3集合的交与并

课题：集合的交与并 第3课时
教学目标：
1、理解两个集合的交集与并集的含义，能根据定义求两个简单集合的交集与并集。

2、能使用Venn 图表达集合的包含关系及运算，体会直观图对于理解抽象概念的作用。

3、增强符号的语义转换能力与化归意识。

教学重点：
1、交集和并集的含义。

2、交集和并集数学符号的应用。

教学难点：
交集、并集、补集符号的综合应用。

教学过程：
一、复习与练习
1． 复习提问
（1） 谁能说出“属于”和“包含于”这两个概念的区别？怎样定义集合M 是集合
N 的真子集？怎样描述两个集合相等？
（2） 请说出补集的定义，并举出数学中的一个补集例子。

2．小练习
（1）用适当的数学符号表示∅与集合{0}的关系；
（2）A={ x | x = 2n+1，n ∈Z}，B={ y | y = 2n-1，n ∈Z}，用适当的数学符号表示这两个集合的关系；
（3）A={菱形}，B={矩形}，C={正方形}，用适当的数学符号表示集合A 与B ，B 与C ，A 与C 的关系；
（4）A={ 0|),(=xy y x }，B={ 0|),(2
2=+y x y x },这两个集合之间有怎样的关系？
（5）集合I=Z ，A={ x | x = 3n ，n ∈Z}，求A 的补集；
（6）集合I=R ，A={ x |1|21|<-x , x ∈R}，求A 的补集。

点评： （3）
可通过鼠标拖动演示动态的菱形与矩形。

然后给出下面的表示集合关系的韦氏图。

（4）A={ 0|),(=xy y x }表示两条相交的坐标轴，B={ 0|),(2
2=+y x y x },表示原点。

（5）{ x | x = 3n+1或x = 3n+2，n ∈Z}也可以写成{ x | x = 3n ±1，n ∈Z}。

（6）{ x |1|21|<-x , x ∈R}={ x | x <0或 x >1, ∈R}
二、引入新课：集合的交与并
1． 两个集合的交
提问：一个班级有45名同学，通过调查了解到其中35名同学喜欢唱歌，25名同学喜欢打球，有人觉得这个调查结果不可信，理由是35+25=60，而全班一共才45人，这怎么可能呢？这个人的推断对吗？错在哪里？
（这样相加是假定了喜欢唱歌的同学不喜欢打球，喜欢打球的同学不喜欢唱歌，这不符合实际！实际上喜欢唱歌的同学可能也同时喜欢打球，所有这样的同学组成的集合就是两个集合的交，这个人之所以产生错误判断在于他不懂得交集！）
其实我们从前面的练习已经遇到了集合的交
上面的练习（3）中，菱形集合与矩形集合的交集是正方形的集合。

还可以举大量生活中的例子：
一个排球队中有善于发球的队员，有善于扣球的队员，这两个集合的交集是由所有既善于发球又善于扣球的队员组成的集合。

现在可以给两个集合的交集下定义了（请同学下定义）
把所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记为B A ⋂。

用Venn 图表示
B A ⋂={ x | x A ∈且x B ∈} （强调关键词“且”，对照前面练习（4）、（5）、（6）对比“且”与“或”的用法，指出数学语言精确的特点）
如果B ⊆A ，则B A ⋂=B
看几个简单的数学问题：（提问）
（1）A={2，4，6，8，10，12}，B={3，6，9，12}，B A ⋂
（一般地，2的倍数的集合与3的倍数的集合的交集=？）
（2）A ：（-2，6），B ：[1，8），B A ⋂=
（画图说明，追问（-2，6）与[6，8）的交集、（-2，6]与[6，8）的交集=？）
（3）A={等腰三角形}，B={直角三角形}，B A ⋂=
（{等腰三角形且直角三角形}即{等腰直角三角形}，{等边三角形}与{直角三角形}的交集是什么？）
（4）A ={（x ,y ）| x +y =3，R y x ∈,}，A ={（x ,y ）| 3x -y =5，R y x ∈,}，B A ⋂=
（{（x ,y ）|⎩
⎨⎧=-=+.53,3y x y x } = {（2，1）}，并用超级画板演示两条直线的交点） 有了集合的交集，一些数学问题可以更简洁的表述：
例如：两个二元一次方程组成的方程组的解可以说成这个方程组的解集，它是两个方程的解集的交集，无解即交集为空集。

类似地可以用交集为空集描述两条直线平行或直线与圆相离的位置关系。

让我们看交集的几个明显的性质：
B A ⋂=A B ⋂；特别地A A A =⋂，∅=∅⋂A 。

另外，B A ⋂⊆A ，B A ⋂⊆ B 。

可以把集合的“交”看成集合的一种运算。

2．两个集合的并
在刚才的问题“一个班级有45名同学，通过调查了解到其中35名同学喜欢唱歌，25名同学喜欢打球”中，如果问同时喜欢唱歌与打球的人到底有多少，你能说清吗？ 反正最多不能超过35人，最少呢？这个交集是空集显然不可能，只含有一个元素行吗？……看来需要考虑把这两个集合的所有元素放在一起考虑（用计算机动态演示以下两个圆运动的情况，得出交集的元素数目最少为15人）。

什么叫把两个集合的所有元素放在一起？
A={1，2，3，4}，B= {3，4，5}，把这两个集合的所有元素放在一起是什么意思？ {1，2，3，4，5}而不是{1，2，3，4，3，4，5}，把集合{1，2，3，4，5}叫作集合
A 与
B 的并集，记为B A ⋃。

一般地，把集合A 、B 中所有元素放在一起组成的集合，叫作A 和B 的并集，简称为并，记为B A ⋃。

B A ⋃= {A x x ∈|或B x ∈} （与B A ⋂={ x | x A ∈且x B ∈} 对照，强调关键词“或”，结合Venn 图对比“且”与“或”的意义）。

现在{ x | x = 3n+1或x = 3n+2，n ∈Z}可以写成{ x | x = 3n+1}⋃{ x | x = 3n+2，n ∈Z} {0)23)(9(|22=+--x x x x }={09|2=-x x }⋃{023|2
=+-x x x }={3，-3，1，2} （高次方程降次化归为一次或二次方程）
{（x ,y ）|022=-y x }={（x ,y ）| y =x }⋃{（x ,y ）| y = -x }
({（x ,y ）|022=+y x }={（x ,y ）| x =0}⋂{（x ,y ）| y = 0}={(0,0)})
（结合图形说明）
让我们看并集的几个明显的性质：
B A ⋃=A B ⋃；特别地A A A =⋃，A A =∅⋃。

另外， A ⊆B A ⋃， B ⊆B A ⋃ 。

可以把集合的“并”看成一种运算。

例 1 如果集合M 满足条件M ⋃{1，2}={1，2，3}，则集合M 可能为___________ （构造集合M 时考虑它至少应该含有什么元素？答案有四种情况{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}。

）
例2若全集I=R ，f (x )，g (x )均为x 的一次函数，}0)(|{<=x f x P ，}0)(|{≥=x g x Q ，那么如何用Q P ,表示不等式组⎩
⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f 的解集？ （如果f (x )，g (x )均为x 的二次函数，这个问题还会吗？关键是如何用}0)(|{≥=x g x Q 表示集合}0)(|{<x g x ，然后再考虑用集合语言表示不等式组⎩
⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f 的解集） 例 3．若全集I= {a ，b ，c ，d ，e ，f}，集合
M ={ a ，b ，c }，集合N ={ b ，c ，d ，e }，
求：)(N M C I ⋃和N C M C I I ⋂。

N M ⋃={ a ，b ，c ，d ，e }，)(N M C I ⋃={f}，
M C I ={d ，e ，f}，N C I = {a ，f}，N C M C I I ⋂={f}。

请你结合下图对例3加以解释
课堂练习
1、设I=R ，A={ x | | x -1 |≤3}，B ={ x | | x +3 |<1} ，求B A ⋂，B A ⋃，B C A C I I ⋃
2、[a,b]⋂[c,d]=?按a ，b ，c ，d 的各种大小关系，有不同回答，下列的答案分别对应于什么条件？
（1）空集； （2）[a ，d]；（3）[c ，b]；（4）{ b }；（5）[a ，b]。

还有别的解答吗？
口答第13页练习1、2。

（讲评：1、A={ x | | x -1 |≤3}=[-2，4]，B ={ x | | x +3 |<1}=（-4，-2），B A ⋂=∅，B A ⋃=（-4，4 ]，B C A C I I ⋃= R ，注意到空集的补集是R ，你发现了什么？
2、结合超级画板动态演示说明如何分类。

）
小结：1、今天学习的两个内容交集和并集，需要明确它们的含义，数学定义、语言表述、符号表述及图形表示。

2、 对照交集和并集，把定义、语言表示、韦氏图、性质等列成一个对照表。

3、 领会解题中用到的数形结合、分类讨论等思考方法。

作业：1、阅读课文10—11页，15页的“钥匙的分配问题”，第8页“多知道一点”——“用计算机给区域染色”。

2、作业 第13页 习题3的1——4，6，7。

选作 14页 9——13。