江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学空间线面关系的判定(1)教案苏教版选修2-2

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苏教版高中数学选修2-1：空间线面关系的判定_课件1

设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则 α∥β⇔u∥v⇔__u_＝__k_v__⇔__a_1_＝__k_a_2，__b_1_＝__k_b_2_，__c_1＝___k_c_2_，__k_∈__R_
2．空间垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔ _a_⊥__b_ ⇔ _a_·b_＝__0⇔__a_1b_1_＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0__
课前探究学习
课堂讲练互动
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个
向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个
平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即
可．
(3)面面平行
①转化为线线平行、线面平行处理．
②证明这两个平面的法向量是共线向量．
课堂讲练互动
解以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，D(0，0， 0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，D1(0，0， 1)，M(1，0，12)，O(12，12，12)．
(1)B→D1＝(－1，－1，1)，A→C＝(－1，1，0)，所以B→D1·A→C＝(－1)×(－1)＋1×(－1)＋1×0＝0，所以B→D1⊥A→C，即 BD1⊥AC.
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔u∥v⇔__u_＝__k_v．

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学直线的方向向量和法向量教案苏教版选修2-2

1、例1在正方体中，求证：是平面的法向量
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
，，
，所以
同理
所以平面
从而是平面的法向量。
2、例2在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。
解：由题意可得
即
化简得
3、课堂练习
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。
三、数学运用
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：ห้องสมุดไป่ตู้线的方向向量和法向量
教学
目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
重点难点
重点：直线的方向向量和平面的法向量
难点：求平面的法向量
教学过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量‘
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵ ，
，
∴ ，，又，平面，
∴ 是平面的法向量．
（2），，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
四、回顾总结
1、直线得方向向量与平面法向量得概念；
2、求平面法向量得方法

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学空间向量基本定理教案苏教版选修2-2

如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底的三个有序实数，使
三、数学运用
1、例1如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使
∴
所以
（唯一性）假设还存在使
∴
∴
不妨设即 ∴
∴ 共面此与已知矛盾∴该表达式唯一
综上两方面，原命题成立
由此定理，若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把{ }叫做空间的一个基底，叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
解：
课外作业
教学反思
教学过程
一、创设情景
平面向量基本定理的内容及其理解
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
使
二、建构数学
1、空间向量的基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
证明：（存在性）设不共面，
过点作
过点作直线平行于，交平面于点；
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：空间向量基本定理
教学
目标
1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
重点难点
教学重点：空间向量的基本定理及其推论
教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案空间向量基本定理(苏教版选修2-1)

1e 2e aPOA'P'B'C'BA C四队中学教案纸备课时间教学课题教时计划1教学课时 1教学目标 1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

重点难点教学重点：空间向量的基本定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, ，使a r2211e e 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组),,(z y x ，使321e z e y e x p证明：（存在性）设321,,e e e 不共面，过点O 作p OP e OC e OB e OA ,,,321过点P 作直线PP 平行于OC ，交平面OAB 于点P ；在平面OAB 内，过点P 作直线//,//P A OB P B OA ，分别与直线,OA OB 相交于点,A B ，于是，存在三个实数,,x y z ，使3/2/1/,,e z OC OC e y OB OB e x OA OA∴OP OA OB OC xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r所以321e z e y e x p。

高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.3.2空间线面关系的判定课件

则 n1⊥O→A，n1⊥O→P，所以12－x－12x12－y＝12y0＋，12z＝0，
解析
取 x＝1，则 n1＝(1,1,2)．又因为B→D1＝(－1,－1,1)，Q→D1＝(0,－1,1－m)．设平面 D1BQ 的法向量为 n2＝(a，b，c)，
则 n2⊥B→D1，n2⊥Q→D1，所以－－ab－＋b1＋－cm＝c0＝，0，
解析答案
4. 已知空间四点A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)，D(8,4，a)，如果四边形 ABCD为梯形，那么实数a的值为________．
【解析】由题意知A→B＝(4,－8,2)，B→C＝(8,5,7)，D→C＝(2,－4,10－a)，A→D＝(10,1,a －1)．显然A→D与B→C不平行．又四边形ABCD为梯形，所以A→B∥D→C，解得a＝9.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N2，32，4，E0，32，4，F(1,3,4)，所以M→N＝1，32，0，E→F＝1，32，0，A→M＝(－1，0,4)，B→F＝(－1,0,4)，所以M→N＝E→F，A→M＝B→F，所以 MN∥EF，AM∥BF，所以易得 MN∥平面 EFBD，AM∥平面 EFBD. 又 MN∩AM＝M，所以平面 AMN∥平面 EFBD.
所以D→A1＝(1,0,1)，A→C＝(－1,1,0)．设P→Q＝(a，b，c)，
解析
则DA→→CA·1P·→P→QQ＝＝00，，
即a－＋ac＋＝b0＝，0，
取P→Q＝(1,1，－1)．
易知B→D1＝(－1，－1,1)，所以P→Q＝－B→D1，所以P→Q∥B→D1. 又 PQ，BD1 无公共点，所以 PQ∥BD1.

高中数学：12(空间线面关系的判定)学案(苏教版必修2) 学案

【课题】3.2.2空间线面关系的判定【上课时间】【学习目标】1.能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系2.能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理3.能用向量方法判定线线、线面垂直【学习重点】能用向量方法判定线线、线面垂直一、课前预习1.用向量描述空间线面关系设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论2.证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）.如图，已知：，求证：. 证明：αOABCD二、例题选讲例1.证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面（直线与平面垂直的判定定理）. 已知：，求证：. 证明：例2.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥面B 1AC例3.在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB ,030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==A BC D A 1B 1C 1D 1E Fαlm n B是棱1CC 的中点，求证：AM B A ⊥1三、巩固练习1.在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为D D 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，求证：O A 1⊥AM2.在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADEABC A 1B 1C 1M ABC D A 1B 1C 1D 1 O M ABC D A 1B 1C 1D 1E F3.棱长为a的正方体ABCD–A1B1C1D1，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？A BCDA1B1C1D1。

连云港市灌云县四队中学高中数学教案：空间线面关系的判定 (苏教版)

四队中学教案纸
备课时间
教
学课题
教时
计划
1
教学课时
1
教学目标
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平
行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理;
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。

重点难点重点:用向量方法判断空间线面垂直关系难点:用向量方法判断空间线面垂直关系教学过程一、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义二、建构数学
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线2
1
,l l 的方向向量分别为2
1
,e e ，两个平面
21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论
平行
垂直
1l 与2
l
21//e e 21e e ⊥ 1
l 与1
α
11n e ⊥
11//n e
x。

教学设计1：空间线面关系的判定全国优质课一等奖

又平面CDE的一个法向量
由
得到
因为MN不在平面CDE内
所以NM//平面CDE
四、回顾总结
本课主要研究垂直问题
五、布置作业
设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，
∵B1D⊥面PAC，∴ ，
∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC
例4 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且 ,求证：平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
主备人
主导教师
章第课时
总第课时
备课日期
课题
空间线面关系的判定
课型
新授
教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证断空间线面垂直关系。
教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系
教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系
三、数学运用
1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，，A为垂足，
求证：
证明：
2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理）
已知：，
求证：
证明：在内任作一条直线，在直线上分别取向量
所以
因为
所以
可得
即
例3 在直三棱柱中， , , 是得中点。
求证：
证明：如图，建立空间坐标系
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。

2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空间线面关系的判定

[方法归纳] 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径：一是在平面内找一向量与已知直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
用向量语言表述空间直线与平面的位置关系设α2的空法间向两量条分直别线为l1，n1l，2的n方2，向则向有量下分表别：为l1，l2，两个平面α1，
平行
垂直
l1与l2
l1∥l2
__l_1_⊥__l_2___
l1与α1
__l_1_⊥__n__1 __
l1∥n1
α1与α2
n1∥n2
__n_1_⊥__n__2__
[方法归纳] 证明面面垂直通常有两种方法：一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．
规范解答向量法证明空间的平行与垂直关系
2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章空
间线面关系的判定
2020/9/15
第3章空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
学法指导
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关系．(重点) 2．利用直线的方向向量、平面的法向量证明线、面的平行与垂直．(重点、难点)
用向量解决几何问题，可以建立直线、平垂直关系.
1．已知m＝(8，3，a)，n＝(2b，6，5)，若m∥n，则a＋b的值为____________．
2．已知m＝(1，5，－2)，n＝(a，2，a＋2)，若m⊥n，则a的值为__6______．解析：∵m⊥n，∴1×a＋5×2－2×(a＋2)＝0，∴a＝6.

2019-2020学年苏教版选修2-1第3章 3.2 3.2.2 空间线面关系的判定学案

3.2.2 空间线面关系的判定向量法判定线面关系设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]【例1】如图所示，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．1．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎨⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12⎝⎛⎭⎫DB →＋BA →－12⎝⎛⎭⎫A 1B →＋BA →＝12DB→－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. [证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎨⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .【例3】ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0，即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理；(2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m ⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．(2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.()(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 2D[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，∴x＝6，y＝15 2.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.－5[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平11 面B 1BD .[证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .。

【精品】高中数学苏教版选修2-1课件：3.2.2空间线面关系的判定课件(27张)

x
6 所以： A B 3 , 0 , 6 , A M 3 , 0 , 1 2

2
n2
n1

1
n n n n 0 1 2 1 2 1 2
两个平面 1 , 2 的法向量分别为
设空间两条直线 l 1 , l 2 的方向向量为 e1 , e 2
n1 , n 2
平行
垂直
l1 与 l 2
l1 与 1
e
1
e
2
e1 e2
e
1
e1 n1
n
1
x
z
C
1
AC , BC , C 证明：分别以 C 1
B A1
6
1
所在直线为 x 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 C xyz 图中相应点的坐标为：
y
z
6 0,0, 2 M

3,1, 6

C
90
3
1
30
B 0,1, 0
2
A 1
y

3,0,0
A

, 6 , B0,1 ,0 3,1 6 A 3,0,0 , M 0, 0, 2
问题探究
三垂线定理在平面内的一条直线，如果它
和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式练习：
写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明.
三垂线定理在平面内的一条直线，如果它
和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.

高中数学第三章 3.2.2空间线面关系的判定(一)配套课件苏教版选修21

研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2（一）
探究点三利用空间向量证明平行关系
例3 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在
平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE 上，且BM＝13BD，AN＝13AE.求证：MN∥平面CDE. 证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面
互相垂直，
所以AB，AD，AF互相垂直．不妨设AB，
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.2（一）
跟踪训练 2 用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
已知直线 l，m 和平面 α，其中 l⊄α，m⊂α，且 l∥m. 求证 l∥α. 证明设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α 的法向量分别为 u. 因为 l∥m，所以 a＝kb，k∈R. 又因为 u⊥α，m⊂α，所以 u⊥b，因此 u·b＝0，u·a＝u·kb＝0.所以 l∥α.
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3.2.2（一）
例 1 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系． (1)两直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)两平面 α、β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)，u＝(9,0,3)； (4)两直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(3，－6,3)，b＝(－1,2，－1)．
3.2.2（一）
探究点一平行关系的向量语言问题1 两条直线平行，它们的方向向量有何关系？
答案两条直线平行，它们的方向向量也平行．问题2 若直线l∥平面α，则直线l的方向向量和平面α的法向

(教师用书)高中数学 3.2.2 空间线面关系的判定同步教学课件苏教版选修2-1

e1⊥m ⇔e1⊥n m，n⊂α，m，n不共线
e1· m＝0， n＝0， ⇔e1· m，n⊂α，m，n不共线.
3．怎样判定 α1∥α2，α1⊥α2?
【提示】
α1∥α2⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)，
α1⊥α2⇔n1⊥n2⇔n1· n2＝0.
设空间两条直线 l1，l2 的方向向量分别为 e1，e2，两个平面 α1，α2 的法向量分别为 n1，n2，则有下表：
(3)法一
→ ＝(－2,0,2)，AD → ＝(－2,0,2)， ∵BC 1 1
→ ∥AD → ，又 BC 与 AD 不重合， ∴BC 1 1 1 1 ∴BC1∥AD1，又 BC1⊄平面 ACD1， ∴BC1∥平面 ACD1. 又由(1)知 BO1∥平面 ACD1. ∵BC1，BO1⊂平面 A1BC1，且 BC1∩BO1＝B， ∴平面 A1BC1∥平面 ACD1.
【提示】 l1∥l2⇔e1∥e2⇔e1＝λe2(λ∈R)， l1⊥l2⇔e1⊥e2⇔e1· e2＝0.
2．怎样判定 l1∥α1，l1⊥α1?
【提示】 l1∥α1⇔e1⊥n1(l1⊄α1)⇔e1· n1＝0(l1⊄α1) e1＝xm＋ynx∈R，y∈R， ⇔m，n⊂α，m，n不共线， l ⊄α . 1 1 l1⊥α1⇔e1∥n1⇔e1＝λn1(λ∈R)
●教学流程
演示结束
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系课标的一些定理(包括三垂线定理)．(重解读点) 2．向量法证明空间平行与垂直．( 重点、难点) 3．向量法证明线面平行．(易错点条直线 l1，l2 的方向向量分别为 e1，e2，两个平面 α1，α2 的法向量分别为 n1，n2. 1．怎样判定 l1∥l2，l1⊥l2?

江苏省淮安中学高二数学《空间线面关系的判定(1)》学案

江苏省淮安中学高二数学《空间线面关系的判定（1）》学案
教学目的：利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系。

教学重点：判定位置关系的依据（课本表格）教学难点：建立坐标系，找出平面的法向量
过程：
一、线面位置关系的判定设空间两条直线12,l l 的方向向量分别为12,e e ，两个平面12,αα的法向量分别为12,n n ，则有下表：
二、例题
例1、证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

例2、如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

例3、如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠BAC=300
,BC=1,AA 1=6,M 是棱CC 1的中点。

求证：A 1B ⊥AM 。

例4、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，11BM=BD AN=AE 33，。

求证：MN CDE 平面。

例5、已知正方形1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1,BB CD 的中点，求证：1D F ⊥平面A D E 。

z。

苏教版数学高二选修2-1学案空间线面关系的判定

3.2.2空间线面关系的判定教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.问题1展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示?解l1∥l2⇔e1∥e2,l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示?解l1∥α1⇔e1⊥n1,l1⊥α1⇔e1∥n1.问题3展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示?解α1∥α2⇔n1∥n2,α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用【例1】(教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM. (见学生用书P63)(例1)要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.因为∥,A1A=,M是CC1的中点,所以||=,所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.(1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.证明=-,=+,故·=·+·-·-·.因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,所以·=0,·=0,故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.变式2在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.证明以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A 1B⊥AM.【例2】(教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE. (见学生用书P64)(例2(1))在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.证明因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE?(变式(1))证明以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,于是(-3x+1)b2=0,解得x=.故当AN=AE时,MN∥平面CDE.立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.【例3】如图(1),在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)(例3(1))要证明平面ADE⊥平面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.(例3(2))∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.∴=,=,=(-1,0,0).∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.∴⊥,⊥.∵A1G∩GF=G,∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面A1GF.证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.变式在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.解建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,(变式)所以=,=(-1,1,0).而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,即解得m=.故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.此类问题如果不用坐标法解决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.四、课堂练习1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.(第1题)证明=++=-++=-(-)++(+)=-.在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE⊂平面PBC,所以MN∥平面PBC.2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.(第2题(1))证明如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,(第2题(2))则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0, 所以⊥,⊥,所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.因为BE∩BD=B,BE⊂平面BDE,BD⊂平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.五、课堂小结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:1. 证明线面平行:(1) 线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.。

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案空间的角的计算1苏教版选修21

2、法向量在求线面角中的应用：
原理：设平面的斜线l与平面所的角为 1，斜线l与平面的法向量所成角 2，则 1与 2互余或与 2的补角互余。
三、数学运用
1、例1在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1= A1B1，D1F1= D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角
四队中学教案纸
备课
时间
教学
课题
空间角的计算
教时
计划
1
教学
课时
1
教学
目标
能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题
重点难点
重点：异线角与线面角的计算
难点：异线角与线面角的计算
教学过程
一、创设情景
1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法
2、向量的夹角公式
二、建构数学
1、法向量在求面面角中的应用：
原理：一个二面角的平面角 1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角 2相等或互补。
为D1AC平面的法向量，
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为
3
四、回顾总结
求异线角与线面角的方法
课外作业教学反思解2：（向量法） Nhomakorabea ，则且
解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系
, ，＝15
2、例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且 D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz

6.3.2空间线面关系的判定(1)（学生版+教师版）教学设计苏教版（2019）选择性必修第二册

编号008 §6．3.2 空间线面关系的判定(1)目标要求1、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．学科素养目标本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力．本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间．重点难点重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的向量表示；难点：用向量解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．教学过程基础知识点空间中平行关系的向量表示设直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1，u 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则线线平行 l 1∥l 2⇔_________2⇔∃λ∈R ，使得________线面平行 l 1∥α⇔________⇔__________面面平行α∥β⇔__________ ⇔∃λ∈R ，使得__________【课前小题演练】题1．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( ) A ．(1，1，1)B ．(－1，1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，1，－1)题2．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个结论：①a ∥b ⇔a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量；③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题3．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________．题4．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，BQ ∥平面P AO ?【当堂巩固训练】题5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，则使l ∥α成立的是( ) A ．a ＝(1，－1，2)，n ＝(－1，1，－2) B ．a ＝(2，－1，3)，n ＝(－1，1，1) C ．a ＝(1，1，0)，n ＝(2，－1，0) D ．a ＝(1，－2，1)，n ＝(1，1，2)题6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定题7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝()1，2，－1 ，v ＝()－4，－8，4 ，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确题8．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α D ．l ⊂α或l ∥α题9．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2题10．已知平面α的法向量为n ＝(1，－1，1)，直线AB 与平面α相交但不垂直，则向量AB →的坐标可以是( )A ．(－2，2，－2)B ．(1，3，2)C ．(2，1，－1)D ．(1，2，3)题11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与哪个坐标平面平行________；直线AB 的一个方向向量的坐标为________．题12．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②1AA ；③1B B ；④11A C ．题13．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ，且l ∥α，则m ＝________．题14．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．题15．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【综合突破拔高】题16．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1 ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3 ，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α∥β或α与β重合D . α⊥β题17．已知两不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n 1＝(2，－3，1)，AB →＝(1，0，－2)，AC →＝(1，1，1)，则( )A ．平面α∥平面ABCB ．平面α⊥平面ABC C ．平面α、平面ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能题18．已知直线l 的方向向量为s ＝(1，2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y ，2)，若l ∥α，则xy 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．18题19．(多选题．．．)若a ＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，又α∥β，则下列向量可以是平面β的法向量的是( )A ．b ＝(1，0，0)B ．b ＝(1，－1，1)C ．b ＝(－1，－1，－1)D ．b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，22题20．若向量a ＝(－1，2，3)，b ＝(12 ，－1，－32 )分别是直线l 1和l 2的方向向量，则l 1与l 2的位置关系为________．题21．已知AB → ＝(1，5，－2)，BC → ＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝________．题22．已知空间两点A (－1，1，2)，B (－3，0，4)，直线l 的一个方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________．题23．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥AD ′.题24．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .题25．如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .编号008 §6．3.2 空间线面关系的判定(1)目标要求1、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．学科素养目标本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力．本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间．重点难点重点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的向量表示；难点：用向量解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．教学过程基础知识点空间中平行关系的向量表示设直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1，u 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则线线平行 l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2线面平行 l 1∥α⇔u 1⊥n 1⇔u 1·n 1＝0面面平行α∥β⇔n 1∥n 2 ⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2【课前小题演练】题1．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1，1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( ) A ．(1，1，1)B ．(－1，1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1，1，－1)【解析】选B .因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B 选项符合．题2．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个结论：①a ∥b ⇔a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量；③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.其中正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选B .由a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 ⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；若a 1＝a 2＝a 3＝1，则|a |＝ 3 ，故②不正确；③正确.题3．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________．【解析】因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而1－2 ＝3－6 ＝－2k ，解得k ＝4.答案：4题4．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点．设Q 是CC 1上的点．当点Q 在什么位置时，BQ ∥平面P AO ?【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则O (1，1，0)，A (2，0，0)，P (0，0，1)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2).再设Q (0，2，c )，所以OA → ＝(1，－1，0)，OP →＝(－1，－1，1)， BQ →＝(－2，0，c )，BD 1＝(－2，－2，2). 设平面P AO 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OA →＝0，n ·OP →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2.所以平面P AO 的一个法向量为n ＝(1，1，2). 若BQ ∥平面P AO ，则n ⊥BQ ，所以n ·BQ →＝0，即－2＋2c ＝0，所以c ＝1，故当Q 为CC 1的中点时，BQ ∥平面P AO . 【当堂巩固训练】题5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，则使l ∥α成立的是( ) A ．a ＝(1，－1，2)，n ＝(－1，1，－2) B ．a ＝(2，－1，3)，n ＝(－1，1，1)C ．a ＝(1，1，0)，n ＝(2，－1，0)D ．a ＝(1，－2，1)，n ＝(1，1，2)【解析】选B .因为直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，l ⊄α，使l ∥α成立，所以a ·n ＝0，在A 中，a ·n ＝－1－1－4＝－6，故A 错误；在B 中，a ·n ＝－2－1＋3＝0，故B 成立；在C 中，a ·n ＝2－1＝1，故C 错误；在D 中，a ·n ＝1－2＋2＝1，故D 错误．题6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定【解析】选B .建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2，2，2)，A 1(2，2，0)，C (0，0，2)，B (2，0，2)，所以M (2，1，1)，N (1，1，2)，所以MN →＝(－1，0，1).平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，因为MN → ·n ＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以MN →⊥n ，又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .题7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝()1，2，－1 ，v ＝()－4，－8，4 ，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【解析】选A .因为u ＝－14v ，所以α∥β.题8．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α【解析】选D .因为a ·b ＝0，所以l ⊂α或l ∥α.题9．已知平面α的法向量为(2，－4，－2)，平面β的法向量为(－1，2，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【解析】选C .设平面α的法向量a ＝(2，－4，－2)，平面β的法向量b ＝(－1，2，k ).因为α∥β，所以a ∥b ，所以存在实数λ使得a ＝λb .所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ－4＝2λ－2＝λk，得k ＝1.题10．已知平面α的法向量为n ＝(1，－1，1)，直线AB 与平面α相交但不垂直，则向量AB →的坐标可以是( )A ．(－2，2，－2)B ．(1，3，2)C ．(2，1，－1)D ．(1，2，3)【解析】选D .因为(－2，2，－2)＝2(1，－1，1)，即选项A 中的向量与n 平行，从而线面垂直，因为|x |＋3x (－1)＋2×1＝0，2×1＋1×(－1)＋(－1)×1＝0，所以选项B ，C 中的向量与n 垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D 中的向量与n 不平行，也不垂直，所以AB →的坐标可以是(1，2，3).题11．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与哪个坐标平面平行________；直线AB 的一个方向向量的坐标为________．【解析】AB → ＝(0，5，－3)，因为yOz 平面方程为x ＝0，AB → ∥yOz 平面．AB →是AB 直线的一个方向向量．答案：yOz 平面 (0，5，－3)题12．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②1AA ；③1B B ；④11A C ．【解析】因为AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ，所以1AA 与1B B 可以作为平面ABC 的法向量．答案：②③题13．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ，且l ∥α，则m ＝________．【解析】因为l ∥α，所以l 的方向向量与α的法向量垂直．所以(2，m ，1) ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2 ＝2＋12 m ＋2＝0.解得m ＝－8. 答案：－8题14．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．【证明】以点D 为坐标原点，分别以DA → ，DC →，1DD 为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C 1(0，1，1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 ，所以AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12 ，1FC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12 ，1EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12 ， AF → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12 ，所以AE → ＝FC 1，1EC ＝AF → ，所以AE → ∥1FC ，1EC ∥AF →，又因为F ∉AE ，F ∉EC 1，所以AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，所以四边形AEC 1F 是平行四边形．题15．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . 【证明】方法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12 ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1 ，于是1DA ＝(1，0，1)，DB → ＝(1，1，0)，MN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 .设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1DA ,DB,⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即1DA x z 0,DB x y 0,⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩n n 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1). 又MN → ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 ·(1，－1，－1)＝0，所以MN →⊥n .所以MN ∥平面A 1BD .方法二：MN →＝11C N C M －＝11111111111C B C C (D A D D)=DA 2222-=-所以MN → ∥1DA ，所以MN ∥平面A 1BD .方法三：MN →＝11C N C M －＝11111111C B C C DA A A 2222==-＝12 ()DB →＋BA → － 12 1(A B BA)+＝12 DB → －121A B ．即MN → 可用1A B 与DB → 线性表示，故MN → 与1A B ，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 【综合突破拔高】题16．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1 ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3 ，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α∥β或α与β重合D . α⊥β【解析】选C .因为n ＝－3m ，所以m ∥n ，所以α∥β或α与β重合．题17．已知两不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n 1＝(2，－3，1)，AB →＝(1，0，－2)，AC →＝(1，1，1)，则( ) A ．平面α∥平面ABC B ．平面α⊥平面ABCC ．平面α、平面ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能【解析】选A .由题意，计算n 1·AB → ＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得n 1⊥AB → ；计算n 1·AC →＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得n 1⊥AC →；所以n 1⊥平面ABC ，所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线，则平面α∥平面ABC .题18．已知直线l 的方向向量为s ＝(1，2，x )，平面α的法向量n ＝(－2，y ，2)，若l ∥α，则xy 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．18【解析】选B .由题意可得s ⊥n ，所以s ·n ＝－2＋2y ＋2x ＝0，可得x ＋y ＝1.当x ，y 同负，一正一负或一个为0，一个为1时，均不满足题意，令x ，y ＞0，则1≥2xy ，可得xy ≤14 ，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．题19．(多选题．．．)若a ＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，又α∥β，则下列向量可以是平面β的法向量的是( )A ．b ＝(1，0，0)B ．b ＝(1，－1，1)C ．b ＝(－1，－1，－1)D ．b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，22 【解析】选CD .设b 是平面β的法向量，因为α∥β，所以a ∥b ，所以C ，D 满足要求．题20．若向量a ＝(－1，2，3)，b ＝(12 ，－1，－32 )分别是直线l 1和l 2的方向向量，则l 1与l 2的位置关系为________．【解析】因为a ＝－2b ，所以a ∥b ，所以l 1与l 2平行．答案：平行题21．已知AB → ＝(1，5，－2)，BC → ＝(3，1，2)，DE →＝(x ，－3，6)，若DE ∥平面ABC ，则x ＝________．【解析】因为DE ∥平面ABC ，所以存在实数对(λ，μ)，使DE → ＝λAB → ＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝x 5λ＋μ＝－3－2λ＋2μ＝6 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2x ＝5 . 答案：5题22．已知空间两点A (－1，1，2)，B (－3，0，4)，直线l 的一个方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB 平行，则a ＝________．【解析】设a ＝(x ，y ，z )，因为AB →＝(－2，－1，2)，且l 与AB 平行，所以a ∥AB →，所以x －2 ＝y －1 ＝z2 ，所以x ＝2y ，z ＝－2y ，又因为|a |＝3，所以|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，所以y ＝±1，所以a ＝(2，1，－2)或(－2，－1，2). 答案：(2，1，－2)或(－2，－1，2)题23．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥AD ′.【证明】方法一：基向量法：设AB → ＝a ，AD → ＝b ，AA′→＝c ，则AM → ＝12 (a ＋c )，AN →＝c ＋12 (a ＋b )，所以MN → ＝AN → －AM → ＝12(b ＋c ).又因为b ＋c ＝AD′→ ，所以MN → ＝12 AD′→，所以MN → ∥AD′→，因为M 不在平面ADD ′A ′内，所以MN ∥AD ′. 方法二：坐标法：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2，则A (0，0，0)，D ′(0，2，2)，M (1，0，1)，N (1，1，2)，所以AD′→ ＝(0，2，2)，MN →＝(0，1，1)，所以MN → ＝12AD′→ ，所以MN → ∥AD′→，因为M 不在平面ADD ′A ′内，所以MN ∥AD ′.题24．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)，B 1(2，2，2)，所以FC 1＝(0，2，1)， DA → ＝(2，0，0)，AE →＝(0，2，1).(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA → ，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝－2y 1 ，令z 1＝2⇒y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1，2)，因为n 1·1FC ＝－2＋2＝0，所以n 1⊥1FC ，又因为FC 1⊄平面ADE ，即FC 1∥平面ADE .(2)因为11C B ＝(2，0，0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得21222112FC 2y z 0C B 2x 0⎧=+=⎪⎨==⎪⎩n n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0z 2＝－2y 2.令z 2＝2⇒y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1，2)，所以n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .题25．如图，已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .【解析】存在．因为P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，F (1，1，0)，D (0，2，0). 不妨令P (0，0，t )，所以PF → ＝(1，1，－t )，DF →＝(1，－1，0)，设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2 ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1 . 设点G 的坐标为(0，0，m )，又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0 ，则EG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m .要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×t2 ＋0×t 2 ＋m ×1＝0，即m －t 4 ＝0，解得m ＝14 t ，所以满足AG ＝14 AP 的点G 即为所求．。

【课堂新坐标】数学苏教版选修教案：空间线面关系的判定Word版含解析

3.2.2 空间线面关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(2)能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题．2．过程与方法(1)通过对直线方向向量和平面法向量的应用，得出直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系的判定方法．(2)通过判定方法的应用过程，体会向量法求解立体几何问题的优势，理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．●重点难点重点：能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面位置关系的立体几何问题．难点：用向量方法证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题．用向量法判定或证明立体几何中的平行和垂直问题，首先应明确判定的理论、方法和思路，先将几何问题转化为向量问题，利用向量的运算和关系，得出向量结论，然后转化为几何结论．(教师用书独具)●教学建议本节对用向量讨论平行与垂直的认识，从必修内容中推理证明到用向量法的计算来对位置关系判断与证明，为学生提供了另外一种思想．学生已经学习了立体几何中直线平面的位置关系，具备有关知识，学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导．在教学策略上采用：复习引入→推进新课→归纳与总结→反思组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效率．本节课难点在于用向量证明平行与垂直，所以利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律．同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳．(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题．(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说．(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．●教学流程回顾：(1)怎样求直线的方向向量？(2)怎样求平面的法向量？(3)立体几何中线线、线面、面面平行与垂直是怎样判定的？为向量法研究几何问题提供工具方法和相应知识铺垫．⇒学习新知：怎样利用向量判定几何中的平行与垂直关系？数形结合，画出图形，由几何结论转化为向量结论，用符号语言表示结论，并且列表整理．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握向量法证明平行问题，注意线面平行的证法有两种，一是证向量共面，二是证与法向量垂直．注意总结步骤，程序化操作．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握向量法证明垂直问题，注意线面垂直的证法有两种，一是直线的方向向量与平面的法向量共线，二是证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与平行、垂直有关的探究问题，如存在性问题，点位置问题等，一般假定存在，往下探究，若得出结果符合已知条件，则结论成立：若得出矛盾，则不存在．⇒通过易错易误辨析，注意利用向量垂直证明线面垂直的严谨性，不能主观臆造结论，要严格按照判定方法进行证明．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2.1．怎样判定l 1∥l 2，l 1⊥l 2?【提示】 l 1∥l 2⇔e 1∥e 2⇔e 1＝λe 2(λ∈R )， l 1⊥l 2⇔e 1⊥e 2⇔e 1·e 2＝0. 2．怎样判定l 1∥α1，l 1⊥α1?【提示】 l 1∥α1⇔e 1⊥n 1(l 1⊄α1)⇔e 1·n 1＝0(l 1⊄α1) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝x m ＋y n (x ∈R ，y ∈R )，m ，n ⊂α，m ，n 不共线，l 1⊄α1.l 1⊥α1⇔e 1∥n 1⇔e 1＝λn 1(λ∈R )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ e 1⊥m e 1⊥n m ，n ⊂α，m ，n 不共线⇔⎩⎪⎨⎪⎧e 1·m ＝0，e 1·n ＝0，m ，n ⊂α，m ，n 不共线.3．怎样判定α1∥α2，α1⊥α2?【提示】 α1∥α2⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ∈R )， α1⊥α2⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：图3－2－6在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中(如图3－2－6)，设O 、O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，求证：(1)BO 1∥OD 1； (2)BO 1∥平面ACD 1； (3)平面A 1BC 1∥平面ACD 1.【思路探究】画图→建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→判断向量关系→定线面关系【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2，2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，O 1(1,1,2)，O (1,1,0)．(1)由上可知BO 1→＝(－1，－1,2)，OD 1→＝(－1，－1,2)， ∴BO 1→＝OD 1→∴BO 1→∥OD 1→，又直线BO 1与OD 1无公共点， ∴BO 1∥OD 1.(2)法一由上可知AC →＝(－2,2,0)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BO 1→＝－12AC →＋AD 1→，∴BO 1→，AC →，AD 1→共面，∴BO 1→∥平面ACD 1，又BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.法二设平面ACD 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＝0－2x ＋2＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1∴n ＝(1,1,1)． ∴BO 1→·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0， ∴BO 1→⊥n .又∵BO 1⊄平面ACD 1， ∴BO 1∥平面ACD 1.(3)法一 ∵BC 1→＝(－2,0,2)，AD 1→＝(－2,0,2)， ∴BC 1→∥AD 1→，又BC 1与AD 1不重合， ∴BC 1∥AD 1，又BC 1⊄平面ACD 1， ∴BC 1∥平面ACD 1. 又由(1)知BO 1∥平面ACD 1.∵BC 1，BO 1⊂平面A 1BC 1，且BC 1∩BO 1＝B ， ∴平面A 1BC 1∥平面ACD 1.法二设平面A 1BC 1的一个法向量为n ′＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ′·A 1B →＝0n ′·BC 1→＝0.可求得n ′＝(1,1,1)，∴n ′＝n ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC 1.1．证明线面平行常用的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．2．证明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．(2)证明两个平面的法向量平行．(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．图3－2－7(2012·辽宁高考)如图3－2－7，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.【证明】如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (λ2，0，12)，N (λ2，λ2，1)，从而MN →＝(0，λ2，12)．显然AB ⊥平面A ′ACC ′，所以AB →＝(λ，0,0)是平面A ′ACC ′的一个法向量．因为AB →·MN →＝0，所以AB →⊥MN →，又MN ⊄平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.图3－2－8如图3－2－8，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB 1⊥BC 1，求证：AB 1⊥CA 1.【思路探究】思路一，基向量法，以AB →，AC →，AA 1→为基向量，表示AB 1→，CA 1→，证明AB 1→·CA 1→＝0；思路二，坐标法，建立空间直角坐标系，写出AB 1→，CA 1→坐标，证明AB 1→·CA 1→＝0.【自主解答】法一设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝b －a ＋c ，CA 1→＝c －b ，而A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥AC ，则a·c ＝0，b·c ＝0. ∴AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )·(b －a ＋c ) ＝c 2－a 2＋a·b ＝0，①AB 1→·CA 1→＝(a ＋c )·(c －b )＝c 2－a·b .② 把①中c 2＝a 2－a·b 代入②式得AB 1→·CA 1→＝a 2－2a·b ＝a 2－2|a ||b |cos 60°＝0. ∴AB 1⊥CA 1.法二建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则 A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，C (0，a,0)，A 1(0,0，b )，B 1(32a ，a2，b )，C 1(0，a ，b )． ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BC 1→＝(－32a ，a2，b )，CA 1→＝(0，－a ，b )．∵AB 1⊥BC 1，∴BC 1→·AB 1→＝－3a 24＋a 24＋b 2＝－a 22＋b 2＝0.而AB 1→·CA 1→＝－a 22＋b 2＝0，∴AB 1→⊥CA 1→，即AB 1⊥CA 1.1．法二中，常犯的一种错误是以AB →，AC →，AA 1→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，错误的原因就是∠BAC ＝60°，而不是90°，因此不是空间直角坐标系．2．证明空间垂直问题，主要是两种方法：(1)基向量法，(2)坐标法，易于建立坐标系，求向量坐标的问题用坐标法，否则利用基向量法．(2013·陕西高考)如图3－2－9，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .图3－2－9【证明】法一由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0，0,1)．由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.又四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C. 又OA1是AC的中垂线，∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC2＝AA21＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，又BB1∩BD＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.图3－2－10如图3－2－10所示，在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，E 是B 1C 的中点．(1)求cos BE →，CA 1→；(2)在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF →|，若不存在，请说明理由．【思路探究】这是一道存在性问题，常用的方法就是假设存在这样的点F ，然后在此条件下求该问题．若存在，则一定能求出结果；若不存在，则理由就是求解的过程．【自主解答】 (1)以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . ∵AC ＝2a ，∠ABC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形， ∴AB ＝BC ＝2a .∴B(0,0,0)，A(2a,0,0)，C(0，2a,0)，B1(0,0,3a)，A1(2a,0,3a)，C1(0，2a,3a)，D(2 2a，22a,3a)，E(0，22a，3a2)，∴CA1→＝(2a，－2a,3a)，BE→＝(0，22a，3a2)，∴|CA1→|＝13a，|BE→|＝112a，BE→·CA1→＝0－a2＋92a2＝72a2，∴cos BE→，CA1→＝BE→·CA1→|BE→|·|CA1→|＝7143143.(2)存在．假设存在点F，使CF⊥平面B1DF.不妨设AF＝b，则F(2a,0，b)，∴CF→＝(2a，－2a，b)，B1F→＝(2a,0，b－3a)，B1D→＝(22a，22a,0)．由题意知CF→·B1D→＝a2－a2＋0＝0，∴CF→⊥B1D→，即CF⊥B1D恒成立．由B1F→·CF→＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a.∴在线段AA1上存在点F，使CF⊥平面B1DF，|AF→|＝a或|AF→|＝2a.1．本例属于存在性探究问题，若用传统法较为困难，而利用坐标法，则较易于讨论．2．存在性问题的探究实际上是逆向思维过程，一般是假定存在，在此基础上分析求值，讨论符合条件的点(或数值)是否存在，体现了等价转化思想的应用．如图3－2－11，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，问DD 1上是否存在一点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？并证明你的结论．图3－2－11【解】假设点P 存在，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设此正方体棱长为a ，DP ＝m ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C 1(0，a ，a )，P (0,0，m )，连接BD ，由正方体的性质知，CC 1⊥BD ，AC ⊥BD ，又CC 1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC 1，因此，DB →＝(a ，a,0)是平面ACC 1的一个法向量．∵平面APC 1⊥平面ACC 1，∴DB →在平面APC 1内或与平面APC 1平行， ∵存在实数x 和y ，使得DB →＝xAC 1→＋yAP →. ∵AC 1→＝(－a ，a ，a )，AP →＝(－a,0，m )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－ax －ay ，a ＝ax ＋0，0＝ax ＋my ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，m ＝12a .∴点P 存在，且当点P 为DD 1的中点时，平面APC 1⊥平面ACC 1.错用向量垂直证明线面垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .【错解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(－1，－1,1)，B 1A →＝(0，－2，－2)， ∴EF →·B 1A →＝－1×0＋(－1)×(－2)＋1×(－2)＝0， ∴EF →⊥B 1A →，∴EF ⊥B 1A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .【错因分析】没能正确地理解线面垂直的定义，没能正确地运用线面垂直的判定定理，错误地认为只要一条直线垂直于一个平面内的某条直线，这条直线就垂直于这个平面．【防范措施】正确运用线面垂直的判定定理，即证EF 垂直于平面内两条相交直线．【正解】同错解建立坐标系，法一 EF →＝(－1，－1,1)，AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2，2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)，则⎩⎨⎧n ⊥AB 1→n ⊥AC→，即⎩⎨⎧n ·AB 1→＝2y ＋2z ＝0n ·AC →＝－2x ＋2y ＝0，令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)．又EF →＝(－1，－1,1)＝－n ， ∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .1．空间向量法解决立体几何问题的步骤：(1)选取基向量或建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算及向量关系，研究向量模、夹角或向量关系； (3)把向量的运算结果转化为相应的几何结论．2．空间线面关系的判定，可以利用向量法证明，一般判定方法如下；设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则3.了定性分析，避免了繁难的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．1．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是________．【解析】 ∵a ·b ＝(1，－2,2)·(2,3,2)＝2－6＋4＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2. 【答案】垂直2．若直线l 的方向向量为v ＝(12，0,1)，平面α的法向量为n ＝(－1,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系是________．【解析】 ∵n ＝－2v ，∴v ⊥α，∴l ⊥α. 【答案】垂直3．已知向量a 、b 与平面α、β，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂α；②α∥β，a ⊂α，b ⊂β； ③α∥β，a ⊥α，b ⊥β；④a ∥α，b ∥α. 其中能得到a 与b 共线的是________．【解析】 ①②④中，仅能得到a ，b 共面，而不能得到a ，b 共线，而③中，a ∥b . 【答案】 ③图3－2－124．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 分别为AA ′和CC ′的中点．求证：BF ∥ED ′.【证明】不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则相关各点坐标为B (1,1,0)，F (0，1，12)，E (1,0，12)，D ′(0,0,1)．∴BF →＝(0,1，12)－(1,1,0)＝(－1,0，12)，ED ′→＝(0,0,1)－(1,0，12)＝(－1,0，12)．即ED ′→＝BF →，∴ED ′→∥BF →. 又直线BF与ED ′没有公共点，∴BF∥ED ′.一、填空题1．下面命题中，正确命题的序号为________．①若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1、n 2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量且a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】画图可知，四个命题均正确．【答案】 ①②③④2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．【解析】 ∵u·v ＝1×2＋2×3＋(－1)×8＝0，∴u ⊥v ， ∴α⊥β. 【答案】垂直3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,3，z )，向量b ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.【解析】由题意知a·b ＝0，∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0， ∴1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0，∴z ＝3. 【答案】 3图3－2－134．(2013·连云港高二检测)如图3－2－13，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是________．【解析】 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝CC 1→＋12(C 1D 1→＋C 1B 1→)＝12BA →＋12CB →＋CC 1→∴AC 1→·CE →＝(AB →＋BC →＋CC 1→)(12BA →＋12CB →＋CC 1→)＝－12AB →2－12BC →2＋CC 1→2＝0，∴AC 1→⊥CE →，∴AC 1⊥CE .【答案】垂直5．(2013·大连高二检测)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】建立空间坐标系如图，设正方体棱长为2，则M (1,0,1)，N (1,1,2)， ∴MN →＝(0,1,1)．∵平面BB 1C 1C 的一个法向量为B 1A 1→＝(2,0,0)， ∴B 1A 1→·MN →＝0＋0＋0＝0. ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 【答案】平行6．已知空间两点A (－1,1,2)，B (－3,0,4)，直线l 的方向向量为a ，若|a |＝3，且直线l 与直线AB →平行，则a ＝________.【解析】设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1,2)，且l 与AB 平行，∴a ∥AB →， ∴x －2＝y －1＝z2，∴x ＝2y ，z ＝－2y ，又∵|a |＝3，∴|a |2＝x 2＋y 2＋z 2＝4y 2＋y 2＋4y 2＝9，∴y ＝±1，∴a ＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________.【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴3＋5－2z ＝0，∴z ＝4， ∴BC →＝(3,1,4)，∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，由⎩⎨⎧BP →·AB →＝0BP →·BC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝03(x －1)＋y －12＝0， ∴⎩⎨⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 (337，－157，－3)8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果A B →＝(2，－1，－4)，A D →＝(4,2,0)，A P →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ； ③A P →是平面ABCD 的法向量； ④A P →∥B D →.其中正确的是________．【解析】 ∵A B →·A P →＝0，A D →·A P →＝0， ∴A B →⊥A P →，A D →⊥A P →，则①②正确．又A B →与A D →不平行，∴A P →是平面ABCD 的法向量，③正确．由于B D →＝A D →－A B →＝(2,3,4)，A P →＝(－1,2，－1) ∴B D →与A P →不平行，故④错误．【答案】 ①②③ 二、解答题图3－2－149．(2013·徐州高二检测)如图3－2－14，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：EF ∥平面CB 1D 1； (2)求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.【证明】 (1)以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)， ∴EF →＝(1,1,0)．又∵C (0,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)，设平面CB 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)． ∵CD 1→＝(0，－2,2)，CB 1→＝(2,0,2)，由⎩⎨⎧n 1·CD 1→＝0n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＋2＝02x ＋2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＝－1. ∴n 1＝(－1,1,1)，∴EF →·n 1＝0.又因EF ⊄平面CB 1D 1，∴EF ∥平面CB 1D 1. (2)∵DB ⊥AC ，DB ⊥AA 1，∴DB ⊥平面CAA 1C 1， ∴DB →＝(2,2,0)是平面CAA 1C 1的一个法向量． ∵n 1·DB →＝0，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.图3－2－1510．如图3－2－15，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．求证：(1)直线EE 1∥平面FCC 1； (2)平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.【证明】因为AB ＝4，BC ＝CD ＝2，F 是棱AB 的中点，所以BF ＝BC ＝CF ，则△BCF 为正三角形．因为底面ABCD 为等腰梯形，所以∠BAD ＝∠ABC ＝60°.取AF 的中点M ，连结DM ，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥CD .以DM →，DC →，DD 1→为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (3，－1,0)，F (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (32，－12，0)，E 1(3，－1,1)．所以DA →＝(3，－1,0)，DD 1→＝(0,0,2)，EE 1→＝(32，－12，1)，CF →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,2)．(1)设平面FCC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CF →＝3x －y ＝0n ·CC 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得n＝(1，3，0)，则n ·EE 1→＝1×32＋3×(－12)＋0×1＝0，所以n ⊥EE 1→，又直线EE 1⊄平面FCC 1，所以直线EE 1∥平面FCC 1.(2)设平面ADD 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·DA →＝3x －y ＝0m ·DD 1→＝2z ＝0，令x ＝1，可得m ＝(1，3，0)，由(1)知m ＝n ，即m ∥n ，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1.图3－2－1611．如图3－2－16，在四棱锥P －ABCD 中，底面是矩形且AD ＝2，AB ＝P A ＝2，P A ⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 在PC 上．(1)求F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；(2)在(1)的条件下，EF 是否是PC 与AD 的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度，若不是，说明理由．【解】 (1)以A 为坐标原点，以射线AD 、AB 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则P (0，0，2)，A (0,0,0)，B (0，2，0)，C (2，2，0)，D (2,0,0)，E (1,0,0)．∵F 在PC 上，∴可令PF →＝λPC →，设F (x ，y ，z )．则BC →＝(2,0,0)，PC →＝(2，2，－2)，EF →＝(x －1，y ，z )． ∵EF ⊥平面PBC ，∴EF →·PC →＝0，且EF →·BC →＝0. 又PF →＝λPC →，可得λ＝12，x ＝1，y ＝z ＝22.故F 为PC 的中点．(2)由(1)可知：EF ⊥PC ，且EF ⊥BC ， ∴EF ⊥AD .∴EF 是PC 与AD 的公垂线段，其长为|EF→|＝1.(教师用书独具)如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.设P为AC的中点．证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算ABAQ的值．【思路探究】由题意知OC⊥平面AOB，以OA为x轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，结合已知表示出相关向量的坐标，进行向量的坐标运算求解．【自主解答】以O 为坐标原点，OA ，OC 所在直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz (如图所示)，连结OP ，OQ ，根据题意有O (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,0,1)，B (－12，32，0)，P (12，0，12)，则AB →＝(－32，32，0)，OA →＝(1,0,0)，OP →＝(12，0，12)．设AQ →＝λAB →(λ∈[0,1])，则AQ →＝(－32λ，32λ，0)，∴OQ →＝OA →＋AQ →＝(1,0,0)＋(－32λ，32λ，0)＝(1－32λ，32λ，0)，∴PQ →＝OQ →－OP →＝(12－32λ，32λ，－12)． ∵PQ ⊥OA ，∴PQ →·OA →＝0，即12－32λ＝0，解得λ＝13.∴存在点Q (12，36，0)，使得PQ ⊥OA ，且ABAQ ＝3.有关使得直线、平面间满足垂直或平行的存在探索型问题，解答时，假设存在这样的点，建立空间直角坐标系，设出此点的坐标，把直线、平面间垂直或平行的关系转化为直线的方向向量和平面的法向量的关系，然后利用向量坐标运算建立所求点坐标的方程，若方程有解，则点存在，否则点不存在．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解】如图，以O 为坐标原点，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)设PM →＝λP A →(0≤λ<1)，则PM →＝λ(0，－3，－4).BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λP A →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0)．设平面BMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎨⎧BM →·n 1＝0BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝(0,1，2＋3λ4－4λ)．由⎩⎨⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝54y2z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3·2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，且AM ＝3.。

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学教案平面向量基本定理苏教版必修4Word版

四队中学教案纸（学科：高一数学）备课时间教学课题2.3.1平面向量的基本定理教时计划1教学课时1教学目标 1．了解平面向量基本定理的概念；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。

重点难点1．平面向量基本定理的应用；2．平面向量基本定理的理解。

教学过程（一）复习引入：（1）向量的加法运算、向量共线定理；（2）设1e r ，2e r 是同一平面内的两个不共线的向量，a r是这一平面内的任一向量，下面我们来研究向量a r 与1e r ，2e r的关系。

（二）新课讲解： 1．平面向量基本定理：如果1e r ，2e r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r．其中我们把不共线的向量1e r ，2e r 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e r ，2e r均非零向量；②1e r ，2e r不唯一（事先给定）；③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a r 与1e r 共线；10λ=时，a r 与2e r 共线；120λλ==时，0a =r r．2．例题分析：例1 已知向量1e r ，2e r （如图），求作向量12235e e -+．作法：1．如图（2），任取一点O ，作152OA e =-u u u r r，23OB e =u u u r r ；2．作 OACB ，于是OC u u u r是所求作的向量。

例2 如图，的两条对角线相交于点M ，且AB a =u u u r r ，AD u u u r b =r ，用a r 、b r 表示MA u u u r 、MB u u u r、1e r 2e rMC u u u u r 和MD u u u u r ．解：在中， ABCD ∵AC u u u r AB BC AB AD a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r，DB AB AD a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴11()22MA AC a b =-=-+u u u r u u u r r r 1122a b =--r r， 11()22MB DB a b ==-u u u r u u u r r r ，111222MC AC a b ==+u u u u r u u u r r r ， 1122MD MB a b =-=-+u u u u r u u u r r r ．例3 如图，OA u u u r 、OB uuu r 不共线，()AP t AB t R =∈u u u r u u u r，用OA u u u r 、OB uuu r 表示OP uuu r ．解：∵AP t AB =u u u r u u u r ，∴OP OA AP OA t AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=()(1)OA t OB OA t OA tOB +-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．例 4 已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =u u u r u u u r ，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB u u u r 1e =r，2AD e =u u u r r ，用1e r ，2e r 表示DC u u u r 、BC uuur 、MN u u u u r ．解：（1）∵DC u u u rAB <∴12DC AB =u u u r u u u r =112e r =12102e e +r r（2）BC AC AB AD DC AB =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211211122e e e e e =+-=-r r r r r（3）连接DN ，则DN CB =u u u u r u u u r，1()2MN MD DN DC BC =+=-+-u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r 1211211112224e e e e e =-⨯-+=-r r r r r ．课外作业1．设G 是ABC ∆的重心.若CA a =u u u r r ，CB b =u u u r r ，试用a r ，b r 表示向量AG u u u r.；2．已知：3AB AM =u u u r u u u u r ，13MN BC =u u u u r u u u r.D b rC B a r A M OBPAAM D CNB。