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得，x=，∴AF==，∴AC=2AF=．25．（8分）（2017•无锡一模）如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP 的度数．【解答】解：（1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，∴四边形APBM是圆内接四边形，∴∠M=180°﹣∠APB=60°，∵∠AOB=2∠M=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠BAC=60°，∴∠OBC=90°，∴CB是⊙O的切线；同理CA是⊙O的切线；（2）作ON⊥AB于N，连接OG，当O，P，G在一条直线上时，PG最小，∵AB=6，∴BN=3，∴OB=2，∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB=，∴∠OGB=60°，OG=4，∴PG=4﹣2，此时，∠BGP=60°．26．（10分）（2017•无锡一模）虽然近几年无锡市政府加大了太湖水治污力度，但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷，使部分太湖水域水质恶化，富营养化不断加剧．为了保护水资源，我市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；（2）记该用户六月份用水量为x吨，缴纳水费为y元，试列出y关于x的函数关系式；（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．【解答】解：（1）∵18＜m，∴此时前面10吨每吨收1.5元，后面8吨每吨收2元，10×1.5+（18﹣10）×2=31，（2）①当x≤10时，y=1.5x，②当10＜x≤m时，y=10×1.5+（x﹣10）×2=2x﹣5，③当x＞m时，y=10×1.5+（m﹣10）×2+（x﹣m）×3=3x﹣m﹣5，∴（3）∵10≤m≤50，∴当用水量为40吨时就有可能是按照第二和第三两种方式收费，①当40≤m≤50时，此时选择第二种方案，费用=2×40﹣5=75，符合题意，②当10≤m＜40时，此时选择第三种方案，费用=3x﹣m﹣5，则：70≤3x﹣m﹣5≤90，∴25≤m≤45，∴此状况下25≤m≤45，综合①、②可得m的取值范围为：25≤m≤50．27．（10分）（2017•无锡一模）如图，A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过点D．（1）若该抛物线经过原点O，且a=﹣，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点P（m，n）在抛物线上，且∠POB锐角，满足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范围．【解答】解：（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F．∵∠ABD=90°，∴∠DBF+∠ABO=90°．又∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠OAB．由旋转的性质可知AB=BD．在△AOB和△BFD中，∴△AOB≌△BFD．∴DF=OB=1，AO=BF=2．∴D（3，1）．把点D和点O的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=，c=0．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x．（2）如图2所示：∵点A（0，2），B（1，0），C为线段AB的中点，∴C（，1）．∵C、D两点的纵坐标为1，∴CD∥x轴．∴∠BCD=∠ABD．∴当∠POB=∠BAO时，恰好∠POB+∠BCD=90°．设点P的坐标为（m，﹣m2+m）．当点P在x轴上且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO=，即=，解得：m=或m=0（舍去）．当点P位于x轴的下方，点P′处时，且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO=，即=，解得：m=或m=0（舍去）．由图形可知：当点P在抛物线上P与P′之间移动时，∠POB+∠BCD＜90°，∴m的取值范围是：＜m＜．28．（10分）（2017•无锡一模）（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE=CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα=，CD=5，AD=12，求BD的长．【解答】解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=CD；（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD=AE=3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE==3，∴∠EDA=45°，∵∠ADC=45°，∴∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°，∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠CAB=90°，∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，∵AE=AD，AC=AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC=BD，在Rt△DCE中，EC===，∴BD=EC=；（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE=90°，∠EDA=∠ABC，连接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，在△DCE中，∠ADC=∠ACB，∠EDA=∠ABC，∴∠EDC=90°，∵，AD=12，∴AE=9，∠DAE=90°，∴DE==15，CE==5，由△EAC∽△DAB，∴BD=．参与本试卷答题和审题的老师有：sdwdmahongye；算术；蓝月梦；HLing；2300680618；CJX；zhjh；弯弯的小河；三界无我；zjx111；haoyujun；家有儿女；gsls；gbl210；ZJX；zhangCF；HJJ；zcx；sks；fxx；知足长乐；王学峰；梁宝华；tcm123（排名不分先后）菁优网2017年5月25日。