课后巩固作业(二) 1.1.2

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课后巩固作业（二）
(30分钟 50分)
一、选择题（每小题4分，共16分） 1.下列叙述中正确的个数为( ) ①数列{2}是常数列；
②数列{(-1)n ·1n
}是摆动数列； ③数列{
n
2n 1
+}是递增数列； ④若数列{a n }是递增数列，则数列{
n
1
a }也是递增数列. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2.函数f(n)=()
()n n 12
1+-,当自变量依次取正整数1，2，3，…n 时对应的函数值，
以数列形式表示为( ) (A)-1，1，-1，1 (B)-1，-1，1，1，-1，-1
(C)-1，-1，1，1，-1，-1，…，()n n 11+-() (D)-1，-1，1，1，-1，-1，…，()
()n n 12
1+-
3.已知f(x)=log 2(x 2+7)，a n =f(n)，则{a n }的第5项为( ) (A)5 (B)7 (C)6 (D)8
4.若数列{a n }的通项公式为a n ＝7·(34)2n －2－3·(34
)n －1，则数列{a n }的( )
(A)最大项为a 5，最小项为a 6 (B)最大项为a 6，最小项为a 7 (C)最大项为a 1，最小项为a 6 (D)最大项为a 7，最小项为a 6 二、填空题（每小题4分，共8分）
5.(2011·石狮高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则{a n }中的最大项是第__________项.
6.已知数列{a n }中，a n =n 2+λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.在数列{a n }中，已知a 1＝3，a 7＝15，且{a n }的通项公式是关于项数n 的一次函数.
(1)求此数列的通项公式；
(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的通项公式.
8.(2011·柳州高二检测)数列{a n }中，已知a n =2n n 1
3+-(n ∈N +)，(1)写出a 10，a n+1，
2n a ；(2)792
3
是否是数列中的项？若是，是第几项？
【挑战能力】
(10分)已知数列{a n }满足a n =
1111n 1n 2n 32n
+++⋯++++. (1)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：a n ≥1
2
对一切正整数恒成立.
答案解析
1.【解析】选C.数列{2}为2，2，2，…是常数列；
数列{(-1)n ·1n }，即-1，12，-13，14
，…是摆动数列；
由a n =n 2n 1+=11122n 1-+（）知数列{n
2n 1
+}是递增数列，因此，①②③都正确.
④不正确.例如a n =n-3是递增数列，n=3时，
n
1
a 没有意义. 2.【解析】选D.取n=1,2,3,…,6，可得到6项为-1，-1，1，1，-1，-1.再根据后面取值特点应选D.
3.独具【解题提示】解决本题的关键是首先根据函数的解析式，求得数列的通项公式，然后进行求解即可.
【解析】选A.根据a n =f(n)=log 2(n 2+7)， 故a 5=log 2(52+7)=5.
4.【解析】选C.令t ＝(34
)n －1，n ∈N ＋，则t ∈(0,1]，且(34
)2n －2＝[(34
)n －1]2＝t 2.从而a n ＝7t 2－3t ＝7(t －314)2－928.函数f(t)＝7t 2－3t 在(0,3
14]上是减函数，在[
3
14
，1]上是增函数，所以a 1是最大项，故选C. 独具【方法技巧】借助函数的单调性求数列的最大项和最小项的方法. 首先需要把数列的通项公式转化为对应的函数解析式，此时需要注意定义域的转化；
其次根据函数的特点，判断其单调性，求出函数的最值； 最后根据函数的最值结合定义域的取值求出数列的最值项. 5.【解析】a n ＝－2(n －294)2＋8658
.≨当n ＝7时，a n 最大. 答案：7
6.【解析】由于{a n }是递增数列，所以a n <a n+1,即n 2+λn<(n+1)2+λ(n+1),≨
λ>-2n-1,又n ≥1,≨-2n-1≤-3,≨λ>-3. 答案：（-3，+≦）
7.独具【解题提示】考虑本题的第二问时，需要特别注意，全部的偶数项取出作为新的数列，直接根据第一问的结论，代入2n 即可. 【解析】(1)依题意可设通项公式为a n ＝pn ＋q ， 得p q 37p q 15+=⎧⎨
+=⎩
，解得p 2
q 1=⎧⎨=⎩，
≨{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)依题意b n ＝a 2n ＝2(2n)＋1＝4n ＋1， ≨{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋1.
8.【解析】(1)≧a n =2n n 1
3+-(n ∈N +)，
≨a 10=210101109
33
+-=， a n+1=()()2
2n 1n 11n 3n 13
3
+++-++=
， ()2
2
2242n n n 1n n 1
a 3
3
+-+-=
=.
(2)令22n n 1
7933
+-=，解方程得
n=15,或n=-16
≧n ∈N +，≨n=15，即792
3
为该数列的第15项. 【挑战能力】 【解析】(1)≧a n =1111
n 1n 2n 32n
+++⋯++++, ≨a n+1=
()()()()1111
n 11n 12n 13
2n 1+++⋯++++++++
=
111111n 2n 3n 42n 2n 12n 2
+++⋯++++++++, ≨a n+1-a n =
()
11111
2n 12n 2n 12n 12n 1+-=-
+++++, 又n ∈N +,≨2n+1<2(n+1), ≨a n+1-a n >0,
≨数列{a n }是递增数列.
(2)由（1）知数列{a n }为递增数列， 所以数列{a n }的最小项是a 1=12
, 所以a n ≥a 1=12
.
即a n ≥12
对一切正整数恒成立.。