直角坐标系、函数
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
讲平面直角坐标系与函数
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该 函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
03
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最 高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐 标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐 标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值， 可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来 描述电磁场、引力场等物理现象 。
在生物学中，反比例函数被用来 描述细胞分裂、神经传导等生物 过程。
反比例函数的应用广泛，如在物 理学、工程学、生物学、数学、 化学和经济学等领域都有广泛的 应用。
在工程学中，反比例函数被用来 描述电路阻抗、流体阻力等物理 量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研 究函数的奇偶性、单调性和周期 性等性质。
05
对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数 学常数e为底数的对 数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
有些函数图像可能关于原点对称，这种对称性称为奇函数的特性。
函数图像的顶点坐标
极值点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为负时，该点为函数的极小值点，极小 值点坐标为（x，f（x））。
拐点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为正时，该点为函数的拐点，拐点的坐 标为（x，（f（x）））。
04
记作y=f(x)，其中f是函数的符号，x是自变量，y是因变量。
函数的表示方法
解析法
用数学形式（解析式）表示函数关系的方法 。
图象法
用图象表示函数关系的方法。
表格法
用表格表示函数关系的方法。
函数的分类
常量函数
因变量的值只与自变量的值无关的函数。
线性函数
因变量的值与自变量的值成正比或反比的函数。
幂函数
因变量的值是自变量的幂的函数。
指数函数
因变量的值是自变量的指数的函数。
对数函数
因变量的值是自变量的对数的函数。
三角函数
因变量的值是自变量正弦、余弦、正切等三角函数的函 数。
02
平面直角坐标系
坐标系的建立
通过定义原点和正方向，以及单位长度，在平面上建立坐标系。 固定x轴和y轴的方向，确定横轴和纵轴的长度单位。
常见函数的图像
正比例函数
总结词：直线
详细描述：正比例函数图像为一条直线，其解析式为$y=kx$，其中$k$为常数。 当$k>0$时，直线经过一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，直线 经过二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数
总结词：双曲线
详细描述：反比例函数图像为双曲线，其解析式为$y= \frac{k}{x}$，其中$k$为常数。双曲线与坐标轴不相交 ，且分布在第一、第三象限。当$k>0$时，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，$y$随$x$的增大而减小 ；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限 ，$y$随$x$的增大而增大。
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
旋转变换是指将图形绕原点进行旋转，这种变换不改变图形的大小和形状。旋转变换可以 用矩阵表示，其中矩阵的元素表示旋转的角度和方向。
二维坐标系及其应用
二维坐标系定义
在平面上，通过两个相互垂直的坐标轴， 可以确定平面上任意一点的位置。这种由 两个相互垂直的坐标轴组成的坐标系称为 二维坐标系。
VS
THANKS
3
函数可以用数学表达式、图像或表格等方式来 表示。
函数的性质
函数具有单值性， 即对于每个输入值 ，只有一个输出值 与之对应。
函数的性质还包括 奇偶性、单调性、 周期性等。
函数还具有封闭性 ，即函数的输出值 与输入值的关系不 受外界干扰。
函数的分类
根据函数的定义域和值域的关系，函数可以分为单射函数、 满射函数和双射函数。
确定需要考察的函数表达式，例如y = x^2 + 2x + 1。
连接点
用平滑的曲线连接这些点。
选择x值
选择一系列x值，例如x = -5, -4, -3, ..., 5 。
描点
在平面直角坐标系上，以(x, y)的形式描出 每一个点。
计算y值
将每个x值代入函数表达式，计算对应的y 值。
插值法绘制函数图像
01
02
输入函数表达式
在绘图软件中输入需要绘制的函数表 达式。
03
设定x值范围
设定x值的范围，例如x = -5 to 5。
调整图像参数
可以调整图像的颜色、线型、坐标轴 范围等参数，以更好地展示函数的特 点。
05
04
绘制图像
使用绘图软件的相应功能，绘制函数 图像。
04
函数图像的分析与应用
函数的极值与最值
平面直角坐标系及函数图像
曲面是三维空间中由无数个平面或曲线所围成的几何体。在 三维坐标系中，曲面的方程可以用一个三元方程来表示。例 如，球面方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，其中 (a,b,c)为球心坐标，R为球半径。
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空间点坐标
在三维坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，称为点P的坐标，记 作P(x,y,z)。
空间点坐标表示方法
柱坐标
柱坐标是一种用极径、极角和垂直高度三个量来表示空间点位置的方法。在柱 坐标系中，点的位置用(r,θ,z)表示，其中r为点到Z轴的距离，θ为点与X轴正方 向的夹角，z为点到XY平面的距离。
05
拓展内容：三维坐标系简介
三维坐标系定义及性质
三维坐标系定义
三维坐标系是在平面直角坐标系的基础上，引入第三个坐标轴而形成的坐标系。通常，三 个坐标轴分别用X、Y、Z表示，它们互相垂直并相交于原点O。
右手定则
在三维坐标系中，通常采用右手定则来确定坐标轴的方向。即伸出右手，大拇指指向X轴 正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
利用性质判断
周期函数具有一些特殊的性质，如周期性、 对称性、可加性等，这些性质可以帮助我们 判断一个函数是否具有周期性。
04
典型问题解析与讨论
求交点坐标问题
01
02
03
解析法
联立两个函数的解析式， 解方程组求得交点的横纵 坐标。
图象法
在平面直角坐标系中分别 作出两个函数的图象，两 图象交点的坐标即为所求 。
坐标的表示方法
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用数对来表示。例如，(a, b)表示一个点的横坐标为a，纵坐 标为b。当a>0且b>0时，该点位于第一象限；当a<0且b>0时，该点位于第二象限；当a<0且b<0时 ，该点位于第三象限；当a>0且b<0时，该点位于第四象限。
平面直角坐标系、函数及其图像
平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 各象限点的坐标的符号；2. 坐标轴上的点的坐标特征．3. 点P （a ，b ）关于⎪⎩⎪⎨⎧原点轴轴y x 对称点的坐标⎪⎩⎪⎨⎧----),(),(),(b a b a b a4.两点之间的距离5.线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+=二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 【例题精讲】例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ． 例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．【当堂检测】1.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ） A ．(-4,3) B ．(-3,-4) C ．(-3,4) D ．(3,-4)2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y 为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标： ．3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m>0.5 B ．m≥0.5 C ．m<0.5 D ．m≤0.54.对任意实数x ，点P （x ，x 2－2x ）一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知点A （2a+3b ，－2）和点B （8，3a+2b ）关于x 轴对称，那么a+b=（ ） A ．2 B ．－2 C ．0 D ．421212211P P )0()0()2(yy y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 例3图6.若点A （－2，n ）在x 轴上，则点B （n －1，n+1）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7.（2009威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a +b 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58.已知点A （m 2+1，n 2－2）与点B （2m ，4n+6）关于原点对称，则A 关于x 轴的对称点的坐标为三、解答题9.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D 的路线做匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； （2）设P 点运动时间为t （s ）； ①当t=5时，求出点P 的坐标；②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．10.如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标:B ' 、C ' ；⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567O xy lABA'D'E'C(第22题图）第10题图yO (01)B ，(20)A ，1(3)A b ，1(2)B a ，x第7题图第13题图。
初二函数的图像知识点总结
初二函数的图像知识点总结一、坐标系和直角坐标系在学习函数图像之前，我们需要先了解坐标系和直角坐标系的概念。
坐标系是用来描述平面上点的工具，它由水平方向和垂直方向的两条线组成。
而直角坐标系是将坐标系中的每一个点都表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在横坐标轴上的位置，y表示点在纵坐标轴上的位置。
二、函数的概念函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
通俗地讲，函数就是一种关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
在学习函数图像时，我们需要了解一些常见的函数类型，比如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
三、函数图像的基本性质在绘制函数图像时，我们需要掌握一些基本的性质。
比如，线性函数的图像是一条直线，它可以通过两个点来确定；二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向取决于二次项系数的正负；指数函数和对数函数的图像分别是指数曲线和对数曲线，它们有一些特定的性质和规律。
四、函数图像的绘制方法在学习函数图像时，我们也需要了解一些绘制方法，比如利用表格法来绘制函数图像。
表格法是通过选取一些自变量的值，计算对应的因变量的值，然后将这些点连接起来来近似函数的图像。
此外，我们还可以利用函数的性质和变化规律来绘制函数图像，比如线性函数的斜率和截距可以帮助我们绘制出函数的大致形状。
五、函数图像与实际问题的应用函数图像不仅仅是数学中的一个概念，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，我们可以利用函数图像来描述日常生活中的变化规律，比如温度随时间的变化、物体的运动轨迹等。
此外，在学习物理和工程学科时，我们也经常会遇到一些与函数图像相关的问题，因此掌握函数图像的知识对于解决实际问题是非常有帮助的。
总之，函数图像是数学中的一个重要概念，它能够帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
在初中阶段，学生需要掌握关于函数图像的基本知识，包括坐标系和直角坐标系、函数的概念、函数图像的基本性质、函数图像的绘制方法以及函数图像与实际问题的应用。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
函数,平面直角坐标系
函数，平面直角坐标系函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相关联的另一元素。
在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
本文将对函数在平面直角坐标系中的表示及其相关性质进行介绍。
一、坐标系及函数的定义平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴和Y轴表示。
在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。
函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。
在数学中，函数通常被表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。
函数可以用一张图像来表示。
二、函数的基本性质函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。
如果定义域中的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。
值域：值域指函数可输出的实际值的范围。
值域由图像框定，根据函数的单调性和对称性，可以很容易确定其值域。
单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。
如果函数在定义域内单调递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。
如果函数在定义域内单调递减，那么它的图像就是从左到右逐渐降低的。
对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。
当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。
当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴对称。
奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。
如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。
如果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。
三、常见函数的图像在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。
直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。
第11讲平面直角坐标系与函数课件
3．对称点的坐标
已知点 P(a，b)， (1)其关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为__(_a_，__－__b_)_． (2)其关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为__(_－__a_，__b_)_． (3)其关于原点对称的点 P3 的坐标为__(－__a_，__－__b_)_． 4．点与点、点与线之间的距离
5．常量、变量 在一个变化过程中，始终保持不变的量叫做__常__量__，可以 取不同数值的量叫做__变__量__． 6．函数 (1)概念： 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值， y 都有__唯__一__确__定__的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．
(1)点 M(a，b)到 x 轴的距离为___|b_|_. (2)点 M(a，b)到 y 轴的距离为___|a_|_. (3)点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为__|_x_1－__x_2_| _. (4)点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为___|y_1_－__y_2|_.
⑥结合对函数关系的分析,能又对变量的变化情况进行初步讨论,了解分 段函数的意义
1.通过知识梳理，了解常量、变量的意义，函数的概念和三种表示方法, 能举出函数的实例 2.通过知识点例题训练，能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围, 并会求出函数值，并能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 3.通过能力提升，熟练解决有关取值范围与函数图像的问题。 4.通过聚焦中考，感受中考，体验中考，提高学生分析问题解决问题的能 力。
小结与反思：求自变量的取值范围时要全面考虑式子有意 义的条件，特别是根号在分母中时，要考虑分母不为零的情况.
方法指点：确定自变量的取值范围
【点评】代数式有意义的条件问题: (1)若解析式是整式,则自变量取全体实数; (2)若解析式是分式,则自变量取使分母不为0的全体实数; (3)若解析式是偶次根式,则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数: (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂,则自变量应是使底数 不等于0的全体实数; (5)若解析式是由多个条件限制,必须第一求出式子中各部分 自变量的取值范围,然后再取其公共部分,此类问题要特别注意, 只能就已知的解析式进行求解,而不能进行化简变形,特别是 不能轻易地乘或除以含自变量的因式.
平面直角坐标系中的曲线与函数定理
平面直角坐标系中的曲线与函数定理曲线与函数是数学中重要的概念，它们在平面直角坐标系中有着重要的应用与定理。
本文将探讨平面直角坐标系中曲线与函数的基本概念，并介绍与之相关的定理。
一、曲线与函数基本概念在平面直角坐标系中，我们可以通过曲线来描述两个变量之间的关系。
而函数，作为数学中的一种基本对象，可以看作是曲线的数学表示。
下面分别介绍曲线和函数的基本概念。
1. 曲线的定义曲线是指平面上的一些点的集合，这些点之间存在特定的关系。
例如，直线就是一种特殊的曲线，它由无数个相互平行的点构成。
而圆则是由到某一点距离相等的所有点组成的曲线。
2. 函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在平面直角坐标系中，我们通常用y=f(x)来表示函数，其中x 表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数关系。
二、函数的图像与曲线的性质在平面直角坐标系中，函数的图像对应于曲线。
函数图像可以通过画出函数的各个点来获得，而曲线则是这些点的集合。
下面介绍函数图像与曲线的一些性质。
1. 函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的点的集合，它展示了函数的变化规律。
通过函数图像，我们可以观察函数的增减性、最值以及其他关键特征。
2. 曲线的性质曲线有许多特点和性质，例如曲率、凹凸性等。
这些性质可以通过曲线的图像来观察和判断。
例如，凹凸性可以通过观察曲线的曲率变化来确定。
三、曲线与函数的定理在平面直角坐标系中，曲线与函数有许多经典的定理与性质。
下面介绍几个常见的定理。
1. 零点定理零点定理指出，如果函数f(x)在点a与点b之间连续，并且f(a)与f(b)异号，那么在a和b之间至少存在一个零点。
2. 导数与曲线斜率导数是函数变化率的表示，也是曲线在某一点的斜率。
对于满足一定条件的连续函数，其导数在某点的值等于曲线在该点切线的斜率。
3. 积分与曲线面积积分是函数的反导函数，也可以用来求曲线下的面积。
对于连续函数f(x)，其在[a, b]区间上的积分值等于曲线f(x)与x轴之间的面积。
直角坐标系的函数公式
直角坐标系的函数公式引言在数学中，直角坐标系是最基本、最常用的坐标系之一。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，分别称为 x 轴和 y 轴。
直角坐标系可用于描述平面上的点和图形，并且它的函数公式在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
坐标系的表示直角坐标系将平面划分为四个象限，可以用一个有序对 (x, y) 表示平面上的任意点。
其中，x 表示点在 x 轴上的位置，y 表示点在 y 轴上的位置。
x 轴和 y 轴的交点称为坐标原点，它的坐标表示为 (0, 0)。
直线的函数公式在直角坐标系中，直线的函数公式可用一元线性方程表示。
一元线性方程的一般形式为：y = mx + b其中，m 为斜率，表示直线的倾斜程度；b 为截距，表示直线与 y 轴的交点。
直线的函数公式可以帮助我们确定直线在坐标系中的位置、斜率和截距等重要特征。
曲线的函数公式除了直线，直角坐标系中还有各种曲线，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
每种曲线都有特定的函数公式，用于描述曲线上的点的位置。
以圆为例，圆的函数公式为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b) 表示圆心的坐标，r 表示圆的半径。
这个函数公式可以帮助我们确定圆心的位置、圆的半径以及圆上每个点的位置。
函数图像函数图像是函数公式在直角坐标系中的几何表示。
通过画出函数图像，我们可以直观地了解函数的性质和规律。
对于一元线性方程y = mx + b，它代表一条直线。
斜率 m 的正负决定了直线的倾斜方向，斜率越大，直线越陡峭。
截距 b 决定了直线与 y 轴的交点位置，当 b = 0 时，直线经过原点。
对于圆的函数公式(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，它代表一个圆。
圆心在 (a, b) 处，半径为r。
圆形的特点是从圆心出发的任意两个点之间的距离都等于半径r。
根据圆心、半径和距离的关系，我们可以绘制出圆的函数图像。
总结直角坐标系的函数公式是数学中非常重要的概念之一。
第十一讲平面直角坐标系与函数
(C)第三象限
(D)第四象限
【解析】选B.因为横坐标为-2，这样的点在第二、三象限，纵
坐标为1，这样的点在第一、二象限，所以点(-2，1)在第二象
限，故选B.
2.(2012·南通中考)线段MN在直角坐标系中的位置如图所示， 线段M1N1与MN关于y轴对称，则点M的对应的点M1的坐标为( )
(A)(4，2) (C)(－4，－2)
原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令［2,60°］
后位置的坐标为( )
(A)(-1, 3 ) (C)( 3 ,-1)
(B)(-1, 3 ) (D)( 3 ,1)
【解析】选C.根据题意画出图形如图
所示.机器人由原点位置按指令［2,
60°］到达点M的位置，作MN⊥y轴于
点N，由题意可知∠MON=60°，OM=2，
(B)(－4，2) (D)(4，－2)
【解析】选D．根据坐标系可得M点坐标是(-4，-2)，故点M 的对应点M1的坐标为(4，-2).
3.(2011·广安中考)在直角坐标平面内的机器人接受指令
“［α,A］”(α≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地
顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在
【即时应用】
1.函数y= x 中，自变量x的取值范围是__x_≥__0_且__x_≠__1__.
x 1
2.匀速行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系中__时__间___是自
变量，__路__程___是因变量.
3.我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元 钱，那么他乘此出租车最远能到达__1_1__公里处.
x 1
________．
【教你解题】
x 3有意义
八年级上册数12章知识点
八年级上册数12章知识点在八年级上册数学中，第12章是“平面直角坐标系与函数”的内容。
该章节涉及的知识点包括：平面直角坐标系的建立、坐标系中点的坐标、平面直角坐标系的应用、函数的基本概念、函数的图象、函数的性质、函数的表示方法等。
下面我们将逐一介绍这些知识点。
1. 平面直角坐标系的建立平面直角坐标系是通过相互垂直的两条数轴来建立的。
其中，x轴称为横坐标轴，y轴称为纵坐标轴。
两条轴的交点称为坐标原点，用O表示。
每个点在坐标系中都有唯一确定的坐标表示。
例如，点A在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，则A的坐标表示为（3，4）。
2. 坐标系中点的坐标当点在坐标系中的x坐标和y坐标都相同时，该点位于坐标系中心，我们称其为中心点。
例如，在以原点为中心的坐标系中，中心点的坐标为(0,0)。
当中心点不在原点时，其坐标为相应轴中点的坐标。
3. 平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学中有广泛的应用。
它可以被用于描述物体在空间中的位置和运动状态，并可以通过坐标系中函数的图象来描述各种关联关系。
4. 函数的基本概念函数是指若干个变量之间的一种关系。
在数学中，我们通常用字母表示函数，并用一个括号内表示自变量的值。
例如，函数f(x)表示自变量为x时的函数值。
函数可以用表格、图形或公式等方式表示。
在函数中，自变量和函数值之间的关系可以用函数图象很好地表示出来。
5. 函数的图象函数图象可以帮助我们理解函数的性质。
例如，对于一元二次函数，其图象为一条抛物线。
通过观察函数图象，我们可以知道该函数的零点、顶点、开口方向等特征。
6. 函数的性质函数的性质描述了函数的特性，其中比较重要的有：奇偶性、单调性、周期性等。
奇偶性表示函数的图象是否呈现对称的现象。
单调性表示函数的变化方向。
周期性表示函数的特定区间内是否重复。
7. 函数的表示方法函数可以用不同的方式表示。
比如，可以使用解析式、图形和表格等方式来表示函数。
在解析式中，函数通常使用通用公式表示。
空间直角坐标系函数
空间直角坐标系函数空间直角坐标系是用来描述三维空间中的点的坐标系统。
在空间直角坐标系中，我们可以用三个互相垂直的坐标轴来确定一个点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个轴之间的夹角都是90度，划分了空间直角坐标系的八个象限。
函数是将一个自变量的集合映射到另一个变量集合的规则。
在空间直角坐标系中，函数可以用来描述在空间中的点在不同坐标轴上的坐标值的关系。
空间直角坐标系中函数的一般形式为f(x,y,z)，表示了三维空间中的点(x,y,z)在函数上的取值。
空间直角坐标系中的函数可以是线性的，也可以是非线性的。
线性函数的图像是一条直线，可以用方程y=ax+b来表示，其中a和b是常数。
非线性函数的图像则不是一条直线，常见的非线性函数有二次函数、立方函数、指数函数等。
空间直角坐标系中的函数还可以用来描述三维物体的形状和特征。
比如，我们可以用一个函数来描述一个球体的形状，球体的函数方程可以写成x^2+y^2+z^2=r^2，其中r为球体的半径。
函数图像可以帮助我们可视化物体的形状和特征，通过对函数图像的分析，我们可以了解到物体在不同坐标轴上的尺寸、形状等信息。
在空间直角坐标系中，我们可以进行函数的运算。
比如，可以对函数进行求导、积分等操作。
求导可以得到函数在其中一点的斜率，可以帮助我们研究函数的变化趋势和极值点等特性。
积分可以将函数曲线下的面积计算出来，可以帮助我们计算物体的体积、质量等。
空间直角坐标系中的函数也有一些常见的性质。
比如，函数的对称性。
如果一个函数关于一个坐标轴对称，那么函数的图像在这个轴上是对称的。
另外，函数的零点也是一个重要的概念。
函数的零点是指使函数取值为0的点，可以帮助我们求解方程和解决实际问题。
总结来说，空间直角坐标系中的函数是用来描述三维空间中点的位置和物体的形状的工具。
函数可以用来研究函数的变化趋势、求解方程、计算物体的体积等。
掌握空间直角坐标系中的函数的概念和性质对于理解和应用三维空间中的数学问题非常重要。
平面直角坐标系与函数像的关系
平面直角坐标系与函数像的关系直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，我们可以利用它来描述平面上的各种几何图形和数学函数。
在这种坐标系中，平面被划分为四个象限，每个象限由两个互相垂直的轴，即x轴和y轴所确定。
x轴和y轴的交点称为原点，它的坐标为(0, 0)。
在直角坐标系中，我们可以通过给定的x坐标和y坐标，来确定平面上的一个点。
这个点的坐标表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
通过这种表示方式，我们可以利用直角坐标系方便地进行平面几何运算和函数分析。
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个数集之间的一种关系。
在直角坐标系中，我们可以将函数表示为一条曲线，这条曲线上的每个点都满足函数的定义。
函数的自变量通常表示为x，因变量表示为y，即y = f(x)。
在直角坐标系中，这个函数图像可以看作是平面上的一个图形。
函数的图像在直角坐标系中呈现出各种不同的形状，如直线、曲线、抛物线等。
通过观察这些图像，我们可以得到函数的性质和行为。
例如，当函数图像是一条直线时，函数呈现线性关系，即y与x成正比或反比。
而当函数图像是一条曲线时，函数可能表现出增长或衰减的趋势，或者存在极值点和拐点等。
函数图像在直角坐标系中的属性还包括对称性和周期性。
对称性是指函数图像在某个中心对称轴上呈现对称的特点，例如关于x轴对称、y轴对称或者原点对称。
周期性是指函数图像呈现出一定规律的重复性，即函数在某个区间内的数值与另一个区间内的数值相同。
直角坐标系也为我们提供了一种便利的方式来研究函数的变化趋势和数值特征。
通过观察函数图像在直角坐标系中的行为，我们可以判断函数的增减性、最值、零点以及一些其他的特征。
这些特征对于我们理解函数的性质和应用具有重要意义。
在数学和物理等领域，直角坐标系与函数的关系具有广泛的应用。
例如，我们可以利用直角坐标系来分析物体的运动轨迹、计算物体的速度和加速度，从而更好地理解运动规律。
此外，直角坐标系也为计算机图形学等领域提供了重要的基础，使得我们可以实现平面上的各种图形显示和处理。
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5.考查实际问题中列函数关系式
上海至南京的铁路长约300km,火车从上 海出发, 其平均速度为58km/h,则火车离 南京的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数 关系式是_____ S=300-58t ___.
考点训练：
1．点A(x,y)是平面直角坐标系中的一点， 若xy<0，则点A在二或四象限 象限；若x=0则 点A在 y轴上 ；若x<0，y≠0则点A在二或三象限 ; 若xy>0，且x=y, 则点A在第一、三象限角平分线上 2．已知点A(a,b), B(a,－b), 那么点A,B关 于 X轴 对称，直线AB平行于y 轴 3．点P(－4,－7)到x轴的距离为 7 ，到 y轴的距离为 4 ，到原点距离为 65 .
4．已知P是第二象限内坐标轴夹角平分 线上一点，点P到原点距离为4，那么点 2 P坐标为 2 2,2 . 5．某音乐厅有20排座位，第一排有18 个座位，后面每排比前一排多一个座位， 每排座位数m与这排的排数n的函数关系 是 m=n+17 ，自变量n的取值范 1≤n≤20的整数 围是 . x 1 6、函数 中，自变量的 y x2 取值范围是 X≥-1且x≠2 .
2009年
B级
A
│ 归类示例
·湖南教育版
3.考查自变量的取值范围 1 (1)函数 y 中自变量x的 x 1
取值范围是 x>1
(2)函数 y x 2 5 x 中自变量的
取值范围是 -2≤x≤5
4.考查函数图象类问题
2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解 放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀 速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽 误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下 车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离 Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像， 你认为正确的是（ C ）
O
x（分
20 60 80
A
B
．
C
D
8.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶 点A、B、D的坐标分别是 （0，0），（5，0）（2，3）， 则C点的坐标是（ C ） A．（3，7） B. （5，3） C. （7，3） D. （8，2）
• 2008年 1 • 9. 在函数 y 中，自变量的取值范围是 2x 1 ____
直角坐标系、函数
考查重点与常见题型
1.考查各象限内点的符号
若点P（a，b）在第四象限，则点M （b－a，a－b）在（ B ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
2.考查对称点的坐标
点P（－1，－3）关于y轴对称的 点的坐标是（ D ） （A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1） （D）（1，－3）
7. 小颖从家出发，直走了20分钟，到一个 离家1000米的图书室，看了40分钟的书后， 用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家 时间与距离之间的关系的是（ ） A
y（米）
y（米） y (米） y（米）
1000
1000
1000
1000
O
20 6075
x（分） O
x（分）
x（分）
20
75
O
6075