2020高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时跟踪检测四函数及其表示练习文
2020版高考数学大一轮复习 第二章函数导数及其应用 课时达标理含解析
第4讲 函数及其表示课时达标一、选择题1．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，4－2x≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >1，x ≤2⇒x ∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B ．2．(2019·广州模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A ．21＋x B ．21＋x 2 C ．1－x 21＋x2 D ．1－x 1＋xA 解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，即f (x )＝21＋x.故选A ．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f x －＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1D 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1π＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝12＋1－12＝1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 12 3，则f (f (a ))＝( )A ．12 B ．2 C ．3D ．－2A 解析 －1<a ＝log 123<0，则f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.5．(2019·福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 019)＝ ( )A ．0B ．1C ．2 019D ．2 020D 解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 019)＝2 020.6．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn xD 解析 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C 项．故选D ．二、填空题7．若函数f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝fx －x －的定义域是________．解析 因为y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x ＋1≤4，即f (x )的定义域是[－1,4]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x －1≤4x －1>0，x －1≠1，解得1<x <2或2<x ≤52.答案 (1,2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，x 12 ，x >0，若f (a )>3，则a 的取值范围是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a－1>3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 12 >3，解得a >9.答案 (9，＋∞)9．(2019·常州中学月考)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．答案 [0,3)三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图所示．11．(2019·巴蜀中学期中)已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解析 (1)由已知条件可得g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2，－1＜x ＜1.12．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域．解析 (1)因为f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)，所以n ＝1＋m ＋n ，m ＝－1，f (x )＝x2－x ＋n .因为方程x ＝f (x )有两个相等的实数根，所以方程x ＝x 2－x ＋n 有两个相等的实数根，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4n ＝0，所以n ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，所以当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋1＝34，f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，所以当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，7.13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________；(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝________.解析 (1)因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0，所以f x f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1(x ≠±1)，所以f f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.(2)因为f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，…，f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝0，所以f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＝0.答案 (1)－1 (2)0第5讲 函数的单调性与最值课时达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C 解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3－x 为减函数．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A 解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2019·烟台九中期末)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1B 解析 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即m ＝－2.4．(2019·南昌二中月考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a －4a ≥3得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.5．(2019·黄石二中期中)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C 解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D 解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D ．二、填空题 7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，所以a ＋b ＝6.答案 68．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)．答案 [3，＋∞)9．已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12 t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2≤1，g，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 三、解答题 10．已知函数f (x )＝x ＋2x. (1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2,8]上的最大值和最小值．解析 (1)定义域为{x |x ≠0}．又f (x )＝1＋2x，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x2＝2x 1－2x 2＝x 2－x 1x 1x 2.又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2,8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.11．(2019·福州一中期中)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减 ，求a 的取值范围． 解析 (1)证明：任取x 1＜x 2＜－2，则作差可得f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x1－x 2x 1＋2x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析 (1)证明：当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 2x 1x 2－2x 1x 2.因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，所以2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．13．[选做题]已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解析 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第6讲 函数的奇偶性与周期性课时达标一、选择题1．下列函数是奇函数的是( )A ．f (x )＝x |x |B ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1A 解析 对于B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数；对于C 项，f (－x )＝2－x＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数；对于D 项，f (x )＝x 3－1的定义域为R ，但图象不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数．只有A 项满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7A 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17.故选A ．3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98A 解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.4．(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数B 解析 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B ．5．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1B ．45C ．－1D ．－45C 解析 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为 4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245 ＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1.故选C ．6．(2019·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ A 解析 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.二、填空题7．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ＞0，4－2－x，x ＜0，则实数a ＝________.解析 因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4.答案 －48．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 9．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种叙述：①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________．解析 由f (x )＋f (x ＋2)＝0得f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即4是f (x )的一个周期，8也是f (x )的一个周期，由f (4－x )＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称；由f (4－x )＝f (x )与f (x ＋4)＝f (x )得f (4－x )＝f (－x )，f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．答案 ①②③ 三、解答题10．(2019·临川一中期中)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)＞－2.解析 (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，0，x ＝0， log 12－x ，x ＜0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以当x 2－1≠0时，0＜|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5且x ≠±1，当x 2－1＝0即x ＝±1时，f (x 2－1)＝0＞－2.综上，不等式的解集为(－5，5)．11．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析 (1)因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解析 (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数，证明如下：f (x )定义域关于原点对称，令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，所以x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．13．[选做题](2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足等式f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为( ) A ．8 B ．－8 C ．4D ．－4B 解析 因为f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，所以f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4.又因为f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，所以|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0.设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4，则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.第7讲 二次函数与幂函数课时达标一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k 2·x a ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋a ＝( )A ．12B ．－32C ．12或－32D ．2C 解析 因为f (x )＝k 2·xa ＋1是幂函数，所以k 2＝1，所以k ＝±1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1＝22，所以a ＋1＝12，所以a ＝－12，所以k ＋a ＝±1－12＝－32或12.2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的符号为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0B 解析 由题意知抛物线开口向下，故a <0.由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧得c a <0，所以c >0.再由顶点在第一象限得－b2a>0，所以b >0.3．若a ＝2－32 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cC 解析 a ＝2－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且25＜12＜22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫253＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123＜⎝⎛⎭⎪⎫223，即b ＜c ＜a . 4．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为( ) A ．5 B ．6C ．8D ．与a ，b 的值有关A 解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋32＝1对称，则f (2)＝f (0)＝5.故选A ．5．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．(－∞，3]C ．[0，＋∞)D ．[3，＋∞)D 解析 设f (x )＝x 2＋2x －a (x ∈[－2,1])，其对称轴为x ＝－1，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值3－a ，所以3－a ≤0，解得a ≥3.故选D ．6．(2019·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}C 解析 因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当a ≥1时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 12 ，且f (2x －1)<f (3x )，则x 的取值范围是________． 解析 f (x )＝x 12 在[0，＋∞)上是单调递增的，且f (2x －1)<f (3x )，则0≤2x －1<3x ，所以x ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 8．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1(a ＞0)，又其图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a ＝12，所以f (x )＝12(x －2)2－1.答案 f (x )＝12(x －2)2－19．(2019·河北师大附中期中)若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上单调递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上单调递减，只需对称轴x ＝1m≤－1且m ＜0，解得－1≤m ＜0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．答案 [－1,0] 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数．解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，因为x ∈[－4，6]，所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．11．(2019·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为g (2)，最小值g (－1)，求实数k 的取值范围．解析 (1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4h a＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x .所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．12．已知幂函数f (x )＝(－2m 2＋m ＋2)x m ＋1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )＋ax ＋3－a ≥0在区间[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)由f (x )为幂函数知－2m 2＋m ＋2＝1，得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，f (x )＝x 2，符合题意；当m ＝－12时，f (x )＝x 12 ，不合题意，舍去．所以f (x )＝x 2.(2)h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令h (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，g (a )＝h (－2)＝7－3a ≥0，所以a ≤73.又a ＞4，所以a 不存在；②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，所以－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2；③当－a2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝h (2)＝7＋a ≥0，所以a ≥－7.又a ＜－4，所以－7≤a＜－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．13．[选做题](2019·襄阳五中期中)已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a ＞c ＞b ＞dB ．a ＞b ＞c ＞dC ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞dD 解析 因为f (x )＝2 019－(x －a )(x －b )，所以f (a )＝f (b )＝2 019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d .故选D ．第8讲 指数与指数函数课时达标一、选择题1．化简2c 3a 481a 5b216c4(a ＞0，c ＜0)的结果为( )A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D ．ab 2B 解析 原式＝2c 3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫81a 5b 216c 414 ＝2c 3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 5b 224c 414 ＝2c 3a ·3a 54 b 12 －2c ＝－a 14 b 12 ＝－4ab 2.故选B ．2．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >cC 解析 b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5＝2－2.5，则2－2.5<1<22.5，即c <b <a .3．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )B 解析 |f (x )|＝|2x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，32.又|f (x )|≥0，所以B 项正确．故选B ． 4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)C 解析 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C ．5．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数B 解析 由f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )知f (x )为奇函数，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，又y ＝3x 在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R上是增函数．故选B ．6．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．(－4,3) C ．(－1,2)D ．(－3,4)C 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.故选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)>f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a>1，解得0<a <1.答案 (0,1)8．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析 由已知得3b ＝a ＋6，则2a ＋18b ＝2a ＋123b ＝2a＋12a ·26≥2·126＝14. 答案 149．已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．解析 当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．答案 (0,1)∪(2，＋∞) 三、解答题10．化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13 b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋(0.002)－12 －10×(5－2)－1＋(2－3)0. 解析 (1)原式＝a 3b 2a 13b 23 12 ab 2a －13 b 13＝a 32 ＋16 ＋13 －1b 1＋13 －2－13 ＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12 －105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723 ＋50012 －10×(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.11．(2019·巴蜀中学月考)已知f (x )＝11＋412 －x. (1)求f (x )＋f (1－x )的值； (2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001的值．解析 (1)因为f (x )＝11＋412 －x ＝11＋2×4－x ＝4x 4x ＋2＝4x＋2－24x ＋2＝1－24x＋2，f (1－x )＝11＋412－－x＝11＋4x·12＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫41 001＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0001 001＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫21 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9991 001＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5001 001＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5011 001＝500.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解析 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，所以原不等式等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为{t ⎪⎪⎪⎭⎬⎫t >1或t <－13. 13．[选做题](2019·海口中学期中)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是()B 解析 由题意可得f (x )＝2x－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，3－x ，x ＜1，所以f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，2－x ，x ＜0，则大致图象为B 项．第9讲 对数与对数函数课时达标一、选择题 1．函数y ＝x ＋x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) C 解析 要使x ＋x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x ∈(－1,1)∪(1，＋∞)．2．若0<x <1，则下列结论正确的是( ) A ．x >2x>lg x B ．2x>lg x >x C ．2x>x >lg xD ．lg x >x >2xC 解析 因为0<x <1，所以2x>1,0<x <1，lg x <0，所以2x >x >lg x ．故选C ． 3．(2019·武汉二中月考)已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )B 解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 项正确．故选B ．4．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D 解析 由已知得lg M N＝lg M －lg N ＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与M N最接近的是1093.5．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 解析 由已知得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2.又lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝2(lg a －lg b )2＝2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×⎝⎛⎭⎪⎫22－4×12＝2×2＝4.故选B ．6．若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ C 解析 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝________. 解析 f (f (－4))＝f (24)＝log 416＝2，因为log 216<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2－log 216 ＝2log 26＝6，即f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.答案 88.2－lg 9＋127＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2＝________.解析 原式＝－2·32－1＋－－1＋＝32－lg 3－1＝－32.答案 －329．(2019·武汉调研联考)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析 当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min＝log a(8－2a )＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧8－2a ＞a ，8－2a ＞0，8－a ＞0，a ＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，⎩⎪⎨⎪⎧8－a ＜a ，8－2a ＞0，8－a ＞0，0＜a ＜1，，故这样的a 不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求f (x )>0的解集．解析 (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，以a 为底的对数函数是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的解集是(0,1)．11．函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，都有f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围；(2)在(1)的结论下，求f (x )的单调递增区间．解析 (1)令u ＝2x 2＋x ，f (x )＝y ＝log a u ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，u ∈(0,1)，因为y ＝log a u >0，所以0<a <1.故a 的取值范围为(0,1)．(2)由2x 2＋x >0可得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，因为0<a <1，所以y ＝log a u 为减函数，而u ＝2x 2＋x 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝log a (2x 2＋x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.12．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解析 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又因为x ∈[2,8]，所以a ∈(0,1)．因为f (x )是关于log a x 的二次函数，所以函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得，若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，所以a ＝12. 13．[选做题](2019·西工大附中期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，x ∈[0，π，log 2 019x π，x ∈[π，＋，若存在三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析 当x ∈[0，π)时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x ，所以f (x )在(0，π)上关于x ＝π2对称，且f (x )max ＝1；又当x ∈[π，＋∞)时，f (x )＝log 2 019xπ是增函数，作出y ＝f (x )的函数图象如图所示．令log 2 019xπ＝1得x ＝2 019π，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以a ＋b ＝π，c ∈(π，2 019π)，所以a ＋b ＋c ＝π＋c ∈(2π，2 020π)．答案 (2π，2 020π)第10讲 函数的图象课时达标一、选择题1．(2019·山西大学附中月考)要得到g (x )＝log 2 (2x )的图象，只需将函数f (x )＝log 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位C 解析 因为log 2(2x )＝1＋log 2x ＝g (x )，所以要得到g (x )的图象只需将y ＝f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位．2．函数f (x )＝e 2x＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称D 解析 因为f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，所以f (－x )＝e －x ＋e x＝f (x )，所以f (x )＝e 2x＋1e x 为偶函数，所以f (x )＝e 2x＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ．3．(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )D 解析 易知函数y ＝2|x |sin 2x 是奇函数，故可排除A ，B 项；又当x ∈(0，π)时，sin 2x 的值有正有负，2|x |恒为正，排除C 项．故选D ．4．(2019·安徽滁州质检)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )D 解析 由f (x )－f (－x )＝0得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．5．已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)C 解析 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)．故选C ．6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D 解析 因为f (x )为奇函数，所以不等式f x －f －x x <0可化为f xx<0，f (x )的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．二、填空题7．若函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．解析 首先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.答案 [－1,0)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个根，则0<a ≤1.答案 (0,1]9．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.答案 0 三、解答题10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.。
2020版高考数学人教版理科一轮复习第二章函数_导数及其应用配套资料课时作业6 (7)
A．甲是图①，乙是图② B．甲是图①，乙是图④ C．甲是图③，乙是图② D．甲是图③，乙是图④
解析：由题知速度 v＝st反映在图象上为某段图象所在直线 的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图 ①符合，乙与图④符合．
2．函数 y＝logax 与函数 y＝log1 x 的图象关于直线 y＝0 对称． a 解析：y＝log1 x＝－logax，故两个函数图象关于 x 轴，即 a
【解】 (1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}． y＝2x＋－1x＝－1＋x＋3 1，因此由 y＝3x的图象向左平移 1 个单位 长度，再向下平移 1 个单位长度即可得到函数 y＝2x＋－1x的图象， 如图(1)所示．
(2)先作出 y＝12x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于 y 轴 的对称图象，再将整个图象向左平移 1 个单位长度，即得到
识图的三种常用方法
1．(方向 1)函数 y＝x－1xsinx 的图象大致是( D )
解析：当 x＝1 时，y＝0，即函数图象过点(1,0)，由选项中图 象可知，只有 D 符合．
2．(方向 2)函数 f(x)＝(1＋2 ex－1)cosx 的图象的大致形状是( B )
解析：∵f(x)＝(1＋2 ex－1)cosx，∴f(－x)＝(1＋2e－x－1)cos(－ x)＝－(1＋2 ex－1)cosx＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数，其图象关于 原点对称，可排除选项 A，C，又当 x∈(0，π2)时，ex>e0＝1，1＋2 ex －1<0，cosx>0，∴f(x)<0，可排除选项 D，故选 B.
所示，那么不等式cfoxsx<0 的解集为 －π2，－1∪1，π2 .
(2)(2019·贵州省贵阳模拟)已知函数 f(x)＝x－2x1，则下列结论正确的
2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2讲课后作业理含解析
第2章 函数、导数及其应用 第2讲A 组 基础关1．下列函数中，满足“对任意1，2∈(0，＋∞)，当1<2时，都有f (1)>f (2)”的是( ) A ．f ()＝1xB ．f ()＝(－1)2C ．f ()＝eD ．f ()＝ln (＋1) 答案 A解析 由已知得，所选函数在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 中的函数满足要求． 2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－3＋1的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 答案 B解析 令μ＝22－3＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18，因为μ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13μ在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－3＋1在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增．3．已知f ()在R 上是减函数，a ，b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 答案 D解析 a ＋b ≤0可转化为a ≤－b 或b ≤－a ，由于函数f ()在R 上是减函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，两式相加得f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．4．设函数f ()＝⎩⎨⎧a －3x，x ≤0，2x ＋1，x >0，若函数f ()有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)答案 A解析 当≤0时，f ()＝a －3单调递减，其最小值为f (0)＝a －1，当>0时，f ()＝2＋1单调递增，f ()>1，无最小值，要使函数f ()在R 上有最小值，则必有a －1≤1，即a ≤2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2]．5．函数y ＝log a (2－a )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 答案 C解析 题中隐含a >0，∴2－a 在区间[0,1]上是减函数．∴y ＝log a u 应为增函数，且u ＝2－a 在区间[0,1]上应恒大于零，∴⎩⎨⎧a >1，2－a >0，∴1<a <2.6．已知函数y ＝f ()是R 上的偶函数，当1，2∈(0，＋∞)，1≠2时，都有(1－2)[f (1)－f (2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝lnπ，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案 C解析 由题意可知f ()在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．7．已知p ：函数f ()＝|＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g ()＝log a (＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 函数f ()＝|＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则－a ≥－1，即a ≤1.函数g ()＝log a (＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则a >1，则綈p ：a >1，q ：a >1，则綈p 成立是q 成立的充要条件．8．函数y ＝log 12 |－3|的单调递减区间是________．答案 (3，＋∞)解析 令u ＝|－3|，则在(－∞，3)上u 为的减函数，在(3，＋∞)上u 为的增函数． 又∵0<12<1，y ＝log 12 u 是减函数，∴在区间(3，＋∞)上，y 为的减函数．9．已知函数f ()＝ln ＋，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是______． 答案 (3，＋∞)解析 ∵函数f ()＝ln ＋的定义域为(0，＋∞)，且为单调递增函数，∴f (a 2－a )>f (a ＋3)同解于⎩⎨⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得a >3.所以a 的取值范围是(3，＋∞)． 10．已知函数f ()＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1,4]解析 由题意可得4－m ≥0，∈(0,1]恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x min ＝4.当0<m ≤4时，4－m单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4.当m <0时，4－m 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1,4]．B 组 能力关1．(2019·安徽合肥模拟)若2＋5y ≤2－y ＋5－，则有( ) A ．＋y ≥0 B ．＋y ≤0 C ．－y ≤0 D ．－y ≥0答案 B解析 原不等式可化为2－5－≤2－y －5y ，记函数f ()＝2－5－，则原不等式可化为f ()≤f (－y )．又因为函数f ()在R 上单调递增，所以≤－y ，即＋y ≤0.2．(2018·河南天一大联考)已知函数f ()＝⎩⎨⎧log a x ，x >3，mx ＋8，x ≤3.若f (2)＝4，且函数f ()存在最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，3] B ．(1,2] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 D ．[3，＋∞)答案 A解析 因为f (2)＝2m ＋8＝4，所以m ＝－2，所以当≤3时，f ()＝－2＋8.此时f ()≥f (3)＝2.因为函数f ()存在最小值，所以当>3时，f ()单调递增，且log a 3≥2，所以⎩⎨⎧a >1，log a 3≥log a a 2，即⎩⎨⎧a >1，a 2≤3，解得a ∈(1，3]．3．(2018·潍坊模拟)设函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f ()在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析 作出函数f ()的图象如图所示，由图象可知f ()在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.4．已知函数f ()＝1a －1x(a >0，>0)．(1)求证：f ()在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)证明：任取1>2>0， 则f (1)－f (2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵1>2>0，∴1－2>0，12>0， ∴f (1)－f (2)>0，即f (1)>f (2)， ∴f ()在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.5．已知函数f ()＝a 2－2＋1.(1)当∈[1,2]时，f ()>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数g ()＝|f ()|(a ≥0)在[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当∈[1,2]时，a 2－2＋1>0恒成立，所以当∈[1,2]时，a >－1x 2＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12＋1恒成立，又－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1在∈[1,2]上的最大值为1，所以a >1.(2)当a ＝0时，g ()＝|2－1|在[1,2]上是增函数， 当a >0时，g ()＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a ，①若1－1a ≥0，即a ≥1时，1a≤1，g ()＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a 在[1,2]上是增函数； ②若1－1a<0，即0<a <1时，设方程f ()＝0的两根为1，2且1<2，此时g ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1，1a 和[2，＋∞)上是增函数．a ．若[1,2]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1，1a ，则⎩⎨⎧1a≥2，f 1a －1≤0，解得0<a ≤12；b ．若[1,2]⊆[2，＋∞)，则⎩⎨⎧1a <1，f 1a －1≥0，解得a >1，无解， 综上所述，0≤a ≤12或a ≥1.。
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.7函数的图象课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.7函数的图象课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜0，2x－1，x ≥0的图象大致是( )解析：当x ＜0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.答案：B 2．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.答案：B3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x的图象上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解析：y ＝2x ―――――――――――――――――→ 向右平移3个单位长度 y ＝2x －3―――――――――――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y ＝2x －3－1. 答案：A4．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析：由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x ＜1时，y＜0；当x ＞1时，y ＞0，故选B.答案：B5．下列函数f (x )的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B ；在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜f (3)，排除C ，选D.答案：D6．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析：要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象做关于x 轴的对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．答案：C7.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.答案：A8．(xx 届河南濮阳检测)函数f (x )＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④解析：取a ＝0，可知④正确；取a ＝－4，可知③正确；取a ＝1，可知②正确；无论a 取何值都无法作出图象①，故选C.答案：C9．已知函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f (x )＋f (－x )＝0，当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )解析：由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数，排除C 、D ；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0，排除B.故选A. 答案：A10．若函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )的部分图象如图所示，则b ＝________.解析：由图象可知二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且g (1)＝g (3)＝0，g (2)＝－1，所以解得b ＝－4.答案：－411．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________． 解析：解法一：函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．解法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)． 答案：(4,4)12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示． 由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．[能 力 提 升]1．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a有两个不同实根，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，f (x )是周期函数，且周期为1. 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：A2．(xx 届河北衡水中学三模)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：由于f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，而g (x )＝1－e x1＋e x 是奇函数，h (x )＝cos x 是偶函数，所以f (x )是奇函数，图象应关于原点对称，据此排除选项A 、C ；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，1－e x1＋e x ＜0，cos x ＞0，从而必有f (x )＜0，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，函数图象应该位于x 轴下方，据此排除选项D ，故选B.答案：B3．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(xx 届山东泰安模拟)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2x ，若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点，则a 的取值范围是________． 解析：由对数函数以及三角函数的图象，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f 9＞1，f 5＜1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，f 7＜－1，f 3＞－1，解得5＜a ＜9或17＜a ＜13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫17，13∪(5,9)2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.8函数与方程课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝ B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.答案：B2．(xx 届豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．答案：A3．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：∵y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln 2－2＜ln e －2＜0，f (3)＝ln 3＞0. ∴零点在区间(2,3)上，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0解析：解法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x＝e.因此函数f (x )共有2个零点． 解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 答案：B5．(xx 届郑州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.答案：C6．(xx 届天津耀平质检)已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，g (x )＝2x·log 2x ＋1，h (x )＝2x·log 2x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：f (x )＝2x＋log 2x ＝0可得log 2x ＝－2x.g (x )＝2x ·log 2x ＋1＝0可得log 2x ＝－2－x . h (x )＝2x ·log 2x －1＝0可得log 2x ＝2－x .∵函数f (x )＝2x＋log 2x ，g (x )＝2x·log 2x ＋1，h (x )＝2x ·log 2x －1的零点分别为a ，b ，c ，∴a <b <c .故选A. 答案：A7．设x 0是函数f (x )＝2x－|log 2x |－1的一个零点，若a ＞x 0，则f (a )满足( ) A ．f (a )＞0 B ．f (a )＜0 C ．f (a )≥0D ．f (a )≤0解析：当x ＞1时，f (x )＝2x－log 2x －1，易证2x＞x ＋1＞x .又函数y ＝2x的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以2x＞x ＋1＞x ＞log 2x ，从而f (x )＞0.故若a ＞1，有f (a )＞0；若0＜a ≤1，因为当0＜x ≤1时，f (x )＝2x ＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＜0，所以x 0是f (x )唯一的零点，且0＜x 0＜1，所以f (a )＞0，故选A.答案：A8．函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(a ，b )，则a 所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：在同一坐标系中画出两函数图象，如下图所示．故选B. 答案：B9．(xx 届唐山市五校联考摸底考试)奇函数f (x )，偶函数g (x )图象如图(1)，(2)所示，函数f [g (x )]，g [f (x )]的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14图1图2解析：由图可知f (±1)＝0，f (0)＝0，而当g (x )＝1时，有两个解；g (x )＝－1时，有两个解；g (x )＝0时，有3个解，∴m ＝7，同理n ＝3，∴m ＋n ＝10，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：311．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)12．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0＜a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1.∴无解．②当－1＜－12a ＜0，即a ＞12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．[能 力 提 升]1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋1，x ＜0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋1，x ＜0的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即有a ＜1，故选C.答案：C2．(xx 届江西赣州十四县(市)期中联考)方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：由方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＋2x ≥214＝1，a 的最小值为1，故选C.答案：C3．(xx 届山东实验中学模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (4－x )＝f (x )，且x∈(－1,3]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋cos πx 2，1＜x ≤3，x 2，－1＜x ≤1，则g (x )＝f (x )－lg|x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20 解析：因为f (x )＝f (－x )，f (4－x )＝f (x )，所以f (4－x )＝f (－x )，即f (x )是周期为4的周期函数．只需考虑x ∈(0，＋∞)上y ＝f (x )与y ＝lg x 的交点个数，根据周期性画出函数y ＝f (x )，y ＝lg x (x ＞0)的图象，如图所示，y ＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，当x ＝10时，lg 10＝1，∴当x ＞10时，y ＝lg x 与y ＝f (x )无交点．由图象知，在第一个周期x ∈(0,4]上有3个交点，第二个周期x ∈(4,8]上有4个交点，第三个周期x ∈(8,12]上有2个交点，在(12，＋∞)上没有交点，故在(0，＋∞)上有9个交点，由于g (x )也是偶函数，所以零点个数一共有18个，故选C.答案：C4．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＞0，f 1＜0，f 2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＞0，a ＋2b ＜－1，a ＋b ＞－2. 根据该约束条件作出可行域(如图)，b －2a －1表示可行域内点与点(1,2)的连线的斜率，可知14＜b －2a －1＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1。
高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时跟踪检测四函数及其表示
课时跟踪检测(四) 函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74 B.74C.43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2017·黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：选A f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.4．已知f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， ∴f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2B ．2C ．－2或2 D. 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2017·长沙四校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：选C ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. 3．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．4．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3]D ．[0,1)∪(1,9]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x <1，选B.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 6．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1， ∴f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：148．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]9．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－34解析：选B 当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…。
2020年高考数学第一轮复习-听课答案-第二单元-函数、导数及其应用
2020年高考数学第一轮复习第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=[解析] D y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[解析] C因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,所以f(-2)+f(log212)=9,故选C.3.[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.[答案][解析]f(x)=f(x)+f>1,即f>1-f(x),由图像变换可画出y=f与y=1-f(x)的大致图像如图所示:易得两图像的交点为,则由图可知,满足f>1-f的x的取值范围为.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,则a 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=的图像,如图所示.当a=0时,显然f(x)>+a;当a<0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x<-2a部分的图像经过点(0,2)时,a取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向左平移2a个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x>-2a部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=+a在x>-2a部分的图像与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,设切点为P(x0,y0)(x0>1),因为x>1时,f'(x)=1-,则1-=,解得x0=2,所以y0=3,又点P(2,3)在函数y=+a在x>-2a部分的图像上,所以+a=3,解得a=2,因此a的最大值为2.综上所述,a的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f(x)≥+a转化为-f(x)≤+a≤f(x),当x<1时,有-|x|-2≤+a≤|x|+2,即-|x|-2-≤a≤|x|+2-.又∵当x<0时,-|x|-2-=-2<-2,|x|+2-=-+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-=--2≤-2,|x|+2-=+2≥2,∴-2≤a≤2;当x≥1时,有-x-≤+a≤x+,即-x-≤a≤x+,又∵-x-≤-2,x+≥2,∴-2≤a≤2.综上,-2≤a≤2.3.[2016·江苏卷]函数y=的定义域是.[答案][-3,1][解析]令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1[解析]因为f(e)=ln e-2=-1,所以f[f(e)]=f(-1)=-1+a=2a,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数有意义,则8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析]值域C可能为:只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时有{a,b,c}.所以共有7种.5.③[解析]对于③,因为当x=4时,y=×4=∉Q,所以③不是函数.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析]令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)求出函数y=e ln x的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C(2)C[解析](1)函数y=e ln x的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C.(2)由题意得解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2[思路点拨](1)依题意得出-1≤x2-3<1,解之可得定义域;(2)由x∈[-1,2],求得2x的范围为,4,再由≤log2x≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-]∪[,2)(2)[,16][解析](1)由题意知解得所以函数的定义域为(-2,-]∪[,2).(2)由已知x∈[-1,2],得2x∈,4,故f(x)的定义域为,4,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x ≤4,解得≤x≤16,故f(log2x)的定义域为[,16].例3[思路点拨](1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a分类讨论得a的范围;(2)分m等于0和不等于0两种情况分析.(1) B(2)[0,+∞)[解析](1)函数f(x-a)+f(x+a)的定义域为[a,1+a]∩[-a,1-a],当a≥0时,应有a≤1-a,即0≤a≤;当a<0时,应有-a≤1+a,即-≤a<0.所以a的取值范围是-,.故选B.(2)当m=0时,y=,其定义域为R;当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有解得m>0.综上可知,实数m的取值范围为[0,+∞).强化演练1.C[解析]因为函数y=f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-≤x≤2,即y=f(2x-1)的定义域是-,2,故选C.2.A[解析]函数y=f(x)的定义域是[0,2],要使函数g(x)有意义,可得解得0≤x<1,故选A.3.(0,1][解析]函数的定义域满足解得∴0<x≤1,故填(0,1].4.∪[解析]易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax2+x+a>0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a>;当a<0时,必有ax2+x+a<0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a<-.所以实数a的取值范围是-∞,-∪,+∞.5.(-∞,-2]∪[解析]由已知得A={x|x<-1或x≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a)<0},由a<1得a+1>2a,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B⊆A,∴a+1≤-1或2a≥1,∴a≤-2或≤a<1.∴a的取值范围为a ≤-2或≤a<1.例4[思路点拨](1)用换元法,令s=-1(s>-1),求出f(s)即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f(x)和f的方程组.(1)ln (x>-1)(2)x2-x+5(3)--[解析](1)令s=-1(s>-1),则x=,所以f(s)=ln (s>-1),即f(x)=ln (x>-1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=5,得c=5,又f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+5-(ax2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+5.(3)在f(x)=3·f+1中,将x换成,则换成x,得f=3·f(x)+1,将该方程代入已知方程消去f,得f(x)=--.变式题(1)x2-1(x≥1)(2)-x(x+1)(3)lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1)[解析](1)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f(x)=f(x+1)=-x(x+1).(3)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1)①.将x换成-x,则-x换成x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)②.由①②消去f(-x)得,f(x)=lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1).例5[思路点拨](1)先求f(-1),再求f[f(-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)(2)4[解析](1)∵函数f(x)=∴f(-1)=1-2-1=,f[f(-1)]=f==.(2)∵f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,∴f(3)+f(4)=2+log636=4.例6[思路点拨]分别就自变量在不同区间上分类求解.B[解析]因为f(x)=所以若f(a)=2,则当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2,得a=-1.综上a的取值为-1或2.例7[思路点拨](1)分a≤0与a>0讨论求解不等式f(a)>,得a的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D(2)2[解析](1)当a≤0时,2a>,解得-1<a≤0;当a>0时,lo a>,解得0<a<.∴a∈(-1,0]∪0,,即a∈-1,.(2)易知f(4)=0,则f[f(4)]=f(0)=1+a3=,解得a=2.强化演练1.B[解析]∵2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,∴f(2+log32)=f(2+log32+1)=f(3+log32),又3<3+log32<4,∴f(3+log32)==×=×(3-1=×=×=×=,∴f(2+log32)=.2.B[解析]由f(0)=2,f(-1)=3可得1+b=2,a-1+b=3,可得a=,b=1,所以f(x)=那么f[f(-3)]=f+1=f(9)=lo9=-2.3.B[解析]当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-,不符合,舍去.所以a=-1.4.D[解析]∵函数f(x)=且f(a)≥2,∴或即a≤-1或a≥0.5.C[解析]由已知函数和f[f(a)]=2f(a),得f(a)≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a≥,此时≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥0,此时a≥1.综上可知a≥,即a的取值范围是.【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1[配合例2使用]已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为.[答案][-1,5][解析]因为函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,所以-1≤3-2x≤5,所以f(x)的定义域为[-1,5].2[配合例3使用][2017·重庆二诊]设函数f(x)=若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为.[答案][-8,-1][解析]由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f(x)的图像(如图),当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,且f(4)=<2,f(-1)=-1.综上得所求实数m的取值范围为[-8,-1].3[配合例7使用]设函数f(x)=若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是.[答案](-∞,][解析]函数f(x)=的图像如图所示,由f[f(a)]≤2,可得f(a)≥-2.当a<0时,f(a)=a2+a=a+2-≥-2恒成立;当a≥0时,f(a)=-a2≥-2,即a2≤2,得0≤a≤.则实数a的取值范围是a≤.第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)[解析] D函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a[解析] C由函数f(x)为奇函数且在R上单调递增,可知当x>0时,f(x)>0,∴g(x)=xf(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g(3)>a=g(-log25.1)=g(log25.1)>g(2),b=g(20.8)<g(2),∴b<a<c.2.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.3.[2017·山东卷]若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x[解析]A令g(x)=e x f(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=e x2-x=在R上单调递增,所以f(x)具有M 性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=e x x2,g'(x)=e x x2+2e x x=e x(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=e x3-x=在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=e x cos x,g'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A.4.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-siny<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷]已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.[答案][解析]因为f(-x)=-x3+2x+e-x-e x=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1-a).又f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2=3x2≥0,所以f(x)在R上单调递增,则2a2≤1-a,即-1≤a≤.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)≥M f(x0)=M对点演练1.a<[解析]当2a-1<0,即a<时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3][-3,2][解析]由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.[解析]函数f(x)=在[2,5]上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=.所以最大值与最小值之和为1+=.4.a≤2[解析]因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.5.[解析]函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-+,x∈(-1,4)的单调递减区间为,∴函数f(x)的单调递减区间为.6.[解析]由题知函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤,即实数a的取值范围是.7.[-1,1)[解析]由条件知解得-1≤a<1.8.(1)a≤-3(2)-3[解析](1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】例1[思路点拨]直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-==.∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减.变式题C[解析]对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D错.选C.例2[思路点拨](1)先求出函数y=x2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f(x)的单调性;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调区间.(1)D(2)[0,1)[解析](1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g(x)=该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题(1)B(2)(-∞,2][解析](1)令t=2x2-3x+2,则y=,由复合函数的单调性易知在上单调递增,故选B.(2)因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3[思路点拨](1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f(x)-ln x为定值,设为t,则f(x)=ln x+t,求出t,再结合函数的单调性分析可得答案.(1)C(2)c>a>b[解析](1)因为a=log52<log5=,b=>=1,c=log73∈(log7,log77)即c∈,1,故b>c>a.故选C.(2)根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f(x)-ln x为定值,设t=f(x)-ln x,则f(x)=ln x+t.又由f(t)=e+1,即ln t+t=e+1,解得t=e,则f(x)=ln x+e(x>0),则f(x)为增函数.又由==,==,log2π>1,则有<<log2π,则有c>a>b.例4[思路点拨](1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f(x)为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D(2)(1,2)[解析](1)由已知条件知,f(x1)-x1<f(x2)-x2对任意x1<x2恒成立,故函数g(x)=f(x)-x为R上的增函数,且g(-3)=f(-3)-(-3)=-1.不等式f>lo|3x-1|-1,即f(lo|3x-1|)-lo|3x-1|>-1,即g(lo|3x-1|)>g(-3),所以lo|3x-1|>-3,得0<|3x-1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x,y=x3在R上均为增函数,所以函数f(x)为增函数,所以不等式f(x2)<f(3x-2)等价于x2<3x-2,即x2-3x+2<0⇔1<x<2,故x∈(1,2).例5[思路点拨]变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值.4033[解析]f(x)=+2016sin x=+2016sin x=2017-+2016sin x.显然该函数在区间-,上单调递增,故最大值为f,最小值为f-,所以M+N=f+f-=2017-+2016+2017--2016=4034--=4034-1=4033.例6[思路点拨]根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可.D[解析]由题意得解得≤a<3,故选D.强化演练1.B[解析]根据题意可知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.而1<log47<log49=log23,0<0.20.6<0.20=1,所以log23>log47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-,-2)∪(2,)[解析]因为函数f(x)=ln x+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<.3.1[解析]当x>1时,y=lo x是减函数,得y<0;当x≤1时,y=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y≤1.综上得f(x)的最大值是1.4.1[解析]∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,∵函数f(x)=2|x-a|(a∈R)的图像以直线x=a为对称轴,∴a=1,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)在[m,+∞)上单调递增,∴m≥1,则m的最小值为1.5.a≥-[解析]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则函数g(x)=ax2+x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.当a=0时,g(x)=x在(0,1)上单调递增且g(x)>0,符合题意;当a>0时,g(x)图像的对称轴为x=-<0,且有g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图像的对称轴x=-≥1,且有g(x)>0,解得a≥-,则-≤a<0.综上,a≥-.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1[配合例1使用][2018·南阳一中月考]已知x≠0时,函数f(x)>0,对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1).(1)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;(2)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.解:(1)f(x)在[0,+∞)上单调递增.证明如下:设0≤x1<x2,∴0≤<1,f(x1)=f=f·f(x2).∵当0≤x<1时,f(x)∈[0,1),∴f<1,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3,∴9=[f(3)]3,即f(3)=.∵f(a+1)≤,∴f(a+1)≤f(3).∵a≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3,即a≤2,又a≥0,故0≤a≤2.2[配合例3使用][2017·重庆第二外国语学校月考]设a=,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b[解析] B∵0<a=<b==,c=ln <ln 1=0,∴b>a>c.3[配合例4使用][2017·长安一中质检]已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-∞,0)C.(0,2)D.(-2,0)[解析] A二次函数y=x2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减.∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a,∴a<-2,∴实数a的取值范围是(-∞,-2).故选A.第6讲函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数[解析] C由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.3.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.[答案] 12[解析]因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.4.[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.[答案] 1[解析]由f(-x)=f(x)得-x ln(-x+)=x ln(x+),即x[ln(x+)+ln(-x+)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.2.[2016·山东卷]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f x+=f x-.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2[解析] D∵当x>时,f x+=f x-,∴f(x)的周期为1,则f(6)=f(1).又∵当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),∴f(1)=-f(-1).又∵当x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=(-1)3-1=-2,∴f(6)=-f(-1)=2.3.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.[答案] 6[解析]由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷]设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f-=f,则f(5a)的值是.[答案]-[解析]因为f(x)的周期为2,所以f-=f-=-+a,f=f=,即-+a=,所以a=,故f(5a)=f(3)=f(-1)=-.5.[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-+f(1)=.[答案]-2[解析]因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(1)=f(-1),f(1)=-f(-1),即f(1)=0.又f=f=-f,f==2,所以f=-2,从而f+f(1)=-2.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点2.f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数对点演练1.2[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x为偶函数.2.减减[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-[解析]f(-2)=-f(2)=-(-1)=1-.4.1[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2017)=f(672×3+1)=f(1)=log4(12+3)=1.5.奇[解析]由得-1<x<1且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f(x)==,∴f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数.6.①③[解析]对于①,f=-x=-f(x),满足题意;对于②,f=+=f(x)≠-f(x),不满足题意;对于③,f=即f=故f=-f(x),满足题意.7.2[解析]∵f(x)=-f,∴f(x+3)=f=-f=f(x),∴f(2017)=f(3×672+1)=f(1)=2.8.[解析]设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+4(-x)-3]=-x2+4x+3,由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)=【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C(2)C[解析](1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D错误.故选C.(2)①中,易知函数的定义域为{-,},所以f(x)=0,所以f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f(x)=,验证知f(-x)=-f(x)成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C.变式题(1)A(2)D[解析](1)易知h(x)=f(x)+g(x)的定义域为{x|x≠0}.因为f(-x)+g(-x)=+=--=-=+=f(x)+g(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.故选A.(2)对于选项A,函数的定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),所以f(x)=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),所以f(x)=x2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x-=-f(x),所以f(x)=3x-为奇函数;只有f(x)=x2+tan x既不是奇函数也不是偶函数.故选D.例2[思路点拨](1)先确定函数f(x)在0,上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f(x+2)=可得出函数的周期为4,再求f(2018).(1)B(2)A[解析](1)由f x-=f x+得f x+=f(x),即函数是周期为的周期函数.∵当x ∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,得x2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f(x)的周期为,∴方程f(x)=0在区间(0,6]上的解有1,,4,,共4个.(2)由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(2).因为f(2+2)=,所以f(2)=-=-=-2-.故f(2018)=-2-.变式题803[解析]依题意,f(1)=f(1+3)=f(4)=3×4-1=11,f(2)=3×2-1=5,f(3)=3×3-1=8,所以f(1)+f(2)+f(3)=24,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=33[f(1)+f(2)+f(3)]+f(100)=33×24+f(1)=792+11=803.例3[思路点拨](1)利用偶函数将求f(-)转化为求f();(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B(2)C[解析](1)∵f(x)为偶函数,∴f(-)=f(),又当x>0时,f(x)=log2x,∴f()=log2=,即f(-)=.(2)f(x)==2+,设g(x)=,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.例4[思路点拨](1)函数只有一个零点,所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0有唯一解,即f(2x2+1)=f(x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),再据单调性求解.(1)C(2)D[解析](1)令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.(2)∵偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),∴函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2)=0,∴不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5[思路点拨](1)由f(x)是奇函数且f(x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f(x)是周期为4的函数,f(x)=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B(2)10[解析](1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,且有f(x)=-f(-x),即有f(x+1)=-f(-x-1),又∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(-x+1)=-f(-x-1),即f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(2016)+f(2017)=f(504×4)+f(1+504×4)=f(0)+f(1)=0+1=1.(2)∵函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6[思路点拨](1)由函数f(x)是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x∈0,时单调递增,且f(x)>0,进而根据奇函数得出x∈-,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,上的情况.(1)B(2)D[解析](1)依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减.(2)当x∈0,时,由f(x)=lo(1-x)可知f(x)单调递增且f(x)>0,又函数为奇函数,所以在区间-,0上函数也单调递增,且f(x)<0.由f x+=f(x)知,函数的周期为,所以在区间1,上,函数单调递增且f(x)<0.故选D.强化演练1.B[解析]由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4),则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=,故选B.2.D[解析]根据题意,f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e-2<x<e2,即x的取值范围是(e-2,e2).3.D[解析]因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).4.-[解析]由题意可知,f=f=-f=-2××=-.5.[解析]依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.【备选理由】例1增加了函数的奇偶性与函数的对称性结合的问题,有利于从不同角度认识图形与性质;例2考查奇偶性的应用,即利用奇偶性求函数值,注意两个函数之间的关系与联系;例3为奇偶性与单调性结合的题目,要在利用奇函数性质求出函数中的参数后,再结合单调性求解不等式;例4为函数的奇偶性、单调性、周期性及函数的零点等综合的问题,性质涉及多,难度大,需要利用各函数性质及数形结合思想求解.1[配合例3使用]设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x-1)|+g(x-1),则下列结论中正确的是()A.h(x)的图像关于点(1,0)对称B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称C.h(x)的图像关于直线x=1对称D.h(x)的图像关于直线x=-1对称[解析] C因为f(x)是奇函数,所以|f(x)|是偶函数,于是|f(x)|和g(x)都是偶函数,它们的图像都关于y轴对称,所以|f(x-1)|和g(x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h(x)=|f(x-1)|+g(x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C.2[配合例3使用][2017·怀化四模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则g(-1)=.[答案]-3[解析]根据题意,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则f(1)=g(1)+1=log2(1+1)+1=2,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-1)=-f(1)=g(-1)+(-1)2=-2,则g(-1)=-3.3[配合例4使用]若函数f(x)=1-是奇函数,则使f(x)≥成立的x的取值范围是.[答案][1,+∞)[解析]由题意得f(x)+f(-x)=0⇒1-+1-=0⇒a=1,所以 1-≥⇒2x≥2⇒x≥1.4[配合例6使用][2018·河南林州一中调研]已知函数y=f(x)是R上的偶函数,满足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-4,令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间[-10,2]上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=.。
2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时跟踪检测四函数及其表示练习文
019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时跟踪检测四函数及其表示练习文一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.函数f(x) = x + 3 + log 2(6 —x)的定义域是()A. (6 ,+^)B. ( —3,6)C. ( —3,+^)D. [ —3,6)x + 3> 0, 解析：选D要使函数有意义应满足6 —x>0,解得一3W x<6.2.已知f』x—1 = 2x —5,且f (a) = 6，贝U a等于(2A. B.4C.3 D.解析：选B1令t =尹—1,贝U x= 2t + 2, f(t) = 2(2 t + 2) —5= 4t —1,贝U 4a— 1 = 6,” f 7解得a=；.43. (xx •黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)) = x+ 2,则f(x)=( )A. x + 1B. 2x —1C.—x+ 1D. x+ 1 或一x—1解析：选 A f (x)是一次函数，设f(x) = kx + b, f(f (x)) = x + 2，可得k(kx + b) + b = x+ 2，即k2x+ kb+ b=x+ 2,2 ••• k = 1, kb + b= 2.解得k= 1, b= 1.即f (x) = x + 1.故选A.4. 已知f (x)满足f ；—1 = Ig x,则f(—10 = _____________ .•f- 7=Ig 10 = 1. 10答案：13 7解析：令x — 1 = —10，得x= 10,「1一x>15.设函数f(x) = x' '—x—2, x< 1,则f(f(2)) = __________ ，函数f(x)的值域是解析：f (2)=舟」f ( f (2)) = f 2 =—：2® 2当 x >1 时，f (x ) € (0,1)，当 x <1 时，f (x ) € [ — 3,+s ),•- f (x ) € [ — 3 ,+R ).A. ( —1,1]B. (0,1]C. [0,1]D. [1 ,+s)1 「+ x >0,解析：选B 由条件知一 cx M 0, 1 — x 2> 0.x <— 1 或 x >0,即 x M 0,—1< X < 1.答案：-+3, - - -5 - 2-二保咼考，全练题型做到咼考达标 1.已知函数f (x ) = x | x |，若f (X o ) = 4，则X o 的值为(A. — 2B. 2C.— 2 或 2D. 2解析：选 B 当 x >0 时，f (x ) = x 2, f (X o ) = 4, 即 X 0= 4,解得 X o = 2.当 x <0 时，f (x ) = — x 2, f ( X o ) = 4,即一x 0= 4,无解. 所以x o = 2,故选B.2. (xx •长沙四校联考 )f (x )= 3 X ,xw 0log a x , x >0,A. — 2C. 9B. — 3D. — 9解析：选 C •/f 1 = Iog 3^=— 2,勢 93.函数 f (x ) = In1 + x +十1 — x 的定义域为(f f 9 =f(—2)= =9.故选C.则 X € (0,1].•••原函数的定义域为(0,1]f 4 x4.已知函数y =f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )=的定义域是( X — 1A.]0, 3 月 1C. [0,1) U (1,3]5. 已知具有性质：f £ i=— f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：x , 0<x <1,1 10, x =1,① y = x —-:② y = x + x ；③ y =x x - 1 —-,x >1. x其中满足“倒负”变换的函数是 ( )A.①②B.①③C.②③D.①解析：选B 对于①，f ( x ) = x — 1,—f (x )，满足；对于②，X \—丿 X 送丿 X1 1-,0<一<1, X X=f (x )，不满足；对于③，f咲丿Xf 厂=—f (X )，满足.x综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③ 6.函数f (x ), g (x )分别由下表给出.X 1 2 3 f (x )131B. [0,1) D. [0,1) U (1,9]解析：选B 0<3x < 3, 由x — 1工0可得0W x <1，选B.x则f (g (i))的值为 ____________ ；满足f (g (x ))> g (f (x ))的x 的值是 ___________ 解析：g (i) = 3, f (3)= 1,•- f (g (i)) = 1.当 x = 1 时，f (g (l))= f (3) = 1, g (f (1))= g (l) =3,不合题意. 当 x = 2 时，f (g (2)) = f (2) = 3, g (f (2))= g (3) =1,符合题意.当 x = 3 时，f (g (3)) = f (1) = 1, g (f (3)) = g (1) =3,不合题意. 答案：12a —1 x +1, x w 1,17.已知函数 f (x )=* x —1若 f (1)=厂贝U f (3)=a , x >1,21 1解析：由f (1) = 2可得a = 2 所以f (3)=&已知函数y = f (x 2— 1)的定义域为[—也，⑴]，则函数y = f (x )的定义域为 ________________ . 解析：T y = f (x 2— 1)的定义域为[—,3, 3],••• x € [ — 3 , 3 ] , x 2 — 1€ [ — 1,2], ••• y = f (x )的定义域为[—1,2]. 答案：[—1,2]9. ___________________ 已知函数f (x ) = 2x + 1与函数y = g (x )的图象关于直线 x = 2成轴对称图形，则函数 y = g (x )的解析式为 .解析：设点 Mx , y )为函数y = g (x )图象上的任意一点，点M (x ', y ')是点M 关于x '= 4— x ,直线x = 2的对称点，贝U ,l y = y .又 y '= 2x ' + 1,• y = 2(4 — x ) + 1 = 9 — 2x , 即 g (x ) = 9 — 2x . 答案：g (x ) = 9— 2x10.如图，已知 A (n ,— 2), B (1,4)是一次函数y = kx + b 的图象和反比例函数y =°的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点Cx⑴求反比例函数和一次函数的解析式.⑵求厶AOC勺面积.解：⑴因为B(1,4)在反比例函数y= X上，所以m= 4,Xm 4又因为A(n，—2)在反比例函数y= - = -的图象上，所以n=—2,x x又因为A— 2 , —2) , B(1,4)是一次函数y = kx + b上的点，联立方程组一2k+ b=—2, ftk+ b= 4,解得*1=2, 4所以y= x，y= 2x+ 2.⑵因为y= 2x+ 2,令x= 0,得y= 2,所以C(0,2),所以△ AOC勺面积为：S=2X2 =2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 .2x+ a, x<1,已知实数a z0,函数f(x) = 4—x —2a, x》1,若f(1 —a) = f (1 + a)，贝U a 的值A.C.解析：选 B 当a>0 时，1 —a<1,1 + a>1.由f (1 —a) = f (1 + a)得2—2a+ a=— 1 —a—2a,解得a=—弓，不合题意；当a<0 时,31 —a>1,1+ a<1,由f(1 —a)=f(1+a)得—1+a—2a=2+2a+a，解得a= —4，所以a的值3为—4，故选B.2.已知函数f(x)满足对任意的x€ R都有f 2 + x + f 2—x = 2成立，则f 1+ f |8 +•••C. 1D.— 1f 2 + f 6=2,f8 +f 8 =2,+ f 2 +…+f 7 = 2X 3+ 1= 7.答案：73.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离•在某种路面上，某种型号 汽车的刹车距离 y （米）与汽车的2x车速x （千米/时）满足下列关系：y = 200 + mx + n （m n 是常数）•如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y （米）与汽车的车速x （千米/时）的关系图.（1） 求出y 关于x 的函数表达式；（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.402+ 40m + n = 8.4 , 200解：（1）由题意及函数图象，得 26000+ 60m + n = 18.6 , 解得m =盘，n = 0,2x x 所以 y = 200 +而(x A 0) •2人x x⑵令 200+ 100= 25.2，得—72W x W 70.T x >0,「. 0W x < 70.故行驶的最大速度是 70千米/时.解析：由f2+x +f 2-x =2,••• f1 2X2= 1,2019-2020年高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标函数的图象2xe + 1偶函数，• f(x)=亘4-的图象关于y轴对称.故选D.e2 ln| x|2.函数y= x + 的图象大致为(C )3. (XX•安徽滁州质检)已知函数y = f(x)的定义域为｛x|x€ R,且X M0｝，且满足f(x)—f ( —x) = 0，当x>0 时，f (x) = In x —x + 1,则函数y = f(x)的大致图象为(D )10［解密考纲］数形结合是数学中的重要思想方法. 利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质的应用问题, 解决函数的零点、方程的解的问题和求解不等式的问题等.、选择题1 . (XX •甘肃会宁一中月考2xe +)函数f (X)=A. 关于原点对称B.关于直线y=C. 关于x轴对称D.关于y轴对称e + 1 解析•••—x ■+ e (x€ F) ,•• f( —x) = e + ex= f(x) , • f(x)=2X寸为e，1上存在零点，故排除2 In —xA, D项；又当x<0 时，f (x) = x + X，而f —£=右+ e>0,排除B项.故选C.解析因为f e f(1)<0,故由零点存在定理可得函数在区间C. 1D.— 1解析 由f (x ) — f ( — x ) = 0，可得函数f (X )为偶函数，排除A, B 项；又当x >0时，f (x ) =ln x — x + 1,所以 f (1) = 0, f (e) = 2 — e<0.故选 D.4. 设函数f (x ) = | x + 1| + | x — a |的图象关于直线 x = 1对称，则a 的值为(A )A. 3i0 F7B. 2解析•••函数 f (x )图象关于直线 x = 1 对称，••• f (1 + x )= f (1 — x ) ,••• f (2) = f (0)，即 3+ |2 — a | = 1 + |a |，排除 C, D 项；又f (— 1) = f (3)，即| a +1| = 4+13 — a |，用代入法知 A 项正确.的解集为(D )f (x )的大致图象如图所示，所以xf (x )<0的解集为(一1,0) U (0,1). 1 2 6.设函数f (x ) = -，g (x ) =— x + bx .若y = f (x )的图象与y = g (x )的图象有且仅有两个 x 不同的公共点 A (X 1, yj , B (X 2, y 2)，则下列判断正确的是(B )A. X 1 + X 2>0, y 1+ y 2>0B. X 1 + X 2>0, 屮 + y 2<0C. X 1 + X 2<0, y 1+ y 2>0D. X 1 + X 2<0,屮 + y 2<0解析 由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B 关于原点的对称点 B',据图可知：X 1+ X 2>0, y 1 + y 2<0.故选 B .、填空题 7.若函数y =解析 首先作出y = 2 |1 — x|的图象(如图所示)，欲使y = * |1 —5.设奇函数f (x )在(0 ,+^)上为增函数,且f (1) = 0,则不等式f x — f — x<0A. ( — 1,0) U (1 ,+^) (―汽一1) U (0,1)C. ( —8, — 1) U (1八，f x<0化为 -x<0,即 xf (x )<0 ,则x|+ m 的图象与x 轴有交B. xU (0,1) 解析f (x )为奇函数, +m 的图象与m 的取值范围是__[ — 1,0)__.点，则—K rr<0.C. 1D.—1log 2X , x >0,8-已知函数f (X )= 2X , x <0,且关于X 的方程f (X )-a = 0有两个实根，则实数a 的取值范围是_(0,1]__. 解析 当X W0时,0<2X < 1,所以由图象可知要使方程 f (X ) — a = 0有两个实根，即f (X ) =a 有两个交点，贝U 0<a < 1.9•定义在R 上的函数f (x ) = W 1 X| '关于x 的方程f (x )= c (c 为常数)恰有1, x = 0 个交点，易知c = 1,且一根为0,由lg| x | = 1知另两根为一10和10,所以X i + X 2+ X 3= 0.三、解答题10. 已知函数 f (x ) = x | m — x |( x € R)，且 f (4) = 0.(1) 求实数m 的值；(2) 作出函数f (x )的图象；(3) 根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4) 若方程f (x ) = a 只有一个实数根，求 a 的取值范围.(3) 由图象知f (x )的减区间是[2,4].⑷ 由f (x )的图象可知，当 a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y = a 只有一个交点，方 y = f (x )与y = c x > 4,+ 4, x <4,程f (x) = a只有一个实数根，即a的取值范围是(一a, 0) U (4 ,+^).111. 已知函数f(x)的图象与函数h(x) = x ——F 2的图象关于点A(0,1)对称.X(1) 求f (x)的解析式；a(2) 若g(x) = f (x) + -,且g(x)在区间(0,2］上为减函数，求实数a的取值范围.x解析⑴设f (x)图象上任一点P( x, y),1 则点P关于点(0,1)的对称点P' ( —x,2 —y)在h(x)的图象上，即 2 —y=- x —- + 2,—1••• y = f (x) = x+ X(X M0).a a+1 a+1⑵ g(x) = f(x) + - = - + =, g (X) = 1--X^.a+ 1••• g(x)在(0,2］上为减函数，•••1 —一丁W0在(0,2］上恒成立，即a+ 1> X2在(0,2］上恒—成立，• a+1>4, 即卩a>3,故a的取值范围是［3 ,+^).12. 已知函数f(x) = 2X, x€ R(1) 当m取何值时方程|f(x) —2| = m有一个解？两个解？(2) 若不等式［f(x)］2+ f(x) —m>0在R上恒成立，求m的取值范围.解析(1)令F(x) = |f (x) —2| = |2x—2| ,由图象看出，当m= 0或m>2时，函数F(x)与G( x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<n<2时，函数F(x)与Q x) 的图象有两个交点，原方程有两个解.— 2A(2)令2 = t (t >0) , H(t) = t + t ,因为Ht) = t + 2 2—4在区间(0 ,+^)上是增函数，所以当t>0时，H(t)>H(0) = 0.因此要使t2+ t>m在区间(0 , +^)上恒成立，应有me 0,即所求m的取值范围为(―汽0].。
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.11.1导数与函数的单调性课时跟踪检
［课时跟踪检测］［基础达标］1. 函数f(x)的导函数f '(x)有下列信息：① f '(x) >0 时，一1v X V 2;② f '(x) V 0 时，x V—1 或x>2;③ f '(x) = 0 时，x =— 1 或x= 2.则函数f(x)的大致图象是()4 \-h bv v/ A AS/i _yr1 B c'D1解析：根据信息知，函数 f (x)在(—1,2)上是增函数.在(—8, —1) , (2 ,+8)上是减函数，故选C.答案：C2 . .2. f(x) = x —a ln x在(1 ,+8)上单调递增，则实数a的取值范围为()A. ( —8, 1)B. (—8, 1]C. ( —8, 2)D. (—8, 2]2 a解析：由f (x) = x —a ln x,得f '(x) = 2x—-，x••• f(x)在(1 ,+8 )上单调递增，•••a2x—x》0即a<2x2在(1 ,+8)上恒成立,•/ 2x2> 2,「. a< 2.故选 D.答案：D3.若幕函数f (x)的图象过点22, 1，则函数g(x) = e x f (x)的单调递减区间为()A. ( —8, 0)B. ( —8,—2)C. ( —2, —1)D. ( —2,0)解析：设幕函数f(x) = X“，因为图象过点右2, 2，所以1=-2“，a= 2，所以f(x) =x2，故g(x) =e x x2，令g'(x) = e x x2+ 2e x x = e x(x2+ 2x) V0，得—2V x V 0,故函数g(x) 的单调递减区间为(一2,0).答案：Dx a 14. (xx届河北石家庄市高三9月摸底)若函数f(x) = - —@x2+ x + 1在区间2，3上单调递减, 则实数a的取值范围为( )5 1010A.— ' 'B. ■，+m2' 3310C.-km3 '十D. [2 ,+m) 2解析：f '(x) = x —ax+ 1,3x a o函数f (x) = 3 —2x + x+11在区间2 3上单调递减？f2'(x) = x —ax+1 wo 在区间,1 1 51 f2 =—戶+ w 0, 102，3上恒成立？ 2 2 4解之得a>y.故选C.f' 3 = —3a+ 10w 0,答案：C5. 函数f (x) = x3ax是R上的增函数的一个充分不必要条件是()A.a w 0B. a< 0C.a > 0D. a>0解析：函数f (x) = x3—ax为R上的增函数的一个充分不必要条件是f'(x) = 3x2—a> 0在R上恒成立，所以a v (3x2)min,因为(3x2)min= 0，所以a<0.故选B.答案：B6. (xx届贵阳市监测考试)对于R上可导的任意函数f (x)，若满足(x—3)f '(x) w 0, 则必有()A. f (0) + f(6) W2 f(3)B. f (0) + f(6) < 2f(3)C. f (0) + f(6) >2 f(3)D. f (0) + f(6) > 2f(3)解析：由题意知，当x>3时，f '(x) w 0,所以函数f (x)在[3 ,+^)上单调递减或为常数函数；当x < 3时，f'(x) > 0,所以函数f(x)在(一R, 3)上单调递增或为常数函数，所以f(0) w f (3) , f(6) w f (3)，所以f (0) + f(6) W2 f(3)，故选A.答案：A7. 设函数f (x) = e x+ x—2, g(x) = ln x + x2—3.若实数a, b 满足f (a) = 0, g(b) = 0, 则()A. g(a) < 0< f (b)B. f ( b) < 0< g(a)C. 0<g(a) < f(b)D. f(b) < g(a) <0解析：因为函数f (x) = e'+ x —2在R上单调递增，且f (0) = 1 —2< 0, f(1) = e — 1 > 0,_2所以f (a) = 0 时a€ (0,1).又g(x) = In x + x — 3 在(0 ,+^)上单调递增，且g(1) =- 2v 0,所以g(a) v 0.由g(2) = In 2 + 1 >0, g( b) = 0 得b€ (1,2)，又f(1) = e—1>0, 所以f (b) >0.综上可知，g( a) v 0v f ( b).答案：A&定义在R上的函数f(x)满足xf'(x)>f(x)恒成立，则有()f x解析：设g(x)= , x••• g( x)在R上单调递增,二g(—5)< g(—3),f —5 f —3即=5- > ，• 3f ( —5)<5f ( —3)，故选 C.答案：C成立的是()n n0<A<2 , 0<右，n又••• y= sin x在0,—内单调递增,n• 0<sin A^sin ■——B = cos B<1,A. f ( —5)>f ( —3)B. f( —5)<f( —3)C. 3f( —5)>5f( —3)D. 3f ( —5)<5f( —3)则g，(x)= x・f x x>0,9.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若A, B为钝角三角形的两个锐角，则一定A. f (sin A)> f (cos B)B. f (sin A)< f (cos E)C. f (sin A)> f (sin E)D. f (cos A)< f (cos E)解析：••• A,B是钝角三角形两锐角,n0<A<y由导函数图象可知y = f(x)在(0,+^)上单调递增，•••f(sin A)<f(cos B)，故选B.答案：B10. __________________________________________________________ 函数f(x) = (x —3)e ix x的单调递增区间为__________________________________________________ .解析：函数f (x) = (x —3)e x的导数为f'(x) = [( x—3)e x]'= e x+ (x—3)e x= (x—2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f'(x) >0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f '(x) = (x—2)e x> 0，解得x>2.所以所求函数的单调递增区间为(2 , +^).答案：(2 ,+^)11. ______________________________________________________________________ 函数f (x) = x2—ax —3在(1 ,+s)上是增函数，则实数a的取值范围是______________________ .解析：f '(x) = 2x —a,••• f (x)在(1 ,+s)上是增函数，• 2x —a》0在(1 ,+s)上恒成立.即a<2x, • a w2.所以实数a的取值范围是(一R, 2].答案：(—R, 2]1 2解析：由题意知f '(x) = —x+ 4 —3x由f '(x) = 0得函数f (x)的两个极值点为1,3 , 则只要这两个极值点有一个在区间(t , t + 1)内，函数f(x)在区间[t , t + 1]上就不单调，由t v 1 v t + 1 或t v 3 v t + 1,得0v t v 1 或2v t v 3.答案：(0,1) U (2,3)13. (xx届福建省莆田市第二十四中学月考)设函数f(x) = e x—ax—2.(1)求f(x)的单调区间；⑵若a= 1, k为整数，且当x>0时，(x —k)f'(x) + x+ 1>0,求k的最大值. 解：(1)函数f (x)的定义域为R, f '(x) = e—a,若a w 0,贝U f'(x)>0, f(x)在R上单调递增；若a>0,则f'(x) = 0，解得x = In a,所以f (x)的单调递减区间是(一g, In a)，增区间为(In a,+m).⑵由于a= 1，所以(x —k) f '(x) + x+ 1 = (x—k)(e —1) + x +1,x + 1故当x>0 时，(x—k)f'(x) + x+1>0 等价于kvr二 + x,e i12 .已知函数f (x) =—q x + 4x —3ln x在[t , t + 1]上不单调，则t的取值范围是2—x + 4x—3x —1 x—3x.XX令 g (x )= e x ±1_+ x ,则 g '(x ) =e 2而函数 f (x ) = e x -X - 2 在(0 ,+s )上单调递增，f (1)<0 , f (2)>0 , 所以f (x )在(0，+m )上有唯一的零点，故 g '(x )在(0,+^)上存在唯一的零点,设此零点为a ,贝U a € (1,2),当 x € (0 , a )时，g '(x )<0，当 x € (a ,+m )时，g '(x )>o ,所以g (x )在(0，+m )的最小值为g (a ),又因为 g '(a ) = 0,可得 e a = a + 2,所以 g (a ) = a + 1€ (2,3), 所以k <g (a )，所以整数k 的最大值为2.2x14.已知函数 f ( x ) = , a € R. x — a(1)求函数f (x )的单调区间；⑵ 若f (x )在(1,2)上是单调函数，求 a 的取值范围.x (1) f (x )的定义域为{x |x 工a }, f '(x )=- ① 当 a = 0 时，f (x ) = X (X M 0), f '(x ) = 1, 则x € ( —m, 0)和(0，+m )时，f (x )为增函数. ② 当 a >0 时，由 f '(x ) >0 得，x >2a 或 x v 0,由于此时0v a v 2a ,所以x > 2a 时，f (x )为增函数，x v 0时，f (x )为增函数；由f '( x ) v 0得，0v x v 2a ,考虑定义域，当0 v x v a 时，f (x )为减函数，a v x v 2a 时，f (x )为减函 数.③ 当 a v 0 时，由 f '(x ) > 0 得，x > 0 或 x v 2a , 由于此时2a v a v 0, 所以当x v 2a 时，f (x )为增函数，x > 0时，f (x )为增函数；由f '(x ) v 0得，2a v x v 0,考虑定义域，当 2a v x v a 时，f (x )为减函数，a v x v 0 时，f (x )为减函数.综上，当a = 0时，函数f (x )的单调递增区间为(一m, 0) , (0，+m ).当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(一m, 0), (2a ,+m )，单调递减区间为(0 , a ), (a, 2a ). 当a v 0时，函数f (x )的单调递增区间为(一m, 2a ), (0,+m ),单调递减区间为(2 a , a ), (a, 0). (2)①当a < 0时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上单调递增，且 x € (1,2)时，X M a .1② 当0v 2a wi 时，即0v a w ?时，由(1)可得，f (x )在(2 a , +m )上单调递增，即在(1,2)x — 2a2x — a解:上单调递增，且 x € (1,2)时，x 丰a .③ 当1 v 2a v 2时，即2<a v 1时，由⑴ 可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不合题 意. ④当2a >2,即a >1时，由(1)可得，f (x )在(0 , a ) , (a, 2a )上为减函数，同时需注意 a ?(1,2)，满足这样的条件时f (x )在(1,2)上单调递减，所以此时a = 1或a >2.1综上所述，a 的取值范围是一R, U {1} U ［2 ,+^).［能力提升］In x1.若b >a >3, f (x )= ——，则下列各结论中正确的是(xC. f ( ab ) < f 苓^ < f (a )D f (b ) <f 号 <f ( ,ab ) ” —「，In x 十,、，， 1 — In x解析：因为f (x )=，所以f (x ) = 2—,x x令 f '(x ) = 0,解得 x = e. 当x >e 时，f '(x ) < 0，为减函数， 当0< x < e 时，f '(x ) >0，为增函数. 因为 b > a > 3>e.a +b —所以 ab >b >〒> ,ab >a >e，所以 f (a ) >f ( ab ) >f ^2^ >f ( b ) >f (ab ).故选 D. 答案：D12.设函数f (x ) = ^sin2 x + a cos x 在(0 , n )上是增函数，则实数a 的取值范围为()A. [ — 1 ,+s )B. ( —g,— 1]C. ( —g, 0)D. (0，+m)1解析：f (x ) = ?sin2 x + a cos x 在(0 ,n )上是增函数， 所以f '(x ) = cos2x — a sin x 》0在(0 ,n )上恒成立,A. f (a ) <f ( ab ) <fa + b2B.f(.ab ) < f * < f (b )x2所以 1 — 2sin x — a sin x 》0,设 t = sin x , t € (0,1］，即—2t 2— at + 1>0, t € (0,1］时恒成立,1所以a <— 2t +1 1令 g (t ) =— 2t + ，贝V g '(t ) = — 2—0, 所以g (t )在(0,1］上单调递减，所以 a w g (1) =— 1,故选B. 答案：B13. (xx 年江苏卷)已知函数f (x ) = x 3— 2x + e x — -x ，其中e 是自然对数的底数.若e —1) +f (2 a 2) w 0,则实数a 的取值范围是 ___________ .解析：T f '( x ) = 3x 2— 2 + e x + e_x >0, ••• f (x)在定义域内为单调递增函数，又 f (— x ) = — x 3 + 2x + 丄―e x = — f (x ),e •f (x )为奇函数.2•/f (a — 1) + f (2a ) w 0,•-f (a — 1) w — f (2a 2)，即 f (a — 1) w f ( — 2a 2).又••• f (x )为单调递增函数，• a — 1 w — 2a 2,21 即 2a + a — 1 w 0,解得一1 w a w ?,•实数a 的取值范围是 一1, 1 . 答案：-1, 34. (xx 届辽宁省葫芦岛第六高级中学期中 )已知函数f (x ) = — ax 2 + In x (a € R).(1)讨论f (x )的单调性；⑵若存在x € (1 ,+s ), f (x )> — a ,求a 的取值范围.当a wo 时，f '(x )>0，所以f (x )在(0，+)上递增, 当 a >0时，令 f '(x ) = 0,得 x =—L,V 2a3 1令 f '(x )>0，得 x € 0，寸芬；令 f '(x )<0，得 x^y2a ,+m,f (a解：(1) f '(x )=1 2ax + 一=x1 — 2ax 2128 32 _⑵ 由 f (x )> — a ,得 a (x — 1) — In x <0,因为 x € (1 ,+^)，所以一In当a wo 时，a (x 2— 1) — In x <0满足题意，所以g (x )在(1 ,+s )上递增，所以g (x )>g (1) = 0，不合题意,当 0<a <1 时，令 g'(x )>0,得 x € 2，+^，令 g '(x )<0,得 x € 1,苍，1 所以 g (x )max = g <g (1) =0，则？ x o € (1 ,+s ), g ( x o )<0, 综上，a 的取值范围是 一R, 2 .［课时跟踪检测］［基础达标］1. 已知函数f (x )的定义域为(a , b )，导函数f '(x )在(a , b )上的图象如图所示，则函 数f (x )在(a , b )上的极大值点的个数为()¥ 1AL'4\J QA. 1B. 2C. 3D. 4解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知， f '(x )在(a , b )上与x 轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故x = 0不是函数f (x )的极值点，其余的 3个交点都是极值点，其中有 2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.答案：B1 32.函数f (x ) = 3x —4x + m 在［0,3］上的最大值为 4，贝U m 的值为()当 a >f 时，设 g (x ) = a (x 2 — 1)—In x (x >1), g '(x )=2ax 2- 1x>0,所以f (x )在0, —2a 上递增，在1I ，"上递减•2x <0, x —1>0,1A. 7B.283D. 4解析：f '(x ) = x 2— 4, x € [0,3],当 x € [0,2)时，f '(x ) v 0，当 x € (2,3]时，f '( x ) > 0, ••• f(x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数. 又 f (0) = m f (3) =— 3+ m •••在[0,3]上，f ( x ) max = f (0) = 4, • m= 4,故选 D. 答案：D3.设直线x = t 与函数h (x ) = x 2, g (x ) = In x 的图象分别交于点 M N,则当| MN 最小时t 的值为()1A. 1B.-C.护心解析：由已知条件可得I MN = t 2— ln t , 21设 f (t ) = t — ln t (t > 0)，则 f '(t ) = 2t — t ,令 f '(t ) = 0,得 t ='答案：D4. 若e x > k + x 在R 上恒成立，则实数 k 的取值范围为( A. ( —s, 1] C. ( —s, — 1]解析：由 e x > k + x ,得 k <e x — x . 令 f (x ) = e x — x , • f '(x ) = e x — 1.当 f '(x ) = 0 时，x = 0,「. f '( x ) v 0 时，x v 0, f '(x ) >0 时，x >0.• f (x )在(—s, 0)上是减函数，在(0 ,+s )上是增函数. • f (x ) min = f (0) = 1.• k 的范围为(一s, 1].故选A .C. 3B. [1 ,+s) D. [ — 1 ,+s)当 0 v t vf '(t ) v 0,当 t >f '(t ) > 0,答案：A1 3b 25. (xx届河北三市二联)若函数f(x) = 3X - 1 + 2 x + 2bx在区间[—3,1]上不是单调函数，则函数f (x)在R上的极小值为(),4 3 2A. 2b—B. ——3 2 32 1 3C. 0D. b2—b36解析：f '(x) = x —(2 + b) x+ 2b= (x —b)( x—2) ,•••函数f (x)在区间[—3,1]上不是单调函数，•••一3v b v 1,则由f '(x) > 0,得x v b 或x>2，由f'(x) v0，得b v x v2,「.4 函数f(x)的极小值为f(2) = 2b —3.答案：A6. f(x)是定义在R上的偶函数，当x v 0时，f(x) + xf'(x) v 0且f ( —4) = 0,则不等式xf (x) > 0的解集为()A. ( —4,0) U (4 ,+s)B. ( —4,0) U (0,4)C. ( — a, —4) U (4 ,+s)D. ( —a, —4) U (0,4)解析：设g(x) = xf (x)，则当x v 0 时g'(x) = [ xf(x)] '= xf '(x) + f(x) v 0,所以g(x)在区间(一a, 0)上是减函数，因为f(x)是定义在R上的偶函数.所以g(x) = xf(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)在(0，+a )上是减函数，••• f( —4) = 0,• f(4) = 0,即g(4) = g( —4) = 0,•xf (x) >0,即g(x) >0,•xf (x) > 0 的解集为(—a, —4) U (0,4).答案：D7. 已知函数f (x)的定义域为R, f( —1) = 2，且对任意的x€ R, f'(x) > 2，贝U f (x)> 2x + 4的解集为()A. ( —1,1)B. ( —1,+a)C. ( —a, —1)D. ( —a,+a)解析：设g(x) = f (x) —(2x + 4) , [f(x) —(2x+ 4)] '= f'(x) —2>0,所以g(x)单调递增.又g( —1) = 0,所以f (x) > 2x + 4的解集是(一1 ,+a).故选B.答案：Bx 2& (xx届山东师大附中检测)已知函数f(x) = x e , g(x) =—(x+ 1) + a,若？X1, R,使得f (X 2)w g (x i )成立，则实数a 的取值范围是()答案：—1<a <01 A. — e ，+m B. [ — 1, + ^) C. [ — e ,+^)1 D.—,e-pm解析：f '(x ) = e x + x e X = (1 + x )e X ，当 x >— 1 时，f '(x ) >0,函数单调递增；当 X V—1时，f '(x ) v 0，函数单调递减.所以当 x =— 1时，f (x )取得极小值即最小值，f ( — 1)1—e.函数g (x )的最大值为a .若？ X 1, X 2€ R ,使得f (X 2)w g (x"成立，则有g (x )的最大值e大于或等于f (x )的最小值，即a >— e 故选D . e 答案：D9.从边长为10 cm X 16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖3 cm.的盒子，则盒子容积的最大值为 解析：设盒子容积为 y cm 3,盒子的高为x cm ,32贝y x € (0,5).贝y y = (10 — 2x )(16 — 2x )x = 4x — 52x + 160x ,令y '= 0,得x = 2或20(舍去),3y max = 6X 12X 2= 144(cm ).答案：14410 .已知函数f (x ) = e x — 2x + a 有零点，则a 的取值范围是 ____________ . 解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程 e x — 2x + a = 0有解问题，即方程 a = 2x—e x 有解.xx令函数 g (x ) = 2x — e ,贝U g '(x ) = 2— e ,令 g '(x ) = 0,得 x =In 2，所以 g (x )在(一—2.当x i — m 时g (x ) i — m,因此，a 的取值范围就是函数 g ( x )的值域，所以a 的取值范 围是(一m, 2ln 2 — 2].答案：(—m, 2ln 2 — 2]11.已知f '(x ) = a (x + 1)( x — a )是函数f (x )的导函数，若f (x )在x = a 处取得极大值, 则实数a 的取值范围是解析：当导函数f '(x )= a (x + 1)( x — a )的图象如图所示时满足题意，此时一1<a <0.__ 2x x12. (xx 年全国卷I )已知函数f (x) = a e + (a —2) •e —x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f( x)有两个零点，求a的取值范围.解：⑴ f(x)的定义域为(—8,+^ ), f '(x) = 2a e2x+ (a—2)e x—1 = (a e x—1)(2e x+1).(i )若a w0,则f '(x) v 0,所以f (x)在(—8,+8 )上单调递减.(ii)若a> 0,则由f '(x) = 0 得x = —In a.当x € ( —8, —in a)时，f'(x) v0;当x € ( —In a,+8)时，f'(x) > 0.所以f (x)在(—8, —in a)上单调递减，在(一In a,+8)上单调递增.(2)( i )若a w 0,由(1)知，f(x)至多有一个零点.(i )若a> 0，由(1)知，当x = —In a时，f(x)取得最小值，1最小值为f ( —In a) = 1 —a+ In a.①当a= 1时，由于f( —In a) = 0,故f (x)只有一个零点；1②当a€ (1 , +8)时，由于 1 — + In a>0,a即f (—In a) > 0，故f (x)没有零点；1③当a€ (0,1)时，1—— + In a v 0,即f( —In a) v 0.a又f (—2) = a e—4+ (a—2)e —2+ 2>—2e—2+ 2> 0,故f(x)在(—8, —In a)有一个零点.3设正整数n o满足n o>In —1，贝U f (n o) = e n o(a e n o+ a—2) —n o>e n o—n o>2n o—n o>0.a3由于In —1 >—In a,因此f (x)在(一In a,+8)有一个零点.a综上，a的取值范围为(0,1).13. (xx年全国卷川)已知函数f (x) = x—1 —a ln x.(1) 若f (x ) >0,求a 的值；1 1 1(2) 设m 为整数，且对于任意正整数 n , 1 + $1 +尸…1 +刁v m 求m 的最小值. 解：(1) f (x ) = x — 1 — a ln x , x >0,a x 一 a则 f '(x ) = 1 ——= ，且 f (1) = 0,x x① 当a W0时，f '(x ) > 0, f (x )在(0,+s )上单调递增，所以 0 V x V 1时，f (x ) < 0, 不满足题意；② 当a > 0时，当0< x < a 时，f '(x ) < 0,则f (x )在(0， a )上单调递减； 当x >a 时，f '(x ) > 0,则f (x )在(a ,+^)上单调递增.(i )若a < 1, f (x )在(a,1)上单调递增，所以当 x € (a, 1)时，f (x ) <f (1) = 0,不满足 题意；(ii)若a > 1, f (x )在(1 , a )上单调递减，所以当 x € (1 , a )时，f (x ) < f (1) = 0,不满 足题意；(说)若a = 1 , f (x )在(0,1)上单调递减，在(1 ,+^)上单调递增， 所以f (x ) > f (1) = 0满足题意. 综上所述，a = 1.(2)由(1)知当 a = 1 时，f (x ) = x — 1— In x >0,即即 In x < x — 1, 则In( x +1) w x ,当且仅当x = 0时等号成立. 1 1 *所以 In 1 + 2k < ^, k € N ,In 1 + 111 1 1 1 1 —+ In 1 +— + …+ In 1 +歹 < 2 + 于+•••+ 2^= 1—1,即1 +1 112 1 +2 - •- 1+ 歹< e.111 + 1 1 1 1 1351+11 +P~n 2 > 1 + 21 + 尹 +尹> 2. 64 当n 》 3时，11 11 +2 1 + 2 …1 + 2 € (2 , e).* 1 1 1 因为 m € N , 1 + 2 1 + 22 …1+ 尹 < m ,所以m 的最小值为3.［能力提升］n n1. 已知函数 y = f (x )对任意的 x € — —, 满足f '(x )cos x + f (x )s in x > 0(其中f '(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )一n n A. ,2f - - < f --- n nB. .2f 可 < f -C . f (0) > 2f nnf x解析：由 f '(x )cos x + f (x )sin x > 0 知 --------cos xcos cos — 3 4cos0，得f (0) v ：2f 才，所以D 不正确，故选A.答案：A2. (xx 届烟台模拟)设函数f (x ) = ax 3 — 3x + 1(x € R)，若对于任意 x € [ — 1,1]，都有f (x ) >0成立，则实数a 的值为解析：(构造法)若x = 0,则不论a 取何值，f (x ) >0显然成立;331时，f (x ) = ax —3X + 1>0可化为 a >x 2-x沁 3 1设 g (x )=x 3,从而a >4.g ( — 1) = 4,从而a w 4,综上可知 a = 4.答案：423. (xx 年全国卷n )已知函数 f (x ) = ax — ax — x ln x ，且 f (x ) >0.'> 0，所以 g (x )=在 cos x上是增函数，所以 gn ，即—cos —- n- f —- ， 4 一V n 3 n cos —4 即：'2f所以A 正确；同理有f即- n3 一 >n n ，所以B 不正确;n f 由 g -3 > g (0),即-3> n COS 一3 0cos0 , n得f (0) v 2f 3，所以C 不正确;ng — > g (0)，即n fT----- >ncos 一 4当 x > 0 时，即 x € (0,1] 所以g (x )在区间 1上单调递增,在区间2 1上单调递减，因此g ( x ) max = g 2 = 4,当x v 0时，即x € [ —1,0)时，同理 1 ""3.3a w ~2 — x x g (x )在区间[—1,0)上单调递增，所以g ( X )min =⑴求a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x o,且e —2v f (x o) v 2—:解：(1) f(x)的定义域为(0,+^).设g(x) = ax —a—In x,则f (x) = xg(x), f(x) >0 等价于g(x) >0.1因为g(1) = 0, g(x) >0,故g' (1) = 0,而g'(x) = a —-, g' (1) = a—1，得a= 1.z\.1若a= 1,则g'(x) = 1 —.当0v x v 1 时，g'(x) v 0,g(x)单调递减；当x> 1 时,g'(x)x>0, g(x)单调递增，所以x= 1是g(x)的极小值点，故g(x) > g(1) = 0.综上，a = 1.(2)证明：由(1)知f (x) = x —x—x ln x, f '(x) = 2x—2 —In x.1设h(x) = 2x —2—In x，贝U h'( x) = 2 —一.x1 1 1当x € 0, 2 时，h'(x) v0;当x € ^,+m时，h'( x) >0.所以h(x)在0, 单调1递减，在^,+m单调递增.1 1 1—2又h(e ) >0, h 2 v 0, h(1) = 0，所以h(x)在0, 有唯一零点x。
【名师推荐资料】新2020版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练
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一、 填空题 1. 函数 f(x) ＝
第 2 课时 函数的定义域和值域 － x 2＋ x ＋6
x－ 1 的定义域是 ______________．
答案： [ － 2， 1) ∪(1 ， 3]
－ x 2＋ x ＋6≥0，
－ 2≤ x≤ 3，
解析：依题意有
解得
所以定义域为 [ －2，1) ∪(1 ， 3] ．
元素 3 在集合 B 中无元素与之对应，故不是 A 到 B 的函数．其他均满足．
1， x>0，
1， x为有理数，
2. 设 f(x) ＝ 0， x＝ 0， g(x) ＝
则 f(g( π )) 的值为 ________．
0， x为无理数，
－ 1， x<0，
答案： 0
解析：根据题设条件，∵ π是无理数，∴ g( π ) ＝ 0，
x－1≠0，
x≠ 1，
1 2. 已知 f(x) ＝ x＋1，则函数 f(f(x)) 的定义域是 ________．
答案： ( －∞，－ 2) ∪( － 2，－ ห้องสมุดไป่ตู้) ∪( － 1，＋∞）
解析： f(f(x))
1
1
＝ f （ x）＋ 1＝ 1
，
x＋1＋1
x＋1≠0，
x≠－ 1，
∴1
解得
1＋ x＋1≠0，
2
，
1－ 2x－π x π x 2
则 y＝2x·
＋ ，即
y＝－
π＋
4 x
2＋
x.
2
2
2
2x ＞0，
1
由
1－ 2x－π 2
x
得
＞ 0，
0＜x＜ π＋ 2，
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示学案理
2．1 函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论 (1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． (2)映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有n m个． (3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． [诊断自测] 1．概念思辨(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (4)f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2(x ≥－1)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 23T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案 C解析 由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．故选C.典例2 (2018·秦都区月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③ D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数；对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数；对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52，与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________．答案 ②③解析 ①y ＝x 与y ＝a log a x 定义域不同； ②y ＝2x ＋1－2x ＝2x (2－1)＝2x相同；③f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.题型2 函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C解析 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B. [结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域． 解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1. (2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，1) D ．(－∞，2) 答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)， ∴y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A. 题型3 求函数的解析式典例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．配凑法．解 f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )． 方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，可得f (x )＝23x ＋13.方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，见典例3. 3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e 答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1，则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )． 解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，求f (x )． 解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，① 以1x代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x－1，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域． 分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x－1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”．②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调原则．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x＋1>0恒成立，解得x ∈R . 因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x＋1复合的复合函数， 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的． 根据指数函数的性质可知，3x>0，所以，3x＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x＋1)>log 21＝0，故选A. 角度5 有界性型典例 求函数y ＝1－2x1＋2x 的值域． 本题用转化法．解 由y ＝1－2x1＋2x可得2x＝1－y 1＋y . 由指数函数y ＝2x的有界性可知2x>0， ∴1－y1＋y>0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域．本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图，∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法3．换元法(见角度2典例) (1)代数换元； (2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例) 7．利用函数的单调性(见角度4典例)冲关针对训练 求下列函数的值域：解(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log212－1＝2log26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外逐步求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析 由题意作出y ＝|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y ＝ax 与y ＝ln (x ＋1)的图象在x >0时必有交点，所以当a ≤0，x ≥0时，|f (x )|≥ax 显然成立；当x <0时，要使|f (x )|＝x 2－2x ≥ax 恒成立， 则a ≥x －2恒成立，又x －2<－2，∴a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0.故选D. 方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，见角度1.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例． 3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2] 答案 D解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]．故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C. 2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．[0， 2 ] C ．[－2， 2 ] D ．[－2，0]答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x 增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B.89 C ．－2716D ．18 答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝15t 15 (t >0)，∴f (t )＝lg t 15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a 2≤x ≤1－a2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1 C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23.故选C.二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )＝log a [(x ＋2)(4－x )]，x ∈[0,3]．令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13. 16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值． 解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2， 故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。
2020高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业4 函数及其表示 文
课时作业 4 函数及其表示[基础达标]一、选择题1．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4) 解析：由函数定义知(2)错． 答案：B2．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1C ．f (x )＝ln e x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.答案：D3.[2019·东北联考]函数y ＝x 3－x ＋x －1的定义域为( ) A ．[0,3] B ．[1,3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞)解析：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x ≥0x －1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3x ≥1.∴1≤x ≤3，故选B.答案：B4．[2019·黄山质检]已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A5．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝x 2－2x ＋1B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞))C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y ＝1|x ＋1|解析：选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)，选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.答案：D6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的对应关系f 不能构成映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝18x 2解析：能否构成映射，就是按照给定的对应关系，P 中所有元素是否都能在Q 中找到象．本题C 选项对应关系y ＝23x ，P 中元素4的象应是83，但83∉Q ，所以不能构成P 到Q 的映射，其他三个选项的对应关系均能构成P 到Q 的映射．故选C.答案：C7．[2019·辽宁大连模拟]如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2－1)的定义域是( )A ．[0,2]B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－2，2]解析：∵函数f (x )的定义域为[－1,1]，由－1≤x 2－1≤1，解得－2≤x ≤2，∴函数f (x 2－1)的定义域是[－2，2]．故选D.答案：D8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案：C9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x <1log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n <1，即n <－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.答案：D10．定义a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0ab，a ×b <0，设函数f (x )＝ln xx ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4ln2B ．－4ln2C ．2D ．0解析：2×ln2>0，所以f (2)＝2×ln2＝2ln2.因为12×ln 12<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 1212＝－2ln2.则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln2－2ln2＝0. 答案：D 二、填空题11．[2019·唐山市高三五校联考摸底考试]函数y ＝110x－2的定义域为________． 解析：依题意，10x>2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)． 答案：(lg2，＋∞)12．设函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0－12x ，0≤x ≤2.13．[2019·西安质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：10914．[2017·山东卷]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <12x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝________. 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得 a ＝2(a ＋1－1)，∴ a ＝14，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.答案：6 [能力挑战]15．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B．② C ．①② D．③解析：对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．答案：B16．[2019·内蒙古包头模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <313x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是( )A ．(21,25)B ．(21,24)C ．(20,24)D ．(20,25)解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,1<b <3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3<c <4，d >6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.故选B.答案：B17．已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )＝________.解析：解法一 ∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立， 故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0.再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x .解法二 令x ＝0，得f (y )－2f (y )＝－y 2－3y ，即－f (y )＝－y 2－3y .因此f (y )＝y 2＋3y .故f (x )＝x 2＋3x .答案：x 2＋3x。
年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用.函数与方程课时跟踪检测理
2.8 函数与方程[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：函数y ＝在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x－1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.答案：B2．(2017届豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．答案：A3．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：∵y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln 2－2＜ln e －2＜0，f (3)＝ln 3＞0. ∴零点在区间(2,3)上，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0解析：解法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x＝e.因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点． 答案：B5．(2017届郑州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.答案：C6．(2018届天津耀平质检)已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，g (x )＝2x·log 2x ＋1，h (x )＝2x·log 2x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：f (x )＝2x＋log 2x ＝0可得log 2x ＝－2x.g (x )＝2x ·log 2x ＋1＝0可得log 2x ＝－2－x . h (x )＝2x ·log 2x －1＝0可得log 2x ＝2－x .∵函数f (x )＝2x＋log 2x ，g (x )＝2x·log 2x ＋1，h (x )＝2x ·log 2x －1的零点分别为a ，b ，c ，∴a <b <c .故选A. 答案：A7．设x 0是函数f (x )＝2x－|log 2x |－1的一个零点，若a ＞x 0，则f (a )满足( ) A ．f (a )＞0 B ．f (a )＜0 C ．f (a )≥0D ．f (a )≤0解析：当x ＞1时，f (x )＝2x－log 2x －1，易证2x＞x ＋1＞x .又函数y ＝2x的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以2x＞x ＋1＞x ＞log 2x ，从而f (x )＞0.故若a ＞1，有f (a )＞0；若0＜a ≤1，因为当0＜x ≤1时，f (x )＝2x ＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＜0，所以x 0是f (x )唯一的零点，且0＜x 0＜1，所以f (a )＞0，故选A.答案：A8．函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(a ，b )，则a 所在区间为( )。
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.1函数及其表示课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.1函数及其表示课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x ＞0，解得－3≤x ＜6. 答案：D2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74B ．74 C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 答案：B3．(xx 届黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2D ． 2解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2；当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B. 答案：B5．(xx 届长沙四校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. 答案：C6．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.解得0<x ≤1.∴原函数的定义域为(0,1]． 答案：B7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f 3xx －1的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3]D ．[0,1)∪(1,9]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x ＜1，所以所求函数的定义域是[0,1)，故选B.答案：B8．(xx 届河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：D9．(xx 届四川成都检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f －x ，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f x ＋5，x ＜－2，若f (2 016)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：由于f (2 016)＝f (－2 016)＝f (－403×5－1)＝f (－1)＝－a ＋1＝0，故a ＝1. 答案：C10．(xx 届山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.答案：B11．(xx 届山东潍坊二模)函数f (x )＝1ln 5－2x＋e x－1的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．[0,2)解析：要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧ln 5－2x ＞0，e x－1≥0，解得0≤x ＜2，故定义域为[0,2)，选D.答案：D12．(xx 届江苏泰州检测)已知函数f (x )＝3－2x＋1的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B＝________.解析：由题意，知A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)13．(xx 届唐山市五校联考)函数y ＝110x－2的定义域为________．解析：由10x －2>0得，10x>2， ∴x >lg 2.答案：(lg 2，＋∞)14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)， 由f (x －2)＝f (－x －2)得，x ＝－b2a ＝－2，∴4a －b ＝0，①∵f (x )在y 轴上截距为1，∴c ＝1. 又∵f (x )在x 轴截得的线段长为2 2.即|x 1－x 2|＝22，∴b 2－4ac|a |＝22，即b 2－4a ＝8a 2.②解①②可得a ＝12，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.[能 力 提 升]1．(xx 届河南新乡调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，x ≤10，－lg x ＋2，x ＞10，若f (8－m 2)＜f (2m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－4,1)C ．(－2,4)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：由函数f (x )的图象可知函数f (x )在R 上单调递减，因此由f (8－m 2)＜f (2m )可得8－m 2＞2m ，解得－4＜m ＜2.故选A.答案：A2．(xx 届广西名校摸底考试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12恒成立，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈(－2,0)时，f (x )＝( )A ．2＋|x ＋1|B ．3－|x ＋1|C ．|x －2|D ．|x ＋4|解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )的周期为2，当x ∈(0,1)时，有x ＋2∈(2,3)，故f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2.同理，当x ∈[－2，－1]时，有f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4，又知f (x )是偶函数，故x ∈(－1，0)时，有－x ∈(0,1)，故f (x )＝f (－x )＝2－x ，则x ∈(－2,0)时，f (x )＝3－|x ＋1|.答案：B3．(xx 届浙江余姚一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，3≤x ≤15，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 3＋x 4x 1x 2的值等于( )A ．18πB ．18C ．9πD ．9解析：如图是函数f (x )的图象，由已知，得13＜x 1＜1＜x 2＜3＜x 3＜6＜12＜x 4＜15，且log 3x 2＝－log 3x 1，所以x 1x 2＝1.x 3＋x 4＝9×2，即x 3＋x 4＝18，因此x 3＋x 4x 1x 2＝18，故选B.答案：B4．(xx 届山东潍坊检测)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．解析：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，易知当x ＝12时，1－a 2x ＝0，即1－a2＝0，所以a ＝ 2. 答案： 22019-2020年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1.(xx 届北京模拟)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A.y ＝e －xB ．y ＝x 3C.y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e－x，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数，故选B.答案：B2.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A.[1,2] B ．[－1,0] C.[0,2]D ．[2，＋∞)解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．答案：A3.(xx 届郑州质检)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( ) A.(－∞，－3) B ．[2，＋∞) C.[0,2)D ．[－3,2]解析：∵x 2＋x －6≥0，∴x ≥2或x ≤－3，又∵y ＝x 2＋x －6是由y ＝t ，t ∈[0，＋∞)和t ＝x 2＋x －6，x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)两个函数复合而成，而函数t ＝x 2＋x －6在[2，＋∞)上是增函数，y ＝t 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调增区间是[2，＋∞)，故选B.答案：B4.(xx 届长春质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A.(－∞，1] B ．(－∞，－1] C.[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.故选A. 答案：A5.(xx 届九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A.f (x 1)<0，f (x 2)<0 B.f (x 1)<0，f (x 2)>0 C.f (x 1)>0，f (x 2)<0 D.f (x 1)>0，f (x 2)>0 解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案：B6.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A.(8，＋∞) B ．(8,9] C.[8,9]D ．(0,8)解析：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －8≤9，解得8＜x ≤9.答案：B7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2) B ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138C.(0,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：因为函数为递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，2a －2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138，故选B.答案：B8.(xx 届贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A.－1 B ．1 C.6D ．12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1x 3－2，1<x ≤2且1－2＝13－2＝－1，∴在定义域内为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：C9.(xx 届洛阳市上学期联考)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A.c >b >a B ．b >c >a C.a >c >bD ．a >b >c解析：∵a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，同理b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，又∵log 32>log 52>log 72，∴a >b >c ，故选D.答案：D10.(xx 届贵阳市高三摸底)函数f (x )＝a ＋be x ＋1(a ，b ∈R )为奇函数，且图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫ln 3，12 ，则函数f (x )的值域为( ) A.(－1,1) B ．(－2,2) C.(－3,3)D ．(－4,4)解析：∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数， ∴f (0)＝0即a ＋b2＝0，①又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎪⎫ln 3，12， ∴a ＋b 4＝12，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴f (x )＝1－2e x＋1. 又e x＋1>1，∴－2<－2e x ＋1<0，∴－1<f (x )<1，故选A. 答案：A11.求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝ (x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝ (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝ (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 12.已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1，解得－2＜m ＜1.② 综合①②可知－1≤m ＜1. 即实数m 的取值范围是[－1,1)．[能 力 提 升]1.(xx 届安徽池州二模)奇函数f (x )满足f (1)＝0，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则2x－1f x －f －x＜0的解集为( )A.(－1,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析：由于函数f (x )是奇函数，所以2x －1fx －f －x ＜0等价于2x－12f x＜0，由于f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上也单调递减，且f (－1)＝－f (1)＝0，所以当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )＞0；当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，f (x )＜0.又因为在(－∞，0)上2x－1＜0，在(0，＋∞)上2x－1＞0，综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：B2.(xx 届江西九江联考)若函数f (x )＝ (a ＞0，且a ≠1)的值域是R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤12时，f (x )＝≥2，要使函数的值域为R ，应要求当x ＞12时，y ＝log a x 的取值范围包含(－∞，2)，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 12≥2，解得22≤a ＜1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 3.(xx 届豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2.答案：(－∞，－2)4.已知函数y ＝f (x )在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤1－a 2≤1，－1≤1－a ≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1. 故所求实数a 的取值范围是[0,1)．。
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2019年课时跟踪检测(四) 函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74 B.74C.43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．(2017·黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：选A f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b ，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.4．已知f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫3x －1＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－710＝________. 解析：令3x －1＝－710，得x ＝10，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－710＝lg 10＝1. 答案：15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：f (2)＝12，则f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， ∴f (x )∈[－3，＋∞)．2019年答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2B ．2C ．－2或2 D. 2解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2，故选B.2．(2017·长沙四校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析：选C ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. 3．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．4．已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f 3xx －1的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,3]D ．[0,1)∪(1,9]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x <1，选B.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选 B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 6．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1， ∴f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：148．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]9．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－34解析：选B 当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：73.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。