第三章单纯形

显然， 。 此 X D 。证完
b X 0
说明 X 满足 LP 问题的约束条件，因
线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是
X的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证明： （1）必要性，由基可行解的定义知。 （2）充分性，若向量P1 , P2 , , Pk 线性独立，则 必有， k m ；当k m 时，他们恰构成一个基， 从而 X ( x1 , x 2, , x k ,0, ,0) 为相应的基可
判别结果 0 时，则 B 为最优基，基本可 0 时，则 B 为最优基，基本
B 1b B 1b 1 C 就是最优解， B B b 就 可 行 解 行解 0 0 就是最优解，
是最优值。 C B B 1 b 就是最优值。 当 0 ， 又存在某个非基变量的检 验数为零，则 LP 问题有无穷多解。 当 0 ，又存在某个非基变量 k 0 的检验数为零，则 LP 问题有无 当检验数中某一个分量 同时 穷多解。 k 0 B 1 Pk 0 当检验数中某一个分量 有 ，则原问题无界。 同时有 界。
五、 LP问题的几何意义（单纯形表的数学原理）
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是的正分量 所对应的系数列向量线性无关。 X是基本可行解的充分必要条件是X是可行域D的顶点 一个标准的LP问题，若有可行解，则至少有一个基本可行 解 一个标准的LP问题，若有有限的最优值，则一定存在一个 基本可行解是最优解。
这里我们假设 bi 0 ( i =பைடு நூலகம்1,2,·,m),否则两端 · · 同时乘以“-1”。
简记为：
min Z c j x j
j 1 n
s.t.
a
j 1
n
ij
x j bi i 1,2, m j 1,2,, n
x j 0,
用矩阵表示为
min Z CX s.t. AX b X 0
0
B 1b 0
值。 当
时，则 B 为最优基，基本可行解 就是最优解，
0
时，则 B 为最优基，基本可行 就是最优解，
C B B 1
就是最优
B 1b 解 0
最优值。 当
C B B 1
就是
0
又存在某个非基变量的检验数为
a 其中，ij , bi ， j 是已知数， x j 是待决策的变量。
c
c 1 x1 c n x n 称为目标函数(Objective function), c j 称为
价值系数(Cost Coefficient),向量C (c1 , c 2 , c n ) 称为价值
a 向量。由系数 ij 组成的矩阵，
m 在某个定点上达到。虽然顶点数目是有限的（不多于 C n
个） ，若采取“枚举法”找所有的基可行解，然后一一比 较，最终可以找到最优解。 但当 m, n 较大时这种方法是行 不通的，如何有效的找到最优解，这就是单纯形法。
六、单纯形法(Simplex method)
由以上定理可知，最优解一定在某一基本可行解处达到。 因此单纯形法的基本思想是：先找一个基本可行解，然 后判断它是否为最优解，如不是，就找一个更好的基本 可行解，再进行判断，如此迭代进行，直到找到最优解 或者判断该问题无界。
二、线性规划问题的标准行式是什么？ 如何将一个LP问题的一般形式转换为 标准形式？
(1)、这里规定的标准形式为：
Min Z c1 x 1 c 2 x 2 c n x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
用列向量表示为：
m in Z CX
a1j a 2j Pj a mj
x
j 1
n
j
Pj b
X 0
（2）为了把一般形式的LP变换为标准形式， 必须消除其不等式约束和符号无限制变量。 目标函数的转换 约束条件的转换 变量的非负约束的转换 任何形式的线性规划数学模型都可以转换 成标准型的线性规划
行解。当 k m 时，则一定可以从其余的基向量中
mk
个与
P1 , P2 , , Pk
构成最大的线性独立向 ，所以根据定义它是基
X 量组，其对应的解恰为 可行解。
X是基本可行解的充分必要条件是X是可 行域D的顶点
X X 证明：充分性。设 是 D 的顶点，则 满足约 k X 束条件，X 是一可行解，仍设 的前 个 分量取正值。即
X ( x1 , x 2, , x k ,0, ,0)
。则其正分量
对应的系数列向量P1 , P2 , , Pk 一定线性无
X 关。从而，由定理 2 知
为基本可行解。
这一部分是线性规划部分的基本定理，也是单纯形法求解 LP 问题的数学原理。 通过这一部分的学习， 一定要清楚线 性规划问题的可行解、基可行解、最优解的几何意义。即 线性规划问题的所有可行解构成的集合是凸集，也可能为 无界域，他们有有限个顶点，线性规划问题的每个基可行 解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，则
解：令 x3 = x4 - x5 , x4 , x5 0 , (1)式左端加上非 负松弛变量 x6 , (2)式左端减去非负剩余变量 x7 , 则可将上 述线性规划问题化成如下的标准型:
Min Z x1 2 x 2 3x 4 3x5 0 x6 0 x7 x1 x2 x 4 x5 x6 7 x x x x x 2 1 2 4 5 7 3x1 x 2 2 x 4 2 x5 5 x1 , x 2 , , x7 0
第三章
线性规划的一般求解方法 ——单纯形法
一、线性规划问题的一般形式
max( min）Z c1 x1 c n x n 或 （或 ， ）bi ai1 xi1 ai 2 xi 2 ain xin i 1,2, , m x j1 , x j2 , x jk 0
B 1b x 0 ，称这一解为相应于 B 的基本解。
当 B 1b 0 时，称基本解为基本可行解。这是对 应的基 B 称为可行基。由此可知；基的数目最多
m m 为 C n 个，基解的数目最多也为 C n 个，一般基本
可行解的数目要小于基解的数目。
基本解、基本可行解的几何解释
若线性规划问题存在可行域，则其可行域D是凸集
证明：只需证明 D 上的任意两点为端点的线段 上的点全部属于 D。 对 于 任 意 给 定 的 0,1 ， 令
X X 1 (1 ) X 2
则
AX AX 1 (1 ) AX
2
b (1 )b
可行解：满足约束条件 X 0 最优解：满足约束条件，同时使目标函数值最优。 基础解：满足 AX b, 且非零分量的数目不大于方程的个数m。 基可行解：是基础解又是可行解。 基最优解：满足约束条件，且无非零分量，或非零分量对应的列 向量现性无关，同时使目标函数值最优。
AX b
解之间的关系
例4: 试将如下线性规划问题化成标准型
Min Z x1 2 x 2 3 x3 x1 x 2 x3 7 x x x 2 1 2 3 3 x1 x 2 2 x3 5 x1 , x 2 0 , x3 无限制 (1 ) (2) (3)

如何得到第一个基本可行解？ 为了得到初始基本可行解，要首先找到初始基本可行基，设B为约 束矩阵的一个m阶子式，如果B非奇异，则矩阵B是一个基， 进一步，若
B b0 ，那么B是初始基本可行基。
1
1．观察法与试验法。2.大M法。3.两阶段法
B 1 b 0 就是初始基本可行解。找初始基本可行基的方法如下
0
，又存在某个非基变量的
零，则 LP 问题有无穷多解。 当检验数中某一个分量
k 0
同时有
检验数为零，则 LP 问题有无穷多解。
k 0
当检验数中某一个分量
同时
B 1 Pk 0
，则原问题无界。
有
B 1 Pk 0
，则原问题无界。
检验向量
C C B B 1 A
C C B B 1 A
x j1 , x j2 , x jk 0 称为约束条件(Subject to)。
x jl 0, l 1,, k 称为变量的非负约束条件。其余的变量可取
正值、负值、或零值，称这样的变量为符号无限制变量或自 由变量。
线性规划模型的特征是：一组决策变量 ，一组约束条件。一 个目标函数。目标函数和约束条件都是线性的。
一般情况下 m < n , m , n 为正整数, 分别表示约束条件的个数和决策变量的个数,
由前面一般形式可知,线性规划模型可能有各种不同 的形式。目标函数有实现最大化也有实现最小化的; 约束条件可以是“ ”形式、“”形式不等式,有的 是等式，决策变量有时有非负限制有时没有。
这种多样性给讨论问题代来了不便。为了便于今 后讨论，我们就要规定线性规划问题的标准型
如何判断基本可行解是最优解？
对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、 无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况，
标准型
MaxZ CX AX b X 0, b 0
MinZ CX AX b X 0, b 0
检验向量 判别结果
C B B 1 A C