2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第二篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性
高三数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版
第六页，共24页。
考点(kǎo diǎn)1 判断函数的奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝ x＋1x；
(3)f(x)＝|x＋12－|－x22；
(4)f(x)＝xx11－ ＋xx
x<0， x>0；
(5)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (6)f(x)＝22xx＋ －11.
奇函数；对于y＝loga
1＋x 1－x
，f(－x)＝loga
1－x 1＋x
＝－loga
1＋x 1－x
＝－f(x)
为奇函数．
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考点(kǎo 利di用ǎn(l)ìy2òng)函数的奇偶性求函数解析式
例 2：设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1 ＋3 x)，那么当 x∈(－∞，0)时，求 f(x)的解析式．
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从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
∴f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)． 故 f(x)为奇函数(hánshù)．
(4)∵函数(hánshù)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．
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2018高考一轮通用人教A版数学(课件)第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性
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第八页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
5．(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(1 ＋x)，则 x＜0 时，f(x)＝________.
x(1－x) [当 x＜0 时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．]
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第九页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
高三一轮总复习
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－2x；
(2)f(x)＝(x＋1) 11－ ＋xx；
(3)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx＞ ＜00， . [解] (1)定义域为 R，关于原点对称，
又 f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．
x2－4x，x＞0， (1)1 (2)0，x＝0，
－x2－4x，x＜0
[(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立，
∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立，∴xln a＝0 恒成立，∴ln
a＝0，即 a＝1.
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十六分。
题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数，故不符合题
意；
D 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为 f(－x)≠
2018届高三理科数学普通班一轮复习课件：第二篇 第3节 函数的奇偶性与周期性 精品
0, 0,
得 x=±3.
所以 f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=±f(-x).
所以 f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(2)f(x)= 4 x2 ; x3 3
(3)f(x)=
x 2
x2
x, x,
x x
0, 0.
解析：(2)由
4
x2
0,
得-2≤x≤2 且 x≠0.
x 3 3 0,
所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 所以 f(x)= 4 x2 = 4 x2 .
x 3 3 x
所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)是奇函数.
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
所以 f(- 5 )=f(- 1 )=-f( 1 )=-2× 1 (1- 1 )=- 1 .故选 A.
2
2
2
222
答案: (1)A
(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 1 ,当 2≤x≤3 时,
f x
f(x)=x,则 f(105.5)=
.
解析：(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]
=- 1 =- 1 =f(x).
f x 2
f
1
x
故函数的周期为 4. 所以 f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 因为 2≤2.5≤3, 由题意,得 f(2.5)=2.5. 所以 f(105.5)=2.5. 答案: (2)2.5
2018届高三数学文一轮复习课件：2-3 函数的奇偶性与周期性 精品
微知识❻ 函数周期性的常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： ①若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a＞0)； ②若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a(a＞0)； ③若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a(a＞0)。
微知识❼ 函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴 x＝a，x＝b(a＜b)，则 函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)。 (2)如果函数 f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心 A(a,0)，B(b,0)(a＜ b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)。 (3)如果函数 f(x)，x∈D 在定义域内有一条对称轴 x＝a 和一个对称中 心 B(b,0)(a≠b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝4|b－a|。
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。 (√ )
解析：正确。函数 y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数 y＝f(x)关于 点(b,0)中心对称。
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
【微练 2】(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数。当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x＋b(b
第二章 函数、导数及其应用
第三节 函数的奇偶性与周期性
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 偶函数的概念 一般地，如果对函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ， 那么函数 f(x)就叫做偶函数。 微知识❷ 奇函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ， 那么函数 f(x)就叫做奇函数。 微知识❸ 奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 y 轴 对称，奇函数的图象关于原点 对称。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课时分层训
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课时分层训练(六）函数的奇偶性与周期性A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．（2016·广东肇庆三模)在函数y＝x cos x，y＝e x＋x2，y＝lg错误!，y＝x sin x中,偶函数的个数是（)A．3 B．2C．1 D．0B [y＝x cos x是奇函数，y＝lg错误!和y＝x sin x是偶函数，y＝e x＋x2是非奇非偶函数，故选B.］2．函数y＝log2错误!的图象（) 【导学号：31222034】A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称A [由错误!＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1，1)，又f(－x）＝log21－x1＋x＝－log2错误!＝－f(x）,∴函数y＝log2错误!为奇函数，故选A。
]3．(2016·山东高考）已知函数f（x)的定义域为R.当x<0时，f（x)＝x3－1;当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f(x）；当x>12时，f错误!＝f错误!，则f（6）＝( ）A．－2 B．－1 C．0 D．2D [由题意知当x>错误!时，f错误!＝f错误!，则f(x＋1)＝f(x）．又当－1≤x≤1时,f（－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f（1)＝－f(－1）．又当x〈0时，f（x）＝x3－1，∴f（－1)＝－2,∴f（6)＝2.故选D。
高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)
第3讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析 由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析 当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数． 答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析 显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误． 答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析 由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。
2018年高考数学总复习高考研究课(二)函数的单调性、奇偶性及周期性课件理
解得a∈[4,8)．答案：[4,8)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义， 确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数 在此区间的任意子集上也是单调的．
[提醒] 为减函数．
复合函数 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀—— “同增异
减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时
角度二：求函数的值域或最值 3．(2016· 北京高考)函数f(x)＝ x (x≥2)的最大值为________． x－1
x－1－x 1 解析：f′(x)＝ ＝－ ， x－12 x－12 当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数， 2 故f(x)max＝f(2)＝ ＝2. 2－1 答案：2
fx1－fx2 x1≠x2都有 >0成立，则实数a的取值范围为_________． x1－x2
解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1)和[1，＋∞)上都是增函 数，且f(x)在(－∞，1)上的最高点不高于其在[1，＋∞)上的最 a>1， 4－a>0， 2 低点，即 a a≥4－ ＋2， 2
∴b>a>c. 答案：D
[方法技巧]
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区 间内，然后利用函数的单调性解决．
角度四：解函数不等式 5．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实 数a的取值范围为____________．
a2－a>0， 解析：由已知可得a＋3>0， a2－a>a＋3， 解得－3<a<－1或a>3. 所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
2018届高考数学二轮复习函数的周期性课件(全国通用)
10.设函数f(x)是周期为5的奇函数,当0<x≤2时,f(x)=2x-3,则f(2013)=
.
【答案】
-1
【解析】 因为函数f(x)是周期为5的奇函数,所以
f(2013)=f(403×5-2)=f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则
4.若f(x)是R上周期为3的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则
A.a>2 B.a<-2 C.a>1 D.a<-1
(
)
【答案】D 【解析】 f(x)是R上周期为3的奇函数,所以f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1),又
f(1)>1,所以-f(1)<-1,即f(2)<-1,所以a<-1,选D.
5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象,
则f(2014)+f(2015)= A.3 B.2 ( ) D.0
C.1
【答案】
A
【解析】 因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以
f(2014)+f(2015)=f(671×3+1)+f(672×3-1)=f(1)+f(-1).由图可以知道f(1)=1, f(-1)=2,所以f(2014)+f(2015)=1+2=3.选A.
f(1)=-2.选B.
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+2)=f(x),则f(4)= A.-1 B.0 C.1 D.2
(
)
【答案】 B 【解析】 因为定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+2)=f(x),所以
2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性
5．[考点二]已知 f(x)是 R 上的偶函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2－x －1，则当 x<0 时，f(x)＝________.
解析：当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝ x2＋x－1，∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴f(x)＝f(－x) ＝x2＋x－1. 答案：x2＋x－1
突破点(二)
基础联通
1．周期函数
函数的周期性
抓主干知识的“源”与“流”
对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期
(2)f(x)＝(1－x)
[解]
1＋x ； 1－x
2 x>0， －x ＋2x＋1 (3)f(x)＝ 2 x<0； x ＋2x－1
1＋ x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义，∴－1≤x<1， 1－ x
由于定义域关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数． (3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数．
解析：A选项定义域为R，由于f(－x)＝ 1＋－x2 ＝
)
1＋x2 ＝
f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－ 1 x－ x ＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x) 1 1 －x ＝2 ＋ －x ＝ 2x ＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为 2 R，由于f(－x)＝－x＋e 答案：D
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )(8)(2014·枣庄一模改编)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是奇函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．三个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f(x)(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】(1)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝x2－1＋1－x2；②f(x)＝ln 1－x1＋x.(2)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg 12)＝()．A．－1 B．0 C．1 D．2规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )．A ．2B.154C.174 D ．a 2(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】(2014·北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝e x＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是()．A．－2 B．－1 C．1 D．2考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【训练3】(2014·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．营养餐根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )． A.12 B.23 C.34 D ．1[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f (－x )＝±f (x )，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法．【自主体验】1．(2014·永康适应性考试)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为()．A．1 B．－1 2C．1或－12D．02．(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数，则a＝________，b＝________.自助餐基础巩固题组一、选择题1．(2013·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．12．(2013·温州二模)若函数f(x)＝sin x(x＋a)2是奇函数，则a的值为()．A．0 B．1 C．2 D．43．(2014·哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝13对称，则f⎝⎛⎭⎪⎫－23＝()．A．0 B．1 C．－1 D．24．(2014·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于()．A．2 012 B．2 C．2 013 D．－25．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题6．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.7．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．能力提升题组一、选择题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1 C.12 D ．－122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c二、填空题3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论．。
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.3函数的奇偶性及周期性
2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.
a+b 对称. 2
(4)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及 x=b 对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 4|a-b|. (6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. 其中最后三条可以通过类比正弦函数的图象来记忆.
2.(2012·广东卷,4)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex 【答案】D B.y=x3 D.y=ln x 2 + 1
)
【解析】∵ 函数 f(x)=ln x 2 + 1的定义域是 R 且 f(x)=ln (-x)2 + 1=ln x 2 + 1=f(x),∴ f(x)是偶函数. 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.1 3
5.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线 x=a 对称.
1.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是( A.y=2x-3 C.y=ln 5x 【答案】C B.y=-3x2 D.y=-|x|cos x
)
【解析】A 为非奇非偶函数,B,D 为偶函数,C 为奇函数. 设 y=f(x)=ln 5x=xln 5, 则 f(-x)=-xln 5=-f(x).
【优化指导】高考数学总复习 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 新人教A版
3．对称性与周期性的关系
(1)若函数f(x)关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为 周期函数，2|a－b|是它的一个周期； (2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期 函数，2|a－b|是它的一个周期；
(3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 令F(x)＝f(x)＋|g(x)|， F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)| ＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．
∴f(x)的图象关于x＝1对称．
综上①②③正确． 答案：①②③
【考向探寻】 1．运用函数奇偶性的定义判断．
2．运用函数图象判断．
3．抽象函数的奇偶性的判断，注意挖掘函数“原形”，常 采用“赋值”等策略．
【典例剖析】 (1)已知函数 f(x)对一切 x、y∈R，都有 f(x＋y)＝ f(x)＋f(y)，则函数 f(x)为________函数．(填“奇”、“偶” 或“非奇非偶”) (2)讨论下列函数的奇偶性： ①f(x)＝(x＋1)
上是减函数，且f(2)＝f(－2) ＝0，可画示
意图如图所示，由图知 f(x) ＜ 0 的解集为 (－2,2)． 答案：D
3．(2013·长沙模拟)函数 f(x) 的定义域为 R，且满足： f(x) 是
偶函数，f(x－1)是奇函数．若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于(
A．－9 C．－3 B．9 D．0
三、周期性
1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ， 那 么 就 称 函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在 一个最小 周期．
2018年高考数学(理)一轮复习第二章第3讲
的值为( B )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
[解析] 设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数，又
F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝f(－a)－1＝－1，
从而 f(－a)＝0.故选 B．
2．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (2)f(x)＝|x＋4－3|－x23； (3)f(x)＝xx22＋－xx，，xx＞＜00，.
【解析】 (1)由题意可得 f－52＝f－12＝－12＋a，f92＝f12＝ 25－12＝110，则－12＋a＝110，a＝35，故 f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝ －1＋35＝－25. (2)因为 f(x＋4)＝f(x)，所以周期 T＝4. 又 f(1)＝1，所以 f(2 017)＝f(1＋4×504)＝f(1)＝1.
(3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x＞0 时， f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x＜0 时， f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法
[解] (1)因为函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为32，不关 于坐标原点对称， 所以函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)由4|x－＋x32|≥－03≠0， 得－2≤x≤2 且 x≠0， 所以 f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用 奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问 题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数 ⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在 x＝0 处有意义，则 f(0)＝0.
2018年高考数学总复习教师用书：第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2017·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e x C.y ＝cos xD.y ＝e x －e －x解析 A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中y ＝cos x 为偶函数.D 中函数定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数. 答案 D3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13. 答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案 15.(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 36.(2017·湖州调研)设a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤0，g （x ），x >0为奇函数，则a＝________，g (f (2))＝________.解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即a 0＋1－2＝0，∴a ＝2；当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－(2－x ＋1－2)＝2－2－x ＋1，即g (x )＝2－2－x ＋1，∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1－2，x ≤0，2－2－x ＋1，x >0，f (2)＝2－2－2＋1＝2－12＝32>0， ∴g (f (2))＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－2－32＋1＝2－2－12＝2－22.答案 2 2－22考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x .又∵f (－x )＝lg[1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.【训练1】(1)(2017·杭州质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.y＝x＋sin 2xB.y＝x2－cos xC.y＝2x＋12x D.y＝x2＋sin x(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析(1)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.答案(1)C(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值.【训练2】(1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________.解析(1)易知f(－x)＝2－x＋12－x－a＝2x＋11－a2x，由f(－x)＝－f(x)，得2x＋11－a2x＝－2x＋12x－a，即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝2x＋12x－1，由f(x)>3，得0<x<1.(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0考点三 函数的周期性及其应用【例3】 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 答案 －2规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期. 【训练3】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5). ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.答案 2.5考点四 函数性质的综合运用【例4】 (1)(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.2(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.[1，2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.(0，2]解析 (1)当x >12时，由f (x ＋12)＝f (x －12)， 得f (x )＝f (x ＋1)，∴f (6)＝f (1)，又由题意知f (1)＝－f (－1)，且f (－1)＝(－1)3－1＝－2. 因此f (6)＝－f (－1)＝2.(2)由y ＝f (x )为偶函数，且f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1).∴f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)， 又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1⇔－1≤log 2a ≤1.解得12≤a ≤2. 答案 (1)D (2)C规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练4】 (1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( )A.－1B.1C.0D.2(2)设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m.则M＋m＝________.解析(1)由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0.(2)f(x)＝x2＋2x＋1＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，令g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，故M＋m＝2.答案(1)C(2)2[思想方法]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3B.2C.1D.0解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数. 答案 B2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A3.已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A.x 1>x 2B.x 1＋x 2＝0C.x 1<x 2D.x 21<x 22解析 ∵f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －e x ＝f (x ).∴f (x )在R 上为偶函数， f ′(x )＝e x －1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，∴x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， 由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)，∴|x 1|<|x 2|，∴x 21<x 22.答案 D4.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1解析 由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎨⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，解得g (1)＝3. 答案 B5.(2017·杭州一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( ) A.2B.1C.－1D.－2解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2. 答案 A 二、填空题6.若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析 由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， ∴a ＝－32. 答案 －327.(2017·湖州质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________. 解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516. 答案 5168.(2017·舟山调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g （2x ），x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________. 解析 由题意，a ＝f (0)＝0.设x <0，则－x >0，f (－x )＝x 2－2x ＋1＝－f (x )，∴g (2x )＝－x 2＋2x －1，∴g (－2)＝－4，∴f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－(16＋8＋1)＝－25.答案 0 －25三、解答题9.设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式.解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x ).又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ).又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2017·丽水一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(－1，2)解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4.答案 A12.对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( )A.0B.2C.3D.4 解析 y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f(x)是偶函数，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.答案 B13.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.答案714.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 15.(2016·衢州模拟)设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f [f (x )]对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝⎩⎨⎧（1－x ）x ，x ≥0，（x －1）x ，x <0，当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内是减函数； 当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，所以f (x )在(－∞，0)内是减函数. 综上可知，f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间为(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，解得a ＝0，∴f (x )＝－x |x |，f [f (x )]＝x 3|x |. ∴mx 2＋m >f [f (x )]＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立，又x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]， 所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫165，＋∞.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：2.3 函数的奇偶性与周期性 Word版含答案
第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论1．函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2．有关对称性的结论：(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y ＝f (x ＋a )为奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称． (2)若f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于x ＝a 对称． 若f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )关于点(a ，b )对称．[自测练习]1．函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0知x >1，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．答案：C2．(2015·石家庄一模)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12，故选B.答案：B3．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.答案：0知识点二 函数的周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．必记结论 定义式f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的x 是恒成立的．若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则函数f (x )的周期为T ＝|a －b |.若在定义域内满足f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝1f (x )，f (x ＋a )＝－1f (x )(a >0)．则f (x )为周期函数，且T ＝2a 为它的一个周期．对称性与周期的关系：(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(2)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期．(3)若函数f (x )的图象关于点(a,0)和直线x ＝b 对称，则函数f (x )必为周期函数，4|a －b |是它的一个周期．[自测练习]4．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.解：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.答案：－15考点一 函数奇偶性的判断|判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．函数奇偶性的判定的三种常用方法1．定义法：2．图象法：3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．考点二 函数的周期性|设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.判断函数周期性的两个方法(1)定义法．(2)图象法．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 015)＋f(2 017)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f (－2 015)＝f (2 015)＝f (3)＝－1f (1)＝－1，∴f (－2 015)＋f (2 017)＝0. 答案：0考点三 函数奇偶性、周期性的应用|高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知奇偶性求参数．2．利用单调性、奇偶性求解不等式． 3．周期性与奇偶性综合．4．单调性、奇偶性与周期性相结合． 探究一 已知奇偶性求参数1．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x ，解得a ＝1. 答案：1探究二 利用单调性、奇偶性求解不等式 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)，∴|x |>|2x －1|，解得13<x <1，故选A.答案：A探究三 周期性与奇偶性相结合3．(2015·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 答案：A探究四 单调性、奇偶性与周期性相结合4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． 答案：D函数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2.构造法在函数奇偶性中的应用【典例】 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.[思路点拨] 直接求解函数的最大值和最小值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解．[解析] 易知f (x )＝1＋2x ＋sin xx 2＋1.设g (x )＝f (x )－1＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )是奇函数．∵f (x )的最大值为M ，最小值为m ， ∴g (x )的最大值为M －1，最小值为m －1， ∴M －1＋m －1＝0，∴M ＋m ＝2. [答案] 2[方法点评] 在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题．[跟踪练习] 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( ) A ．－26 B ．－18 C ．－10D ．10解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8知f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx ， 令F (x )＝f (x )＋8可知F (x )为奇函数， ∴F (－x )＋F (x )＝0.∴F (－2)＋F (2)＝0，故f (－2)＋8＋f (2)＋8＝0. ∴f (2)＝－26. 答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·陕西一检)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．(2015·唐山一模)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0D ．2log 213解析：由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x ＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12－1＋f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝2. 答案：A3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1，故选D.答案：D4．在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当0<x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (2 015)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数的周期为3，所以f (2 015)＝f (672×3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.答案：A5．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0，或x >1}B ．{x |x <－1，或0<x <1}C ．{x |x <－1，或x >1}D ．{x |－1<x <0，或0<x <1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示： 则有不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为 {x |－1<x <0或0<x <1}，选D. 答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1.答案：17．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝______.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－18．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，则f (2 015)，f (2 016)，f (2 017)从大到小的顺序为________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，由③知f (x )在[1,3]上是减函数．所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)＝f (2)，f (2 017)＝f (1)，所以f (1)>f (2)>f (3)，即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)．答案：f (2 017)>f (2 016)>f (2 015) 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集． 解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0.又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x －12>0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<1， 即0<x ⎝⎛⎭⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎨⎧ x ⎝⎛⎭⎫x －12<0，x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1. ∴x ⎝⎛⎭⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <1＋174或1－174<x <0. B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.答案：C2．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解析：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A. 答案：A3．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 为偶函数，只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．(2015·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a 解析：由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1，当x ∈[0，＋∞)时，f (x ) ＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b .答案：C5．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是() A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎫21－x－1，易知y＝21－x－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A.答案：A。
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第3讲 函数的奇偶性与周期性A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1* f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 126)等于( )*A * －5B * －6C * －56D * －12解析 f (log 126)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)* ∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝12，∴f (log 126)＝－12* 答案 D2* (·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )*A * －3B * －1C * 1D * 3解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3* 答案 A3* 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )*A * f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 B * f (sin 1)<f (cos 1)C * f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6 D * f (cos 2)>f (sin 2)解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3* 答案 A4* (·连云港一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )*A * 偶函数，且单调递增B * 偶函数，且单调递减C * 奇函数，且单调递增D * 奇函数，且单调递减解析 当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )* 当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数* 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5* (·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________*解析 由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0* 答案 06* (·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1* 若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________*解析 因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1* 答案 －1 三、解答题(共25分)7* (12分)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )* (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性*解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y ＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0*(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数*8* (13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围*解 由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2*因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2*B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1* 函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )*A * f (x )是偶函数B * f (x )是奇函数C * f (x )＝f (x ＋2)D * f (x ＋3)是奇函数解析 由已知条件，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)* 由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，得f (－x ＋2)＝－f (x )；由f (－x －1)＝－f (x －1)，得f (－x －2)＝－f (x )* 则f (－x ＋2)＝f (－x －2)，即f (x ＋2)＝f (x －2)，由此可得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即函数f (x ＋3)也是奇函数* 答案 D2* (·福建)设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )*A * D (x )的值域为{0,1}B * D (x )是偶函数C *D (x )不是周期函数D * D (x )不是单调函数解析 显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确* 若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数* ∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )* 则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误* 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3* f (x )＝2x ＋sin x 为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f (1－a )＋f (1－2a )<0的解集是 ________*解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数* 于是原不等式为f (1－a )<f (2a－1)等价于⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a <2a －1.解得23<a <1* 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14* 若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝－f (x )，则下列结论：①f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0对称；②f (x )的图象关于直线x ＝12对称；③f (x )是周期函数，且2是它的一个周期；④f (x )在区间(－1,1)上是单调函数* 其中所有正确的序号是________*解析 由函数为奇函数且满足f (1＋x )＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以②③正确*答案 ②③ 三、解答题(共25分)5* (12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )*(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数* 求实数a 的取值范围* 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2，(x ≠0)显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， 因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f(x)＝x2＋ax既不是奇函数，也不是偶函数*(2)f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a>0时，由f′(x)＝2x3－ax2>0，解得x> 3a2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a2≤2* 解得0<a≤16*综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]*6* (13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)*(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数*(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数*(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x*∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x*故f(x)＝12x(－1≤x≤1)*又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)*又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)* ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1* ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )* 令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154* 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12*。