3-2-3 直线方程的一般式解析

直线不垂直于 x轴
一般 两 点 式 截距 式 情况
y－y1 ＝ y2－y1 x－x1 x2－x1 x y ＋ ＝1 a b
(x1，y1)，(x2，y2) 是直线上的两个 定点
直线不垂直于 x轴和y轴
a，b分别是直线 直线不垂直于 在x轴，y轴上的 x轴和y轴，且 两个非零截距 不过原点
一般 式
Ax＋By＋C＝0 A，B不同时为0 x＝a(y轴：x＝0)
由两点式得，
整理得 2x－y＋16＝0， ∴2x－y＝－16，两边同除以－16 得， x y ＋16＝1. －8
故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0， 截距式方程为 x y ＋16＝1. －8
y＝kx＋b ； 则直线方程为_________
(3)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当 x1≠x2，y1≠y2 时，
y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 ； 直线方程为______________
(4)截距式：当直线在x轴、y轴上的截距存在(分别为a、b) x y 且不为零时，直线方程为____________. a＋b＝1 x y ＋ ＝1 2．过点(0,2)和(－3,0)的直线的截距式方程是__________. －3 2 x y 3．过点(－1,5)，且与直线 2 ＋ 6 ＝1垂直的直线方程是 ________．
3(x－5)，化为一般式方程为 3x－y＋3－5 3＝0. (2)由斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0.
(3)由两点式方程可知， y－5 x－－1 所求直线方程为 ＝ . －1－5 2－－1 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. x y (4)由截距式方程可得，所求直线方程为 ＋ ＝1， －3 －1 化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.
A，B，C为系 数 垂直于x轴 且过点(a,0) 垂直于y轴且过 点(0，b)
任何情况
特殊 直线
斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0)
斜率k＝0
设直线l的方程为(m2－2m)x＋2my＋6－m＝0，已知l在y轴 上的截距为2，试确定m的值．
[解析]
直线l在y轴上的截距为2，即x＝0时，y＝2，所以
m－6 2m ＝2，解得m＝－2. [点评] 求截距的方法：
第三章
直线与方程 3．2 直线的方程
3.2.3 直线方程的一般式
温故知新 1．直线方程的四种形式： (1)点斜式：当直线斜率 k 存在时，则过点 P(x0，y0)的直线
y－y0＝k(x－x0) 方程为_____________________ ；
(2)斜截式：当直线斜率 k 存在时，设在 y 轴上截距为 b，
(1)令x＝0，解出y的值，即得直线l在y轴上的截距． (2)令y＝0，解出x的值，即得直线l在x轴上的截距.
命题方向
选择适当的形式写出直线的方程
[例 1] 根据下列条件分别写出直线的方程， 并化为一般 式方程． (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (3)经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在 x 轴，y 轴上的截距分别是－3，－1. [解析] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝
[答案] x－3y＋16＝0
自主预习 阅读教材P97～99，回答下列问题． 1．直线的一般式方程
Ax＋By＋C＝0 (其中 (1)定义：关于x，y的二元一次方程______________
A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用 一般式表示．
[注意]AB>0 时，k<0，倾斜角 α 为钝 角；AB<0 时，k>0，倾斜角 α 为锐角；A ＝0 时，k＝0，倾斜角 α＝0° ；B＝0 时，k 不存在，倾斜角 α＝90° .
若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为 ( ) A．A≠0 C．A· B≠0
[答案] D
[解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.
B．B≠0 D．A2＋B2≠0
直线2x＋y＋4＝0的斜率k＝________.[答案] －2Fra bibliotek[解析]
A A＝2，B＝1，则k＝－B＝－2.
2．直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤： ①移项：By＝－Ax－C； A C ②当B≠0时，得斜截式：y＝－Bx－ B. 一般式化截距式的步骤： ①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； Ax By ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得 ＋ ＝1； －C －C x y ③再化为截距式： C＋ C＝1. －A －B
(3)系数的几何意义： A C ①当B≠0时，则－ ＝k(斜率)，－ ＝b(y轴上的截距)； B B C ②当B＝0，A≠0时，则－ A ＝a(x轴上的截距)，此时不存 在斜率． (4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组 解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的 全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的 集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平 面直角坐标系中的直线是一一对应的．
x y 直线 ＋ ＝1化成一般式方程为( 3 4 4 A．y＝－3x＋4
)
4 B．y＝－3(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＋12＝0
[答案] C
[解析] x y ＋ ＝1→4x＋3y＝12 3 4
→4x＋3y－12＝0
3．直线方程五种形式的比较
名称 一般 点 斜 式 斜截式 y＝kx＋b 情况 方程 y－y0＝k(x－ x0) 常数的几何意义 (x0，y0)是直线 上的一个定点， k是斜率 k是斜率，b是直 线在y轴上的截 距 适用条件 直线不垂直于 x轴
直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为 ________．
2 [答案] 2 3
[解析]
2 已知直线方程可化为y＝3x＋2.
2 所以直线l的斜率k＝3，在y轴上的截距是2.
已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的一般 式方程和截距式方程．
[解析] 直线过 A(－5,6)、B(－4,8)两点， y－6 8－6 ＝ x＋5 －4＋5 ，