高一数学弧度制检测试题
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
角度与弧度制测试题
角度与弧度制测试题1、与1 角终边相同的角的集合是( )A ．{360,}180k k π⋅+∈Z B ．{360,}180k k π⋅+∈ZC ．{2,}180k k ππ+∈Z D ．{2,}180k k ππ+∈Z2、设sin 2cos2M =⋅，则M 的值为（ ）A 、正B 、负C 、零D 、不能确定3、计算3cos 25sin 3sin 10cos 22ππππ+-+的值为（ ）A 、1B 、-1C 、0D 、1±5、当32a ππ<<时，|sin ||cos |sin cos αααα+的值为（ ）A 、0B 、2C 、-2D 、不能确定6、终边在直线y x =上的角的集合是（ ）A 、|2,4k k z πααπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ B 、|2,4k k z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C 、|,4k k z πααπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ D 、|,4k k z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭7、函数2()ln x f x x =- 的零点所在的大致区间是 （)A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）8、求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域23-23-2121-)(,54cos 30sin 6,8-4、、、、的值为则）且（的终边过点、已知角D C B A m m P -=-αα9、方程x x lg sin =的解的个数为__________.10．若角α的终边上一点()m P ,6且54sin -=α，则=αcos 11、若函数()122log (2log )0y x =--∞的值域是，，则其定义域是12、已知函数sin y a x b =+的最大值是2，最小值是0，则实数a =13.⑴计算4233522sin cos 6tan sin cos 42463πππππ-++； ⑵化简：()()()()παπααπαπαπαπ---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-sin 3cos 2cos 23cos 3sin 2cos14. (12分)已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l .(1)若60α= ,100R cm =,求扇形的弧长l ;(2)若扇形周长为20cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?。
高一数学任意角和弧度制试题
高一数学任意角和弧度制试题1.角α的终边经过点（﹣3，0），则角α是（）A．第二象限角B．第三象限角C．第二或第三象限角D．不是象限角【答案】D【解析】直接判断角的终边上的点所在位置，即可判断角所在象限．解：∵点（﹣3，0）在x轴的非正半轴上，∴角α的终边与x轴的非正半轴重合，故角α不是象限角．故选：D．点评：本题考查角的终边所在的象限的求解，判断点的位置是解题的关键．2.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是（）A．90°B．180°C．270°D．90°，180°或270°【答案】D【解析】利用终边相同的角，通过k的取值求出角的大小．解：设这个角为α，则5α=k•360°+α，k∈Z，α=k•90°，又∵0°＜α＜360°，∴α=90°，180°或270°．故选：D点评：本题考查终边相同角的表示方法以及求解，基本知识的考查．3.在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．【答案】（1）四种，与45°、135°、225°、315°对应；（2）8个；（3）k•360°+135°，k∈Z．【解析】（1）可以在直角坐标系中画一画 4个一循环；（2）解不等式﹣360°＜k•90°+45°＜360°即可得出答案；（3）根据（1）可知得出结果．解：（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，与45°、135°、225°、315°对应．（2）由﹣360°＜k•90°+45°＜360°得﹣＜k＜．又k∈Z，故k=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．∴在给定的角的集合中适合不等式﹣360°＜α＜360°的角共有8个．（3）其中是第二象限角可表示成k•360°+135°，k∈Z．点评：此题考查了象限角、轴线角，属于基础题、4.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．【答案】α=（）°，β=（）°．【解析】确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论．解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z．又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限．又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°，因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°．于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°，即＜m＜，＜n＜．又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3．即α=（）°，β=（）°．点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.（2分）若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）（）A．α+β=πB．α﹣β=C．α﹣β=（2k+1）πD．α+β=（2k+1）π【答案】D【解析】由α，β角的终边关于y轴对称，得到=+kπ，（k∈Z），从而得出α与β的关系．解：∵α，β角的终边关于y轴对称，∴=+kπ，（k∈Z），即α+β=π+2kπ，（k∈z），故选：D．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，α，β角的终边关于y轴对称即=+kπ，（k∈Z）．6.（5分）已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是第象限角．【答案】第三或第四【解析】本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角函数值判断角所在的象限．根据cosθ•tanθ＜0，结合同角三角函数关系运算，及三角函数在各象限中的符号，我们不难得到结论．且cosθ≠0∴角θ是第三或第四象限角故答案为：第三或第四点评：准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”7.（5分）已知角α终边上一点P的坐标是（2sin2，﹣2cos2），则sinα=．【答案】﹣cos2【解析】由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．解：由任意三角函数的定义：sinα=故答案是﹣cos2点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义．8.（5分）α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα=，则sinα=．【答案】【解析】先求PO的距离，根据三角函数的定义，求出cosα，然后解出x的值，注意α是第二象限角，求解sinα．解：由题意|op|=，所以cosα==，因为α是第二象限角，解得：x=﹣，cosα=﹣，sinα==故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，象限角、轴线角，考查计算能力，是基础题．9.（5分）与610°角终边相同的角表示为．【答案】k•360°+250°（k∈Z）【解析】根据终边相同的角的表示方法，直接写出与610°角终边相同的角．解：与610°角终边相同的角为：n•360°+610°=n•360°+360°+250°=（n+1）•360°+250°=k•360°+250°（k∈Z，n∈Z）．故答案为：k•360°+250°（k∈Z）点评：本题是基础题，考查终边相同的角的表示方法，定义题，送分题，注意化简．10.（5分）已知角α的终边落在直线y=﹣3x（x＜0）上，则﹣= ．【答案】2【解析】在直线y=﹣3x（x＜0）上取一点P（x0，﹣3x）（x＜0），根据象限三角函数值的符号去掉绝对值符号，化简即可．解：∵角α的终边落在直线y=﹣3x（x＜0）上，在角α的终边上取一点P（x0，﹣3x）（x＜0），∴﹣3x＞0，∴p在第二象限，∴﹣=﹣=1+1=2．故答案为：2点评：本题考查终边相同的角，三角函数的化简求值，象限三角函值的符号，本题可以直接判断α所在象限即可解答；本题是基础题．。
高一数学第五章弧度制与三角函数 章末质量评估
第五章 章末质量评估 (时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在[0,2π]范围内，与角－4π3终边相同的角是( C ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得[0,2π]内与角－4π3终边相同的角是2π3.故选C.2．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( C ) A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8解析：令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8.3．sin 600°＋tan 240°的值等于( B ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 3解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32，tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 4．若角α的终边过点(1，－2)，则sin 2α＝( D ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：x ＝1，y ＝－2，r ＝x 2＋y 2＝5，所以sin α＝－25，cos α＝15， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－25×15＝－45.5．屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风(如图)，扇环外环弧长为2.4 m ，内环弧长为0.6 m ，径长(外环半径与内环半径之差)为0.9 m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( C )A ．1.20 m 2B ．1.25 m 2C ．1.35 m 2D ．1.40 m 2解析：设扇环的圆心角为α，内环半径为r 1，外环半径为r 2，则r 2－r 1＝0.9.由题意可知，αr 1＝0.6，αr 2＝2.4，所以α(r 1＋r 2)＝3，所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S ＝12α(r 22－r 21)＝12α(r 1＋r 2)·(r 2－r 1)＝12×3×0.9＝1.35(m 2)．6．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( B ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．7．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若g (x )为偶函数，则φ的最小值是( A )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，将函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ－5π6的图象．若g (x )为偶函数，则2φ－5π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝－1，求得φ的最小值为π6.故选A.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( C ) A ．1 B ．22 C ．12D ．32解析：由题意，得T 4＝5π12－π6，解得T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列结论正确的是( BC ) A ．－7π6是第三象限角B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边上有一点P (－3,4)，则cos α＝－35D ．若角α为锐角，则角2α为钝角解析：选项A 中，－7π6＝－2π＋5π6是第二象限角，A 错误；选项B 中，设半径为r ，则π3·r ＝π⇒r ＝3⇒S ＝12×π3×32＝3π2，B 正确；选项C 中，(－3)2＋42＝5，∴cos α＝－35，C正确；选项D 中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D 错误．故选BC.10．已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则有( BCD )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π2，k ∈Z ，所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称．故选BCD.11．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BCD )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s解析：由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错，D 正确；该质点的振幅为5 cm ，B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．故选BCD.12．已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ，下列命题正确的是( BC ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π8上单调递增 C ．直线x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到 解析：f (x )＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－12，显然A 错；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π8时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，函数f (x )单调递增，故B 正确；令2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝38π＋k π2，k ∈Z ，显然x ＝3π8是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 正确；y ＝22sin 2x 的图象向右平移π8个单位得到y ＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，故D 错． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．质点P 的初始位置为P 1(3，1)，它在以原点O 为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点P 2，则质点P 经过的弧长为5π3；点P 2的坐标为__(－2,0)__． 解析：根据弧长公式可得l ＝|α|r ＝⎪⎪⎪⎪5π6×2＝5π3.设OP 1与x 轴的夹角为θ，则tan θ＝33，解得θ＝30°，所以旋转后点P 2刚好在x 轴的负半轴，所以P 2的坐标为(－2,0)．14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝__2__，函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .解析：由题中图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π.由2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点法，得2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，解得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .15．求值：cos 40°＋sin 50°(1＋3tan 10°)sin 70°1＋cos 40°＝2 .解析：原式＝cos 40°＋sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 50°×2cos (60°－10°)cos 10°sin 70°×2cos 20°＝cos 40°＋sin 100°cos 10°sin 70°×2cos 20°＝2cos 220°2cos 220°＝ 2. 16．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，则a 的值等于__－4__.解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知角α是第三象限角，tan α＝12.(1)求sin α，cos α的值； (2)求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：(1)tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，故⎩⎨⎧ sin α＝55，cos α＝255或⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255，而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故⎩⎨⎧sin α＝－55，cos α＝－255.(2)原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α＋cos α)(sin α－cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1.∵tan α＝12，∴原式＝tan α＋1tan α－1＝－3.18．(12分)已知把函数g (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数f (x )的图象．(1)求f (x )的最小值及取最小值时x 的取值集合； (2)求f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时的值域． 解：(1)由已知，得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－1时，f (x )min ＝－2＋1＝－1，此时2x －π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，故f (x )取最小值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π12，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，从而－3＋1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤3，即f (x )的值域为[－3＋1,3]． 19．(12分)已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.20．(12分)在①tan(π＋α)＝2，②sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，③2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知________． (1)求3sin α＋2cos αsin α－cos α的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫α－3π2的值． 解：若选择①：tan(π＋α)＝tan α＝2. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3tan α＋2tan α－1＝3×2＋22－1＝8.(2)由tan α＝2及α为第三象限角，得sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择②：由sin(π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos(－α)，得sin α＝2cos α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 若选择③：由2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，得2cos α＝sin α. (1)3sin α＋2cos αsin α－cos α＝3×2cos α＋2cos α2cos α－cos α＝8.(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以sin(－α)－cos(π＋α)－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝255－55＋⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－55＝2＋55. 21．(12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s 做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针(看作一个点P )到原点O 的距离为r .(1)求气针P 的纵坐标y 关于时间t 的函数解析式，并求出P 的运动周期； (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，作出其图象．解：(1)过点P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则MP 就是正弦线． ∴y ＝r sin(ωt ＋φ)，因此T ＝2πω. (2)当φ＝π6，r ＝ω＝1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π6，其图象可由y ＝sin t 的图象向左平移π6个单位长度得到，如图所示．22．(12分)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程．(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明：因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)． 所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1＝2m 25－1.。
高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
苏教版数学高一《弧度制》精品测试
1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．答案：0，π6，π4，π3，π2，2π3，3π4，5π6，π 2．α＝－2 rad ，则α的终边在________．解析：－2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°， ∴α为第三象限角．答案：第三象限3．已知圆内1 rad 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．解析：首先求出圆的半径r ＝1sin 12，再利用弧长公式求弧长． 答案：1sin 124．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z}，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________. 解析：分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3. 答案：{－5π6，－π3，π6，2π3}一、填空题1．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3rad ＝60°；②10°＝π18rad ；③36°＝π5rad ；④5π8rad ＝115°. 解析：5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 答案：④2．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z}与集合B ＝{x |x ＝2k π±π2，k ∈Z}之间的关系是________． 解析：因为角的集合{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z}与{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z}分别表示终边落在y 轴的正、负半轴上的角的集合，所以B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A ＝B .答案：A ＝B3．已知A ，B 是半径为2的圆O 上两点，∠AOB ＝2弧度，则劣弧AB 的长度是________． 解析：根据弧长公式l ＝|α|·r 知劣弧AB 的长度为2×2＝4.答案：44．若长为30 cm 的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)解析：∵72°＝72×π180＝2π5，∴这条弧所在的圆的半径为30÷2π5＝75π≈24 (cm)． 答案：24 cm5．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________. 解析：∵角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，∴α＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π，k ∈Z ，∴－136＜k ＜116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3. 答案：－11π3，－5π3，π3，7π36．在(－4π，4π)内与－58π7角的终边相同的角是________． 解析：首先写出与－587π角的终边相同的角的集合{α|α＝2k π－587π，k ∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.答案：－16π7，－2π7，12π7，26π77．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.答案： 28．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：先求出圆的半径r 与扇形半径R 的比为1∶3，再求它们的面积的比．答案：2∶3二、解答题9．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.10．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r .∵|α|＝l r ＝π－2，|α|＝(π－2)·(180π)°≈65.41°. ∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2. 11．设集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B . 解：由集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z}，可知A ＝…∪[－9π4，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，9π4]∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝[－6，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，6]．。
2016-2017学年高一数学4练习：1.3 弧度制 含解析
§3弧度制A组1.将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是()A。
π3B.—π3C。
π5D。
-π5解析:因为分针每分钟转过的角度为-6°,所以将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数为π3。
答案:A2.下列转化结果错误的是(）A.60°化成弧度是π3B.—10π3化成度是—600°C.-150°化成弧度是-7π6D.π12化成度是15°解析：—150°=-150×π180 rad=—5π6rad，故C项错误.答案:C3.—29π12的终边所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D。
第四象限解析:—29π12=—2π-5π12。
因为-5π12是第四象限角，所以-29π12的终边所在的象限是第四象限。
答案：D4.圆的半径是6 cm ，则15°圆心角与圆弧所围成扇形的面积等于（ )A 。
π2cm 2B.3π2cm 2 C 。
π cm 2 D 。
3π cm 2解析：所求面积S=12×15×π180×62=3π2cm 2。
答案:B5.已知扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2,则扇形圆心角的弧度数为（ ） A 。
1B.4C.1或4 D 。
2或4解析:设扇形的弧长为l ，半径为r ,因为扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2,所以{l +2r =12,12lr =8,解得{r =2,l =8或{r =4,l =4,所以α=1或4.答案：C6.已知4π〈α〈6π，且角α与角—2π3的终边相同，则α= . 解析:∵α=2k π-2π3(k ∈Z ）,且4π<α<6π, ∴令k=3,得α=6π—2π3=16π3. 答案:16π37为 .解析：330°可看成-30°，即—π6,而75°=75×π180=5π12，∴{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z}.答案:{θ|2kπ-π6<θ<2kπ+5π12,k∈Z}8。
高一数学暑假练习弧度制2
弧度制(2）一、选择题1．已知扇形的半径为R，面积为2R，那么这个扇形中心角的弧度数是A．1 BC．2 D．4 2．若圆的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则A．扇形的圆心角变来原来的2倍B．扇形的圆心角变来原来的4倍C．扇形的面积变为原来的2倍D．扇形的面积变为原来的4倍3．自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮转过一周时，小链轮转过A．511radπB．445radπC．522radπD．225radπ4．已知扇形的周长为6cm,面积为22cm，则扇形的中心角的弧度数是A．1或4 B．2或4 C．1 D．4二、填空题5．已知中心角为30︒的扇形，其弧长为π，则它所在圆的半径为。
6．若圆内切于连长为3，4,5的三角形，则该圆中60︒的圆心角所对的弧长为。
7．设两相交圆的半径是2cm,圆心矩为，则两圆公共部分的面积为。
8．在半径为R,圆心角为3π的扇形铁皮OBC上，截下一个小扇形OAD.若剩下的面积为224R π，则OA 的长为 。
三、解答题 9．已知直径为10cm 的滑轮上有一条6cm 长的弦，此弦的中点为P.若滑轮以第秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒后，点P 转过的弧长等于多少?10．已知扇形OAB 的圆心角α为120︒，半径长为6.（1）求弧AB 的弧长； （2）求弓形DAB 的面积。
11．已知n 个扇形的半径分别为123,,,,n r r r r ，其所含圆心角分别为123,,,,n αααα，二者都构成等差数列,且公差2,100r d d απ==,又知11,110r cm πα==，求这n 个扇形的面积123,,,,n S S S S 的和。
（可利用公式2222(1)(21)1236n n n n ++++++=，223333(1)1234n n n +++++=）参考答案一、选择题1．C2．D3．B4．A二、填空题5．66．3π7．24(3cm π-8．2R三、解答题9． 点P 转过的弧长为254100()cm ⨯=10．（1）4π (2）12π- 11．21n r n =-，32(432359)200n S n n n π=+-+ 所求3212(676319)1200n n S S S n n n π+++=+-- .。
高一数学弧度制检测试题
例1 (1)将112。
缈化为弧度I ⑵将干孤度化为度. 解⑴:T =面弧度 /-112° 30?二盒X 1123弧度二辛弧度.⑵丁 1弧度=(0'1亍 30' 4亍 60" ?5B 90" 120" 135s 150" 弧度0 n 12 ?[ 71 4 n 3 h 12 n 2 2n 3 3n 4in £角度180D 210' 225 * 240 ° 270 p 300 " 315 • 330° 360° 弧度 it lit 6 5m 4 4n 3 3n 2 5m 3 衍 4tin T 2 n 例2 将下列各角化成2k n +a (k € Z, O WaV 2n )的形式，并确定其所在 的象限。
⑴字；(2)牛19兀 7解⑴丁字二2兀+\ 二竽与2的终边相同。
0 0而严是第三象限的角，6A 学是第三象限的角. 6⑵「¥兀=小+¥，£兀与严的终边相同,6 DOO•••它是第二象限的角.5TT .5?r 180 ^=.(x r注意：用弧度制表示终边相同角 2k n + a (k € Z)时，是n 的偶数倍，而不是 n 的整数倍.5常例3己知a 二丁则点P 伽J tga)所在的象限是[] □A.第一象限B .第二象限C •第三象限D .第四象限解••冷<a=¥<n• I Sin a >0, tg aV 0因此点P(sin a , tg a )在第四象限，故选D.例4 集合M = {x|x = + Z),N = {x|x = ^ + -|J kE Z),则有[] 解 T M 集合是表示终边在第一、二、三、四象限的角平分线上的角的集 合.N 集合是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、二、三、四象限的角平 分线上的角的集合.AMcN,故选GA. M = NC ・ McNE. M D N D. MDN = 0。
任意角与弧度制过关测试题(含解析)
任意角与弧度制过关测试题1.若扇形AOB的圆心角为3π，周长为10+3π，则该扇形的面积为．52.已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．3.已知扇形弧长为10cm，圆心角为5π，则该扇形的面积为cm2．94.半径为2cm，圆心角为120∘的扇形面积为．5.将−1890°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是．6.角α的终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合为．7.和3π角的终边相同的角的集合中，最大的负角是___________(用弧度表示)．48.已知角α的终边在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则所有角α构成的集合是_________．9.若α为第四象限的角，则180°+α为第象限角．10.如图，终边落在阴影处(包括边界)的角的集合可表示为．11.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为_______________________．12.将−1485∘化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为．13.时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是．14.将时钟拨快30分钟，则时针所转过的弧度数是_______．15.时钟的分针经过15分钟所转过的角度是．16.将67°30′化为弧度，结果是17.在与2010∘角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为．18.已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2cm2，则该扇形的周长是__________cm．答案和解析1.解：设扇形AOB 的的弧长为l ，半径为r ，∴l r =3π5，l +2r =10+3π， ∴l =3π，r =5，∴该扇形的面积S =12lr =15π2，故答案为：15π2． 2.解：设扇形的半径是R ，弧长为l ，由题意得：l =100°πR 180°=20， 解得：R =36πcm ，因此扇形的面积S =12lR =12×20×36π=360πcm 2．故答案为360π． 3.解：设扇形的半径为rcm ，∵圆心角为5π9，∴弧长l =5π9r =10，解得r =905π， ∴这条弧所在的扇形面积为S =12×10×905π=90πcm 2，故答案为90π．4.解：120∘=2π3rad ，所以扇形的面积公式为12α·r²=12×2π3×22=4π3，故答案为4π3cm 2． 5.解：−1890°=−1890×π180=−21π2=−12π+3π2．故答案为−12π+3π2．6.解：落在第一象限时，表示为k ·360°+45°.k ∈ Z ，落在第三象限时，表示为k ·360°+180°+45°，k ∈ Z ，故可合并为{α|α=k ·180°+45°,k ∈Z}故答案为{α|α=k ·180°+45°,k ∈Z} . 7.解：因为和3π4终边相同的角为x =3π4+2kπ,k ∈Z,当k =−1时，x =3π4−2π=−5π4， 故与3π4终边相同的最大负角是−5π4，故答案为−5π4． 8.解：由图知，将x 轴绕原点分别旋转45°与135°得边界，∴终边在阴影内的角的集合为(k ·180°+45°,k ·180°+135°)(k ∈Z )．故答案为(k ·180°+45°,k ·180°+135°)(k ∈Z )．9.解：k ⋅360°−90°<α<k ⋅360°，k ∈Z ，则k ⋅360°+90°<α+180°<k ⋅360°+180°，k ∈Z ，即α+180°在第二象限．故答案为二．10.解：与150°，60°终边相同的角为150°+k ·360°,k ∈Z ，60°+k ·360°,k ∈Z ， 因此终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合可表示为{α|60°+k ·360°≤α≤150°+k ·360°,k ∈Z }．故答案为{α|60°+k ·360°≤α≤150°+k ·360°,k ∈Z }．11.解：在(0,2π)内第二象限角平分线的度数为135∘，所以和135∘终边相同的角的集合为{α|α=135∘+k ⋅360∘,k ∈Z }．故答案为：{α|α=135∘+k ⋅360∘,k ∈Z }．12.解：因为−1485∘=−5×360∘+315∘，所以−1485∘可以表示为−10π+74π．13.解：时针每小时走360°÷12=30°，所以时针每分钟走30°÷60=0.5°，经过40分钟， 那么它转过的角度是0.5°×40=20°．所以，经过40分钟，时针所转过的弧度数是20·π180=π9． 故答案为： π9． 14.解：∵时针12小时转动2π弧度，∴时针每小时转动π6，∴时针30min 转动π12，∵拨快30min ，∴转动的弧度为−π12．故答案为−π12．15.解：∵时钟上的分针匀速顺时针旋转一周的度数为−360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，∴时钟上的分针匀速顺时针旋转一分钟的度数是(−360°)÷60=−6°，∴经过15分钟所转过的角度是−6°×15=−90∘．故答案为−90∘． 16.解：67°30′=67.5°×π180∘=3π 8. 故答案为3π 8． 17.解：2010°=5×360°+210°=6×360°−150°，而−150∘=−5π6，故答案为−5π6．18.解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴l =4r ，∵S 扇=12lr =2，∴12×4r ×r =2，则r 2=1，∴r =1，则l =4，∴该扇形的周长C =l +2r =4+2=6．故答案为：6．。
高一数学任意角和弧度制试题
高一数学任意角和弧度制试题1.已知，则角是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第三或第四象限D．第一或第四象限【答案】C【解析】因为，所以异号，如果为正为负，则角是第四象限角；如果为负为正，则角是第三象限角.【考点】本小题主要考查三角函数值符号的判断和应用，考查学生的判断能力.点评：根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断即可.2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C．D．2sin1【答案】C【解析】如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝.∴选C.本题是据弧长公式l＝|α|r求弧长，需先求半径．3.圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是()A．cm2B．cm2C．πcm2D．3πcm2【答案】B【解析】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，∴S＝lr＝××6＝(cm2)．4.圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆心角的弧度数为()A．B．C．D．2【答案】C【解析】设圆内接正三角形边长为a，则圆的半径r＝a，所以a＝r，因此α＝＝5.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为()A．13B．23 C．43D．49【答案】B【解析】如图，设内切圆半径为r，则r＝，∴S圆＝π·2＝，S扇＝a2·＝，∴＝.6.集合P＝{x|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}．则P∩Q＝()A．∅B．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C．{α|－4≤α≤4}D．{α|0≤α≤π}【答案】B【解析】令k＝0，±1，在数轴上标注出P与Q如图所示可知选B.7.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．【答案】【解析】设圆半径为r，正方形边长为a，则a2＋a2＝(2r)2，∴a＝r，设圆周角弧度数为α，则2α＝＝＝，∴d＝.圆弧所对的圆周角的弧度数等于圆心角弧度数的一半．8.圆上一点A依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？【答案】θ＝πrad或θ＝πrad.【解析】∵0<θ≤π，∴0<2θ≤2π，又∵2θ在第三象限，∴π<2θ<π，∴14θ＝2kπ，k∈Z，∴2θ＝kπ，k∈Z.当k＝4,5时，2θ＝π，π，它们都在内．因此θ＝πrad或θ＝πrad.9.集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}与P＝{x|x＝k·45°，k∈Z}之间的关系是()A．M P B．M PC．M＝P D．M∩P＝∅【答案】A【解析】∵x＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，k∈Z∴M P.k·45°(k∈Z)是45°的整数倍，(2k＋1)·45°(k∈Z)是45°的奇数倍，故M P.在角的集合中，{α|α＝k·180°＋45°(k∈Z)}＝{α|α＝(k＋2)·180°＋45°，(k∈Z)}．{α|α＝2k·90°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋30°，k∈Z}＝{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}．这一部分是最容易出错的地方，应当从集合意义上理解．10.已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，求角α.【答案】0°【解析】由条件知，2α＝α＋k·360°，∴α＝k·360°(k∈Z)，∵α∈[0°，360°)，∴α＝0°.。
弧度制同步练习-2022-2023学年高一上学期数学
北师大版（2019）高一数学必修第二册《1.3 弧度制》同步练习一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）7π6弧度等于()A. 120°B. 150°C. 210°D. 240°2.（5分）π6弧度等于()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°3.（5分）下列各角中，与1840°角终边相同的角是()A. 40°B. 220°C. 320°D. −400°4.（5分）已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角α的弧度数为()A. 2√2B. √2C. √22D. √245.（5分）下面与角23π3终边相同的角是()A. 43π B. π3C. 5π3D. 2π36.（5分）40°角的弧度数为()A. 40B. 2π9C. 4π9D. 7200π7.（5分）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是()A. π3B. −π3C. π6D. −π68.（5分）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若l1l2=2，则S1S2=()A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）已知扇形OAB的圆心角为4rad，面积为8，则该扇形的周长为()A. 12B. 10C. 8√2D. 4√210.（5分）若角θ满足sinθ<0，tanθ<0，则角θ是()A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角11.（5分）已知扇形的圆心角为π12，面积为π6，则扇形的弧长等于( )A. π4 B. 23π C. π6 D. π3 12.（5分）下列各角中，与60°角终边相同的角是()A. −300°B. −60°C. 150°D. 240°二 、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知扇形的周长为6，圆心角为1rad ，则该扇形的面积为 ______.14.（5分）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则阴影部分的面积是_______。
人教版高一数学习题-弧度制
課時跟蹤檢測（三十一） 弧度制A 級——學考合格性考試達標練1.3π4對應的角度為( ) A ．75° B ．125°C ．135°D ．155°解析：選C 由於1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝135°，故選C. 2．與角－π6終邊相同的角是( ) A.5π6B.π3C.11π6D.2π3解析：選C 與角－π6終邊相同的角為2k π－π6，k ∈Z ，當k ＝1時，此角等於11π6.故選C. 3．把角－570°化為2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式為( )A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30° D ．－4π＋56π 解析：選D 因為－570°與56π的終邊相同，所以把角－570°化為2k π＋α(0≤α<2π)的形式為－4π＋56π. 4．將分針撥快10分鐘，則分針轉過的弧度數是( )A.π3B ．－π3 C.π6 D ．－π6解析：選B 分針撥快10分鐘，決定了分針轉動的方向是順時針，即轉過的弧度數是負的．因為分針撥快60分鐘時轉過弧度數為－2π，所以撥快10分鐘轉過的弧度數為－π3. 5．終邊在y 軸的非負半軸上的角的集合是( )A ．{α|α＝k π，k ∈Z} B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z} D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z解析：選D A 選項表示的角的終邊在x 軸上，B 選項表示的角的終邊在y 軸上；C 選項表示的角的終邊在x 軸的非負半軸上；D 選項表示的角的終邊在y 軸的非負半軸上．故選D.6．－105°化為弧度為________，11π3化為角度為________． 解析：－105°＝－105×π180＝－712π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－712π 660° 7．已知一個扇形的弧所對的圓心角為54°，半徑r ＝20 cm ，則該扇形的周長為________ cm.解析：因為1°＝π180 rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，則扇形的弧長l ＝αr ＝3π10×20＝ 6π(cm)，故扇形的周長為(40＋6π)cm. 答案：40＋6π8．圓的半徑變為原來的3倍，而所對弧長不變，則該弧所對圓心角是原來圓弧所對圓心角的________倍．解析：設原來圓的半徑為r ，弧長為l ，弧所對的圓心角為α(0<α<2π)，則現在的圓的半徑為3r ，弧長為l ，設弧所對的圓心角為β(0<β<2π)，於是l ＝αr ＝β·3r ，∴β＝13α. 答案：139．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，並指出是第幾象限角．(1)－1 500°；(2)236π. 解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°與5π3終邊相同，是第四象限角． (2)∵236π＝2π＋116π， ∴236π與116π終邊相同，是第四象限角．10.如圖，扇形AOB 的面積是4 cm 2，它的周長是10 cm ，求扇形的圓心角α的弧度數及弦AB 的長．解：設弧AB 長為l cm ，扇形半徑為r cm ，則由題意，得⎩⎨⎧l ＋2r ＝10，12l ·r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝8(不合題意，舍去)或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.∴α＝24＝12(rad)． ∴弦AB 的長為2r sin α2＝2×4×sin 14＝8sin 14(cm)． B 級——面向全國卷高考高分練1．一個扇形的弧長與面積的數值都是6，則這個扇形的圓心角是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：選C 設扇形的圓心角的弧度數為α，半徑為r ，由題意知⎩⎨⎧αr ＝6，12αr 2＝6，解得α＝3，故選C. 2．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z)，則α2的終邊在( ) A ．第一象限B ．第四象限C ．x 軸上D ．y 軸上解析：選D ∵α3＝2k π＋π3(k ∈Z)，∴α＝6k π＋π(k ∈Z)，∴α2＝3k π＋π2(k ∈Z)．當k 為奇數時，α2的終邊在y 軸的非正半軸上；當k 為偶數時，α2的終邊在y 軸的非負半軸上．綜上，α2的終邊在y 軸上，故選D.3．若角α與角x ＋π4有相同的終邊，角β與角x －π4有相同的終邊，那麼α與β間的關係為( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z) 解析：選D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z)． ∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z.∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)． 4.已知某機械採用齒輪傳動，由主動輪M 帶著從動輪N 轉動(如圖所示)，設主動輪M 的直徑為150 mm ，從動輪N的直徑為300 mm ，若主動輪M 順時針旋轉π2，則從動輪N 逆時針旋轉( )A.π8B.π4C.π2 D ．π解析：選B 設從動輪N 逆時針旋轉θ rad ，由題意，知主動輪M 與從動輪N 轉動的弧長相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，選B. 5．若角α的終邊與85π角的終邊相同，則在[0，2π)上，終邊與α4角的終邊相同的角是____________． 解析：由題意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．在直徑為10 cm 的輪上，有一長為6 cm 的弦，P 為該弦的中點，輪子以每秒5 rad 的角速度旋轉，則經過5 s 後點P 轉過的弧長是________cm.解析：點P 在以輪的中心為圓心，半徑為4 cm 的圓上，5 s 後點P 轉過的圓心角為 25 rad ，由弧長公式知，該弧長為100 cm.答案：1007．已知α＝1 690°.(1)把α寫成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ與α終邊相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z)． 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1，0，1. ∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π. 8.用弧度表示頂點在原點，始邊與x 軸的非負半軸重合，終邊在圖中陰影部分的角的集合．解：以射線OB 為終邊的225°角與－135°角的終邊相同，－135°＝－135×π180＝－3π4，而135°＝3π4，陰影部分(包括邊界)位於－3π4與3π4之間且跨越x 軸的非負半軸．所以，終邊在陰影部分(包括邊界)的角的集合為⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－3π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z . C 級——拓展探索性題目應用練如圖，一長為 3 dm ，寬為1 dm 的長方形木塊在桌面上作無滑動翻滾，翻滾到第四次時被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面所成角為π6，試求點A 走過的路程及走過的弧所在的扇形的總面積．(圓心角為正)解：在扇形ABA 1中，圓心角恰為π2，弧長l 1＝π2·AB ＝π2·3＋1＝π，面積S 1＝12·π2·AB 2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圓心角也為π2，弧長l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面積S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圓心角為π－π2－π6＝π3，弧長l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面積S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π3·(3)2＝π2，∴點A 走過的路程長l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π6，點A 走過的弧所在的扇形的總面積S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.。
【2019-2020高一数学试题】人教A版必修4《弧度制》试题 及答案解析
弧度制——基础巩固类——一、选择题1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°2．－120°化为弧度为( ) A ．－5π6 B ．－π2 C ．－2π3D ．－3π4 3．下列角中与－5π4终边相同的是( ) A ．－π4 B.3π4 C.π4D.5π44．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z } C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z } D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( )A.π2B.3π2 C.2π3 D.4π3二、填空题7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为8．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km 每小时的速度通过，10 s 间转过 弧度．9．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝三、解答题10．(1)把下列各角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7.(2)在0°～720°范围内，找出与25π终边相同的角．11．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .——能力提升类——12．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}13．在直径为10 cm 的轮子上有一条长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为 .14．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的圆心角为120°，外圆半径为50 cm ，内圆半径为20 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为 (仅考虑正面)(用数字作答，π取3.14)．15．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．弧度制(答案解析)——基础巩固类——一、选择题1.3π4对应的角度为( C ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：由于1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，所以3π4＝3π4×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝135°，故选C.2．－120°化为弧度为( C ) A ．－5π6 B ．－π2 C ．－2π3D ．－3π4解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 3．下列角中与－5π4终边相同的是( B ) A ．－π4 B.3π4 C.π4D.5π4解析：因－5π4＋2π＝3π4.故选B. 4．下列表示中不正确的是( D )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z } C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z } D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }解析：终边在直线y ＝x 上角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }，D 不正确，其他选项均正确．5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( C)解析：k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界)．故选C.6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是( C )A.π2 B.3π2 C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.二、填空题7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }．解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )．8．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km 每小时的速度通过，10 s 间转过124弧度．解析：10 s 间列车转过的弧长为103 600×30＝112(km)，转过的角α＝1122＝124(弧度)．9．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝－113π，－53π，π3，73π.解析：与α终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝2k π＋π3，k ∈Z .因为α∈(－4π，4π)，所以－4π<2k π＋π3<4π， 化简得－136<k <116.因为k ∈Z ，所以k ＝－2，－1,0,1， 所以α＝－113π，－53π，π3，73π. 三、解答题10．(1)把下列各角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7.(2)在0°～720°范围内，找出与25π终边相同的角． 解：(1)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7.(2)∵2π5＝2π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝72°，∴终边与2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在0°～720°范围内，与2π5终边相同的角为72°，432°. 11．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：如图．(1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， 所以弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3＝253， 而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.——能力提升类——12．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( D )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}解析：集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．而A 集合中满足B 集合范围的只有k ＝0或k ＝－1的一部分，即只有D 选项满足．故选D.13．在直径为10 cm 的轮子上有一条长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为100_cm.解析：P 到圆心O 的距离OP ＝52－32＝4(cm)，又P 点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，∴弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm)．14．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的圆心角为120°，外圆半径为50 cm ，内圆半径为20 cm.则制作这样一面扇面需要的布料为 2 198 cm 2(仅考虑正面)(用数字作答，π取3.14)．解析：因为120°＝2π3，S 1＝12×2π3×502，S 2＝12×2π3×202，扇面面积S ＝S 1－S 2＝12×2π3×502－12×2π3×202＝π3×(502－202)＝700π≈700×3.14＝2 198(cm 2)．15．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4. 所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝4π3的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为4π3×4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝2π3×4＝8π3.。
弧度制 测试卷-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
弧度制 测试卷一、单选题1．已知扇形AOB 的圆心角23AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．2π3B ．2πC ．3πD ．6π2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．154B ．415C ．158D ．1203．已知扇形的周长为6cm ，半径是2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．下列叙述正确的是（ ） A ．零度角是最小的角B ．三角形的内角不可能是轴线角C ．不论是用角度制还是用弧度制度量一个扇形对应的圆心角，都与扇形半径的大小无关D ．终边相同的角的弧度数一定相等5．在Rt POB 中，90PBO ∠=︒，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则（ ）A ．tan αα=B ．tan 2αα=C ．sin 2cos αα=D ．2sin cos αα=6．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）A ．(122π-B ．(22πC ．4πD ．232π⎛+ ⎝⎭7．已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．2D ．148．下面关于弧度的说法，错误的是（ ） A ．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数 B ．一个角的角度数为n ，弧度数为α，则180n απ=. C 323π D ．航海罗盘半径为10cm ，将圆周32等分，每一份的弧长为5cm 16π. 二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角必大于第一象限的角 B ．角度72-︒化为弧度是2π5-C ．150-︒是第二象限的角D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角10．下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是3π B ．－103π化成度是－660° C ．－150°化成弧度是－76πD ．12π化成度是15°11．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为3π＋3 B ．经过12πs 后，扇形AOB 的弧长为712πC ．经过6πs 后，扇形AOB 的面积为3πD ．经过59πs 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇12．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则下列说法中正确的有（ ） A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1 D ．圆心角的弧度数是2三、填空题13．已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是__________. 14．半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为__________．15．用一根长度为2023米的铁丝围成一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为____________．16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为2，圆心角为23π，则此弧田的面积为__________．四、解答题17．一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16. (1)求该扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积.18．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度 (1)780︒ (2)1560-︒ (3)67.5︒ (4)103π- (5)12π (6)74π19．如图，点,,A B C 是圆O 上的点.(1)若4AB =，6ACB π∠=，求劣弧AB 的长；(2)已知扇形AOB 的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.20．已知扇形的圆心角是α，半径是r ，弧长为l . (1)若100,2r α=︒=，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．21．已知某半径小于π的扇形OAB ，其周长是62π+，面积是3π. (1)求该扇形的圆心角的弧度数；(2)求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.22．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）参考答案1．C【分析】先求得扇形的半径，进而求得扇形的面积. 【详解】扇形的半径为2π32π3r ==， 所以扇形的面积为212π33π23⨯⨯=.故选：C 2．A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步， 3081202S ⨯==（平方步）， 设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A 3．A【分析】由题意可列关于扇形的圆心角的方程，解之即可.【详解】设扇形的圆心角为α rad ，半径为R cm ，则262R R R α+=⎧⎨=⎩，解得α＝1． 故选：A ． 4．C【分析】根据已有知识点代入对比分析，找到反例即可证明A ，B ，D 错误，从而确定正确答案.【详解】对于A ，因为有负角，故本选项错误； 对于B ，90是轴线角，所以本选项错误；对于C ，180180nrl n r r παπ=== ，所以角度值转换为弧度制直接代入公式计算即可，与半径无关，用角度衡量圆心角也不需要半径，因此该选项正确； 对于D ，终边相等可能相差360的整数倍，该选项错误.故选：C. 5．B【分析】分析题意，首先设出扇形的半径，表示出扇形的面积和直角三角形的面积，列方程即可求得.【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α.直角三角形POB 中，tan PB r α=，△POB 的面积为21tan 2r α⋅⋅.由题意得22112tan 22r r αα⨯=⋅⋅，所以tan 2αα=.故选：B 6．B【分析】作出示意图，分析可知当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，计算出点A 每次滚动时点A 所走过的路程，即可得解.【详解】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3π，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示， 当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次， 设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB ππ=⨯=，226m AC π=⨯=， 363m AD ππ=⨯=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(1234322m m m m π+++=. 故选：B. 7．B【分析】扇形的圆心角的弧度数为α,半径为R ,弧长为l ,面积为S ,由面积公式和弧长公式可得到关于l 和R 的方程,进而得到答案.【详解】由扇形的面积公式得:12S lR =,因为扇形的半径长为2,面积为8，则1822l =⨯⨯所以扇形的弧长8l =. 设扇形的圆心角的弧度数为α,由扇形的弧长公式得:||l R α=，且2R =即82α=，解得4α=，所以扇形的圆心角的弧度数是4. 故选：B. 8．D【分析】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项. 【详解】A.根据弧度数定义可知A 正确； B.根据弧度与角度的转化关系，可知B 正确；C.120，即弧度数为23π，故C 正确；D.圆周长为220cm r ππ=，32等分后，每一份弧长为5cm 8π，故D 错误. 故选：D 9．BD【分析】A 选项，举出反例； B 选项，根据π180=︒化角度为弧度； C 选项，150-︒位于第三象限； D 选项，三个角度均与10744'︒终边相同.【详解】如120,390αβ=︒=︒，α位于第二象限，β位于第一象限， 故第二象限的角不一定大于第一象限的角，A 错误； 角度72-︒化为弧度是722ππ1805-=-，B 正确； 150-︒是第三象限的角，C 错误；2521636010744''-︒=-︒+︒，4674436010744''︒=︒+︒，118744*********''︒=︒⨯+︒，故是终边相同的角，D 正确； 故选：BD 10．AD【分析】根据角度制和弧度制互化公式进行逐一判断即可. 【详解】因为603rad π︒=，所以选项A 正确；因为106003rad π-=-︒，所以选项B 不正确； 因为51506rad π-︒=-，所以选项C 不正确； 因为1512rad π=︒，所以选项D 正确，故选：AD 11．ABD【分析】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.【详解】经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为33π+，故A 正确； 经过12π s 后，AOB ∠=721231212ππππ++⨯=，故扇形AOB 的弧长为7711212ππ⨯=，故B 正确；经过6π s 后，526366AOB ππππ∠=++⨯=，故扇形AOB 的面积为215512612S ππ=⨯⨯=，故C不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则12()23t ππ+=+，解得59t π=(s)，故D 正确.故选：ABD. 12．AC【分析】运用扇形的弧长公式：l ＝αr 和面积公式S 12=lr ，解方程可得圆心角和半径． 【详解】解：设扇形的半径为r ，圆心角为α，周长为c ，面积为S ，弧长为l ， 可得S 12=αr 2＝2，c ＝l +2r ＝αr +2r ＝6， 解得r ＝2，α＝1， 故选：AC ． 13．1【分析】根据扇形的面积公式，即可求出答案.【详解】设扇形的圆心角（正角）弧度数为α，则由题意得21222r αα==，得1α=.故答案为：1 14．12##0.5【分析】根据扇形面积公式即可得到答案.【详解】半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为2211111222S r α==⨯⨯=.故答案为：12. 15．2【分析】设该扇形所在圆的半径为r ，扇形圆心角为α，根据题中条件以及扇形面积公式，表示出扇形面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】设该扇形所在圆的半径为r ，扇形圆心角为α， 由题意可得，22023r r α+=，则20232r α=+ 所以扇形面积为22222112023202320231422224424S r αααααααα⎛⎫==⋅⋅=⋅=⋅ ⎪+++⎝⎭++2220232023216≤=， 当且仅当4αα=，即2α=时，等号成立，所以当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为2. 故答案为：2 16．43π【分析】根据给定条件求出三角形面积和扇形面积，结合图形即可计算作答.【详解】依题意，等腰AOB底边2(cos )6AB OA π==sin 16h OA π==，则AOB 的面积为11122AB h ⋅=⨯= 而扇形的面积为21242233ππ⨯⨯=，则有阴影部分的面积为43π所以此弧田的面积为43π故答案为：43π17．(1)23(2)12【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数； （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】（1）解：由题意可知，该扇形的弧长为16264l =-⨯=，故该扇形圆心角的弧度数为4263α==. （2）解：由题意可知，该扇形的面积为1S 46122=⨯⨯=. 18．(1)133π弧度 (2)263-π弧度 (3)38π弧度 (4)600-︒(5)15︒(6)315︒【分析】利用π弧度180=︒即可得出，即角度化弧度乘以180π，弧度化角度乘以180π，需注意单位为度．(1) 解：780780180π︒=⨯弧度133π=弧度， (2) 解：156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度， (3) 解：67.567.5180π︒=弧度38π=弧度． (4) 解：103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒， (5) 解：12π弧度1801512︒==︒， (6) 解：74π弧度71803154=⨯︒=︒． 19．(1)43π (2)2【分析】（1）由圆心角为3π可知AOB 为等边三角形，由扇形弧长公式可求得结果； （2）设圆O 的半径为r ，扇形AOB 的弧长为l ，圆心角为α，可知28r l ； 方法一：由12S l r =⋅，利用基本不等式可知当24r l ==时，S 取得最大值，由l rα=可求得结果； 方法二：由12S l r =⋅，将S 表示成关于r 的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得,r l ，由l rα=可求得结果. 【详解】（1）6ACB π∠=，23AOB ACB π∴∠=∠=，又OA OB =，AOB ∴为等边三角形，4OA AB ∴==，则劣弧AB 的长为433OA ππ⋅=. （2）设圆O 的半径为r ，扇形AOB 的弧长为l ，圆心角为α，扇形AOB 的周长为8，28r l ∴+=， 方法一：扇形面积21112242442r l S l r l r +⎛⎫=⋅=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当24r l ==时取等号）， ∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l r α.方法二：扇形面积()()22118242422S l r r r r r r =⋅=-⋅=-+=--+， 则当2r =时，S 取得最大值，此时824l r =-=，∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l r α. 20．(1)10π9(2)最大值为25；2α=【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；（2）由题意可知扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==-⋅=--+，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解【详解】（1）因为π5π1001001809α=︒=⨯=， 所以扇形的面积为21115π10π422299S lr r α===⨯⨯=； （2）由题意可知：220l r +=，即202l r =-，所以扇形的面积为()()21120252522S lr r r r ==-⋅=--+， 当=5r 时，扇形面积的最大值为25，此时202510l =-⨯=，1025l r α=== 21．(1)23π (2)933π【解析】（1）由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R ，该扇形弧长为R α，则： 扇形的周长R α+2R =62π+，扇形的面积S =132R R R αππ⋅⋅=<，， 解得2,33R απ== 故圆心角弧度数为23π． （2） 所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为3sin62R π=，底为2cos 336R π= S 三角形面积=13933322⨯= 可得：S 弓形面积=S 扇形-S 三角形面积=3π-93故S 弓形面积=3π-9322．（1）222,36k k k ππαπαπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）223k k παπαπ⎧<<+⎨⎩或222,Z 3k k k ππαππ⎫+<<+∈⎬⎭. 【分析】由图①可知，以OA 为终边的角为6π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π-+2kπ(k ∈Z )，由此可求出阴影部分内的角的集合； 由图②可知，以OA 为终边的角为3π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π+2kπ(k ∈Z ). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，由阴影部分内的角的集合为12M M .【详解】如题图①，以OA 为终边的角为6π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π-+2kπ(k ∈Z )， 所以阴影部分内的角的集合为 222,36k k k ππαπαπ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 如题图②，以OA 为终边的角为3π+2kπ(k ∈Z )；以OB 为终边的角为23π+2kπ(k ∈Z ). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1=22,3k a k k παππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，M 2=222,3k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 所以阴影部分内的角的集合为12223M M k k παπαπ⎧⋃=<<+⎨⎩或222,Z 3k k k ππαππ⎫+<<+∈⎬⎭.。
高一第1章1.1.2弧度制练习题.ppt
α 终边所在的 象限
角 α 的集合
Ⅰ
α2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
Ⅳ
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
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感悟提升
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
.
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感悟提升
[防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大 小，不要出现矛盾不等式.
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课堂达标 1．下列说法中，错误的说法是( )．
A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正 确，D错误． 答案 D
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类型二 用弧度制表示终边相同的角 【例 2】 (1)将－1 500°表示成 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，
并指出它是第几象限角；
(2)在 0°～720°范围内，找出与角25π终边相同的角． [思路探索] (1)把角度换算为弧度，表示成2kπ＋α(k∈Z)的形式即 可求解；(2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k 使待求角在[0°，720°)内．
易知：度数×1π80 rad＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具 体应用时，要注意角的单位取弧度.
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数学人教A版(新课标)高中必修第一册 5.1 任意角与弧度制--单元检测(含解析)
数学人教A版（新课标）高中必修第一册 5.1 任意角与弧度制--单元检测（含解析）任意角和弧度制--单元检测一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各角中，与2023°终边相同的角为（）A．43° B．131° C．221° D．－229°2．终边在直线上的角的集合为( )A. B.C. D.3．设角弧度，则角的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，,则α，β，γ，θ，的大小关系为（）A.α<β<γ<θ= B.α<β<γ<θ< C.β<α<γ<θ= D.α<β<<γ<θ5．已知α为钝角，则下列各角中为第三象限角的是( )A. B. C. D.6．时针转过的角度是－80°，则相应的分针转过的角度是( )A.880°B.－880°C.960°D.－960°7．如图1，在扇形AOB中，∠AOB=90°，圆弧AB的长为l，则此扇形的内切圆的面积为（）A. B. C. D.8．已知α，β都是锐角，且的终边与角的终边相同，的终边与角的终边相同，则角α，β的大小为（）A.α=15°，β=65°B.α=65°，β=15°C.α=－65°，β=－15°D.α=－15°，β=－65°二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设集合为锐角}，为小于90°的正角}，为小于90°的角}，则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.10．终边落在图2中阴影区域（包括边界）内的角的集合可以表示为（）A.Z}B.C.Z}D.Z}11．角的终边在第三象限，则的终边可能在( )A.第一象限B.第二象限C.y轴非负半轴D.第三或四象限12．如图3，一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小块木板挡住，使木块底面与桌面成30°角，则以下结论正确的有（）A.点A第一次翻滚走过的路程为dmB.点A走过的路程是dmC.点A走过的弧对应的扇形的总面积为dm2D.点A走过的弧对应的扇形的总面积为dm2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．“密位制”是一种度量角的方法，中国通常采用6000密位制，即将一个周角等分为6000份，每一份是1密位，那么120密位化成弧度是____________．14．自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的角度是__________度．15．一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2km，一列火车以30km/h的速度通过，则火车经过10s后转过的弧度数为. 16．设角α的终边为OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y=－x对称，则以OP2为终边的角的集合是．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知角α=1200°．（1）将α改写成β+2kπ（k∠Z，0≤β≤2π）的形式，并指出α是第几象限的角．（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．18．（12分）在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料中裁剪扇形，现有如图4所示的两种方案．（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．19．（12分）在一般的时钟上，自十九点到分针与时针第一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少20．（12分）如图5所示，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，且红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到点A，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．21．（12分）已知扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值，求扇形的最大面积及此时α的值；(2)若扇形的面积是定值，求扇形的最小周长及此时α的值. 22．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图6所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）.（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y 取得最大值？题号答案核心素养水平解析与说明1 C 数学运算水平一【解析】2 B 数学抽象水平一【解析】由在[0，2π]内终边在直线上的角为和可知答案选B.3 C 逻辑推理水平一【解析】根据－2∠(－π，－)可知其终边在第三象限．4 A 数学运算水平一【解析】将所有的角都化为弧度或者角度，再进行比较.5 C 数学运算水平一【解析】根据α的范围，依次得出90°－α，α+180°，360°－α和270°－α的范围，从而判定所属象限.6 D 数学抽象水平一【解析】时针转过的角度是－80°，则时针走过2小时40分，∠40÷60=，，且时针、分针都是顺时针旋转，∠分针转过的角的度数为．7 A 数学运算水平一【解析】根据圆弧AB的长可求出大圆半径为R=，再根据平面几何知识可知小圆半径满足，从而求出r=，进而求得内切圆面积．8 A 数学运算水平一【解析】结合角α，β的范围和终边位置，可求得，，进而求得两角大小.9 AD 逻辑推理水平一【解析】由题意A，B，C，所以A=B，A C．10 BD 数学抽象水平一【解析】注意角的始边是在x轴的非负半轴．11 ABC 数学运算水平一【解析】根据题意写出角的范围，进而求出的范围，判断出终边位置.12 ABC 数学运算水平二【解析】圆弧AA1所在圆的半径是2，所对圆心角为，圆弧A1A2所在圆的半径是1，所对圆心角为，圆弧A2A3所在圆的半径是，所对圆心角为．点A第一次翻滚走过的路程为圆弧AA1，其长度为2×=dm．点A走过的路程是三段弧长之和，即+1×+×=dm．点A走过的弧对应的扇形的总面积为三段弧所对应的扇形面积之和dm2．13 数学运算水平一【解析】14 540 数学运算水平一【解析】因为大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转36齿，而小链轮有24齿，故小链轮转周，一周为360°，故小链轮转过的角度为．15 数学运算水平一【解析】∠圆弧半径R=2km=2000m，火车速度v=30km/h=m/s，∠经过10s后火车转过的弧长l=×10=m，∠火车经过10s后转过的弧度数|α|=.16 {β|β=k 2π++α，k∠Z} 数学运算水平一【解析】依题意，射线OP1所对应的角γ=k1 2π+π－α，k1∠Z，从而射线OP2所对应的角β=m 2π－－(k1 2π+π－α)=(m－k1－1) 2π++α=k 2π++α，m，k1，k∠Z．17 （1）α=1200°=1200×，∠角α是第二象限的角．（2）区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是，，．数学运算水平一【解析】（1）略（2）∠与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+，k∠Z，∠由－4π≤2kπ+≤π，k∠Z，当时，不等式成立，代入即可得在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角．18 （1）；（2）面积相等．数学运算水平一【解析】(1)∠是顶角为，腰长为2的等腰三角形，∠，．方案一中扇形的周长，方案二中扇形的周长，∠两种方案中扇形的周长之差的绝对值为．(2) 方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积，∠，即两种方案中扇形的面积相等．19 数学抽象数学运算水平一【解析】自十九点(此时时针指向7，分针指向12)，到分针与时针第一次重合，设时针转过弧度，则分针转过弧度，其中. ∠时针走一弧度相当于经过小时分,分针转一弧度相当于经过分，故，∠，∠自十九点到分针与时针第一次重合，分针转过的角的弧度为.20 ，．逻辑推理数学运算水平二根据题意可知14α，14β均为的整数倍，故可设14α=m 360°，m∠Z，14β=n 360°，n∠Z，从而可知α= 180°，β= 180°，m，n∠Z．又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β的终边均在第二象限．又0°<α<β<180°，从而可得，因此2α，2β均为钝角，即．于是45°<α<90°，45°<β<90°．∠45°< 180°<90°，45°< 180°<90°，即，．又∠α<β，∠m<n，从而可得，即，．21 （1）当时，S取最大值，此时. （2）当时，C取得最小值，此时. 数学运算水平一【解析】(1)由题意，可得，则，得扇形面积，故当时，S取最大值，此时. (2)由题意，可得，则，得扇形周长，当且仅当，即时等号成立，C取得最小值，此时.22 （1）. （2），当x=1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 数学建模数学运算水平一【解析】（1）由题意得，30=θ(10+x)+2(10－x)，∠. （2）花坛的面积为θ(102－x2)=(5+x)(10－x)=－x2+5x+50（0<x<10). 装饰总费用为9θ(10+x)+8(10－x)=170+10x，∠花坛面积与装饰总费用的比，令t=17+x，则，当且仅当，即t=18时，y取得最大值，此时x=1，θ=.故当x=1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.。