中考数学综合题专练:面积问题(含答案)
2020年中考数学二轮重难点专练附解答: 图形面积问题
图形面积问题例1、小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?【答案】:宽6米,长10米【解析】:设花圃的宽为x 米,面积为S 平方米则长为:x x 4342432-=+-(米)则:)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x ,∴2176<≤x ∵6417<,∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内, 而当2176<≤x 内,S 随x 的增大而减小, ∴当6=x 时,604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答:可设计成宽6米,长10米的矩形花圃,这样的花圃面积最大.例2、某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD ,点E 、F 分别在边BC 和CD 上,△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成,制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH .(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状,并说明理由;(2)E 、F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?【答案】:(1)四边形EFGH 是正方形(2)当CE =CF =0.1米时,总费用最省.【解析】:(1) 四边形EFGH 是正方形.图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE =CF =CG .x∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形.(2)设CE =x , 则BE =0.4-x ,每块地砖的费用为y 元那么:y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+)24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时,y 有最小值,即费用为最省,此时CE =CF =0.1.答:当CE =CF =0.1米时,总费用最省.例3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成.若设花园的宽为x(m) ,花园的面积为y(m²).(1)求y 与x 之间的函数关系,并写出自变量的取值范围;(2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?【答案】:(1)y=200)10(22+--=x (2)187.5【解析】:)240(x x y -=)20(22x x --= 200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内,而当205.12<≤x 内,y 随x 的增大而减小,∴当5.12=x 时,5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答:当5.12=x 米时花园的面积最大,最大面积是187.5平方米.例4、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为x 米.(1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少m ?(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?【答案】:(1)25(2)25 【解析】:(1)∵长为x 米,则宽为350x -米,设面积为S 平方米. )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时,3625max =S (平方米) 即:鸡场的长度为25米时,面积最大.(2) 中间有n 道篱笆,则宽为250+-n x 米,设面积为S 平方米. 则:)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时,2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知,无论中间有几道篱笆墙,要使面积最大,长都是25米.即:使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关.例5、如图,矩形ABCD 的边AB=6 cm ,BC=8cm ,在BC 上取一点P ,在CD 边上取一点Q ,使∠APQ 成直角,设BP=x cm ,CQ=y cm ,试以x 为自变量,写出y 与x 的函数关系式.【答案】:x x y 34612+-=. 【解析】:∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ,∠B=∠C=90°.∴△ABP ∽△PCQ.,86,yx x CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=. 例6、如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为多少米?【答案】:0.5 【解析】:如图所示建立直角坐标系则:设c ax y +=2将点)1,5.0(-,)5.2,1(代入, ⎩⎨⎧+=+-⨯=c a c a 5.2)5.0(12,解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(,最低点距地面0.5米.例7、小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单位:米)的变化而变化.(1)求S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当x 是多少时,矩形场地面积S 最大?最大面积是多少?【答案】:(1) (2)15,225【解析】:(1)根据题意,得x x x x S 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是(2)∵01<-=a ,∴S 有最大值当时,答:当为15米时,才能使矩形场地面积最大,最大面积是225平方米.例8、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润与投资量成正比例关系,如图12-①所示;种植花卉的利润与投资量成二次函数关系,如图12-②所示(注:利润与投资量的单位:万元)(1)分别求出利润与关于投资量的函数关系式;(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少?【答案】:(1)关于投资量的函数关系式是=,2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =(2)当8=x 时,z 的最大值为32【解析】:(1)设=,由图12-①所示,函数=的图像过(1,2),所以2=, 故利润关于投资量的函数关系式是=;因为该抛物线的顶点是原点,所以设2y =,由图12-②所示,函数2y =的图像过(2,2),所以,故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =; (2)设这位专业户投入种植花卉万元(),则投入种植树木(x -8)万元, 他获得的利润是万元,根据题意,得==+21y y += =∵021>=a ∴当时,的最小值是14;∴他至少获得14万元的利润.因为,所以在对称轴2=x 的右侧,z 随x 的增大而增大所以,当8=x 时,z 的最大值为32.例9、如图,把一张长10cm ,宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.【答案】:(1)1(2)40.5(3)最大面积为cm2【解析】:(1)设正方形的边长为cm,则.即.解得(不合题意,舍去),.剪去的正方形的边长为1cm.(2)有侧面积最大的情况.设正方形的边长为cm,盒子的侧面积为cm2,则与的函数关系式为:.即.改写为.当时,.即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2.(3)有侧面积最大的情况. 设正方形的边长为cm ,盒子的侧面积为cm 2. 若按图1所示的方法剪折,则与的函数关系式为:x x x x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即.当时,.若按图2所示的方法剪折,则与的函数关系式为:x x x x y ⋅-⋅+-=2282)210(2. 即.当时,.比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为cm 时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为cm 2.例10、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示),拱高6m ,跨度20m ,相邻两支柱间的距离均为5m .(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.【答案】:(1)抛物线的表达式是 (2)5.5(3)能通过【解析】:(1)根据题目条件,的坐标分别是.设抛物线的解析式为,将的坐标代入,得解得.所以抛物线的表达式是.(2)可设,于是从而支柱的长度是米.(3)设是隔离带的宽,是三辆车的宽度和,则点坐标是.过点作垂直交抛物线于,则.根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.。
中考复习题面积问题(解析版)
专题04 面积问题求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题,是初中数学一种重要的题型,它主要结合函数图形的相关知识点,在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积,求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形,求面积常用的方法有以下几种:方法1:直接法,求出三角形底边和底边上的高,进而求出其面积;方法2:补形法,将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差;方法3:分割法,选择一种恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。
一、填空题1.在平面直角坐标系中,,,若的面积为,且点在坐标轴上,则符合条件的点的坐标为__________.【答案】或或或【解析】解:①如图所示,若点C在x轴上,且在点A的左侧时,∵∴OB=3∴S△ABC=AC·OB=6 解得:AC=4∵,∴此时点C的坐标为:;②如图所示,若点C在x轴上,且在点A的右侧时,同理可得:AC=4 ∴此时点C的坐标为:;图①图②③如图所示,若点C在y轴上,且在点B的下方时,∵∴AO=2 ∴S△ABC=BC·AO=6 解得:BC=6∵∴此时点C的坐标为:;④如图所示,若点C在y轴上,且在点B的上方时,同理可得:BC=6 ∴此时点C的坐标为:. 故答案为:或或或.图③图④【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标,根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.2.在平面直角坐标系中,的位置如图所示,则的面积是________.【答案】9.【解析】如图,.【点拨】利用网格特点,将所求的的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算,属于常考题型,掌握求解的方法是关键.二、解答题3.如图,在平面直角坐标系中,、.求的面积.【答案】【解析】如图,过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D.根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值,然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD.解:过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D.∵A(3,4),B(5,1),∴OC=3,AC=4,OD=5,BD=1.∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6,S△BOD=OD•BD=×5×1=,S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5,∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=.【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质.通常采用“割补法”解答此类题目.4.在平面直角坐标系中描出点A(﹣2,0)、B(3,1)、C(2,3),将各点用线段依次连接起来,并解答如下问题:(1)在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′,使它与△ ABC 关于x 轴对称,并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标;(2)求△ABC的面积.【答案】(1)作图见解析;A'(-2,0)、B'(3,-1)C'(2,-3);(2)5.5【解析】(1)在坐标系内画出△ABC,再作出各点关于x轴的对称点,顺次连接各点即可;(2)利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可.【详解】(1)如图所示,由图可知A'(-2,0)、B'(3,-1)C'(2,-3);2)由图可知,S△ABC=5×3-×5×1-×3×4-×2×1,=15--6-1=5.5.【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换,熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.5.如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,1)B(2,0)C(4,3),(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,并求△ABC的面积(2)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4,求点P的坐标。
【中考压轴题专项练习】最新中考数学压轴大题冲刺专项训练:《 面积的最值问题 》含答案与解析
中考数学压轴大题冲刺专项训练面积的最值问题1.如图三角形ABC,BC=12,AD是BC边上的高AD=10.P,N分别是AB,AC边上的点,Q,M是BC 上的点,连接PQ,MN,PN交AD于E.求(1)若四边形PQMN是矩形,且PQ:PN=1:2.求PQ、PN的长;(2)若四边形PQMN是矩形,求当矩形PQMN面积最大时,求最大面积和PQ、PN的长.2.如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直,10AC BD,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?3.已知,如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,AD上,AH=2,连接CF.(1)当四边形EFGH为正方形时,求DG的长;(2)当DG =6时,求△FCG 的面积;(3)求△FCG 的面积的最小值.4.如图,已知点P 是∠AOB 内一点,过点P 的直线MN 分别交射线OA ,OB 于点M ,N ,将直线MN 绕点P 旋转,△MON 的形状与面积都随之变化.(1)请在图1中用尺规作出△MON ,使得△MON 是以OM 为斜边的直角三角形;(2)如图2,在OP 的延长线上截取PC =OP ,过点C 作CM ∥OB 交射线OA 于点M ,连接MP 并延长交OB 于点N .求证:OP 平分△MON 的面积;(3)小亮发现:在直线MN 旋转过程中,(2)中所作的△MON 的面积最小.请利用图2帮助小亮说明理由.5.如图,现有一张矩形纸片ABCD ,2AB =,6BC =,点M ,N 分别在矩形的边AD ,BC 上,将矩形纸片沿直线MN 折叠,使点C 落在矩形的边AD 上,记为点P ,点D 落在G 处,连接PC ,交MN 于点Q ,连接CM .(1)求证:PM PN =;(2)当P ,A 重合时,求MN 的值;(3)若PQM ∆的面积为S ,求S 的取值范围.6.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形,设小正方形的边长m ,直角三角形较短边长n ,且n =2m ﹣4,大正方形的面积为S .(1)求S 关于m 的函数关系式.(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时,求m 的值.7.如图:已知矩形ABCD 中,AB =3cm ,BC =3cm ,点O 在边AD 上,且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<),得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证:AC ⊥OB ;(2)如图1, 当B ′落在AC 上时,求AA ′;(3)如图2,求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.8.[问题提出](1)如图①,在ABC 中,6,BC D =为BC 上一点,4,AD =则ABC 面积的最大值是(2)如图②,已知矩形ABCD 的周长为12,求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用](3)如图③,现有一块四边形的木板余料ABCD ,经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积9.如图,已知A ,B 是线段MN 上的两点,4MN =,1MA =,1MB >,以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M ,N 两点重合成一点C ,构成ABC ,设AB x =.(1)求x的取值范围;(2)求ABC面积的最大值.10.如图,已知AB为半圆O的直径,P为半圆上的一个动点(不含端点),以OP、OB为一组邻边作▱POBQ,连接OQ、AP,设OQ、AP的中点分别为M、N,连接PM、ON.(1)试判断四边形OMPN的形状,并说明理由.(2)若点P从点B出发,以每秒15°的速度,绕点O在半圆上逆时针方向运动,设运动时间为ts.①试求:当t为何值时,四边形OMPN的面积取得最大值?并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系(需说明理由);②是否存在这样的t,使得点Q落在半圆O内?若存在,请直接写出t的取值范围;若不存在,请说明理由.11.如图①,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8.点D,E分别是边AC,BC上的动点,连接DE.设CD=x(x>0),BE=y,y与x之间的函数关系如图②所示.(1)求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式;(2)将△DCE沿DE翻折,得△DME.①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由;②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值.12.问题提出(1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形;(2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B、C均在直线l上,AD⊥l且AD=3,∠BAC=60°,求△ABC 面积的最小值;问题解决(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6m,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.参考答案与试题解析1.如图三角形ABC,BC=12,AD是BC边上的高AD=10.P,N分别是AB,AC边上的点,Q,M是BC 上的点,连接PQ,MN,PN交AD于E.求(1)若四边形PQMN是矩形,且PQ:PN=1:2.求PQ、PN的长;(2)若四边形PQMN是矩形,求当矩形PQMN面积最大时,求最大面积和PQ、PN的长.【解析】解:(1)设PQ=y,则PN=2y,∵四边形PQMN是矩形,∴PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∵AD⊥BC,∴AD⊥PN,∴PNBC=AEAD,即212y=1010y,解得y=154,∴PQ=154,PN=152.(2)设AE=x.∵四边形PQMN是矩形,∴PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∵AD⊥BC,∴AD⊥PN,∴PN BC =AE AD, ∴PN =65x ,PQ =DE =10﹣x , ∴S 矩形PQMN =65x (10﹣x )=﹣65(x ﹣5)2+30, ∴当x =5时,S 的最大值为30,∴当AE =5时,矩形PQMN 的面积最大,最大面积是30,此时PQ =5,PN =6.2.如图,四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直,10ACBD ,当AC 、BD 的长是多少时,四边形ABCD 的面积最大?【解析】解:设AC=x ,四边形ABCD 面积为S ,则BD=10-x ,则:211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+, ∴当x=5时,S 最大=252, 所以当AC=BD=5时,四边形ABCD 的面积最大.3.已知,如图,矩形ABCD 中,AD =6,DC =7,菱形EFGH 的三个顶点E ,G ,H 分别在矩形ABCD 的边AB,CD,AD上,AH=2,连接CF.(1)当四边形EFGH为正方形时,求DG的长;(2)当DG=6时,求△FCG的面积;(3)求△FCG的面积的最小值.【解析】解:(1)∵四边形EFGH为正方形,∴HG=HE,∠EAH=∠D=90°,∵∠DHG+∠AHE=90°,∠DHG+∠DGH=90°,∴∠DGH=∠AHE,∴△AHE≌△DGH(AAS),∴DG=AH=2;(2)过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,连接GE,∵AB∥CD,∴∠AEG=∠MGE,∵HE∥GF,∴∠HEG=∠FGE,∴∠AEH=∠MGF,在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,∴△AHE≌△MFG(AAS),∴FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化,点F到直线CD的距离始终为定值2,因此S△FCG=12×FM×GC=12×2×(7-6)=1;(3)设DG=x,则由(2)得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,∴HE2≤53,∴x2+16≤53,∴x≤37,∴S△FCG的最小值为7-37,此时DG=37,∴当DG=37时,△FCG的面积最小为(7-37).4.如图,已知点P是∠AOB内一点,过点P的直线MN分别交射线OA,OB于点M,N,将直线MN绕点P旋转,△MON的形状与面积都随之变化.(1)请在图1中用尺规作出△MON,使得△MON是以OM为斜边的直角三角形;(2)如图2,在OP的延长线上截取PC=OP,过点C作CM∥OB交射线OA于点M,连接MP并延长交OB于点N.求证:OP平分△MON的面积;(3)小亮发现:在直线MN旋转过程中,(2)中所作的△MON的面积最小.请利用图2帮助小亮说明理由.【解析】(1)①在OB下方取一点K,②以P为圆心,PK长为半径画弧,与OB交于C、D两点,③分别以C 、D为圆心,大于12CD 长为半径画弧,两弧交于E 点, ④作直线PE ,分别与OA 、OB 交于点M 、N ,故△OMN 就是所求作的三角形;(2)∵CM ∥OB ,∴∠C =∠PON ,在△PCM 和△PON 中,C PON PC POCPH OPN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△PCM ≌△PON (ASA ),∴PM =PN ,∴OP 平分△MON 的面积;(3)过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ,设PF <PE ,与MC 交于于G ,∵CM ∥OB ,∴∠GMP =∠FNP ,在△PGM 和△PFM 中,PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△PGM ≌△PFN (ASA ),∴S △PGM =S △PFN∴S 四边形MOFG =S △MON .∵S 四边形MOFG <S △EOF ,∴S △MON <S △EOF ,∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小.5.如图,现有一张矩形纸片ABCD ,2AB =,6BC =,点M ,N 分别在矩形的边AD ,BC 上,将矩形纸片沿直线MN 折叠,使点C 落在矩形的边AD 上,记为点P ,点D 落在G 处,连接PC ,交MN 于点Q ,连接CM .=;(1)求证:PM PN(2)当P,A重合时,求MN的值;∆的面积为S,求S的取值范围.(3)若PQM【解析】(1)证明:如图1中,∵四边形ABCD是矩形,∴PM∥CN,∴∠PMN=∠MNC,∵∠MNC=∠PNM,∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN.(2)解:点P与点A重合时,如图2中,设BN=x ,则AN=NC=6-x ,在Rt △ABN 中,AB 2+BN 2=AN 2,即22+x 2=(6-x )2,解得x=83, ∴CN=6-83=103,222226210AC AB BC =+=+=, ∴1102CQ AC ==, ∴222210()(10)310QN CN CQ =-=-=, ∴10223MN QN ==. (3)解:当MN 过点D 时,如图3所示,此时,CN 最短,四边形CMPN 的面积最小,则S 最小为14S S =菱形CMPN =12214⨯⨯=,当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为11210152102223S=⨯⨯⨯⨯=,∴513S≤≤.6.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形,设小正方形的边长m,直角三角形较短边长n,且n=2m﹣4,大正方形的面积为S.(1)求S关于m的函数关系式.(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时,求m的值.【解析】解:(1)∵小正方形的边长m,直角三角形较短边长n,∴直角三角形较长边长为m+n,∴由勾股定理得:S=(m+n)2+n2,∵n=2m﹣4,∴S=(m+2m﹣4)2+(2m﹣4)2,=13m2﹣40m+32,∵n=2m﹣4>0,∴m>2,∴S关于m的函数关系式为S=13m2﹣40m+32(m>2);(2)∵S=13m2﹣40m+32(2<m≤3),∴S =13(m-2013)2+1613∵m≥2013时,S 随x 的增大而增大, ∴m =3时,S 取最大.∴m =3.7.如图:已知矩形ABCD 中,AB =3cm ,BC =3cm ,点O 在边AD 上,且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<),得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证:AC ⊥OB ;(2)如图1, 当B ′落在AC 上时,求AA ′;(3)如图2,求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.【解析】解:(1)Rt △OAB 中,tan 3AB AOB OA∠== ∴∠AOB =60° R t △ACD 中,3tan CD CAD AD ∠== ∴∠CAD =30°∴∠OMA =180°-60°-30°=90°即AC ⊥OB(2)Rt △OAM 中,1•sin 1sin 302OM OA CAD =∠=⨯︒= Rt △OAB 中,OB ′=OB =60OA COS ︒=2, Rt △O B ′M 中,B ′M =2215OB OM -=', BM =OB -OM =32, Rt △B B ′M 中,2222153()()622BB B M BM =++''== ,,OA OB AOB A OB AOA BOB OA OB'''=∠=∴∆'∆''∽ ∴1,26AA OA BB OB =='', ∴62AA '=(3)如图,过C 点作CH ⊥于C ′D ′点H ,连结OC ,则CH ≤OC +OD ′只有当D ′在CO 的延长线上时,CH 才最大.又C ′D ′长一定,故此时△CC ′D ′的面积的最大.而2222OC CD OD =+=∴△CC ′D ′的最大面积为1(222)3632+⨯=+ 8.[问题提出](1)如图①,在ABC 中,6,BC D =为BC 上一点,4,AD =则ABC 面积的最大值是(2)如图②,已知矩形ABCD 的周长为12,求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用](3)如图③,现有一块四边形的木板余料ABCD ,经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积【解析】解:(1)过点A 作AE ⊥BC ,如图所示:∴12ABCS BC AE=⋅,∵D为BC上一点,∴AD AE≥,∴要使△ABC的面积最大,则需满足AD=AE,∵BC=6,AD=4,∴△ABC的面积最大为:16412 2⨯⨯=;故答案为12;(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,AD=BC,∵矩形ABCD的周长是12,∴设AB=x,则有AD=6-x,矩形ABCD的面积为S,则有:()()226639S x x x x x=-=-+=--+,此函数为二次函数,由10a=-<,二次函数的开口向下,∴当x=3时,矩形ABCD的面积有最大值为:S9=;(3)如图所示:∵四边形PQMN 是矩形,∴QM=PN ,PQ=MN ,∠QMN=∠PNM=90°,∵∠B=∠C=60°,∠QMB=∠PNC=90°,∴△BMQ ≌△CNP ,∴BM=NC ,设BM=NC=x ,则有MN=PQ=80-2x , ∴603QM BM tan x =⋅︒=,∴()()2380223208003PQMN S PQ QM x x x =⋅=⋅-=--+矩形, 此函数关系为二次函数,由230a =-<可得开口向下, ∴当x=20时,矩形PQMN 的面积有最大,即8003PQMN S =矩形. 9.如图,已知A ,B 是线段MN 上的两点,4MN =,1MA =,1MB >,以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M ,N 两点重合成一点C ,构成ABC ,设AB x =.(1)求x 的取值范围;(2)求ABC 面积的最大值.【解析】解:(1)∵4MN =,1MA =,AB x =,∴413BN x x =--=-.由旋转的性质,得1MA AC ==,3BN BC x ==-,由三角形的三边关系,得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >,解不等式②得2x <,∴x 的取值范围是12x <<.(2)如图,过点C 作CD AB ⊥于点D ,设CD h =,由勾股定理,得2221AD AC CD h -=-=2222(3)BD BC CD x h =-=--∵BD AB AD =-, 222(3)1x h x h --=-2134-=-h x ,两边平方整理,得()222832=x x h x -+-.∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=, ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴当32x 时,ABC面积最大值的平方为12,∴ABC面积的最大值为22.10.如图,已知AB为半圆O的直径,P为半圆上的一个动点(不含端点),以OP、OB为一组邻边作▱POBQ,连接OQ、AP,设OQ、AP的中点分别为M、N,连接PM、ON.(1)试判断四边形OMPN的形状,并说明理由.(2)若点P从点B出发,以每秒15°的速度,绕点O在半圆上逆时针方向运动,设运动时间为ts.①试求:当t为何值时,四边形OMPN的面积取得最大值?并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系(需说明理由);②是否存在这样的t,使得点Q落在半圆O内?若存在,请直接写出t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)四边形OMPN为矩形,理由如下:∵四边形POBQ为平行四边形,∴PQ∥OB,PQ=OB.又∵OB=OA,∴PQ=AO.又∵PQ∥OA,∴四边形PQOA为平行四边形,∴P A∥QO,P A=QO.又∵M、N分别为OQ、AP的中点,∴OM=12OQ,PN=12AP,∴OM=PN,∴四边形OMPN为平行四边形.∵OP=OA,N是AP的中点,∴ON⊥AP,即∠ONP=90°,∴四边形OMPN为矩形;(2)①∵四边形OMPN为矩形,∴S矩形OMPN =ON·NP=ON·12AP,即S矩形OMPN=S△AOP.∵△AOP的底AO为定值,∴当P旋转运动90°(运动至最高点)时,△AOP的AO边上的高取得最大值,此时△AOP的面积取得最大值,∴t=90÷15=6秒,∴当t=6秒时,四边形OMPN面积最大.此时,PQ与半圆O相切.理由如下:∵此时∠POB=90°,PQ//OB,∴∠OPQ=90°,∴PQ与半圆O相切;②当点Q在半圆O上时,∵四边形POBQ为平行四边形,且OB=OP,∴四边形POBQ为菱形,∴OB=BQ=OQ=OP=PQ,∴∠POQ=∠BOQ=60°,即:∠BOP=120°,∴此时,t=120°÷15°=8秒,当点P与点A重合时,t=180°÷15°=12秒,综上所述:当8<t<12时,点Q在半圆O内.11.如图①,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8.点D,E分别是边AC,BC上的动点,连接DE.设CD=x(x>0),BE=y,y与x之间的函数关系如图②所示.(1)求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式;(2)将△DCE沿DE翻折,得△DME.①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由;②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值.【解析】解:(1)设线段PQ 所在直线的函数表达式为y =kx +b ,将P (3,4)和Q (6,0)代入得,0306k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴线段PQ 所在直线的函数表达式为483y x =-+; (2)①如图1,连接CM 并延长CM 交AB 于点F ,∵∠C =90°,AB =10,BC =8,∴AC 22AB BC -=6,由(1)得BE =()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形,∴CE =43x ,∴34DC AC CE BC ==, ∵∠DCE =∠ACB ,∴△DCE ∽△ACB ,∴∠DEC =∠ABC ,∴DE//AB,∵点C和点M关于直线DE对称,∴CM⊥DE,∴CF⊥AB,∵1122ABCS AC BC AB CF==△,∴6×8=10×CF,∴CF=24 5,∵∠C=90°,CD=x,CE=43x,∴DE53x =,∴CM=85x,MF=24855x-,过点M作MG⊥AC于点M,过点M作MH⊥BC于点H,则四边形GCHM为矩形,∵∠GCM+∠BCF=∠BCF+∠ABC=90°,∴∠GCM=∠ABC,∵∠MGC=∠ACB=90°,∴△CGM∽△BCA,∴MG CG CM AC BC AB==,即85 6810x MG CG==,∴MG =2425x ,CG =3225x , ∴MH =3225x , (Ⅰ)若点M 落在∠ACB 的平分线上,则有MG =MH ,即24322525x x =,解得x =0(不合题意舍去), (Ⅱ)若点M 落在∠BAC 的平分线上,则有MG =MF ,即242482555x x =-,解得x =158, (Ⅲ)若点M 落在∠ABC 的平分线上,则有MH =MF ,即322482555x x =-,解得x =53. 综合以上可得,当x =158或x =53时,点M 落在△ABC 的某条角平分线上. ②当0<x ≤3时,点M 不在三角形外,△DME 与△ABC 重叠部分面积为△DME 的面积,∴2142233S x x x ==, 当x =3时,S 的最大值为22363⨯=. 当3<x ≤6时,点M 在三角形外,如图2,由①知CM =2CQ =85x , ∴MT =CM ﹣CF =82455x -, ∵PK//DE ,∴△MPK ∽△MDE ,∴()2222824265545MPKMDE x x S MF S MQ x x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭△△ , ∴()2226MPK MDE x S S x -=△△,∵DEKP MDE MPK S S S =-△△四边形,∴()()2222226262113DEKP MDE x x S S x x x ⎡⎤⎡⎤--=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦△四边形, 即:()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形,∴当x =4时,△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8.综合可得,当x =4时,△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8.13.问题提出(1)如图①,已知线段AB ,请以AB 为斜边,在图中画出一个直角三角形;(2)如图②,已知点A 是直线l 外一点,点B 、C 均在直线l 上,AD ⊥l 且AD=3,∠BAC=60°,求△ABC 面积的最小值;问题解决(3)如图③,某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形ABCD 中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6m ,点E 、F 分别为AB 、AD 上的点,若保持CE ⊥CF ,那么四边形AECF 的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.【解析】解:(1)如图,Rt△ACB即为所求.(2)如图,作△ABC的外接圆⊙O,连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E,则∠BOC=2∠BAC,OA=OB=OC,BE=CE=12 BC,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,设OA=OB=OC=r,则OE=12r,3,∵AO+OE≥A D,AD=3,∴r+12r≥3,解得r≥2,∴323∴S△ABC=12BC·AD≥12×33=33∴△ABC 面积的最小值为33.(3)存在;如图,分别延长AB 、DC 交于点M , 则△ADM 、△CBM 均为等腰直角三角形, ∵CB=CD=6m ,∴BM=6m ,CM=62,AD=DM=(6+2m , ∴S 四边形ABCD=S △ADM -S △CBM=12DM 2-12BC 2 =12×(6+622-12×62 =(36+362)m 2.将△CBE 绕点C 顺时针旋转135°得到△CDE′, 则A 、D 、E′三点共线.∴S 四边形AECF =S 四边形ABCD –(S △CBE +S △CDF )=S 四边形ABCD –S △CE ′F ∵S 四边形ABCD 为定值,∴当S △CE ′F 取得最小值时,S 四边形AECF 取得最大值.∵∠E′CF=135°-90°=45°,∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F,则△CE′F的外接圆是以点O为圆心,OF长为半径的圆,设△CE′F的外接圆半径为rm,∴E′F=2rm,又∵OC+OD≥CD,∴22r+r≥6,∴r≥12-62,当点O在CD上时,E′F最短,此时E′F=2r=(122-12)m,∴S△CE′F最小=12×(122-12)×6=(362-36)m2,∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+362-(362-36)=72m2.。
中考数学压轴题:二次函数中的面积问题(含答案)
学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值,图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题;教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧,如:割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法.割补法求三角形面积,动态问题一般解题思路。
了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线,即铅垂高,再分别过点A,C作PF的高,即和为水平宽。
S△ = ×水平宽×铅垂高如下图:①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等,该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等.如图,AD∥BC中,AC与BD交点O,则S△ABC = S△DBC,S△AOB = S△COD2如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx -8mx+4m+2(m>0)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x ,10),C(x ,0),且x -x =4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线,直线AD2 2 1的交点分别为P,Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值.图形面积的求法常见有三种,分别是:(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法 割补法 平行线等积变换法(2)(3) 2 如图,已知抛物线y =x +bx +c 与 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)与 轴交于点C (0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ,点E 为y 轴上一动点,CE 的垂直平分线交抛物线于P ,Q 两点(点P 在第三象限)(1)求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式;(2)当△CDE 是直角三角形,且∠CDE =90°时,求出点P 的坐标;(3)当△PBC 的面积为 时,求点E 的坐标.2 如图,已知抛物线y = x +ax +4a 与x 轴交于点A ,B ,与y 轴负半轴交于点C 且OB =OC ,点P 为抛物线上的一个动点,且点P 位于x 轴下方,点P 与点C 不重合.(1)求该抛物线的解析式;(2)若△PAC 的面积为 ,求点P 的坐标;(3)若以A ,B ,C ,P 为顶点的四边形面积记作S ,则S 取何值时,对应的点P 有且只有2个?将()的图像如何平移到的图像。
中考数学:函数综合题面积问题—学案(含答案)
函数综合题面积问题—学案(含答案)学习目标:1、让学生能学会结合函数性质求图形面积问题,并掌握函数中面积问题的相关计算。
2、通过结合函数知识对已知图形面积求值问题的探究,使学生体会数形结合思想、分类转化思想。
3、通过学习使学生获得成功的体验,增强学习数学的兴趣,培养科学探究精神。
学习重点:让学生能学会结合函数性质求图形面积问题,并掌握函数中面积问题的相关计算。
学习难点:让学生体会数形结合思想、分类转化思想在此类问题中的就用。
学习方法:独立思考、合作探究学习过程:一、单一函数面积问题例:如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =- 43x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ,点D (0,-6)在y 轴的负半轴上,若将△DAB 沿直线AD 折叠,点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处,直线CD 交AB 于点E .(1)求点A 、B 、C 的坐标;(2)求△ADE 的面积;(3)y 轴上是否存在一点P ,使得S △PAD = 12S △ADE ,若存在,请直接写出点P 的坐 标;若不存在,请说明理由.【解析】:(1)分别令x =0,y =0,求出点B 、A 的坐标,在Rt△AOB 中,利用勾股定理可求出AB 的长度,由折叠的性质可得出AC =AB ,结合OC =OA +AC 可得出OC 的长度,进而可得出点C 的坐标;(2)利用三角形内角和定理和全等三角形的性质求△ADE 的面积;(3)假设存在,设出点P 的坐标,通过列方程求解.解:(1)当x =0时,y =- 43x +4=4, ∴点B 的坐标为(0,4).当y =0时,- 43x +4=0, 解得x =3, ∴点A 的坐标为(3,0).在Rt△AOB 中,OA =3,OB =4,由勾股定理得AB = √OA 2+OB 2 =5.由折叠的性质,可知∠BDA =∠CDA ,∠DBA =∠DCA ,AC =AB =5,∴OC =OA +AC =8.∴点C 的坐标为(8,0);(2)∵∠DBA =∠DCA ,∠OAB =∠EAC , ∴∠AEC =∠AOB =90°. 又∵∠BDA =∠CDA , ∴AO =AE . 在Rt △AOD 和Rt △AED 中,{AO =AE AD =AD ∴Rt △AOD ≌Rt △AED (HL).∵D (0,-6),∴OD =6. ∴S △ADE =S △ADO = 12OA ·OD =9; (3)存在;点P 坐标为(0,-3)或(0,-9).二、两种函数结合面积问题例、如图①,抛物线y =-x 2+bx +c (b ,c 为常数)交x 轴于点A (-3,0)和点B ,交y 轴于点C (0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)若点P 在抛物线上,且S △AOP =4S △BOC ,求点P 的坐标;(3)如图②,连接AC 、DC 、AD ,设点Q 是线段AC 上的一动点,过点Q 作DQ ⊥x 轴,交抛物线于点D ,求线段DQ 的最大值,并求出△DAC 面积的最大值.【解析】:(1)把点A 、C 的坐标分别代入抛物线表达式,列出方程组,通过解方程组求解;(2)设点P 坐标为(x ,-x 2+bx +c ),根据S △AOP=4S △BOC 列出关于x 的方程,解方程求出x 的值,进而得到点P 的坐标;(3)设出点Q 的坐标,用含字母的代数式表示线段长度,利用二次函数的增减性求最大值,进而得到面积的最大值.解:(1)把A (-3,0),C (0,3)代入y =-x 2+bx +c ,得解得∴该抛物线的表达式为y =-x 2-2x +3;(2)∵y =-x 2-2x +3,对称轴为x =-1, ∴点B (1,0).设点P 的坐标为(x ,-x 2-2x +3),∵S △AOP =4S △BOC , ∴ 12 ×3×|-x 2-2x +3|=4× 12×1×3,整理得(x +1)2=0或x 2+2x -7=0,解得x =-1或x =-1±2 √2 .则符合条件的点P 的坐标为(-1,4)或(-1+2 √2-4)或(-1-2√2-4);(3)设直线AC 的解析式为y =kx +t ,将A (-3,0),C (0,3)代入,得解得即直线AC 的解析式为y =x +3.设点Q 的坐标为(x ,x +3)(-3≤x ≤0),则点D 的坐标为(x ,-x 2-2x +3),∴DQ =(-x 2-2x +3)-(x +3)=x 2 -3x =-(x +32)2+94∵-1<0,-3≤-32≤0,∴当x =-32 时,DQ 有最大值94 此时S △DAC =S △DAQ +S △DCQ = 12×3× 94 = 278.∴△DAC 面积的最大值为 278.三、随堂检测 0933b c c =--+⎧⎨=⎩,,23.b c =-⎧⎨=⎩,303k t t -+=⎧⎨=⎩,13k t =⎧⎨=⎩,1、(河北2017中考)如图,直角坐标系xOy 中,A(0,5),直线x =-5与x 轴交于点D ,直线83983--=x y 与x 轴及直线x =-5分别交于点C ,E.点B ,E 关于x 轴对称,连接AB.(1)求点C ,E 的坐标及直线AB 的解析式;(2)设面积的和CDE ABDO S S S ∆=+四边形,求S 的值;(3)在求(2)中S 时,嘉琪有个想法:“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置,而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ,这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现S S AOC ≠Δ,请通过计算解释他的想法错在哪里.【解答】解:(1)把y =0代入y =- 38x - 398 得x =-13, ∴C 点坐标为(-13,0).把x =-5代入y =- 38x - 398 得y =-3, ∴E 点坐标为(-5,-3). ∵点B ,E 关于x 轴对称, ∴B 点坐标为(-5,3).设直线AB 的解析式为y =kx +b ,将A (0,5)、B (-5,3)代入得 解得∴直线AB 的解析式为y = 25x +5;(2)∵CD =8,DE =DB =3,OA =OD =5,∴S △CDE = 12×8×3=12,S 四边形ABDO =12×(3+5)×5=20, ∴S =S △CDE +S 四边形ABDO =12+20=32; (3)∵当x =-13时,y =25x +5=-0.2≠0, ∴点C 不在直线AB 上,即A 、B 、C 三点不共线, ∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC .2、如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =mx +1与双曲线y =k x(k >0)相交于点A 、B ,点C 在x 轴正半轴上,点D (1,-2),连接OA ,OD ,DC ,AC ,四边形AODC 为菱形.(1)求k 和m 的值;(2)根据图象写出反比例函数的值小于2时x 的取值范围;(3)设点P 是y 轴上一动点,且S △OAP =S 菱形OACD ,求点P 的坐标.【解答】解:(1)如解图,连接AD ,交x 轴于点E ,∵D (1,-2),∴OE =1,ED =2.∵四边形AODC 是菱形,∴AE =ED =2,EC =OE =1.∴A (1,2).将A (1,2)代入直线y =mx +1可得m +1=2,解得m =1.将A (1,2)代入反比例函数y =k x 可得2=k 1,解得k =2; (2)∵当x =1时,反比例函数的值为2,∴当反比例函数的值小于2时,x 的取值范围为x <0或x >1; 553b k b =⎧⎨-+=⎩,,255.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,(3)∵OC =2OE =2,AD =2ED =4,∴S 菱形OACD =12OC ·AD =4.∵S △OAP =S 菱形OACD ,∴S △OAP =4. 设P 点坐标为(0,y ),则OP =|y |,∴12×|y |×1=4,即|y |=8, 解得y =8或y =-8.∴点P 的坐标为(0,8)或(0,-8).四、总结反思本节课我收获了:五、课后作业1. 如图,直线y =kx +b (k ≠0)与坐标轴分别交于A 、B 两点,OA =8,OB =6.动点P 从O 点出发,沿路线O →A →B 以每秒2个单位长度的速度运动,到达B 点时运动停止.(1)求点A 、B 的坐标;(2)当点P 在OA 上,且BP 平分∠OBA 时,求此时点P 的坐标;(3)设点P 的运动时间为t 秒(0≤t ≤4),△BP A 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并直接写出当S =8时点P 的坐标.【解答】解:(1)∵OA =8,OB =6,∴点A 的坐标为(8,0),点B 的坐标为(0,6);(2)如解图,过点P 作PH ⊥AB 于点H ,在Rt △AOB 中,由勾股定理得AB =OB 2+OA 2=10,在△BOP 和△BHP 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BOP =∠BHP ,∠OBP =∠HBP ,BP =BP ,∴△BOP ≌△BHP (AAS).∴BH =BO =6,OP =PH ,则AH =AB -BH =4,AP =8-OP ,在Rt △AHP 中,AP 2=PH 2+AH 2,即(8-OP )2=OP 2+42,解得OP =3,则点P 的坐标为(3,0);(3)由点P 的运动时间为t 秒可知,OP =2t ,∴AP =8-2t ,∴△BP A 的面积S =12AP ·OB =12×(8-2t )×6=24-6t , 则S 与t 之间的函数关系式为S =24-6t (0≤t ≤4);当S =8时,点P 的坐标为(163,0). 【解法提示】当S =8时,24-6t =8,解得t =83,∴OP =2t =163, 则当S =8时,点P 的坐标为(163,0). 2.(2019石家庄桥西区二模)如图①,在直角坐标系中,一次函数的图象l 1与y 轴交于点A (0,2),与一次函数y =x -3的图象l 2交于点E (m ,-5).(1)求m 的值及l 1的表达式;(2)直线l 1与x 轴交于点B ,直线l 2与y 轴交于点C ,求四边形OBEC 的面积;(3)如图②,已知矩形MNPQ ,PQ =2,NP =1,M (a ,1),矩形MNPQ 的边PQ 在x 轴上平移,若矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点,直接..写出a 的取值范围.图① 图②【解答】解:(1)∵点E (m ,-5)在一次函数y =x -3的图象上,∴m -3=-5,∴m =-2. 设直线l 1的表达式为y =kx +b (k ≠0),∵直线l 1过点A (0,2)和E (-2,-5),∴⎩⎪⎨⎪⎧b =2,-2k +b =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,k =72,∴直线l 1的表达式为y =72x +2; (2)如解图,连接OE ,将y =0代入y =72x +2可得x =-47,则B 点坐标为(-47,0), ∵C 点坐标为(0,-3),点E 坐标为(-2,-5)∴S 四边形OBEC =S △OBE +S △OCE =12×47×5+12×2×3=317; (3)-47≤a ≤127或3≤a ≤6. 【解法提示】由题知,点N 的坐标为(a -2,1),点Q 的坐标为(a ,0),①矩形MNPQ 与直线l 1有交点,当点Q 在直线l 1上时,则0=72a +2,解得a =-47; 当点N 在直线l 1上时,则1=72(a -2)+2,解得a =127.此时a 的取值范围为-47≤a ≤127;②矩形MNPQ 与直线l 2有交点,当点Q 在直线l 2上时,则0=a -3,解得a =3;当点N 在直线l 2上时,则1=(a -2)-3,解得a =6,此时a 的取值范围为3≤a ≤6.综上可知,当矩形MNPQ 与直线l 1或l 2有交点时a 的取值范围为-47≤a ≤127或3≤a ≤6.。
备战中考数学专题练习(全国通用)几何体的表面积(含答案)
备战中考数学专题练习(全国通用)几何体的表面积(含答案)一、单项选择题1.把14个棱长为1的正方体,在空中上堆叠成如下图的立方体,然后将显露的外表局部染成白色,那么白色局部的面积为〔〕A.21B.24C.33D.372.附图的长方体与以下选项中的平面图形均是由边长为1公分的小正方体严密堆砌而成.假定以下有一平面图形的外表积与附图的外表积相反,那么此图形为何?〔〕A.B.C.D.3.图中的几何体,由两个正方体组合而成,大正方体的棱长为a,小正方体的棱长是b,那么这个几何体的外表积等于〔〕A.B.C.D.4.假定干个正方体外形的积木摆成如下图的塔形,平放于桌面上,下面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点,最下面的正方体棱长为1,假设塔形露在外面的面积超越7,那么正方体的个数至少是〔〕A.2B.3C.4D.55.如图,将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后,恰恰围成一个底面是正三角形的棱柱,这个棱柱的正面积为〔〕A.9B.9﹣3C.D.6.圆柱的底面半径为3cm,母线长为5cm,那么圆柱的正面积是〔〕A.30cm2B.30πcm2C.15cm2D.15πcm27.从棱长为2的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为1的小正方体,失掉一个如下图的零件,那么这个零件的外表积是〔〕A.20B.22C.24D.26二、填空题8.如图,几个棱长为1的小正方体在地板上堆积成一个模型,外表喷涂白色染料,那么染有白色染料的模型的外表积为________.9.用一些棱长为a的正方形,摆成如下图的外形,请你求出该物体的外表积.________.10.用一个长3cm宽2cm的长方形纸卷一个圆柱,那么圆柱的正面积为________,底面周长为________.11.一个正方体边长2cm,这个正方体的外表积为________cm2,体积为________cm3.12.如图,一把翻开的雨伞可近似的看成一个圆锥,伞骨〔面料下方可以把面料撑起来的支架〕末端各点所在圆的直径AC长为12分米,伞骨AB长为9分米,那么制造这样的一把雨伞至少需求绸布面料为________平方分米.13.如图,把14个棱长为1cm的正方体木块,在空中上堆成如下图的平面图形,然后向显露的外表局部喷漆,假定1cm2需用漆2g,那么共需用漆________g.14.两个完全相反的长方体的长.宽.高区分为5cm.4cm.3cm,把它们叠放在一同组成个新长方体,在这个新长方体中,体积是________cm3,最大外表积是________cm2.15.用一个长3cm宽2cm的长方形纸卷一个圆柱,那么圆柱的正面积为________cm2,底面周长为________三、解答题16.有3个棱长区分是3cm,4cm,5cm的正方体组分解如下图的图形.其露在外面的外表积是多少?〔整个平面图形摆放在地上〕17.如下图,木工徒弟把一个长为1.6米的长方体木料锯成3段后,外表积比原来添加了80cm2,那么这根木料原本的体积是多少?四、综合题18.棱长为a的正方体摆放成如图的外形.〔1〕试求其外表积;〔2〕假定如此摆放10层,其外表积是多少?19.如图,是按规律摆放在墙角的一些小正方体,从上往下区分记为第一层,第二层,第三层…第n层…〔1〕第三层有________个小正方体.〔2〕从第四层至第六层〔含第四层和第六层〕共有________个小正方体.〔3〕第n层有________个小正方体.〔4〕假定每个小正方体边长为a分米,共摆放了n层,那么要将摆放的小正方体能看到的外表局部涂上防锈漆,那么防锈漆的总面积为________分米2.20.棱长为a的正方体,摆放成如下图的外形.〔1〕假设这一物体摆放三层,试求该物体的外表积;〔2〕依图中摆放方法类推,假设该物体摆放了上下20层,求该物体的外表积.答案局部一、单项选择题1.【答案】C【考点】几何体的外表积【解析】【解答】解:依据题意得:第一层显露的外表积为:1×1×6﹣1×1=5,第二层显露的外表积为:1×1×6×4﹣1×1×13=11,第三层显露的外表积为:1×1×6×9﹣1×1×37=17,所以白色局部的面积为:5+11+17=33.故答案为:C.【剖析】先区分求出每层显露的外表积,再求和即可。
2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(面积问题)1.如图,二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8),且与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点(1,0)A -,M 为抛物线的顶点.(1)求二次函数的解析式; (2)求MCB △的面积;(3)在坐标轴上是否存在点N ,使得BCN △为直角三角形?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,抛物线212y x bx c =-++(b 、c 为常数)经过()4,0A 和()0,4B 两点,其顶点为C .(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标;(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点.设ABM 的面积为S ,试求S 的最大值; (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点,直接写出m 的取值范围. 3.如图,抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ,与x 轴交于A ,B 两点,点A 在点B 左侧.点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ,使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二?若存在,求出此时OP 的长;若不存在,请说明理由.(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ,直线l 与抛物线的交点为M (异于点C ),求M 点坐标.4.如图1,抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -,,()04C ,两点,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图2,点P 为第一象限抛物线上一点,是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图3,若抛物线的对称轴EF (E 为抛物线顶点)与直线BC 相交于点F ,M 为直线BC 上的任意一点,过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ,以E ,F ,M ,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求出点N 的坐标;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C ,顶点为D .(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标;(2)动点P ,Q 以相同的速度从点O 同时出发,分别在线段,OB OC 上向点B ,C 方向运动,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点E . ①当四边形OQEP 为矩形时,求点E 的坐标;①过点E 作EM BC ⊥于点M ,连接,PM QM ,设BPM △的面积为1S ,CQM 的面积为2S ,当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时,请直接写出12S S 的值. 6.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ,B 两点,抛物线的对称轴为直线=1x -,其中点A 的坐标为(3,0)-.(1)求点B 的坐标;(2)已知1a =,C 为抛物线与y 轴的交点,求抛物线的解析式; (3)若点P 在抛物线上,且4POCBOCSS=,求点P 的坐标;(4)设点Q 是线段AC 上的动点,过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值.7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,,()10B ,两点,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,当ACP △的面积最大时,求点P 的坐标;(3)Q 是x 轴上一动点,M 是第二象限内抛物线上一点,若以A ,C ,M ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点Q 的坐标.8.如图,直线132y x =-+交y 轴于点A ,交x 轴于点C ,抛物线214y x bx c =-++经过点A ,点C ,且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ,点B ,点C 的坐标及抛物线的解析式;(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ,求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A '',若线段O A ''与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m 的取值范围.9.如图,已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点,与y 轴交于点()0,3C .(1)求抛物线的解析式; (2)求直线BC 的函数解析式;(3)在抛物线上,是否存在一点P ,使PAB 的面积等于ABC 的面积?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ,()2,0C -,与y 轴交于点A ,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 运动到什么位置时,PAB 的面积最大?(3)过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D ,再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ,连接DE .是否存在点P ,使PDE △为等腰直角三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,直线l :112y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点B ,C ,经过B ,C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上,过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ,PE ①y 轴交l 于点E ,求PD PE +的最大值;(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上,F 为直线l 上的点,以A ,B ,P ,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F 的坐标;若不能,请说明理由. 12.已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ,(1)求抛物线的解析式;(2)设C ,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.①当四边形ABCD 的周长最小时,在图1中作直线CD ,保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式;①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点,Q 是OP 的中点,以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △.在①的条件下,记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并求S 的最大值.13.抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B , 与x 轴交于另一点A , 顶点为D .(1)填空: 点B 的坐标为___________, 点D 的坐标为___________.(2)如图1 , 连结OD P ,为x 轴上的动点, 当以O D P ,,为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出点P 的坐标;(3)如图2, M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点, Q 是拋物线上的动点, 它的横坐标为 (05)m m <<, 连结MQ BQ MQ ,,与直线OB 交于点E . 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S , 设12S t s =, 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值. 14.如图,二次函数的图象经过点()10A -,,()30B ,,()03C -,,直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ,E .(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点.①若点M 在图象上的B ,C 两点之间,求DME 的面积的最大值. ①若MED EDB ∠∠=,求点M 的坐标.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -,B 两点,其对称轴直线2x =与x 轴交于点D .(1)求该抛物线的函数表达式为______;(2)如图1,点P 为抛物线上第四象限内的一动点,连接CD ,PB ,PC ,求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标;(3)如图2,将该抛物线向左平移得到抛物线y ',当抛物线y '经过原点时,与原抛物线的对称轴相交于点E ,点F 为抛物线y '对称轴上的一点,点M 是平面内一点,若以点A ,E ,F ,M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形,请直接写出满足条件的点M 的坐标______.16.如图,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +,与y 轴交于点C ,对称轴轴为直线=1x -.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AC 上一动点,过点P 作PQ y ∥轴,交抛物线于点Q ,以P 为圆心,PQ 为半径作P ,当P 与坐标轴相切时,求P 的半径;(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ,N 两点,求AMN 面积的最小值.17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ,与y 轴交于点C ,抛物线上有一动点P ,抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连接EC ,作直线BC .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时,连接,PB PC ,当23EBC PBC S S =△△时,求点P 坐标;(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ,x 轴上有一动点N ,是否存在四边形PQCN 是矩形?若存在,在横线上直接写出点N 的坐标,若不存在,请说明理由. 18.如图,直线122y x =-+交y 轴于点A ,交x 轴于点C ,抛物线214y x bx c=-++经过点A ,点C ,且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ,点B ,点C 的坐标及抛物线的解析式;(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ,求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A '',若线段O A ''与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m 的取值范围(直接写出结果即可).参考答案:1.(1)245y x x =-++; (2)15(3)存在,点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0).2.(1)2142y x x =-++,91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3.(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P , (3)M 点坐标是(45),或315()24-,4.(1)抛物线的解析式:234y x x =-++;直线BC 的解析式为4y x =-+;(2)当()26P ,时,四边形PBOC 面积最大; (3)能,点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭,或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝.5.(1)2142y x x =--,91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)①(-;①1215S S =或1279S S =6.(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947.(1)224233y x x =--+(2)3(2P -,5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8.(1)03A (,),20B -(,),60C (,),抛物线解析式为:2134y x x =-++; (2)3a =时,四边形ABCM 面积最大,其最大值为754,此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭;(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时,线段O A ''与抛物线只有一个公共点.9.(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在,点P 的坐标为:()13,3P ,23P ⎫-⎪⎪⎝⎭,33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10.(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46,或()55.11.(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212.(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+;①当02m <≤时,218PQRSm =;当823m <≤时,27448S m m =-+-;当843m ≤≤时,21244S m m =-+;S 的最大值为:47答案第3页,共3页 13.(1)()5,5;()2,4-;(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0; (3)()2150566t m m m =-+<<,当52m =时,t 的最大值为2524.14.(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--;(2)①DME 的面积的最大值为52;①点M的坐标为⎝⎭或()12--.15.(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17,此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16.(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817.(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在,⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18.(1)()0,2A ,()2,0B -,()4,0C ,211242y x x =-++ (2)2,()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。
中考数学二次函数之面积专题综合测试卷(含答案)
中考数学二次函数之面积专题综合测试卷
一、单选题(共5道,每道15分)
1.已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角
三角形.过A、B、C三点的抛物线的解析式为()
A. B.
C. D.
答案:D
试题难度:三颗星知识点:二次函数与几何综合
2.已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.若点P为第一象限内抛物线上一动点,点P的横坐标为m,△APB的面积为S.S关于m
的函数关系式为(),S的最大值为()
A. B.
C. D.
答案:B
试题难度:三颗星知识点:二次函数背景下的面积问题
3.已知:如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.点Q为直线AB下方抛物线上的一点,点Q的横坐标为n,△QAB的面积为,与n
之间的函数关系式为()
A. B.
C. D.
答案:C
试题难度:三颗星知识点:二次函数背景下的面积问题
4.如图,已知抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点.抛物线、直线
BC的解析式分别为()
A. B.
C. D.
答案:C
试题难度:三颗星知识点:二次函数表达式
5.如图,已知抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点.在抛物线上,是否存在一点P,使△PBC的面积等于△OBC的面积,若存在,点P的坐标为
()
A.存在,
B.存在,
C.存在,
D.存在,
答案:D
试题难度:三颗星知识点:二次函数背景下的面积问题。
中考数学解题方法及提分突破训练:面积法专题(含解析)
解题方法及提分突破训练:面积法专题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法,在初中数学中有着广泛的应用,这种方法有时显得特别简捷,有出奇制胜、事半功倍之效.一.真题链接1。
(2012 济南模拟)圆柱的底面周长为2π,高为1,则圆柱的侧面展开图的面积为2。
(2012•东营)如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在坐标原点,边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的41 ,那么点B′的坐标是( )A. (—2,3) B 。
(2,—3) C 。
(3,-2)或(—2,3) D.(-2,3)或(2,-3) 3.(2012 呼和浩特)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为 cm .4。
(2012•潍坊)如图,三角形ABC 的两个顶点B 、C 在圆上,顶点A 在圆外,AB 、AC 分别交圆于E 、D 两点,连接EC 、BD . (1)求证:△ABD ∽△ACE ;(2)若△BEC 与△BDC 的面积相等,试判定三角形ABC 的形状5.(2012•宜宾)如图,在四边形ABCD 中,DC ∥AB,CB ⊥AB,AB=AD ,CD=21,AB ,点E 、F 分别为AB 、AD 的中点,则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为( ) A 。
71 B 。
61 C 。
51 D 。
41二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
冲刺2020年数学中考专题练习:《扇形面积的计算》(包含答案)
冲刺2020年数学中考专题练习:《扇形面积的计算》一.选择题1.如图一个扇形纸片的圆心角为9090°°,半径为6.将这张扇形纸片折叠,使点A与点O 恰好重合,折痕为CD,则阴影部分的面积为( )A. B. C. D. 2.如图,菱形ACBD中,AB与CD交于O点,∠ACB=120°,以C为圆心AC为半径作弧AB,再以C为圆心,CO为半径作弧EF分别交AC于F点,BC于E点,若CB=2,则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D. 3.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,以OB为直径作半圆,圆心为点C,过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E,则阴影部分的面积为( )A.π﹣2 B.π+2 C.2﹣π D. +π 4.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A. B. C.2 D.2 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=,分别以A、B为圆心,AC,BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE,扇形CBD,且点E,C,D在同一条直线上,若BC=2AC,且的长度恰好是的倍,则图中阴影部分的面积为( )A.π B.π C.π D.π6.如图,矩形ABDC与⊙O交于E,F两点,且AE=EF,CD过圆心O,且CD=4,则阴影部分的面积为( )A.2﹣π B.4﹣π C.3﹣π D.2﹣π 7.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,把矩形ABCD绕点A顺时针旋转3030°°得到矩形AB′C′D′,其中点C的运动路径为,则图中阴影部分的面积为( )A.﹣ B.﹣+2 C.﹣+2 D.﹣二.填空题8.如图所示,扇形AOB中,∠AOB=130°,点C为OA中点,OA=10,CD⊥AO交于D,以OC为半径画交OB于E,则图中阴影部分面积为 .9.如图,把半径为2的⊙O沿弦AB折叠,经过圆心O,则阴影部分的面积为 (结果保留π).10.如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,AC=4,D为AC的中点,以D为圆心,DB为半径作圆心角为90°的扇形DEF,则图中阴影部分的面积为 .11.如图,已知△OAB是等腰直角三角形,OA=OB=,点E是AB上一点,且∠AOE =15°,以O为圆心,OE的长为半径画弧,与△OAB的三边分别交于点C、F、D,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).12.如图所示,⊙O是以坐标原点O为圆心,4为半径的圆,点P的坐标为(,),弦AB经过点P,则图中阴影部分面积的最小值= .13.如图,正方形ABCD的边长为2,四条弧分别以相应顶点为圆心,正方形ABCD的边长为半径.求阴影部分的面积 .14.如图,以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径,向三角形内作半圆,两半圆交于点D,CD=1,BD=3,则图中阴影部分的面积为 (平方单位).15.如图:矩形ABCD中,AB=6,BC=4,O为AB上一点,且OB=4,以O为圆心,OB长为半径画弧,切CD于E,交AD于F,则扇形OBEF的面积是 .16.已知, OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O′的弦,O′B的延长线交⊙O 于点C,且OA=4,∠OAB=45°.则由和线段BC所围成的图形面积是 .17.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2,将扇形OAB绕边OB的中点D顺时针旋转9090°°得到扇形O'A'B',弧A'B′交OA于点E,则图中阴影部分的面积为 .三.解答题18.如图,已知AB是半圆O的直径,点P是半圆上一点,连结BP,并延长BP到点C,使PC=PB,连结AC.(1)求证:AB=AC.(2)若AB=4,∠ABC=30°.①求弦BP的长.②求阴影部分的面积.19.如图,△ABC中,∠ABC=9090°°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E为BC的中点,连接OD、DE.(1)求证:OD⊥DE.(2)若∠BAC=30°,AB=8,求阴影部分的面积.20.在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量出了相关数据,他测量出了相关数据,他测量出了相关数据,并画出了示意图,并画出了示意图,如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A ,B 两点的距离为12米,求这种装置能够喷的草坪面积.21.如图,点C ,D 是半圆O 上的三等分点,直径AB =4,连接AD ,AC ,作DE ⊥AB ,垂足为E ,DE 交AC 于点F .(1)求证:AF =DF .(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)22.如图,四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 是圆O 的直径,DB 平分∠ADC ,AC 长10cm .(1)求点O 到AB 的距离;(2)求阴影部分的面积.23.如图,在矩形ABCD中,点F在BC边上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.(1)求证:DE=AB;(2)以A为圆心,AB长为半径作弧交AF于点G,若AD=4,tan∠ADE=,求阴影部分的面积(结果保留π)24.已知,如图,有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且AB=3.(1)若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点A,请写出一个满足条件的抛物线的解析式;(2)若把含3030°°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).参考答案一.选择题1.解:连接OD,如图,∵扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,∴AC=OC,∴OD=2OC=6,∴CD==3,∴∠CDO=3030°°,∠COD=6060°°,∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD﹣S△COD=﹣×3×3=6π﹣,∴阴影部分的面积为﹣2×(6π﹣)=9﹣3π,故选:A.2.解:∵四边形ACBD是菱形,∠ACB=120°,∴∠DCA=∠ACB=6060°°,AB⊥CD,AD=BC=AC=2,∴∠CBA=∠CBA=(180°﹣∠ACB)=30°,∠AOC=9090°°,∴OC=AC==1,由勾股定理得:AO==,∵AC=AD,∠ACD=6060°°,∴△ACD是等边三角形,∴CD=AC=2,∴DO=CD﹣OC=2﹣1=1,∴阴影部分的面积S=S扇形DCA﹣S△DOA=﹣=﹣,故选:A.3.解:连接OE,∵∠BOA=9090°°,点C为BD的中点,CE∥OA,OA=4∴∠ECO+∠COA=180°,OB=OE=4,OC=2,∴∠OCE=9090°°,OE=2OC,∴∠EOC=6060°°,CE=2,∴阴影部分的面积为:=, 故选:A.4.解:过A作AD⊥BC于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∵A D⊥BC,∴BD=CD=1,AD=BD=,∴△ABC的面积为=,S==π,扇形BAC∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2,故选:D.5.解:如图,连接ED,作AM⊥EC于M,BN⊥CD于N.∵BC=2AC,∴设AC=x,BC=2x,∵∠C=9090°°,∴x2+(2x)2=5,∴x=1,2x=2,AC=1,BC=2,∵∠AMC=∠BNC=∠ACB=9090°°,∴∠ACM+∠CAM=9090°°,∠ACM+∠BCN=90°,∴∠BCN=∠CAM,∵∠CBN+∠BCN=90°,∴∠CAM+∠CBN=9090°°,∵AE=AC,AM⊥EC,BC=BD,BN⊥CD,∴∠CAE=2∠CAM,∠CBD=2∠CBN,∴∠CAE+∠CBD=180°,∵的长度恰好是的倍,设∠CBD=m,∠CAE=n, ∴=×,∴4m=5n,∵m+n=180°,∴m=100°,n=80°,∴S阴=+=,故选:B.6.解:如图,连接OE、OF,作OM⊥AB于M.∵OM⊥AB,∴EM=MF,∵四边形OCAM,四边形ODBM是矩形,∴AM=OC.BM=OD,∵OC=OD,∴AM=BM,∴AE=BF,∵EF=2AE,CD=AB,∴EF=OC=OD=OE=OF,∴△OEF是等边三角形,∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°,∵CD∥AB,∴∠COE=∠OEF=6060°°,∠DOF=∠OFE=60°,∴OM=,∴S阴=S矩形ABCD﹣S扇形OCE﹣S扇形ODF﹣S△OEF+S弓形EFM=4﹣2×﹣×22+(﹣×22)=2﹣π.故选:A.7.解:如图连接AC′,CB′.在矩形ABCD中,∵∠B=90°,AB=,BC=1,∴tan∠BAC=,∵旋转角为30°,∴A、B′、C共线.设C′B′交CD于E.S阴=S扇形ACC′﹣S△AB′C′﹣S△ECB′=﹣•1•﹣•(2﹣)••(2﹣)=﹣+2,故选:B.二.填空题(共10小题)8.解:如图,连接OD.∵CD⊥OA,AC=OC,∴OAO=2OC,∴∠CDO=3030°°,∴∠COD=6060°°,∴S阴=S扇形OAB﹣S扇形OCE﹣(S扇形OAD﹣S△OCD)=﹣﹣(﹣×5×5)=+,故答案为: +.9.解:过O作OD⊥AB于D,交劣弧AB于E,如图:∵把半径为2的⊙O沿弦AB折叠,经过圆心O,∴OD=DE=1,OA=2,∵在Rt△ODA中,sin A==,∴∠AOE=60°,同理∠BOE=60°,∴∠AOB=6060°°+60°=120°,在Rt△ODA中,由勾股定理得:AD===,∵OD⊥AB,OD过O,∴AB=2AD=2,∴阴影部分的面积S=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣=﹣, 故答案为:﹣.10.解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=AB,AC=4,由勾股定理得:BC=AB=2,∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=AB,AC=4,D为AC的中点,∴BD=AC=2=DE=DF,CD=AD=2,∠DBM=∠ABC=4545°°=∠A=,CD=AD,∠BDA=90°,∵∠MDN=9090°°,∴∠MDB=∠NDA=9090°°﹣∠BDN,在△BDM和△ADN中,,∴△BDM≌△ADN(ASA),∴△ADN与△BDN的面积之和=△BDM与△BDN的面积之和,∴四边形DNBM的面积等于△CDB的面积,∴阴影部分的面积是S=S扇形DEF﹣S四边形DNBM=﹣××2×2=π﹣2,故答案为:π﹣2.11.解:如图,连接OF.作OH⊥EF于H.由题意:∠AOE=∠FOB=1515°°,∠EOF=9090°°﹣15°﹣15°=60°,∵∠AOB=9090°°,OA=OB=,∴AB=2,∵OH⊥AB,OA=OB,∴AH=BH,∴OH=AB=,∠EOH=∠FOH=30°,∴OF==2,∴S阴=(S△AOB﹣2•S扇形EOC﹣S△EOF)+(S扇形OEF﹣S△OEF)=××﹣2×﹣×22+﹣×22=3+﹣2.故答案为3+﹣2.12.解:由题意当OP⊥A'B'时,阴影部分的面积最小,∵P(,),∴OP=2,∵OA'=OB'=4,∴P A'=PB'=2,∴tan∠A'OP=tan∠B'OP=,∴∠A'OP=∠B'OP=6060°°,∴∠A'OB'=120°,∴S阴=S扇形OA'B'﹣S△A'OB'=,故答案为:.13.解:如图,设点O为弧的一个交点,连接OA、OB,过O作OE⊥AB于E,则△OAB为等边三角形,所以∠OBC=3030°°,过点O作EF⊥CD,分别交AB、CD于点E、F,则OE为等边△OAB的高,∴OE=AB=,∴OF=2﹣,∴阴影部分的面积S=4×(S正方形ABCD﹣S△AOB﹣2S扇形CBO)=4×(2×2﹣﹣2×)=16﹣4﹣.故答案为:16﹣4﹣.14.解:如图,设N是以AC为直径的半圆的圆心,连接ND,M为以AB为直径的半圆的圆心,连接MD,连接AD.则AD⊥BC,根据射影定理有:AC2=CD•CB=CD(CD+BD)=4,即AC=2;同理可求得AB=2;因此∠ABD=30°,∠ACD=6060°°;∴∠AMD=6060°°,∠AND=120°.∴扇形MAD中,弓形AD的面积=S扇形MAD﹣S△MAD=﹣=﹣;同理可求得扇形AND中,S=﹣;弓形AD=﹣(﹣+﹣)=﹣(平方单位). 因此S阴影15.解:由题意,AO=AB﹣OB=2,OF=BC=OB=4,∴Rt△OF A中,=,∴∠FOA=6060°°,∴∠FOB=120°∴S扇形OBEF==.16.解:连接OC、AC.∵O′A=O′B,∠OAB=45°,∴∠AO′B=90°.又OO′=AO′,∴OC=AC.又OA=OC,∴△AOC是等边三角形.∴∠A=6060°°.∵O′A=2,∴O′C=2.∴阴影部分的面积=S扇形OAC﹣S△OO'C﹣S扇形O'A0B=﹣2.17.解:延长EO交O'A'于P,则由∠AOB=9090°°,OA=OB=2,D为OB中点,可得 S=12﹣=1﹣;阴影OPO′∵O′P=OE,∠EPO'=90°,∴cos∠EO'P=,∴∠EO'P=6060°°,EP=∴S阴影A′PE=S扇形O′A′E﹣S△O′PE=﹣××1=﹣∴S阴影═1﹣+﹣=1﹣+.故答案为1﹣+.三.解答题(共7小题)18.(1)证明:连接AP,∵AB是半圆O的直径,∴∠APB=90°,∴AP⊥BC.∵PC=PB,∴△ABC是等腰三角形,即AB=AC;(2)解:①∵∠APB=9090°°,AB=4,∠ABC=3030°°, ∴AP=AB=2,∴BP===2;②连接OP,∴∠P AB=60°,∴∠POB=120°.∵点O时AB的中点,∴S△POB=S△P AB=×AP•PB=×2×2=, ∴S阴影=S扇形BOP﹣S△POB=﹣=π﹣.19.(1)证明:连接DB.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=9090°°,∴∠CDB=9090°°,∵点E是BC的中点,∴DE=CE=BC,∴∠EDC=∠C,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∵∠ABC=9090°°,∴∠A+∠C=9090°°,∴∠ADO+∠EDC=90°,∴∠ODE=9090°°,∴OD⊥DE;(2)∵AB=8,∠BAC=3030°°,∴AD=4,阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4.20.解:过O作OC⊥AB于C,则∠ACO=90°,∵OC过O,OC⊥AB,AB=12米,∴AC=BC=6米,∵旋转喷水装置的旋转角度为240°,∴∠AOB=120°,∵OA=OB,∴∠OAC=∠OBC=(180°﹣120°)=3030°°,∴OA===4(米),∴这种装置能够喷的草坪面积是=3232ππ(平方米). 21.(1)证明:连接OD,OC,∵C、D是半圆O上的三等分点,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=6060°°,∴∠DAC=3030°°,∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=9090°°,∴∠ADE=180°﹣9090°°﹣30°﹣30°=30°,∴∠DAC∠ADE=3030°°,∴AF=DF;(2)解:由(1)知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD是等边三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE=,∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2×=π﹣.22.解:(1)过点O作OE⊥AB于点E,∵对角线AC是圆O的直径,DB平分∠ADC,∴∠ADC=9090°°,则∠ADB=∠CDB=45°,∴∠AOB=9090°°,∵AO=BO,∴△AOB是等腰直角三角形,则EO=A O•sin45°=5×=(cm);(2)阴影部分的面积为:﹣×5×5=﹣.∴∠ABC=9090°°,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠AED=90°=∠FBA,在△ABF和△DEA中,∴△ABF ≌△DEA (AAS),∴DE =AB;(2)解:∵tan∠ADE=,∴∠ADE =60°,∵AD=4,∠AED=9090°°,∴AE=AD•sin∠ADE=4×=6,DE =2,由(1)知,△ABF≌△DEA,∴AB=DE=2,BF=EA=6,∠BAF=∠EDA=60°, ∴阴影部分的面积=△ABF 的面积﹣扇形ABG的面积=×2×6﹣=6﹣2π.24.解:(1)在Rt△OBA中,∠AOB=3030°°,AB=3, ∴OA=2AB=6,∴,∴点A(3,3).∴抛物线的解析式可以为:;21 / 22(2)由(1)可知 OA=6,由题意得:∠AOC=60°, ∴S扇形AOA′=πOA2=6π.在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,∴S阴影=S扇形AOA′﹣S△ODC=6π﹣22 / 22。
九年级中考数学专题复习:二次函数综合题(面积问题)含答案
中考数学专题复习:二次函数综合题(面积问题)1.如图,一次函数y =kx +b 的图象与二次函数y =ax 2的图象交于点A (1,m )和B (﹣2,4),与y 轴交于点C .(1)求k ,b ,a 的值; (2)求△AOB 的面积.2. 如图,已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A (2,0),B (0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ,连接BA 、BC ,求△ABC 的面积.3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =kx +b 的图象经过点A (0,﹣4)、B (2,0),交反比例函数y 6x=(x >0)的图象于点C ,点P 在反比例函数的图象上,横坐标为n (0<n <3),PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ,D 是y 轴上任意一点,连接PD 、QD .(1)求一次函数的表达式和C点坐标;(2)求△DPQ面积的最大值.4.如图,抛物线2y x bx c=-++交x轴于A,B两点,交y轴于点C直线122y x=-+经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.△求△PBC面积最大值和此时m的值;△Q是直线BC上一动点,是否存在点P,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,直接写出点P的坐标.5.图1,抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C .(1)求点A ,B ,C 的坐标.(2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点,当PBC 的面积最大时,求点P 的坐标; (3)设M 为该抛物线的顶点,D 为抛物线的对称轴与x 轴的交点,如图2所示,在直线MD 上是否存在点N ,使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离?若存在,直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -,()5,0B ,交y 轴于点C .(1)求这个二次函数的表达式;(2)如图1,点M 从点B 出发,BC 向点C 运动,点N 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动,点M ,N 同时出发.设运动时间为t 秒(05t <<).当t 为何值时,BMN △的面积最大?最大面积是多少? (3)已知P 是抛物线上一点,在直线BC 上是否存在点Q ,使以A ,C ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q 坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x =3,且与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的右侧),与y 轴交于C 点.(1)A 点的坐标是_____________;B 点坐标是________________; (2)求直线BC 的解析式;(3)点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点(不与B 、C 重合),是否存在点P ,使△PBC 的面积最大.若存在,请求出△PBC 的最大面积,若不存在,试说明理由;(4)若点M 在x 轴上,点N 在抛物线上,以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M 点坐标.8.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 和点B ,其中点A 的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴x =1与抛物线交于点D ,与直线BC 交于点E .(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F 使四边形ABFC 的面积最大,若存在,求出点F 的坐标和最大值;若不存在,请说明理由;(3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ,与抛物线相交于点Q ,若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求P 点的坐标.(4)探究对称轴上是否存在一点P ,使得以点P ,C ,A 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P 点的坐标,若不存在,请说明理由.9.如图,在平面直角坐标系中,直线334y x =-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C .抛物线214y x bx c =-++经过点A 、C .(1)求抛物线解析式及顶点M 坐标;(2)P 为抛物线第一象限内一点,使得PAC △面积最大,求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)当1m x m +≤≤时,(1)中二次函数有最大值为2-,求m 的值.10.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax x c =-+的图像与x 轴交于点A (2-,0)、B (4,0),与y 轴交于点C .(1)求a 和c 的值;(2)若点D (不与点C 重合)在该二次函数的图像上,且ABD ABC S S =△△,求点D 的坐标;(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点,且BPABPCS S=,直接写出点P 的坐标.11.如图,抛物线()214y x =--的图像与x 轴交于的A 、B 两点,与y 轴交于点D ,抛物线的顶点为C .(1)求点A 、B 、C 坐标; (2)求ABC 的面积;(3)点P 是抛物线上一动点,当ABP △的面积为6时,求所有符合条件的点P 的坐标;12.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点A (2,0),B (-2,4),(-4,0),直线AB 与抛物线的对称轴交于点E .(1)求抛物线的表达式;(2)点M 在直线AB 上方的抛物线上运动,当ΔABM 的面积最大时,求点M 的坐标; (3)若点F 为平面内的一点,且以点,,,B E C F 为顶点的四边形是平行四边形,请写出符合条件的点F 的坐标.13.如图,直线y=-x+4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=23x2+bx+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),当S△BEC=14S△BOC时,求点E的坐标;(3)若点F是抛物线上的一动点,当S△BFC取值在什么范围时,对应的点F有且只有两个?14.如图,已知抛物线y=ax2+bx-8的图像与x轴交于A(2,0),B(﹣8,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣8).(1)求抛物线的解析式;(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点,当△BCF的面积最大时,求出点F的坐标;(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点Q(0,m),使得△BFQ为等腰三角形?如果有,请直接写出点Q 的坐标;如果没有,请说明理由.15.如图,已知抛物线2y ax bx c ++=交x 轴于点A 、B ,交y 轴于点C (0,6),且顶点坐标为(4,﹣2).直线x =m 分别交直线BC 和抛物线于点E 、P .(1)求该抛物线的解析式及A 、B 两点坐标; (2)当0<m <6时,求△BCP 面积的最大值; (3)当△BPE 是等腰三角形时,直接写出m 的值.16.已知二次函数242y ax x =++的图象经过点()3,4A -.(1)求a 的值;(2)直接写出函数y 随自变量的增大而减小的x 的取值范围.(3)设242y ax x =++的顶点为M ,与y 轴相交于C ,连结MC 、MA 、AC ,求AMC S △.17.如图,抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ,与y 轴交于点B ,点C 在直线AB 上,过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ,将ACD △沿CD 所在直线翻折,使点A 恰好落在抛物线上的点E 处.(1)求抛物线解析式;(2)连接BE ,求BCE 的面积;(3)拋物线上是否存在一点P ,使PEA BAE ∠=∠?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.18.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴负半轴于点A ,交x 轴正半轴于点B ,交y 轴于点C ,且OA =OC =3OB .(1)求这个抛物线的解析式;(2)如图1,点P 为第三象限抛物线上的点,设点P 的横坐标为t ,△P AC 面积S ,求S 与t 的函数解析式(直接写出自变量t 的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,Q 为CA 延长线上的一点,若P 到x 轴的距离为d ,△PQB 的面积为2d ,且△P AQ =△AQB ,求点P 的坐标.19.如图,已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -.解答下列问题.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的顶点为D ,对称轴与x 轴的交点为E ,求线段BD 的长;(3)点F 在抛物线上运动,是否存在点F 使FAB 的面积等于6?如果存在,求出点F 的坐标;如果不存在,说明理由.20.如图,抛物线23y ax bx =++经过点A (2,3),与x 轴负半轴交于点B ,与y 轴交于点C ,且3OC OB =.(1)求该抛物线的解析式;(2)点D 在y 轴上,且BDO BAC ∠=∠,求点D 的坐标;(3)点P 在直线AB 上方的抛物线上,当△P AB 的面积最大时,直接写出点P 的坐标.参考答案:1.(1)k =−1,a =1,b =2(2)S △AOB =32.(1)21462y x x =-+- (2)63.(1)一次函数的表达式:y =2x -4,点C (3,2);(2)DPQ 面积的最大值是4.4.(1)2722y x x =-++(2)△最大值为8,m =2;△存在,⎝⎭或⎝⎭5.(1)A (﹣1,0),B (3,0),C (0,3) (2)31524P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(3)存在,(14N -+,或(14--,6.(1)245y x x =-++(2)当52t =时,BMN △的面积最大,最大面积是258(3)存在,Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,37.(1)()-2,0,()8,0(2)直线BC 的解析式为142y x =-+ (3)存在点P ,使PBC ∆的面积最大,最大面积是16,理由见详解(4)满足条件的点M 的坐标为(8,0)-,(4,0),(50),(5,0)8.(1)y =﹣12x 2+x +4(2)存在,四边形ABFC 的面积最大为16,F (2,4)(3)P 点坐标为(3,1)或(,2)或(2(4)存在,P 点坐标为(1或(1,或(1,1)或(1,或(1,49.(1)211344y x x =-++,顶点M 的坐标为149,216⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)最大值为2,此时P 点坐标为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)5-或510.(1)142a c ==-,4)或(14)或(2,-4)(3)(-6,20)11.(1)()1,0A -,()3,0B ,()1,4C -(2)8(3)()0,3-或()2,3-或()1或()112.(1)2142y x x =--+(2)(0,4)(3)(-5,1)或(1,7)或(-3,-1)13.(1)y =23-x 2+53x +4(2)E 1),E 2),E 34222,,E 44222, (3)当S △BFC >163时,对应的点F 有且只有两个.14.(1)抛物线解析式为y =122x +3x ﹣8;(2)点F 的坐标是F (﹣4,﹣12);(3)存在,点Q 有坐标为(0,0,﹣0,﹣4)或(0,0).15.(1)21462y x x =-+,点A (2,0),点B (6,0) (2)S △BCP 的最大值为272(3)当△BPE 是等腰三角形时,m 的值为2或416.(1)2242y x x =-++(2)1x >(3)617.(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在,()2,3或()4,5-18.(1)y =-x 2-2x +3(2)S =23922t t +(t <-3) (3)P 的坐标为(-4,-5)19.(1)223y x x =+-(2)(3)存在,点F 的坐标为:()1-或()1-或()0,3-或()2,3-- 20.(1)2y x 2x 3=-++(2)点D 的坐标为(0,1)或(0,-1)(3)P (12,154)。
中考数学专题探究-----面积问题(二)(含答案)
中考数学专题----面积问题(2)面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的地位,一般情况下,计算一些基本图形的面积,可以直接运用图形的面积公式,对于一些不规则的图形面积的计算,可以对图形进行转化,这类问题虽然解题方法比较灵活多样,但难度一般不太大。
但是,在中考压轴题中,有关面积的问题常常以动态的方式出现,经常与函数知识联系起来,有时还需要分类讨论。
因此,对考生要求较高,在解题时,要注意分清其中的变量和不变量,并把运动的过程转化成静止的状态,做到动静结合,以静求动。
中考数学面积问题的考点主要有:(1)面积的函数关系式问题;(2)面积的最值问题;(3)面积的倍分问题。
前二个考点在上次的专题中已经讲过,今天我们来探究面积的倍分问题。
一、典型例题: 1、(2007江苏扬州)如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.(1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.分析:问题(1)比较容易解答,问题(2)利用三角形相似的性质也容易解决,问题(3)需要利用 BM=BN=t,利用面积相等求出t 和a 的关系式,利用t 的范围求a 的取值范围,问题(4)只需要在问题(3)的基础上,让梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可。
解.(1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥,⊥,,NAMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==,, at a t QM )(3--= 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=2)(2)(3)(3tt t a a t t a a t a t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=化简得66a t a=+, 3t ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a <≤时,梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a ∴-=-,把66at a=+代入,解之得a =±,所以a = 所以,存在a ,当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的 面积相等.温馨提示:本题考查与面积有关的问题,解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解,另外,在解决这一类问题时,要善于运用数形结合的思想,把几何条件转化,建立合适的数学模型,本题就充分运用了方程的思想。
最新九年级数学中考复习:旋转综合压轴题(面积问题)含答案
2023年九年级数学中考复习:旋转综合压轴题(面积问题)1.一节数学课上,老师提出一个这样的问题:如图,点P是正方形ABCD内一点,P A=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将∠PBC绕点B逆时针旋转90°,得到∠P'BA,连接P P',求出∠APB的度数.思路二:将∠APB绕点B顺时针旋转90°,得到∠C P'B,连接P P',求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.2.如图,已知在∠ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将∠ABD绕点A旋转,得到∠AC D,连接D E.(1)当∠BAC=120°,∠DAE=60°时,求证:DE=D E;(2)当DE=D E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.(3)在(2)的结论下,当∠BAC=90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,∠D EC是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必证明)AC BD相交于点O,将直线AC绕点3.如图,平行四边形ABCD中,,1,⊥==,AB AC AB BCBC AD于点E,F.O顺时针旋转,分别交,(1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;4.如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起,构成一个大的长方形ABEF .现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ,旋转角为α.(1)当点D 恰好落在边EF 上时,点D 到边DC 的距离为____________,旋转角α=____________︒; (2)如图2,G 为BC 的中点,且090α︒<<︒,求证:GD E D ''=;(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中,DCD '与CBD '△能否全等?若能,直接写出旋转角α的值;若不能,说明理由.5.将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置,现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒.如图2,AE 与BC 交于点M ,AC 与EF 交于点N ,BC 与EF 交于点P .(1)若AMC 是等腰三角形,则旋转角α的度数为______.(2)在旋转过程中,连接AP ,CE ,求证:AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线.(3)在旋转过程中,CPN 是否能成为直角三角形?若能,直接写出旋转角α的度数;若不能,说明理由.6.旋转是一种重要的图形变换,当图形中有一组邻边相等时,往往可以通过旋转解决问题.如图∠,在四边形ABCD 中,AD CD =,120ABC ∠=︒,60ADC ∠=︒,2AB =,1BC =.【问题提出】(1)如图∠,在图∠的基础上连接BD,由于AD CD=,所以可将DCB绕点D顺时针方向旋转60°,得到DAB',则BDB'的形状是_______;【尝试解决】(2)在(1)的条件下,求四边形ABCD的面积;【类比应用】(3)如图∠,等边ABC的边长为2,BDC是顶角120∠=︒的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的BDC角,角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求AMN的周长.7.如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.(1)观察猜想:图1中,线段NM、NP的数量关系是,∠MNP的大小为;(2)探究证明:把∠ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP、BD、CE,判断∠MNP的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:当∠BAC=90°,AB=AC=10,AD=AE=6时,把∠ADE绕点A在平面内自由旋转,如图3,请求出∠MNP面积的最大值.8.如图1,在平面直角坐标系中,∠ABO为直角三角形,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3,点C为OB(1)点A 的坐标为 ;(2)连接AC ,并延长交y 轴于点D ,若∠OAD 的面积恰好被x 轴分成1∠2两部分,求点C 的坐标; (3)如图2,若∠OAC =30°,将∠OAB 绕点O 顺时针旋转,得到∠OA 'B ',如图2所示,OA '所在直线交直线AC 于点P ,当∠OAP 为直角三角形时,直接写出点B '的坐标.9.如图∠,ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点P 为射线,BD CE 的交点.(1)如图∠,将ADE 绕点A 旋转,当C 、D 、E 在同一条直线上时,连接BD 、BE ,求证:BD CE =且BD CE ⊥.(2)若8,4AB AD ==,把ADE 绕点A 旋转, ∠当90EAC ∠=︒时,求PB 的长;∠旋转过程中线段BP 长的最小值是_______.10.(1)模型探究:如图1,已知∠ABC ,以A 为旋转中心将边AB 顺时针旋转至AD ,将边AC 逆时针旋转至AE ,旋转角均为α(0º<α<180º),连接BE ,CD .∠∠ABE可以认为是由∠ADC经过怎样的变换得到的?(2)创新应用:如图2,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点P为坐标平面内一动点,且∠的PO=,连接P A,以点A为旋转中心,将线段P A顺时针旋转60º至BA,连接OB,请直接写出AOB 2最大值及此时点P的坐标.11.如图,在平行四边形ABCD中,点G是线段AB上一点,连接CG、DG,满足CG=CD.(1)如图1,过点G作GH∠CD于点H,若AB=8,GH=,求DG;(2)如图2,若∠DAB=60°,∠DAB的角平分线交CD于点E,过点E作EF∠AD,满足EF+AG=AD,连接DF、CF,求证:∠DCF=∠GCF.拓展:如图,正方形ABCD的边长为E为BC上一点,且BE,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,直接写出CG的最小值.12.菱形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O .(1)如图1,过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ,交OB 于点H ,若6AB AC ==,求OH 的长; (2)如图2,过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥,且AF AD =,线段AF 交OB 于点H ,交BC 于点E .当D ,C ,F 三点在同一直线上时,求证:OH OA +=; (3)如图3,菱形ABCD 中,45ABC ∠=︒,点P 为直线AD 上的动点,连接BP ,将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ,连接AQ ,当线段AQ 的长度最小时,直接写出BAQ ∠的度数.13.如图1,把一块含30°的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺DEFG 的EF 边上.(1)填空:∠1= °,∠2= °;(2)现把三角板绕B 点逆时针旋转n °.如图2,当0<n <90,且点C 恰好落在DG 边上时, ∠请直接写出∠2= °(结果用含n 的代数式表示); ∠若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的65倍,求n 的值.(3)若把三角板绕B 点顺时针旋转n °.当0<n <180时,是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺(有四条边)某一边所在的直线平行?如果存在,请直接写出所有n 的值;如果不存在,请说明理由.14.【发现奥秘】(1)如图1,在等边三角形ABC 中,2AB =,点E 是ABC 内一点,连接,,AE EC BE ,分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ,连接,,AD DF EF .当B ,E ,F ,D 四个点满足______时,BE AE CE ++的值最小,最小值为_______. 【解法探索】(2)如图2,在ABC 中,90,ACB AC BC ∠=︒=,点P 是ABC 内一点,连接,,PA PB PC ,请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数,并直接写出此时::PA PB PC 的值.(提示:分别将,PC AC 绕点C顺时针旋转60°得到,DC EC ,连接,,PD DE AE ) 【拓展应用】(3)在ABC 中,90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==,点P 是ABC 内一点,连接,,PA PB PC ,直接写出当PA PB PC ++的值最小时,::PA PB PC 的值.15.【问题背景】如图1,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,45EAF ∠=︒,连接EF ,我们可以通过把ABE △绕点A 逆时针旋转90°到ADG ,容易证得:EF BE DF =+.(1)【迁移应用】如图2,四边形ABCD 中,AB AD =,90BAD ∠=︒,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,45EAF ∠=︒,若B 、D ∠都不是直角,且180B D ∠+∠=︒,试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系,并说明理由.(2)【联系拓展】如图3,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒.猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系(直接写出结论,不需要证明).16.(1)问题发现如图1,在等边三角形ABC 内部有一点P ,3PA =,4PB =,5PC =,求APB ∠的度数.针对此问题,数学王老师给出了下面的思路:如图2,将APC △绕点A 逆时针旋转60°得到AP B '△,连结PP ',得到等边三角形APP ',在BPP '中,根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示,完成本题的解答; (2)类比延伸如图3,在正方形ABCD 内部有一点P ,若135APD ∠=︒,试判断线段P A 、PB 、PD 之间的数量关系,并说明理由.17.如图,正方形ABCD 中PAQ ∠分别交BC ,CD 于点E ,F ,连接EF .(1)如图∠,若128∠=︒,273∠=︒,试求3∠的度数;(2)如图∠,以点A 为旋转中心,旋转PAQ ∠,旋转时保持45PAQ ∠=︒.当点E ,F 分别在边BC ,CD 上时,AE 和AF 是角平分线吗?如果是,请说出是哪两个角的平分线并给予证明;如果不是,请说明理由; (3)如图∠,在∠的条件下,当点E ,F 分别在BC ,CD 的延长线上时,∠中的结论是否成立?只需回答结论,不需说明理由.18.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,2BC AC =,D ,E 分别是边BA ,BC 的中点,连接DE .将BDE 绕点B 顺时针旋转α(090α︒<<︒)得到BFG ,点D 的对应点是点F ,连接AF ,CG .(1)求证:BFA BGC ∠=∠;(2)若90BFA ∠=︒,求sin CBF ∠的值.19.把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放:90︒∠=∠=BAO ODC ,45B ︒∠=,30C ︒∠=.(1)如图1,两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上,求出此图中BOC ∠的度数;(2)如图2,如果把图1所示的OAB 以O 为中心顺时针旋转得到OA B ''△,当OB '平分COD ∠时,求AOA '∠为多少度;(3)如图3,两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上,另一条直角边OB 、OC 也在同一条直线上,如果把OAB 以O 为中心顺时针旋转一周,当旋转多少度时,两条斜边//AB CD ,请直接写出答案.20.如图∠,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,四边形EFGH 是正方形,EH 与BD 重合,将图∠中的正方形EFGH 绕着点D 逆时针旋转.(1)旋转至如图∠位置,使点G落在BC的延长线上,DE交BC于点L.已知旋转开始时,即图∠位置∠CDG=37°,求正方形EFGH从图∠位置旋转至图∠位置时,旋转角的度数.(2)旋转至如图∠位置,DE交BC于点L.延长BC交FG于点M,延长DC交EF于点N.试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系,并给予证明.答案1.∠APB =135°,2. (2)∠DAE =12∠BAC ,(3)DE3.(3)45°4.(1)1,30(3)能,α为135︒或315︒5.(1)60°或15°(3)能,30α∠=︒或60︒6.(1)等边三角形(3)47.(1)MN =NP ,∠MNP =60°;(2)△MNP 是等边三角形,(3)△MNP 面积的最大值是32.8.(1)((2)点C 的坐标为()2,0或()1,0(3)点B '的坐标()03-,或32⎛ ⎝⎭,或 ()03,或32⎛- ⎝⎭9 (2)∠PB =∠410.(1)∠DC ,∠以点A 为旋转中心,逆时针旋转角α得到的;(2)90°;(1,P -.11.(2)拓展:212.(3)75︒13.(1)120,90(2)∠(90)n +∠6011或27011(3)60,90,150︒︒︒14.(1)四点共线,(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=,此时)::2:2:1PA PB PC = (3)::4:2:1PA PB PC =15.(1)EF BE DF =+,(2)222DE BD EC =+16.(1)150︒;(2)2222PA PD PB 17.(1)62°(2)AE 是∠FEB 的平分线,AF 是∠EFD 的平分线,(3)AE 仍然是∠FEB 的平分线,AF 不是∠EFD 的平分线18. (2)n si CBF ∠=19.(1)75︒∠=BOC ;(2)105︒'∠=AOA ;(3)当旋转的角度为105︒或285︒,两条斜边//AB CD .20.(1)16°(2)DL =EN +GM ,。
人教版中考数学二轮复习专题练习:函数中的面积问题(含答案)
当 1 t<3时, S
3 t2
3 3t
73
;
2
2
当 3 t<4 时, S 4 3t 20 3 ;
当 4 t<6 时, S 3t 2 12 3t 36 3
(3)存在;理由如下:
在 RtVABC 中, tan CAB BC
3
,∴
CAB
30 .
AB 3
又∵ HEO 60 ,∴ HAE AHE 30 .
∴ AE HE 3﹣ t 或 t﹣3.
21 61 101
(4) x
,,
99 9
4.如图,矩形 ABCD 中, AB 6, BC 2 3 ,点 O 是 AB 的中点,点 P 在 AB 的 延长线上,且 BP 3 .一动点 E 从 O 点出发,以每秒 1个单位长度的速度沿 OA 匀速运 动,到达 A点后,立即以原速度沿 AO 返回;另一动点 F 从 P 点发发,以每秒 1 个单位长 度的速度沿射线 PA 匀速运动, 点 E、 F 同时出发, 当两点相遇时停止 运动, 在点 E、F 的运动过程中,以 EF 为边作等边 VEFG ,使 VEFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同 侧.设运动的时间为 t 秒( t 0).
gEF
2
33 t
22
②当 6 t 8 时,点 P 在 BC 运动,点 Q 仍在 AB 上运动,如图③
设 PM 与 DC 交于点 E , QN 与 AD 交于点 F ,
则 AQ t , AF 1 t ,QF 3 t
2
2
t DF 4
2
BP t 6,CP 10 t ,PE (10 t )g 3
而 BD 4 3
19 x
35
2
2
1
中考数学专题探究面积问题(含答案)
中考数学专题探究-----面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位,一般情况下,计算一些基本图形的面积,可以直接运用图形的面积公式,对于一些不规则的图形面积的计算,可以对图形进行转化,这类问题虽然解题方法比较灵活多样,但难度一般不太大。
但是,在中考压轴题中,有关面积的问题常常以动态的方式出现,经常与函数知识联系起来,有时还需要分类讨论。
因此,对考生要求较高,在解题时,要注意分清其中的变量和不变量,并把运动的过程转化成静止的状态,做到动静结合,以静求动。
考点一:面积的函数关系式问题典型例题:1、(2009年湖南衡阳)如图12,直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点,点M 是线段AB 上任意一点(A 、B 两点除外),过M 分别作MC ⊥OA 于点C ,MD ⊥OB 于D . (1)当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由;(2)当点M 运动到什么位置时,四边形OCMD 的面积有最大值?最大值是多少?(3)当四边形OCMD 为正方形时,将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动,设平移的距离为)40<<a a (,正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S .试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象.解:(1)设点M 的横坐标为x ,则点M 的纵坐标为-x+4(0<x<4,x>0,-x+4>0); 则:MC =∣-x+4∣=-x+4,MD =∣x ∣=x ;∴C 四边形OCMD =2(MC+MD )=2(-x+4+x )=8∴当点M 在AB 上运动时,四边形OCMD 的周长不发生变化,总是等于8; (2)根据题意得:S 四边形OCMD =MC ·MD =(-x+4)· x =-x 2+4x =-(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x (0<x<4)的二次函数,并且当x =2,即当点M 运动到线段AB 的中点时,四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4; (3)如图10(2),当20≤<a 时,42121422+-=-=a a S ; 如图10(3),当42<≤a 时,22)4(21)4(21-=-=a a S ;∴S 与a 的函数的图象如下图所示:图12(1)图12(2)图12(3)2、(2009宁夏)已知:等边三角形ABC 的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动(运动开始时,点M 与点A 重合,点N 到达点B 时运动终止),过点M N 、分别作AB 边的垂线,与ABC △的其它边交于P Q 、两点,线段MN 运动的时间为t 秒.(1)线段MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为S ,运动的时间为t .求四边形MNQP的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围. 解:(1)过点C 作CD AB ⊥,垂足为D . 则2AD =,当MN 运动到被CD 垂直平分时,四边形MNQP 是矩形, 即32AM =时,四边形MNQP 是矩形, 32t ∴=秒时,四边形MNQP 是矩形.tan 60PM AM =°=,MNQP S ∴=四边形(2)1°当01t <<时,1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·11)2t ⎤=+⎦2=+))4<≤a C PQBA MNC PQBA M N2°当12t ≤≤时1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·1)12t ⎤=-⎦·=3°当23t <<时,1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·1))2t t ⎤=-+-⎦=3、(2010年辽宁丹东)如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ,点H 的坐标为(-8,0),点N 的坐标为(-6,-4).(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ,并写出顶点A ,B ,C 的坐标(点M 的对应点为A , 点N 的对应点为B , 点H 的对应点为C ); (2)求出过A ,B ,C 三点的抛物线的表达式;(3)截取CE =OF =AG =m ,且E ,F ,G 分别在线段CO ,OA ,AB 上,求四边形...BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;面积S 是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由;(4)在(3)的情况下,四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接..写出此时m 的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由.解:(1) ∵A ,B ,C 三点与M ,N ,H ∴A (0,4),B (6,4),C CPQBA M NCPQA M N(2)设过A ,B ,C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++, ∵抛物线过点A (0,4),∴4c =.则抛物线关系式为24y ax bx =++. 将B (6,4), C (8,0)两点坐标代入关系式,得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩,. 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,.所求抛物线关系式为:213442y x x =-++. (3)∵OA =4,OC =8,∴AF =4-m ,OE =8-m .∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA (AB +OC )12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OA m m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=)( 2882+-=m m ( 0<m <4)∵2(4)12S m =-+. ∴当4m =时,S 的取最小值. 又∵0<m <4,∴不存在m 值,使S 的取得最小值. (4)当2m =-+GB =GF ,当2m =时,BE =BG .4、如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,60B ∠=°.从初始时刻开始,点P 、Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动,设P 、Q运动的时间为x 秒时,APQ △与ABC △重叠部分....的面积为y 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O 的三角形),解答下列问题:(1)点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒;(2)点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒; (3)求y 与x 之间的函数关系式.(第28题)解:(1)6. (2)8.(3)①当03x <≤时,2111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1····. ②当3x <≤6时,1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.2x -+ ③当69x ≤≤时,设33P Q 与AC 交于点O . (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形.33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)223x x x =--⨯--·6. Q 1A B C D Q 2 P 3 Q 3 EP 2 P 1 O262x x =-+-. (解法二)如右图,过点O 作3OF CP ⊥于点F ,3OG CQ ⊥,于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H .,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)3226).COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△···又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)6226).2x x =-⨯⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)(6)26ACP OCP S S x x =-=---△△2x =+-P 3O ABC DQ 3G H F考点2、面积最值问题典型例题:1、(2008年广东广州)如图11,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD=DC=2cm ,BC=4cm ,在等腰△PQR 中,∠QPR=120°,底边QR=6cm ,点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上,且C 、Q 两点重合,如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动,t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 (1)当t=4时,求S 的值(2)当4t ≤≤10,求S 与t 的函数关系式,并求出S 的最大值解.(1)t =4时,Q 与B 重合,P 与D 重合, 重合部分是BDC ∆=3232221=⋅⋅ (2)当时,如图104≤≤tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR ∆∽BQM ∆∽CRN ∆得2)324(-=∆∆t S S PQR BQM 2)326(t S S PQRCRN -=∆∆ 22)4(43)324(-=-=∆∆t S t S PQR BQM,22)6(43)326(t S t S PQRCRN -=-=∆∆ S =3255)-(t 23t)-(6434t 4333222+-=---)( 当t 取5时,最大值为325图11当t 取6时,有最大值32 综上所述,最大值为325二、名题精练:1、(2009湖南永州)如图,在平面直角坐标系中,点A C 、的坐标分别为(10)(03)-,、,,点B在x 轴上.已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点,且它的对称轴为直线1x =,点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 不重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F .(1)求该二次函数的解析式;(2)若设点P 的横坐标为m ,用含m 的代数式表示线段PF (3)求PBC △面积的最大值,并求此时点P 的坐标. 解:(1)设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a a b c =++≠,、、为常数,由抛物线的对称性知B 点坐标为(30),,依题意得:09303a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=-⎩解得:33233a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩∴所求二次函数的解析式为2323333y x x =- (2)P 点的横坐标为m ,P ∴点的纵坐标为2323333m --xyBFO A CPx =1(第25题)xyBFO A CPx =1(第25题)设直线BC 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠,、是常数,依题意,得303k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩333k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩故直线BC 的解析式为33y x =∴点F 的坐标为333m m ⎛ ⎝,233(03)3PF m m m ∴=-<< (3)PBC △的面积12CPF BPF S S S PF BO =+=△△· =221333933323228m m m ⎛⎫⎫⨯-⨯=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当32m =时,PBC △的最大面积为38把32m =代入23233y =-53y =∴点P 的坐标为3532⎛ ⎝⎭,2、(2007年淮安)在平面直角坐标系中,放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ,已知OA=2 ∠AOB=30°,D 、E 两点同时从原点O 出发,D 点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动,E 点以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动,设D 、E 两点运动的时间为t 秒。
初三中考数学专题复习:二次函数综合题(面积问题)含答案
中考数学专题复习:二次函数综合题(面积问题)1.如图所示,二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A (3,0),另一个交点为B ,且与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式; (2)求点B 、点C 的坐标;(3)若抛物线的顶点是M ,求△ACM 的面积.2.如图,抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点,点E 是线段AB 上一动点,过点E 作x 轴的垂线,交抛物线于点F .(1)求抛物线的解析式; (2)求线段EF 的最大值;(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ,在抛物线上是否存在一个动点P ,使得25ACP ABC S S ∆∆= ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,二次函数23y ax bx =++的图像与x 正半轴相交于点B ,负半轴相交于点A ,其中A 点坐标是(-1,0),B 点坐标是(3,0).(1)求此二次函数的解析式;(2)如图1,点P在第一象限的抛物线上运动,过点P作PD x轴于点D,交线段BC于点E,线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1△2,求P点坐标;(3)如图2,若点H在抛物线上,点F在x轴上,当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标.4.如图,已知直线y=43x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过A,C两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=﹣1.(1)求抛物线的表达式;(2)D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标;(3)若点P在抛物线对称轴上,是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在,请求出P,Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =-12x 2+bx +c 经过点A (-2,0).与点C (0,4).与x 轴的正半轴交于点B .(1)求抛物线的表达式;(2)如果D 是抛物线上一点,AD 与线段BC 相交于点E ,且AD 将四边形ABDC 分成面积相等的两部分,求DEAE的值; (3)如果P 是x 轴上一点,△PCB =△ACO ,求△PCO 的正切值.6.如图,抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,,()10B ,两点,与y 轴交于点.C 连接AC ,BC .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P 为抛物线在第三象限的一个动点,PM x ⊥轴于点M ,交AC 于点G ,PE AC ⊥于点E ,当PGE 的面积为1时,求点P 的坐标;(3)如图2,若Q 为抛物线上一点,直线OQ 与线段AC 交于点N ,是否存在这样的点Q ,使得以A ,O ,N 为顶点的三角形与ABC 相似.若存在,请求出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.7.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.8.如图,二次函数23=++的图象经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.y ax bx(1)求二次函数的解析式;(2)第一象限内的二次函数23=++图象上有一动点P,x轴正半轴上有一点D,且OD=2,当y ax bxS△PCD=3时,求出点P的坐标;(3)若点M在第一象限内二次函数图象上,是否存在以CD为直角边的Rt MCD,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.9.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0,1)和点B (3,4).(1)求该抛物线的解析式;(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点,连接AC ,BC ,以AC ,BC 为邻边作平行四边形ACBP ,求四边形ACBP 面积的最大值;(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1(a 1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ,是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出....点E 的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ,B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴的交点为C ()0,3-,顶点为()1,4D -.(1)求抛物线的表达式;(2)若平行于x 轴的直线与抛物线交于M ,N 两点,与抛物线的对称轴交于点H ,若点H 到x 轴的距离是线段MN 长的12,求线段MN 的长;(3)若经过C ,D 两点的直线与x 轴相交于点E ,F 是y 轴上一点,且AF ∥CD ,在抛物线上是否存在点P ,使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分?如果存在, 求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理.11.如图,已知抛物线y=ax2+4x+c经过A(2,0)、B(0,﹣6)两点,其对称轴与x轴交于点C.(1)求该抛物线和直线BC的解析式;(2)设抛物线与直线BC相交于点D,求△ABD的面积;(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAB的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C.直线l 与抛物线交于A、D 两点,与y 轴交于点E,点D 的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式;(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方,连接P A、PD,求△P AD 面积最大值;(3)由(2)并求出点P的坐标.13.已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点,交x 轴于另一点B .(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点P 是BD 上方抛物线上一点,连接AD ,BD ,PD ,当BD 平分ADP 时,求P 点坐标; (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案,其中点M ,N 分别是旋转前后抛物线的顶点,点E 、F 是旋转前后抛物线的交点. △直线EF 的解析式是______;△点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称,则线段GH 的最大值是______.14.如图,抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求A ,B ,C 三点的坐标,并直接写出直线AC 的函数表达式;(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点,且△BCD 的面积等于△AOC 的面积,求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AD ,试判断在抛物线上是否存在点M ,使△MDA =△ACO ?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.15.综合与探究线交x 轴于另一点C ,且2OA OC =,点F 是直线AB 下方抛物线上的动点,连接F A ,FB .(1)求抛物线解析式;(2)当点F 与抛物线的顶点重合时,ABF 的面积为______;. (3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标.(4)在(3)的条件下,点Q 为平面内y 轴右侧的一点,是否存在点Q 及平面内另一点M ,使得以A ,F ,Q ,M 为顶点的四边形是正方形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.16.抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点,交y 轴于C ;直线AD 交抛物线于第一象限内点D ,且D 的横坐标为5,(1)求抛物线解析式;(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点,且21ADES=,求点E 的坐标;(3)抛物线上是否存在点P ,使PCO DAO CBO ∠+∠=∠,若存在,请求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边OA ,OC 分别在x 轴和y 轴上,3OA =,4OC =,抛物线24y ax bx =++经过点B ,且与x 轴交于点()1,0D -和点E .(1)求抛物线的表达式:(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点,连接CP ,PE ,当四边形OCPE 的面积最大时,求点P 的坐标,此时四边形OCPE 的最大面积是多少;(3)若N 是抛物线对称轴上一点,在平面内是否存在一点M ,使以点C ,D ,M ,N 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,说明理由.18.如图,抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点,与y 轴交于点()0,2A ;(1)求出此抛物线的解析式;(2)如图1,在直线AC 上方的抛物线上有一点M ,求AMC S △的最大值;(3)如图2,将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A '',若线段O A ''与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m 的取值范围;19.如图,已知抛物线2=++与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,y x bx cOA=OC=3.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点,连接BP并交AC于点Q,若AC分ABP△的面积为1:2两部分,请求出点P的坐标;(3)在y轴上是否存在一点N,使得45∠+∠=︒,若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说BCO BNO明理由.C-.20.已知二次函数2(0)y x bx c a=++≠的图像与x轴的交于A、(1,0)B两点,与y轴交于点(0,3)(1)求二次函数的表达式及A点坐标;(2)D是二次函数图像上位于第三象限内的点,求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标;(3)M是二次函数图像对称轴上的点,在二次函数图像上是否存在点N.使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N的坐标(不写求解过程).答案1.(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32.(1)223y x x =-- (2)254(3)存在,点P 的坐标为(12) 或(12)或()12-或(12)-3.(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为:(1,0)、(5,0)、)2,0、()2- 4.(1)y =﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大=252,D (﹣32,5) (3)存在,Q (﹣2,198) 5.(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4; (2)14DE AE =; (3)△PCO 的正切值13或3.6.(1)223y x x =+-(2)()14P --,或()23--,(3)存在,坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7.(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ,4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8.(1)2+23y x x =-+(2)P 1(32,154),P 2(2,3)(3)存在点M 其坐标为1M 43539(,)或2M9.(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在,E (4,3)或(-2,5)或(-3,2)或(3,0).10.(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -,15)16-,使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分 11.(1)y =﹣12x 2+4x ﹣6,y =32x ﹣6 (2)152(3)存在,点Q 的坐标为(4,﹣2)12.(1)(1)y =-14x 2+x +3,y =12x +1 (2)274(3)(1,154) 13.(1)24y x =-+ (2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)△y x =;△414.(1)A (-2,0),B (4,0),C (0,4),24y x =+(2)(2,4)(3)存在,(-23,289)或(-6,-20)15.(1)2142y x x =-- (2)3 (3)FAOB S 四边形有最大值12,此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在,点Q 的坐标()18,2Q -,()26,6Q -,()35,3Q -,()41,1Q -16.(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭;E 2(2,-4) (3)存在,(8,20)17.(1)y =-x 2+3x +4(2)P (2,6);四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在; M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18.(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤≤19.(1)223y x x =+-(2)(-2,-3)或(-1,-4)(3)(0,2)或(0,-2)20.(1)223y x x =+-,(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在,(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。
最新九年级中考数学复习:二次函数综合题(面积问题)专题训练
2023年九年级中考数学复习:二次函数综合题(面积问题)专题训练1.如图,已知抛物线的顶点M (0,4),与x 轴交于A (-2,0)、B 两点,(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点C (0,2),P 为抛物线上一点,过点P 作PQ ∥y 轴交直线BC 于Q (P 在Q 上方),再过点P 作PR ∥x 轴交直线BC 于点R ,若△PQR 的面积为2,求P 点坐标;(3)如图2,在抛物线上是否存在一点D ,使∠MAD =45°,若存在,求出D 点坐标,若不存在,请说明理由.2.如图,抛物线顶点P (1,4),与y 轴交于点C (0,3),与x 轴交于点A ,B .(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线与直线y =x +m 只有一个交点,求m 的值;(3)Q 是抛物线上除点P 外一点,△BCQ 与△BCP 的面积相等,求点Q 的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,1,0A ,()0,2B ,以AB 为边向右作等腰直角ABC ,90BAC ∠=︒,AB AC =,二次函数2122y x bx =+-的图象经过点C .(1)求二次函数的解析式;(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l ,若直线l 恰好将ABC 的面积分为1:2两部分,请求出直线l 平移的最远距离;(3)将ABC 以AC 所在直线为对称轴翻折,得到AB C ',那么在二次函数图象上是否存在点P ,使PB C '是以B C '为直角边的直角三角形?若存在,请求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.4.已知抛物线2y ax bx c =++经过点()10A -,,且经过直线=3y x -与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C .(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点P 的坐标及∠ABP 的面积;(3)在平面内是否存在点D ,使A 、B 、C 、D 四点组成的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点D 坐标,若不存在,请说明理由.5.二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()2,0A ,()6,0B 两点,与y 轴交于点C ,顶点为E .(1)求这个二次函数的表达式:(2)如图∠,D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时,求点D 的坐标;(3)如图∠,P 是该二次函数图象上的一个动点,连接OP ,取OP 中点Q ,连接QC ,QE ,CE ,当CEQ 的面积为12时,求点P 的坐标.6.如图,已知抛物线23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A (1,0),B (-3,0),与y 轴的正半轴交于点C .(1)求该抛物线的解析式;(2)点D 是线段OB 上一动点,过点D 作y 轴的平行线,与BC 交于点E ,与抛物线交于点F . ∠连接CF BF 、,当FBC 的面积最大时,求此时点F 的坐标;∠探究是否存在点D 使得CEF △为直角三角形?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由.7.如图,抛物线2y x bx c =++的对称轴为=1x -,抛物线与x 轴相交于A 、B 两点与y 轴交于点C ,其中点A 的坐标为()3,0-(1)求点B 的坐标;(2)若点P 在AC 下方的抛物线上,且=2PACBOCSS,求点P 的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G ,使∠ACG 是直角三角形?若存在,求出符合条件的G 点坐标;若不存在,请说明理由.8.如图1,抛物线1C :2y ax bx c =++与x 轴交于()10A -,,()30B ,两点,且顶点为C ,直线=+2y kx 经过A ,C 两点.(1)求直线AC 的表达式与抛物线1C 的表达式;(2)如图2,将抛物线1C 沿射线AC 方向平移一定距离后,得到抛物线为2C ,其顶点为D ,抛物线2C 与直线=+2y kx 的另一交点为E ,与x 轴交于M ,N 两点(M 点在N 点右边),若2=3MDEMAES S ,求点D 的坐标;(3)如图3,若抛物线1C 向上平移4个单位得到抛物线3C ,正方形GHST 的顶点G ,H 在x 轴上,顶点S ,T 在x 轴上方的抛物线3C 上,()0P m ,是射线GH 上一动点,则正方形GHST 的边长为______,当=m ______时,PSPT有最小值______.9.如图,已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点坐标为(2,-9),该函数的图象与y 轴交于点A (0,-5),与x 轴交于点B ,C .(1)求该二次函数的解析式; (2)求点B 的坐标;(3)过点A 作AD ∥x 轴,交二次函数的图象于点D ,M 为二次函数图象上一点,设点M 的横坐标为m ,且0<m ≤5,过点M 作MN ∥y 轴,交AD 于点N ,连接AM ,MD ,设△AMD 的面积为s . ∠求s 关于m 的函数解析式;∠判断出当点M 在何位置时,△AMD 的面积最大,并求出最大面积.10.如图,在平面直角坐标系中,直线334y x =+,分别交x 轴、y 轴于点A 、B .(1)求tan ABO ∠的值;(2)点C 在AB 的延长线上,点D 在x 轴的正半轴上,连接CD ,CD CA =,若BCD △的面积为S ,点C 的横坐标为t ,求S 与t 的函数关系式;(3)在(2)条件下,E 是BD 的中点,过点E 作CE 的垂线交y 轴于点F ,求F 的坐标.11.如图,抛物线顶点D 在x 轴上,且经过(0,3)-和(4,3)-两点,抛物线与直线l 交于A 、B 两点.(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标;(2)如图1,若()03A ,-,且 94ABDS =,求直线l 解析式; (3)如图2,若90ADB ∠=︒,求证:直线l 经过定点,并求出定点坐标.12.已知,如图,抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ,与x 轴交于A ,B 两点,点A 在点B 左侧.点A 的坐标为(10)-,,3OC OA =(1)求抛物线的解析式;(2)若点D 是线段BC 下方抛物线上的动点,求四边形ABDC 面积的最大值; (3)若抛物线上有一点M ,使∠ACM =45°,求M 点坐标.13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线22y x x c =-+与直线y =x +1交于点A 、C .且点A 的坐标为(-1,0).(1)求点C的坐标;(2)若点P是直线AC下方的抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值;(3)若点E是抛物线上一点,点F是抛物线对称轴上一点,是否存在点E使以A,C,E,F为项点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标:若不存在,请说明理由.14.如图,已知抛物线24=+-(a≠0)与x轴交于A,B两点,(点A在点B左侧),与y轴交于点y ax bxx=,直线AD交抛物线于点D(2,m)C,点A的坐标为(-2,0)且对称轴直线1(1)求抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的一动点(点P和点A,B不重台),过点P作PE∠AD交BD于E,连接DP,当∠DPE的面积最大时,求点P的坐标;(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M,使∠MAC的周长最小,若存在,请求出M的坐标.15.如图,已知抛物线23y ax bx =++(a ≠0)与x 轴交于点A (﹣4,0),B (6,0)两点,与y 轴交于点C .若G 是该抛物线上A ,C 之间的一个动点,过点G 作直线GD ∥x 轴,交抛物线于点D ,过点D ,G 分别作x 轴的垂线,垂足分别为E ,F ,得到矩形DEFG .(1)求该抛物线的表达式;(2)当点G 与点C 重合时,求矩形DEFG 的面积;(3)若直线BC 分别交DG ,DE 于点M ,N ,求△DMN 面积的最大值.16.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数2y =+的图像经过点A (m ),与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C .抛物线213y x bx c =-++经过点A 交y 轴于点D (0,6).(1)求m 的值及抛物线的表达式;(2)如图2,点E 为抛物线上一点且在直线AC 上方,若EAC 的面积为E 的坐标; (3)坐标轴上有一动点F ,连接AF ,当∠BAF =60°时,直接写出点F 的坐标.17.定义若抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)与直线有两个交点,则称抛物线为直线的“双幸运曲线”,其交点为该直线的“幸运点”.(1)已知直线解析式为1=-,下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________;(填序号)y x∠21=+-;∠2y x x=+;∠22y xy x x;(2)如图,已知直线l:4y x=-,抛物线23=--为直线l的“双幸运曲线”,“幸运点”分别为A、B,在y x x直线l上方抛物线部分是否存在点P使∠PAB面积最大,若存在,请求出面积的最大值和点P坐标,若不存在,请说明理由;(3)已知x轴的“双幸运曲线”2=++(0y ax bx c>>)经过点(1,3),(0,2-),在x轴的“幸运点”分a b别为M、N,试求MN的取值范围.18.如图,抛物线y=﹣(x﹣2)2+m的图象与y轴交于点C,点B与点C关于该抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(3,0)及C点;(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)当自变量x满足______时,一次函数的函数值不大于二次函数的函数值;(3)在直线AC下方的抛物线上是否存在点P,使S△ACP=S△ACB?(点P不与点B重合)若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图所示抛物线y=a2x+bx+c由抛物线y=2x﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到,与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C,直线y=kx+b过B、C两点.(1)写出平移后的新抛物线y=a2x+bx+c的解析式;并写出a2x+bx+c>kx+b时x的取值范围.(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形PO P'C,那么是否存在点P,使四边形PO P'C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,△PBC的面积最大?求此时点P的坐标和△PBC的最大面积.20.如图,抛物线2=++与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0),与y轴交于点C(0,4)y ax bx c(1)求抛物线的解析式.(2)点D在抛物线的对称轴上,求AD+CD的最小值.(3)点P是直线BC上方的点,连接CP,BP,若∠BCP的面积等于3,求点P的坐标.参考答案:1.(1)24y x =-+;(2)P (1,3);(3)存在,D 点坐标为(53,119).2.(1)223y x x =-++;(2)m =134(3)点Q 的坐标为(2,3)或或.3.(1)211222y x x =--(3)存在,826,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1--或416,39⎛⎫- ⎪⎝⎭4.(1)223y x x =--(2)()14P -,;8ABP S =△ (3)存在,点D 的坐标为()23,,()43-,,()43--,,5.(1)21234y x x =-+(2)(4,3或(4,3(3)()10,8或()6,24-6.(1)223y x x =--+ (2)∠F (-32,154);∠存在,点F 的坐标为(﹣2,3)或(﹣1,4)7.(1)()1,0B(2)()1,4--,()23--,(3)存在,G 的坐标为1⎛- ⎝⎭或1⎛- ⎝⎭或()14--,或()1,2-.8.(1)=2+2y x ,223y x x =-++(2)(410)D ,(3)4;9.(1)该二次函数的解析式为2=45y x x --;(2)点B 的坐标(-1,0); (3)∠s 关于m 的函数解析式为222+8(0<<4)=28(45)m m m s m m m ⎧-⎨-≤≤⎩;∠当点M 与点C 重合时,△AMD 的面积最大,最大面积为10.10.(1)4tan 3ABO ∠=(2)2334S t t =+ (3)70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭11.(1)()2324y x =--,()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析,定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭,12.(1)223y x x =--; (2)758(3)M (4,5)13.(1)(4,5)(3)存在,点E 的坐标为(2,-3)或(6,21)或(-4,21)14.(1)2142y x x =-- (2)1,0P(3)()1,3M -15.(1)该抛物线的函数表达式为211384y x x =-++; (2)ABCD S 矩形=6;(3)△DMN 面积的最大值为8164.16.(1)m 的值为4,2163y x x =-+;(2)E (0,6)或(0);(3)F (0)或(0,203).17.(1)∠(2)存在,最大面积为 此时()2,2.P -(3)MN ≥18.(1)y =﹣(x ﹣2)2+1, y =x ﹣3(2)03x ≤≤(3)存在,点P 坐标为(﹣1,﹣8)19.(1)y =2x -x -2(2)存在,点P 的坐标为,-1) (3)P 点的坐标为(1,-2),△PBC 的最大面积为120.(1)2142y x x =-++(2)(3)91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
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中考综合题(四季-面积问题)(共七季)1.如图,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0).与y 轴交于点C,顶点为D.(1)求顶点D的坐标.(用含a的代数式表示);(2)若△ACD的面积为3.①求抛物线的解析式;②将抛物线向右平移,使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P,且∠PAB=∠DAC,求平移后抛物线的解析式.tan∠DAC=,,×DE×OA= ==.==y=,解得,,)点坐标(,)代入=+m﹣﹣x ,解得,﹣点坐标(,﹣)代入=﹣(﹣﹣﹣)2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直线BC 翻折,点A的对应点为D,抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C,顶点M在直线BC上.(1)证明四边形ABCD是菱形,并求点D的坐标;(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;(3)在抛物线上是否存在点P,使得△PBD与△PCD的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.AC==10=5.(,3.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A 两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.=4,∴OP==2×24.如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.(1)求该二次函数的解析式;(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,①求t的值;②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.,即﹣AM•ND=•3t•(t﹣﹣+,(﹣+)<,<时,t=5.在平面直角坐标系中,已知M 1(3,2),N 1(5,-1),线段M 1N 1平移至线段MN 处(注:M 1与M ,N 1与N 分别为对应点).(1)若M (-2,5),请直接写出N 点坐标.(2)在(1)问的条件下,点N 在抛物线216y x k =++上,求该抛物线对应的函数解析式.(3)在(2)问条件下,若抛物线顶点为B ,与y 轴交于点A ,点E 为线段AB 中点,点C(0,m )是y 轴负半轴上一动点,线段EC 与线段BO 相交于F ,且OC ︰OF=2m 的值.(4)在(3)问条件下,动点P 从B 点出发,沿x 轴正方向匀速运动,点P 运动到什么位置时(即BP 长为多少),将△ABP 沿边PE 折叠,△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的14,求此时BP 的长度.(1)N (0,2) …………1分 (2)∵N (0,2)在抛物线y=61x 2+323x+k 上∴k=2∴抛物线的解析式为y=61x 2+323x+2 …………3分(3)∵y=61x 2+323x+2=61(x+23)2∴B (-23,0)、A (0,2)、E (-3,1) ∵CO :OF=2: 3∴CO=-m, FO=-23m, BF=23+23m ∵S △BEC = S △EBF + S △BFC =12ABC S ∆∴21(23+23m)(-m+1) = 11)22m ⨯⨯-整理得:m 2+m = 0 (图1) ∴m=-1或0 …………5分 ∵m < 0 ∴m =-1 …………6分 (4)在Rt △ABO 中,tan ∠ABO=BO AO =322=33 ∴∠ABO=30°,AB=2AO=4①当∠BPE>∠APE 时,连接A 1B则对折后如图2,A 1为对折后A 的所落点,△EHP 是重叠部分. ∵E 为AB 中点,∴S △AEP = S △BEP =21S △A BP ∵S △EHP =41S △ABP ∴1ΔA HE S = S △EHP = S △BHP =41S △ABP ∴A 1H=HP ,EH=HB=1∴四边形A 1BPE 为平行四边形 (图2) ∴BP=A 1E=AE=2即BP=2②当∠BPE=∠APE 时,重叠部分面积为△ABP 面积的一半,不符合题意…………9分 ③当∠BPE<∠APE 时.则对折后如图3,A1为对折后A 的所落点.△EHP 是重叠部分∵E 为AB 中点,∴S △AEP = S △B EP =21S △A BP ∵S △EHP =41 S △A BP ∴S △EBH = S △EHP=1ΔA HP S =41S △A BP ∴BH=HP ,EH=HA 1=1 又∵BE=EA=2∴AP EH 2111∴AP=2 (图3)在△APB 中,∠ABP=30°,AB=4,AP=2.∴∠APB=90° ∴BP= 综合①②③知:BP=2或6.如图1所示,已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,抛物线2y x bx c =-++经过A 、C 两点,点B 是抛物线与x 轴的另一个交点,当12x =-时,y取最大值254.(1)求抛物线和直线的解析式;(2)设点P 是直线AC 上一点,且S ABP :S BPC 1:3=,求点P 的坐标; (3)若直线12y x a =+与(1)中所求的抛物线交于M 、N 两点,问: ①是否存在a 的值,使得090MON ∠=?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由;②猜想当090MON ∠>时,a 的取值范围(不写过程,直接写结论). (参考公式:在平面直角坐标系中,若11(,)M x y ,22(,)N x y ,则M ,N 两点间的距离为MN =解:(1)由题意得212(1)24(1)254(1)4b c b ⎧-=⎪⎪⨯-⎨⨯--⎪=⨯-⎪⎩解得{16b c =-=∴抛物线的解析式为26y x x =--+ ∴(3,0)A -,(2,0)B∴直线AC 的解析式为26y x =+ ···················· (2分) (2)分两种情况:①点P 在线段AC 上时,过P 作PH x ⊥轴,垂足为H ∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴14AP AC =∵PH ∥CO ∴14PH AH AP CO AO AC === ∴32PH =,34AH = ∴94HO =∴93(,)42P -②点P 在线段CA 的延长线上时,过P 作PG x ⊥轴,垂足为G ∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴12AP AC =∵PG ∥CO ∴12PG AG AP CO AO AC === ∴3PG =,32AG = ∴92GO =∴9(,3)2P --综上所述,193(,)42P -或29(,3)2P -- ··················· (4分) (3)①方法1:假设存在a 的值,使直线12y x a =+与(1)中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点(M 在N 的左侧),使得090MON ∠=由2126y x ay x x ⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩ 得2232120x x a ++-= ∴1232x x +=-,126x x a ⋅=-又1112y x a =+,2212y x a =+∴121211()()22y y x a x a ⋅=++2121211()42x x x x a a =⋅+++26344a a a -=-+∵090MON ∠= ∴222OM ON MN +=∴22222211222121()()x y x y x x y y +++=-+- ∴12120x x y y ⋅+⋅=∴2636044a a a a --+-+= 即22150a a +-=∴3a =-或52a = ∴存在3a =-或52a =使得090MON ∠= ·方法2:假设存在a 的值,使直线12y x a =+与(1)中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点(M 在x 轴上侧),使得090MON ∠=,如图,过M 作MP x⊥于P ,过N 作NQ x ⊥于Q 可证明 MPO △∽OQN △ ∴MP POOQ QN=即1122y x x y -= ∴1212x x y y -= 即12120x x y y ⋅+⋅= 以下过程同上 ②当532a -<<时,090MON ∠>7.如图,在平面直角坐标系中,直线2+-=x y 与x 轴,y 轴分别交于点A ,点B ,动点P (a ,b )在第一象限内,由点P 向x 轴,y 轴所作的垂线PM ,PN (垂足为M ,N )分别与直线AB 相交于点E ,点F ,当点P (a ,b )运动时,矩形PMON 的面积为定值2. (1)求∠OAB 的度数; (2)求证:⊿AOF ∽⊿BEO ;(3)当点E ,F 都在线段AB 上时,由三条线段AE ,EF ,BF 组成一个三角形,记此三角形的外接圆面积为S 1,⊿OEF 的面积为S 2.试探究:S 1+S 2是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存在,请说明理由.,OM AF=ON ∴BE•AF=OM•EF((PF•PE,=)•PM﹣PF•PE﹣(+m=m+,>﹣﹣(﹣+2=,即a=b=﹣(﹣+22﹣8.如图,已知抛物线y=12x2+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点A,B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).(1)b=▲,点B的横坐标为▲(上述结果均用含c的代数式表示);(2)连接BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线y=12x2+bx+c交于点E.点D是x轴上一点,其坐标为(2,0),当C,D,E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连接PB,PC,设所得△PBC 的面积为S.①求S的取值范围;②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有▲个.解(1);(点B坐标根据二次函数对称性来求解)(2)直线AE解析式,联立二次函数解析式解得点E直线CD解析式,因为C、D、E三点共线,所以点E代入CD解析式可解得所以抛物线解析式为(3)(表示出△PBC的面积并判断出最大、最小值即可求出范围)①设点P,则当时,;当时,。