第三讲《三角形等积变形》复习指导1

合集下载

三角形等积变形

三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。

以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。

例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。

2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。

可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。

3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。

4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。

这些是一些常见的三角形等积变形的示例。

以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。

可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。

2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。

保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。

3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。

保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。

三角形等积变形

三角形（1）三角形有( )条边、( )个角和( )个顶点1．垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

2．画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。

作垂直线段，标直角符号，四步画完。

3．你能在右图中找出几条高?标在图中。

4．标出下面各三角形的底和高。

5.我会判断对与错。

下面每个三角形的高画得对吗？6．画出每个三角形底边上的高。

1、如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF和△AFC的面积有什么关系？.2、如图，三角形ABC和BCD的面积是否相等？3、如图，在梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？4.1-aBA5、如图，AD 垂直于BC ，AD=12cm ，DE=3cm ，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？6、如图，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多多少倍？7、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？8、把图中三角形ABC 的底边平均分成4份，D 是BC 的中点。

已知三角形EFD 的面积是1平方分米。

求三角形ABC 的面积。

ABCD9、如下各图，长方形ABCD的长均为20，宽均为12，分别求阴影部分的面积。

10、如图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，求阴影部分的面积。

三角形的等积变形前言我们都已经知道三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现三角形的面积大小取决于三年级的底和高的乘积．所以一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数个不同的形状．成功秘诀1．如果三角形的底（高）不变，高（底）越大则面积越大，高（底）越小则面积越小；2．等底等高的三角形面积一定相等，形状不一定相等；3．如果两个三角形的底（高）相等，高（底）成倍数关系，面积也成相同的倍数关系．王牌例题【例1】难度★★★如图，BD长18厘米，DC长9厘米，（1）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？cm，BD=2CD，求三角形ACD的面积．【练习】如图，三角形ABC面积为182【例2】难度★★★如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，图中面积相等的三角形共有几对？【练习】如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，那么与△ABE 等积的三角形一共有几个?【例3】难度★★★★如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ，若△ADE 的面积为1平方厘米．求△ABC 的面积．【练习】如图，△ABC 面积为272cm ，E,F 分别是AC 、BC 的三等分点，求BEF S ∆．【例4】难度★★★★如图，△ABC 中，D 为BC 中点 AD 垂直于DE ，AE=4CE ，AD=8cm ，DE=5cm ．求△ABC 面积．【练习】如图D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的三等分点，227ABC s cm ∆=，求DEF S ∆．【例5】难度★★★★如图，△ABC中，D、E、、F分别是BC、AD、BE的二、三、四等分点，△cm，求△ABC的面积．DEF面积为302【练习】如图，将△ABC的AB、BC、CA分别延长1倍到D、E、F．已知△ABC 面积为2，求△DEF的面积．课后作业1、如图，用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．cm，M是AD的中点，求△MBC的面积．2、如图，△ABC的面积为4023、如图，△ABC的面积为1个面积单位，其中AE=3AB，BD=2BC．求△BDE的面积．4、如图，将一个任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1：2：3．5、如图，△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC ，218ABC S cm ∆=．求图中阴影部分面积．6、如图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E 、交DA 延长线于F ．若1AdC S ∆=，求∆BEF 的面积．7、如图；长方形ABCD 中，BC=9cm ，AB=6cm ，ABE ADF AECF S S S ∆∆==平行四边形，求AEF S ∆．。

六年级奥数第3讲等积变形

六年级奥数第3讲等积变形
引言
本文档将介绍六年级奥数第3讲的等积变形。

通过本讲的研究，学生将能够更深入地理解等积变形的概念和方法，并能够应用于相
关问题的解决。

等积变形的定义
等积变形是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变形状、
角度或尺寸等方式进行变换的过程。

在等积变形中，图形的比例关
系和形状特征保持不变。

例题解析
以下是一些关于等积变形的例题解析，以帮助学生更好地理解
和掌握相关知识。

例题1
已知一个长方形的长为12cm，宽为8cm，将其等比例缩小为
原来的一半，请计算缩小后长方形的长和宽分别是多少？
解析：由于题目要求等比例缩小为原来的一半，可以将长和宽都除以2来计算。

因此，缩小后的长方形的长为6cm，宽为4cm。

例题2
一个三角形的底边长为10cm，高为8cm。

将该三角形的底边长保持不变，将高等比例放大为原来的2倍，请计算放大后三角形的高和面积分别是多少？
解析：根据等积变形的性质，底边长不变，高放大为原来的2倍意味着面积放大为原来的2倍。

因此，放大后三角形的高为
16cm，面积为80平方厘米。

总结
通过学习本讲的等积变形概念和例题解析，我们了解到等积变形是指在保持图形面积不变的前提下进行变换的过程。

在计算等积变形时，可以利用比例关系和形状特征来解决相关问题。

希望同学们通过本讲的学习，能够更熟练地运用等积变形的方法解决各类数学问题。

三角形中的重要模型-等积模型(解析版)

三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB ⎳CD ，则S △ACD =S △BCD ；反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB ⎳CD 。

图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC =BE ∶CF 。

1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 边AC 的中线，点E 在BC 上，BE =12EC ，△ABD 的面积是3，则△BED 的面积是()A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S △BDC 、S △BED ．【详解】解：∵BD 是△ABC 边AC 的中线，△ABD 的面积是3，∴S △BDC =S △ABD =3，∵BE =12EC ，∴S △BED =13S △DBC =1，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是△ABD 的边BD 上的中线，BF 是△ABE 的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的边AC 上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的边BD 上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵BF 是△ABE 的边AE 上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．3(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：∵CG :GF =2:1，△AFG 的面积为2，∴△ACG 的面积为4，∴△ACF 的面积为2+4=6，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积=△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．【答案】14.4【分析】连接BF , 设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,根据CD 为AB 边上中线，可得S △ADF =S △BDF =a ,S △BDC=12S △ABC ；根据BE =2CE ，可得S △CEF =12S △BEF =126-a , S △ABE =23S △ABC .进而，S △ABC 的面积可表示为2S △BDC 和32S △ABE ,由此建立方程18-a =32a +9,解出a 的值即可得到△ABC 的面积.【详解】解：连接BF ，如图所示：设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF =S △BDF =a , S △BDC =12S △ABC.∵BE =2CE ，∴S △CEF =12S △BEF =126-a ，S △ABE =23S △ABC .∴S △ABC =2S △BDC =2a +6-a a +126-a =18-a ，S △ABC =32S △ABE =322a +6-a =32a +9，即18-a =32a +9.解得:a =3.6. ∴S △ABC =18-a =18-3.6=14.4，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=(用含a 的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=(用含a 的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF (如图4)．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=(用含a 的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为(用含a 的代数式表示)，并写出理由．【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a ，见解析【分析】(1)直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；(2)连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出S ΔECD =2S ΔABC ，即可得解；(3)由(2)结论即可得出S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD ，从而得解；(4)点E 是线段AD 的中点，可得S △ABE =S △BDE ，S △ACE =S △DCE ．S △BCE =12S △ABC．点F 是线段CE 的中点，可得S △BEF =S △BCF =12S △BCE．从而可得答案．【详解】(1)解：如图2，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，∴AC 为△ABD 的中线，∴S △ACD =S △ABC 即S 1=a ；(2)如图3，连接AD ，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，∴S ΔACD =S ΔAED =12S ΔECD ，S ΔACD =S ΔABC ，∴S ΔECD =2S ΔABC =2a ，即S 2=2a ；(3)由(2)得S ΔECD =2S ΔABC =2a ，同理：SΔEFA =2S ΔABC =2a ，S ΔECD =S ΔBFD =2a ，∴S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD =6a ；(4)S△BEF=2a，理由如下：理由：∵点E是线段AD的中点，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△DCE．∴S△BCE=12S△ABC．∵点F是线段CE的中点，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE．∴S△BEF=14S△ABC=2a．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．【答案】(1)△ABP(2)①15；②221(3)图见解析，理由见解析【分析】(1)根据m⎳n，可得△ABC和△ABP同底等高，即可求解；(2)①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF，从而得到SΔACF =SΔABC，即可求解；(3)过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=SΔAEC，从而得到S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，即可求解．【详解】(1)解：∵m⎳n，∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；(2)解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔABC=12×6×5=15，∵CE∥AB，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔBAE=SΔABC=15；②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21，∴SΔABC=12×4×21=221，∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔACF=SΔABC=221；(3)解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF 即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔABC=SΔAEC，∴S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，∴S四边形ABCF =SΔADF=12SΔAED=12S四边形ABCD，∵SΔACD>SΔABC，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

第三讲三角形的等面积变形

例 3，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形 BDF 面积为多少平方厘米？
A
DG FHBEC分析:连接 CF.则 CF∥BD。则三角形 BCD 与三角形 BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。因为他们有一条公共的底边 BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条
E
D
F
G
O
C
连接 FD、OD,则三角形 OFD 与三角形 OFE 是等积三角形，所以面积相等，所以凹四边形 CFDO 的面积等于三角形 CEF 的面积，都是 32 平方厘米，而 CDF 的面积为长方形面积的一半模型，所以等于长方形面积的一半，即 12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形 CDF 的面积=48-32=16（平方厘米），所以 OG=16×2÷8=4（厘米）。学案 4 如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近 B 点的四等分点。三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？
请同学们自己试一试吧。学案 2，
F
A B
D
C
E
如上图，已知三角形 ABC 的面积为 1，延长 AB 至 D,使 BD=AB,延长 BC 至 E,使 CE=2BC, 延长 CA 至 F,使 AF=3AC,求三角形 DEF 的面积。分析：连接 CD,AE.因为 AB:BD=1:1,所以三角形 DBC 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1，所以也是 1 个单位，因为 BC:CE=1:2,所以三角形 DCE 的面积为 2 个单位，同理三角形 ACE 的面积也是 2 个单位，因为 AC:AF=1:3,所以三角形 AEF 的面积为 6 个单位，因为三角形 ADC 的面积为 2 个单位，而 AC:AF=1:3,所以三角形 ADF 的面积为 6 个单位，这样 DEF 的面积为 6+6+2+2+1+1=18 个平方单位。

三角形等积变形

例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等（BD=DE=EC=BC），它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点．解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．

三角形等积变形

三角形等积变形
三角形是几何学中的一个基本形状，具有三条边和三个角。

在数学中，我们学习过三角形的性质和各种定理，但在生活中，三角形的形状也经常出现在我们的眼前。

而在艺术中，三角形等积变形是一种常见的设计元素，可以为作品增添美感和动感。

在建筑设计中，三角形等积变形常常被用来设计建筑的外观和结构。

例如，许多现代建筑采用了三角形的形状，不仅可以增加建筑的美感，还可以提高建筑的稳定性和结构强度。

这种设计不仅具有美学上的价值，还具有实用性，体现了建筑师对结构和功能的兼顾。

在艺术作品中，三角形等积变形也经常被运用。

艺术家们通过将三角形等积变形组合在一起，创造出各种美丽的图案和设计。

这些作品不仅具有装饰性，还可以传达出艺术家的情感和思想。

三角形等积变形的组合可以产生无穷无尽的可能性，让人们在欣赏作品的同时，感受到艺术家的创意和灵感。

在日常生活中，三角形的形状也随处可见。

比如，许多家具和装饰品都采用了三角形的设计，为家居空间增添动感和现代感。

此外，一些日常用品如餐具、文具等也常常采用三角形的形状，方便使用的同时也美观大方。

总的来说，三角形等积变形在各个领域都有着重要的作用。

无论是在建筑设计、艺术创作还是日常生活中，三角形的形状都能给人带
来美的享受和视觉上的愉悦。

通过运用三角形等积变形，人们可以创造出无限的可能性，展现出自己的创意和想象力。

让我们一起欣赏和探索三角形等积变形的魅力，感受美的力量和无限的可能性。

小学六年级数学第3讲：等积变形(学生版).docx

第三讲普彩变形大脑体操作业兒成情况知识械理1.等积模型2.鸟头定理3.蝶形定理4.相似模型5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）教学重•堆点1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。

2.能在解题中发现题目中所涉及的儿何模型。

趁味引入特色讲舞例1：如图，正方形加肋的边长为6, AE=1.5, CF=2・长方形加H的面积为例2：长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？A ___________ H D例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = S f AD = 15,四边形EFGO 的面积为 _____________ .B F C例4：已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）例5：如图，已知CD = 5, DE = 1 , EF = \5f FG = 6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是・例6：如图在ZSABC 中，DE 分别是A5AC 上的点，且AD:AB = 2:59 AE:4C = 4:7, s △他=16平方厘米，求△ ABC 的面积・例& 如图，平行四边形 ABCD, BE = AB, CF = 2CB , GD = 3DC , HA = 4AD 9 平行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比・例7：如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上, E 在 AC 上，且 AB:AD = 5:2,C_D E AGAE:EC = 3:2 求△ABC 的面积.例9：如图所示的四边形的面积等于多少?13例10：如图所示，\ABC中，ZABC = 90°, AB = 3, 正方形ACDE ,中心为O,求\OBC的面积•BC = 5,以AC为一边向SABC外作当童练习1•如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米, 宽为几厘米？长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的12E2•在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.3.如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点，AE = 2ED ,则阴影部分的面积4.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？5.如图，三角形力化被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD = DC = 4, BE = 3, 4E = 6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？B6.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形ABE, ZAEB = 90°, AC. BD 交于0・已知AE > BE的长分别为3cm、5cm ,求三角形OBE的面积.C BD A7.如下图，六边形ABCDEF中，AB = ED , AF = CD, BC = EF ,且有AB平行于ED , AF 平行于CD, BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD = 24厘米，BD = 1S厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？&如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC = 1:2, AD 与BE交于点F・则四边形DFEC的面积等于________________ ・9 .如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC = 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？10.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）•如果三角形ABD的面积等于三角形心的面积时且A。

小升初之三角形等积变形

A三角形等积变形1、等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

2、三角形的等积变形。

三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。

3、三角形面积计算公式。

S ∆ = 底⨯高÷ 24、三角形等积变形中惯用到的几个重要结论。

（1）平行线间的距离到处相等。

（2）等底等高的两个三角形面积相等。

（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一种，这样的两个三角形面积相等（4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍。

（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同始终线上，并且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

分别作出下面三个三角形各边上个高，并对应指出。

（如：BC 边上的高是 AD ）ACB CCBAEE E典型例题：例 1、∆ABC 中，D 是BC 边中点，连接 AD ， ∆ABC 与∆ACD 的面积有什么关系？B D E C例 2、三角形 ABC 中，BD=DC ，AE=2BE ，已知△ACD 的面积是 60 平方厘米，求阴影部分的面积。

ABDC例 3、在三角形 ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是 20 平方厘米。

求三角形 ABC 的面积。

BDC例 4、长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．ADFBCEBO例 5、以下图，图中 BO=2DO ，阴影部分的面积是 10 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ADBC知识反馈：1、思考：已知平行四边形的底是 16 厘米，高是底的二分之一，求阴影部分的面积。

2、如图所示 CD=2BD ，△ABC 中的面积为 6，求△ACD 的面积是多少？ABDC3、已知三角形 ABC 面积为 8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形 DBE 的面积？DCA4、平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．AFEADO5、图中 CD ＝3BD ， ∆ABD 的面积为 2，求∆ABC 的面积是多少？ABDC6、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 、F 是 AC 的三等分点。

必修4第三章三角恒等变形复习课

[解析] (1)f(x)＝61＋cos2x－ 3sin2x 2
＝3cos2x－ 3sin2x＋3
＝2 3( 3cos2x－1sin2x)＋3
2
2
＝2 3cos(2x＋π)＋3， 6
故 f(x)的最大值为 2 3＋3；最小正周期 T＝2π＝π.
2
(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3，故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6，故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”：
（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）.
（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明.
（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考.
2．三角函数式化简的基本技巧．
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)1±sinα化为 1±cos(π±α)，再升幂或化为(sinα±cosα)2.
2
22
(4)asinα ＋ bcosα→ 辅助角公式 asinα ＋ bcosα ＝
a2＋b2sin(α＋φ)，其中 tanφ＝b
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
专题三三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明．就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。

2024年三角形中的重要模型等积模型(含答案)

专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。

图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。

A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

三角形的等积变形

年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。

三角形面积的计算公式：S＝底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。

③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

重要结论：①等底等高的两个三角形面积相等。

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。

（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。

分析与解：因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

因为，12＋4＝16，16÷12＝34，所以△ABC 的底是△ABD 的底的34倍，所以，△ABC 的面积是△ABD 面积的34倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD 的面积是△ADC 面积的3倍。

巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。

五年级下册数学奥数试题-等积变形(人教版)

第3讲等积变形一、知识点等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.二、例题精讲例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是________平方厘米.三、水平测试1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。

3第三讲多边形的面积(等积变形)

第三讲多边形的面积(等积变形)【知识概述】三角形面积的公式是底×高÷2,两个三角形只要是底和高分别相等,它们的面积就相等,而这两个三角形的形状不一定完全相同,例如,下面的两个三角形面积就是相等的。

在解答一些平面图形的面积时,我们可以巧用等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。

例题精学例1 四边形ABCD中,M为AB 的中点,N为CD 的中点,如果四边形ABCD 的面积是80 平方厘米,求阴影部分BNDM 的面积是多少平方厘米。

【思路点拨】图中阴影部分BNDM 是一个不规则的四边形,不能直接求出它的面积。

如果用一条对角线BD 将四边形ABCD 分成两个三角形。

(如右图所示)。

在△ABD和△BDC中,由于M,N 分别是AB,CD 的中点,根据等底等高三角形面积相等的道理,可知S△AMD=S△MBD,S△DNB=SΔcNB。

所以阴影部分的面积与空白部分的两个三角形的面积之和相等。

同步精练1. 如图,六边形ABCDEF 的面积是16 平方厘米,M,N,P,Q 分别是AB,CD,DE,AF 的中点。

求图中阴影部分的面积。

2. 如图,平行四边形的面积为50 平方厘米.P 是其中任意一点,求阴影部分面积3. 如图,正方形的边长是6 厘米,E,H 是所在边的二等分点,F,G，L,M 是所在边的三等分点,求阴影部分的面积和。

例2 如下图,三角形ABC 为等边三角形,D为AB 边上的中点。

已知三角形BDE 的面积为5 平方厘米。

求等边三角形ABC 的面积。

【思路点拨】我们在三角形ABC的AC 边上取中点F,BC 边上取中点G,然后连接DF,FG,GD(如右图)。

我们看到,三角形ADF,BDG,FGC,GFD 为四个完全一样的等边三角形。

因为DE为△DBG底BG上的高,所以S△DBE=S△DGE。

由此,我们可以想到三角形ABC 的面积是三角形DBE 面积的8倍。

同步精练1. 如图,平行四边形ABCD中,AE=EF=FB,AG=2CG,三角形GEF 的面积是6 平方厘米,平行四边形的面积是多少平方厘米?2.如图,已知长方形ABCD,三角形ABG 的面积为20 平方厘米,三角形CDQ 的面积为35 平方厘米,求阴影部分的面积是多少平方厘米。

第三讲 《三角形等积变形》复习指导1

三角形等积变形

三角形等积变形

六年级奥数第3讲等积变形

三角形中的重要模型-等积模型(解析版)

第三讲三角形的等面积变形

三角形等积变形

三角形等积变形

小学六年级数学第3讲：等积变形(学生版).docx

小升初之三角形等积变形

必修4第三章三角恒等变形复习课

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

2024年 三角形中的重要模型等积模型(含答案)

三角形的等积变形

五年级下册数学奥数试题-等积变形(人教版)

3第三讲 多边形的面积(等积变形)

第三讲《三角形等积变形》复习指导1

2024年三角形中的重要模型等积模型(含答案)

3第三讲多边形的面积(等积变形)