湖北省武汉市武昌区2015年夏高二下学期期末调研考试数学理试题 Word版含答案
2015-2016学年湖北省部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖北省部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中x=0是极值点的函数是()A.f(x)=|x|B.f(x)=﹣x3C.f(x)=sinx﹣x D.f(x)=2.函数f(x)=3x﹣4x3(x∈[﹣1,0])的最小值是()A.﹣ B.﹣1 C.0 D.13.已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为()A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.4.函数f(x)=x4﹣x2有()A.极小值﹣,极大值0 B.极小值0,极大值﹣C.极小值,极大值0 D.极小值0,极大值5.曲y=﹣cosx (0≤x≤)与坐标轴所围图形的面积是()A.2 B.C.3 D.π6.已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则k的值为()A.B.C.1 D.e7.函数f(x)=ax3﹣x+1在x∈(﹣∞,+∞)内是减函数,则()A.a≥0 B.a≤0 C.a<0 D.a≤﹣18.已知函数f(x)=cosx+e﹣x+x2016,令f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n+1=f n′(x),则f2017(x)=()A.﹣sinx+e﹣x B.cosx﹣e﹣x C.﹣sinx﹣e﹣x D.﹣cosx+e﹣x9.若a=x dx,b=dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>b B.b>c>a C.c<a<b D.c<b<a10.在平面内,一条抛物线把平面分成两部分,两条抛物线最多把平面分成七个部分,设n 条抛物线至多把平面分成f(n)个部分,则f(n+1)﹣f(n)=()A.2n+3 B.2n+1 C.3n+2 D.4n+111.设h(x)=,g(x)=lnx,b>a>0,M=g(b)﹣g(a),N=(b﹣a)(h(a)+h(b)),则以下关系一定正确的是()A.M2>N B.M2<N C.M>N D.M<N12.已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(x)=[f′(x)﹣1]x,且f(1)=0.则函数y=f(x)的最小值为()A.﹣ B.﹣1 C.﹣e D.0二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为a,则细棒的质量为.14.若函数f(x)=x﹣acosx在R上递增,则实数a的取值范围为.15.已知函数f(x)=x2+(2a3﹣a2)lnx﹣(a2+2a﹣1)x,x=1为其极值点,则实数a=.16.已知:(1)若a1,a2,a3∈R,则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3),(2)若a1,a2,a3,a4∈R,则a12+a22+a32+a42≥(a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4),即:三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和;四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二.进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为:若a n)(n∈N,n≥a1,a2,…a n∈R,则a12+a22+…+a n2≥M(a1a2+a1a3+…+a1a n+a2a3+a2a4+…+a n﹣13),则M=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.极坐标系中,已知曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:ρ=2cos().(1)求C1与C2交点的直角坐标.(2)若曲线C3:θ=(ρ∈R,ρ≠0)分别与C1,C2相交于A,B,求|AB|.18.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.19.已知函数f(x)=ln(x+1)+ln(1﹣x)+a(x+1)(a>0).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(﹣1,0]上的最大值为1,求实数a的值.20.用数学归纳法证明(1•22﹣2•32)+(3•42﹣4•52)+…+[(2n﹣1)(2n)2﹣2n(2n+1)2]=﹣n(n+1)(4n+3).21.已知函数g(x)=x3+3ax﹣2.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=g(x)的切线;(2)求a的范围,使g(x)有极值,并求极大值与极小值的和;(3)设f(x)=[g′(x)﹣ax]e x﹣x2,若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.22.在讨论函数局部性质时,可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数,进而推导出正确的结论.在某值附近,用简单的一次函数,可以近似替代复杂的函数,距离某值越近,近似的效果越好.比如,当|x|很小时,可以用y=x+1近似替代y=e x.(1)求证:x<0时,用x+1替代e x的误差小于x2,即:x<0时,|e x﹣x﹣1|<x2;(2)若x>0时,用x替代sinx的误差小于ax3,求正数a的最小值.2015-2016学年湖北省部分重点中学高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中x=0是极值点的函数是()A.f(x)=|x|B.f(x)=﹣x3C.f(x)=sinx﹣x D.f(x)=【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】利用极值的定义,分析四个选项,即可得出结论.【解答】解:A.f(x)=|x|在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴x=0是极值点,正确B.函数f(x)=﹣x3在R上单调递减,无极值,不正确;C.f′(x)=cosx﹣1≤0,∴函数y=sinx﹣x在R上单调递减,无极值;D.f(x)=在x=0时无意义,因此无极值.故选:A.2.函数f(x)=3x﹣4x3(x∈[﹣1,0])的最小值是()A.﹣ B.﹣1 C.0 D.1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】由f(x)=3x﹣4x3,知f′(x)=3﹣12x2,令f′(x)=3﹣12x2=0,得x=±.由此能求出函数f(x)=3x﹣4x3,x∈[﹣1,0]的最小值.【解答】解:∵f(x)=3x﹣4x3,∴f′(x)=3﹣12x2,令f′(x)=3﹣12x2=0,得x=±.∵x=∉[﹣1,0],∴x=(舍).∵f(0)=0,f(﹣)=﹣﹣4×(﹣)3=﹣1,f(﹣1)=﹣3+4=1.∴函数f(x)=3x﹣4x3,x∈[﹣1,0]的最小值是﹣1.故选:B.3.已知曲线y=﹣2lnx+1的一条切线的斜率为1,则切点的横坐标为()A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】设出切点坐标,求得曲线对应函数的导数,可得切线的斜率,解方程可得切点的横坐标,注意函数的定义域.【解答】解:设切点坐标为(m,n),(m>0),y=﹣2lnx+1的导数为y′=x﹣,可得切线的斜率为m﹣=1,解方程可得m=2,(﹣1舍去).则切点的横坐标为2.故选:B.4.函数f(x)=x4﹣x2有()A.极小值﹣,极大值0 B.极小值0,极大值﹣C.极小值,极大值0 D.极小值0,极大值【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求导,令f′(x)=0,解方程,分析导函数的变化,从而可知函数的极值.【解答】解:由已知得f′(x)=4x3﹣2x=4x(x+)(x﹣)x变化时,f′(x)的变化情况如下:当﹣<x<0,x>时,f′(x)>0函数f(x)是增函数,当x<﹣,0<x<时,f′(x)<0函数f(x)是减函数,所以当x=0时,函数f(x)取得极大值为0;当x=±时,函数f(x)取得极小值为﹣.故选:A.5.曲y=﹣cosx (0≤x≤)与坐标轴所围图形的面积是()A.2 B.C.3 D.π【考点】余弦函数的图象.【分析】由余弦函数的图象特征,利用定积分的意义,可得曲线与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+(﹣cosx)dx,计算求得结果.【解答】解:曲线y=﹣cosx (0≤x≤)与坐标轴所围图形的面积是cosxdx+(﹣cosx)dx=sinx﹣sinx=(sin﹣sin0)﹣(sin﹣sin)=1﹣(﹣1﹣1)=3,故选:C.6.已知直线y=kx是曲线y=e x的切线,则k的值为()A.B.C.1 D.e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求出曲线y=e x的导数,设出切点坐标,将切点坐标分别代入直线y=kx和曲线y=e x,以及导数,联立方程,解出k.【解答】解:曲线y=e x的导数为y′=e x,设切点为(x0,y0),∴=k,y0=kx0,,∴kx0==k(x0≠0,k>0),∴x0=1,∴k=e.故选:D.7.函数f(x)=ax3﹣x+1在x∈(﹣∞,+∞)内是减函数,则()A.a≥0 B.a≤0 C.a<0 D.a≤﹣1【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求导数,得f'(x)=3ax2﹣1.由题意f'(x)≤0在(﹣∞,+∞)内恒成立,即不等式3ax2≤1在(﹣∞,+∞)内恒成立,因此对a的正负加以讨论,即可得到满足条件的实数a的取值范围.【解答】解:求导数,得f'(x)=3ax2﹣1,∵f(x)=ax3﹣x+1在(﹣∞,+∞)内是减函数,∴f'(x)≤0在﹣∞,+∞)内恒成立,即3ax2﹣1≤0在(﹣∞,+∞)内恒成立,变形得3ax2≤1,当a>0时,3ax2没有最大值,3ax2≤1不能恒成立,当a≤0时,3ax2≤0,可得3ax2≤1恒成立,因此实数a的取值范围是(﹣∞,0],故选:B.8.已知函数f(x)=cosx+e﹣x+x2016,令f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,f n+1=f n′(x),则f2017(x)=()A.﹣sinx+e﹣x B.cosx﹣e﹣x C.﹣sinx﹣e﹣x D.﹣cosx+e﹣x【考点】导数的运算.【分析】利用基本初等函数:三角函数,指数函数,幂函数的导数运算法则求出各阶导数,找规律.【解答】解:f1(x)=f′(x)=﹣sinx﹣e﹣x+2016x2015f2(x)=f′1(x)=﹣cosx+e﹣x+2016×2015×x2014f3(x)=f′2(x)=sinx﹣e﹣x+2016×2015×2014x2013f4(x)=f′3(x)=cosx+e﹣x+2016×2015×2014×2013x2012…∴f2016(x)=f′2015(x)=cosx+e﹣x+2016×2015×2014×2013×…×1∴f2017(x)=﹣sinx﹣e﹣x,故选C9.若a=x dx,b=dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>b B.b>c>a C.c<a<b D.c<b<a【考点】定积分.【分析】分别根据定积分的计算法则计算再比较即可.【解答】解:a=x dx=|=,b=dx=|=,c=sinxdx=﹣cosx|=﹣(cos1﹣cos0)=1﹣cos1<1﹣cos=,∴a>b>c,故选:D10.在平面内,一条抛物线把平面分成两部分,两条抛物线最多把平面分成七个部分,设n 条抛物线至多把平面分成f(n)个部分,则f(n+1)﹣f(n)=()A.2n+3 B.2n+1 C.3n+2 D.4n+1【考点】归纳推理.【分析】根据增加的这条抛物线,与原来的n条抛物线至多有4n个交点(由于抛物线是曲线,所以每两条抛物线至多有4个交点,与直线至多一个交点不同),这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段,这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二,即比原来增加了4n+1个区域,即可得出结论.【解答】解:一条抛物线将平面至多分为2部分,两条抛物线将平面至多分为7部分,设第n条抛物线将平面至多分为f(n)部分,则第n+1条抛物线的情况如下:增加的这条抛物线,与原来的n条抛物线至多有4n个交点(由于抛物线是曲线,所以每两条抛物线至多有4个交点,与直线至多一个交点不同),这4n个交点将第n+1条抛物线分为4n+1个曲线段,这4n+1个曲线段将每个所处的区域一分为二,即比原来增加了4n+1个区域,所以f (n+1)﹣f(n)=4n+1.故选:D.11.设h(x)=,g(x)=lnx,b>a>0,M=g(b)﹣g(a),N=(b﹣a)(h(a)+h(b)),则以下关系一定正确的是()A.M2>N B.M2<N C.M>N D.M<N【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】分别求出M,N,作差得到M﹣N=lnb﹣lna﹣(﹣),令t=,(t>1),令g(t)=lnt﹣(t﹣),(t>1),根据函数的单调性求出g(x)<0即可判断M、N的大小.【解答】解:∵h(x)=,g(x)=lnx,b>a>0,∴M=g(b)﹣g(a)=lnb﹣lna,N=(b﹣a)(h(a)+h(b))=(b﹣a)(+)=(﹣),∴M﹣N=lnb﹣lna﹣(﹣),令t=,(t>1),令g(t)=lnt﹣(t﹣),(t>1),则g′(t)=﹣(1+),g″(t)=<0,g′(t)在(1,+∞)递减,g′(t)<g′(1)=0,∴g(t)在(1,+∞)递减,∴g(t)<g(1)<0,∴M﹣N<0,即M<N,故选:D.12.已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足f(x)=[f′(x)﹣1]x,且f(1)=0.则函数y=f(x)的最小值为()A.﹣ B.﹣1 C.﹣e D.0【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】利用条件求出f(x)=xlnx,根据极值与最值的求解方法,连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极小值就是最小值.【解答】解:∵f(x)=[f′(x)﹣1]x,且f(1)=0,∴f′(1)=1①.又f′(x)=[f″(x)]x+f′(x)﹣1,∴f″(x)=,∴f′(x)=lnx+C②,联立①②可求得C=1,∴f(x)=xlnx,∴f'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)=0,得x=.∵当x∈(0,)时,f'(x)<0;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,∴当x=时,f(x)min=﹣.故选:A.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为ρ(x)=x2(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一端为原点),棒长为a,则细棒的质量为.【考点】定积分.【分析】利用定积分的物理意义将所求利用定积分表示,然后计算.【解答】解:由题意细棒的质量为:;故答案为:.14.若函数f(x)=x﹣acosx在R上递增,则实数a的取值范围为[﹣1,1] .【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】求出函数的导数,则1+asinx≥0在R恒成立,根据三角函数的性质求出a的范围即可.【解答】解:∵f(x)=x﹣acosx,∴f′(x)=1+asinx,若函数f(x)=x﹣acosx在R上递增,则1+asinx≥0在R恒成立,则实数a的范围是[﹣1,1],故答案为:[﹣1,1].15.已知函数f(x)=x2+(2a3﹣a2)lnx﹣(a2+2a﹣1)x,x=1为其极值点,则实数a=﹣1.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】由于函数f(x)=x2+(2a3﹣a2)lnx﹣(a2+2a﹣1)x,x=1为其极值点,可得f′(1)=0,解出并验证即可.【解答】解:f′(x)=x+(2a3﹣a2)﹣(a2+2a﹣1)(x>0).∵x=1为其极值点,∴f′(1)=1+(2a3﹣a2)﹣(a2+2a﹣1)=0,∴(a+1)(a﹣1)2=0,解得a=±1.a=1,f′(x)=x+﹣2=,x=1不是其极值点;a=﹣1,f′(x)=x﹣+2=,x=1为其极值点,故答案为:a=﹣1.16.已知:(1)若a1,a2,a3∈R,则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3),(2)若a1,a2,a3,a4∈R,则a12+a22+a32+a42≥(a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4),即:三个数的平方和不小于这三个数中每两个数的乘积的和;四个数的平方和不小于这四个数中每两个数的乘积的和的三分之二.进一步推广关于n个数的平方和的类似不等式为:若a n)(n∈N,n≥a1,a2,…a n∈R,则a12+a22+…+a n2≥M(a1a2+a1a3+…+a1a n+a2a3+a2a4+…+a n﹣13),则M=.【考点】类比推理.【分析】根据题目条件,由取等的条件的取得,进行判断,求解,即可解得答案.【解答】解:由已知:(1)若a1,a2,a3∈R,则a12+a22+a32≥a1a2+a2a3+a1a3,(2)若a1,a2,a3,a4∈R,则a12+a22+a32+a42≥(a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4),可知取等的条件是各个值都相等时取得,不妨设a i=1,(i=1,2,3…),即可得知,M=,故答案为:.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.极坐标系中,已知曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:ρ=2cos().(1)求C1与C2交点的直角坐标.(2)若曲线C3:θ=(ρ∈R,ρ≠0)分别与C1,C2相交于A,B,求|AB|.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,分别代入曲线C1:ρ=2cosθ,曲线C2:ρ=2cos().化简即可得到所求直角坐标方程,联立解方程可得两交点;(2)联立曲线C3与曲线C1,曲线C2,求得A,B的极坐标,即可得到所求弦长|AB|.【解答】解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,可得曲线C1:ρ=2cosθ,即为x2+y2﹣2x=0;①曲线C2:ρ=2cos(),即ρ=2(cosθ+sinθ),即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,即为x2+y2﹣x﹣y=0,②联立①②解得交点为(0,0),(,);(2)由,得A(﹣1,),由,得B(1,),则|AB|=|1﹣(﹣1)|=2.18.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】(1)由曲线C的参数方程为(θ为参数),利用倍角公式可得y=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1,化简整理可得曲线C的普通方程,注意x的取值范围.(2)直线l的普通方程为x﹣y+3=0,利用点到直线的距离公式可得:曲线C上的点到l的距离d==,即可得出.【解答】解:(1)∵曲线C的参数方程为(θ为参数),∴y=cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1,化为y=﹣1,cosθ∈[﹣1,1],可得x∈[﹣1,1].∴曲线C的普通方程为:y=﹣1,x∈[﹣1,1].(2)直线l的普通方程为x﹣y+3=0,曲线C上的点到l的距离d==≤=3,当cosθ=1时,d取得最大值3.19.已知函数f(x)=ln(x+1)+ln(1﹣x)+a(x+1)(a>0).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(﹣1,0]上的最大值为1,求实数a的值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)根据x和a的范围,求出函数的单调性,从而求出函数的最大值,得到关于a的方程,解出即可.【解答】解:(1)函数定义域为(﹣1,1),a=1时,f′(x)=﹣+1=,由f′(x)≥0,得x∈(﹣1,﹣1),由f′(x)≤0,得x∈[﹣1,1),∴f(x)的单增区间为(﹣1,﹣1],单减区间为[﹣1,1);(2)当x∈(﹣1,0]时,∵a>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在x∈(﹣1,0]上单增,∴f(x)的最大值是f(0)=a=1,∴a=1.20.用数学归纳法证明(1•22﹣2•32)+(3•42﹣4•52)+…+[(2n﹣1)(2n)2﹣2n(2n+1)2]=﹣n(n+1)(4n+3).【考点】数学归纳法.【分析】用数学归纳法证明问题的步骤是:第一步,验证当n=n0时命题成立,第二步假设当n=k时命题成立,那么再证明当n=k+1时命题也成立.关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论,否则会导致错误.【解答】证明:当n=1时,左边=﹣14,右边=﹣1•2•7=﹣14,等式成立假设当n=k时等式成立,即有(1•22﹣2•32)+(3•42﹣4•52)++[(2k﹣1)(2k)2﹣2k(2k+1)2]=﹣k(k+1)(4k+3)那么当n=k+1时,(1•22﹣2•32)+(3•42﹣4•52)++[(2k﹣1)(2k)2﹣2k(2k+1)2]+[(2k+1)(2k+2)2﹣(2k+2)(2k+3)2]=﹣k(k+1)(4k+3)﹣2(k+1)[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2]=﹣(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=﹣(k+1)[4k2+15k+14]=﹣(k+1)(k+2)(4k+7)=﹣(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3].这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立.21.已知函数g(x)=x3+3ax﹣2.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=g(x)的切线;(2)求a的范围,使g(x)有极值,并求极大值与极小值的和;(3)设f(x)=[g′(x)﹣ax]e x﹣x2,若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)设切点为(m,0),则,即可求出a;(2)分类讨论,求导数,确定函数的单调性,即可得出a 的范围,使g (x )有极值,并求极大值与极小值的和;(3)h (x )=x +2﹣,在(﹣∞,+∞)上单调递增,其值域为R .则存在唯一x 0∈R ,使得h (x 0)=a ,分类讨论,利用函数f (x )在x=0处取得极小值,求a 的取值范围.【解答】解:(1)设切点为(m ,0),则,解得 ∴a=﹣1时,x 轴为曲线y=g (x )的切线. …(2)g ′(x )=3x 2+3a当a ≥0时,g ′(x )≥0成立,函数y=g (x )无极值a <0,由g ′(x )≥0,∴y=g (x )在(﹣∞,﹣]和[,+∞)上单增由g ′(x )≤0,∴y=g (x )在[﹣,]上单减∴g (x )极大=g (﹣),g (x )极小=g (),g (x )极大+g (x )极小=g (﹣)+g()=﹣4, ∴a <0时,函数y=g (x )有极值,g (x )极大+g (x )极小=﹣4 …(3)f (x )=(x 2﹣ax +a )e x ﹣x 2,f ′(x )=x [(x +2﹣a )e x ﹣2],x ∈R ,令f ′(x )=0,则x=0或x +2﹣﹣a=0,即x=0或h (x )=a ,∵h (x )=x +2﹣,在(﹣∞,+∞)上单调递增,其值域为R .∴存在唯一x 0∈R ,使得h (x 0)=a ,①若x 0>0,当x ∈(﹣∞,0)时,h (x )<a ,f ′(x )>0;当x ∈(0,x 0)时,h (x )<a ,f ′(x )<0;∴f (x )在x=0处取得极大值,这与题设矛盾;②若x 0=0,当x ∈(﹣∞,0)时,h (x )<a ,f ′(x )>0;当x ∈(0,+∞)时,h (x )>a ,f (x )>0;∴f (x )在x=0处不取极值,这与题设矛盾;③若x 0<0,当x ∈(x 0,0)时,h (x )>a ,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,h (x )>a ,f ′(x )>0;∴f (x )在x=0处取得极小值;综上所述,x 0<0,∴a=h (x 0)<h (0)=0.∴a 的取值范围是(﹣∞,0). …22.在讨论函数局部性质时,可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数,进而推导出正确的结论.在某值附近,用简单的一次函数,可以近似替代复杂的函数,距离某值越近,近似的效果越好.比如,当|x |很小时,可以用y=x +1近似替代y=e x .(1)求证:x <0时,用x +1替代e x 的误差小于x 2,即:x <0时,|e x ﹣x ﹣1|<x 2; (2)若x >0时,用x 替代sinx 的误差小于ax 3,求正数a 的最小值.【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.【分析】(1)求出函数的导数,得到e x﹣x﹣1>0,设h(x)=e x﹣x﹣1﹣x2,根据函数的单调性判断出结论即可;(2)设φ(x)=x﹣sinx,求出函数的导数,问题只需x﹣sinx﹣ax3<0恒成立,设g(x)=x﹣sinx﹣ax3,通过讨论a的范围结合函数的单调性判断即可.【解答】解:(1)设f(x)=e x﹣x﹣1,f′(x)=e x﹣1,令f′(x)>0,解得:x>0,令f′(x)<0,解得:x<0,∴f(x)在(﹣∞,0)递减,∴x<0时,f(x)>f(0)=0,即e x﹣x﹣1>0,设h(x)=e x﹣x﹣1﹣x2,x≤0时,h′(x)=e x﹣1﹣x≥0,∴h(x)在(﹣∞,0]递增,∴x<0时,h(x)<h(0)=0,即e x﹣x﹣1﹣x2<0,∴x<0时,|e x﹣x﹣1|<x2;(2)即求使x>0时,|x﹣sinx|<ax3恒成立的最小正数a,设φ(x)=x﹣sinx,φ′(x)=1﹣cosx≥0,∴φ(x)在[0,+∞)递增,∴x>0时,φ(x)>φ())=0,∴x﹣sinx>0,∴只需x﹣sinx﹣ax3<0恒成立,设g(x)=x﹣sinx﹣ax3,当a≥时,g′(x)=1﹣cosx﹣3ax2,g″(x)=sinx﹣6ax,x≥0时,sinx≤x,∴g″(x)≤x﹣6ax≤0,∴g′(x)在[0,+∞)递减,∴x≥0时,g′(x)≤g′(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)递减,∴x>0时,g(x)<g(0)=0,即x﹣sinx<ax3,∴a≥时,|x﹣sinx|<ax3恒成立,当0<a<时,g′″(x)=cosx﹣6a,∃x0∈(0,),使得cosx0﹣6a=0,且x∈[0,x0]时,g′″(x)≥0,∴g″(x)在[0,x0]上单增,∴x∈[0,x0]时,g″(x)≥g″(0)=0,∴g′(x)在[0,x0]上单增,∴x∈[0,x0]时,g′(x)≥g′(0)=0,∴g(x)在[0,x0]上单增,∴x∈(0,x0]时,g(x)>g(0)=0,即x﹣sinx﹣ax3>0,这与题意不符,综上,所求正数a的最小值为.2016年9月4日。
2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二下学期期末调考物理试题
武昌区2015-2016学年度第二学期期末调研考试高 二 物 理本试题卷共8页、18道题(含选考题)。
全卷满分110分。
考试用时90分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项:第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,第1~7题只有一项符合题目要求,第8~10题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
1.如图,质量为m 的光滑小球夹在倾角为α的斜面和挡板PO 之间静止。
将挡板缓慢地由竖直位置逆时针转到水平位置的过程中,关于挡板对小球的弹力F 1和斜面对小球的弹力F 2的大小变化,正确的是A .F 1逐渐变大,F 2逐渐变小B .F 1逐渐变小,F 2逐渐变小C .F 1先逐渐变小后逐渐变大,F 2逐渐变小D .F 1先逐渐变大后逐渐变小,F 2逐渐变小 2.两个质点A 、B 放在同一水平面上,由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动,其运动的v – t 图象如图所示。
对A 、B 运动情况的分析,下列结论正确的是A .A 、B 加速时的加速度大小之比为2∶1,A 、BB .在t = 6 t 0时刻,A 、B 相遇C .在t = 3 t 0时刻,A 、B 相距最远D .在t = 5 t 0时刻,A 、B 相距最远3.某物体沿与水平面成30°的木板恰好能匀速下滑;现将该木板与水平面的夹角调整为60°,并使该物体以某一初速度沿该木板向上滑动,则该物体上滑过程中的加速度大小为(取g = 10 m/s 2) A .3320m/s 2 B .3310 m/s 2 C . 335m/s 2 D .35m/s 2 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.第Ⅰ卷(选择题)的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
湖北省武汉市2015届高三9月调考数学(理)试题 Word版含
武汉市2015届高三9月调研测试数 学(理科)2014.9.5一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.1+2i (1-i)2= A .-1-12i B .-1+12i C .1+12i D .1-12i 2.已知集合A ={1,a },B ={1,2,3},则“a =3”是“A ⊆B ”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x -=3,y -=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A .y ^=0.4x +2.3 B .y ^=2x -2.4 C .y ^=-2x +9.5 D .y ^=-0.3x +4.4 4.已知向量a ,b 的夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |= A . 2 B .2 2 C .3 2 D .4 2 5.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为A .112B .5C .92D .46.在△ABC 中,AC =7,BC =2,B =60°,则BC 边上的高等于A .32B .332 C .3+62 D .3+3947.x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为A .12或-1B .2或12 C .2或1 D .2或-1 8.如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n +1A n +1的面积均相等.设OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则a 9=A .19B .22C .5D .279.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,→OA ·→OB =2(其中O 为坐标原点),则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是A .28B .24C .22 D . 210.已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a )的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是A .(-∞,1e )B .(-∞,e)C .(-1e ,e)D .(-e ,1e )二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.设二项式(x -13x)5的展开式中常数项为A ,则A = .12.如果执行如图所示的程序框图,输入x =-1,n =3,则输出的数S = .13.正方形的四个顶点A (-1,-1),B (1,-1),C (1,1),D (-1,1)分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 . 14.已知椭圆C :x 24+y 23=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |= .15.平面几何中有如下结论:如图1,设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点,AB =1,过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ,R ,则有1AQ +1AR =2.类比此结论,将其拓展到空间有:如图2,设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心,AB ,AC ,AD 两两垂直,AB =1,过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ,R ,P ,则有 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(Ⅰ)若sin(π4+α)=22,且0<α<π,求f (α)的值; (Ⅱ)当f (x )取得最小值时,求自变量x 的集合.17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数. (Ⅰ)证明:a n +2-a n =λ;(Ⅱ)当λ为何值时,数列{a n }为等差数列?并说明理由.18.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P-ABQ 中,PB ⊥平面ABQ ,BA =BP =BQ ,D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP 的中点,AQ =2BD ,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连结GH .(Ⅰ)求证:AB ∥GH ;(Ⅱ)求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(Ⅰ)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X 的分布列;(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于...2000元的概率. 20.(本小题满分13分)如图,动点M 与两定点A (-1,0),B (2,0)构成△MAB ,且∠MBA =2∠MAB .设动点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程;(Ⅱ)设直线y =-2x +m (其中m <2)与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q ,R ,且|PQ |<|PR |,求|PR ||PQ |的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e (e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3. (Ⅰ)求实数a 的值;(Ⅱ)若f (x )≤kx 2对任意x >0成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)当n >m >1(m ,n ∈N *)时,证明:nm m n>mn .武汉市2015届高三9月调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.B 10.B 二、填空题11.-10 12.-4 13.23 14.8 15.1AQ +1AR +1AP =3 三、解答题 16.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵0<α<π,∴π4<π4+α<5π4. …………………2分∵sin(π4+α)=22,∴π4+α=3π4,即α=π2. …………………4分 ∴f (α)=cos α(sin α+cos α)-12=cos π2(sin π2+cos π2)-12=-12.……………………6分 (Ⅱ)f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin2x +1+cos2x 2-12 …………………7分 =12sin2x +12cos2x =22sin(2x +π4). …………………8分当2x +π4=2k π-π2,k ∈Z ,即x =k π-3π8,k ∈Z 时,f (x )取得最小值, …………………10分 此时自变量x 的集合为{x |x =k π-3π8,k ∈Z }.………………………………12分17.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1. …………………2分两式相减,得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. .....................3分 由于a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ. (4)分(Ⅱ)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得a 2=λ-1. …………………5分由(Ⅰ)知,a 3=λ+1.令2a 2=a 1+a 3,解得λ=4. …………………6分 故a n +2-a n =4,由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列,a 2n -1=4n -3;…………………7分 {a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1.…………………8分 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2. …………………10分 因此当λ=4时,数列{a n }为等差数列.………………………………………12分18.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)∵D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP 的中点,…………………1分∴EF ∥AB ,DC ∥AB , …………………2分 ∴EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,∴EF ∥平面PCD . …………………3分 又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ ∩平面PCD =GH ,…………………4分 ∴EF ∥GH . 又EF ∥AB ,∴AB ∥GH .…………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)在△ABQ 中,∵AQ =2BD ,AD =DQ ,∴∠ABQ =90°,即AB ⊥BQ .又PB ⊥平面ABQ ,∴BA ,BQ ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA ,BQ ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA =BQ =BP =2,则B (0,0,0),Q (0,2,0),D (1,1,0),C (0,1,0),P (0,0,2),(注:坐标写对给2分)∴→DP =(-1,-1,2),→CP =(0,-1,2).…………………8分 设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由n ·→DP =0,n ·→CP =0,得⎩⎪⎨⎪⎧-x -y +2z =0,-y +2z =0.取z =1, 得n =(0,2,1).…………………10分 又→BQ =(0,2,0)为平面PAB 的一个法向量, ∴cos <n ,→BQ >=n ·→BQ |n ||→BQ |=2×25×2=255. 故平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值为55.………………………………12分19.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)设A 表示事件“作物产量为300kg ”,B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”,由题设知P (A )=0.5,P (B )=0.4.(注:基本事件叙述各1分)2分 ∵利润=产量×市场价格-成本, ∴X 所有可能的取值为500×10-1000=4000,500×6-1000=2000,300×10-1000=2000,300×6-1000=800. …………………4分P (X =4000)=P (A -)P (B -)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,P (X =2000)=P (A -)P (B )+P (A )P (B -)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P (X =800)=P (A )P (B )=0.5×0.4=0.2. ∴X 的分布列为……………………………………………………………6分(注:每个概率1分) (Ⅱ)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(i =1,2,3),…………8分由题意知C 1,C 2,C 3相互独立,由(Ⅰ)知,P (C i )=P (X =4000)+P (X =2000)=0.3+0.5=0.8(i =1,2,3). ∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P =C 33×0.83+C 23×0.82×0.2=0.512+0.384=0.896.…………………………12分20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设M 的坐标为(x ,y ),显然有x >0,且y ≠0.…………………1分当∠MBA =90°时,点M 的坐标为(2,±3).…………………2分 当∠MBA ≠90°时,x ≠2,由∠MBA =2∠MAB ,有tan ∠MBA =2tan ∠MAB 1-tan 2∠MAB ,即-|y |x -2=2|y |x +11-(|y |x +1)2,…………………4分化简可得,3x 2-y 2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x 2-y 2-3=0上,…………………5分综上可知,轨迹C 的方程为x 2-y 23=1(x >1).………………………………6分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x +m ,x 2-y 23=1.消去y 并整理,得x 2-4mx +m 2+3=0.(*)…………7分由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设f (x )=x 2-4mx +m 2+3, ∴⎩⎪⎨⎪⎧--4m2>1,f (1)=12-4m +m 2+3>0,△=(-4m )2-4(m 2+3)>0.解得m >1,且m ≠2.……………9分∵m <2,∴1<m <2. …………………10分 设Q ,R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),由|PQ |<|PR |及方程(*)有 x R =2m +3(m 2-1),x Q =2m -3(m 2-1), ∴|PR ||PQ |=x R x Q =2m +3(m 2-1)2m -3(m 2-1)=2+3(1-1m 2)2-3(1-1m 2)=-1+42-3(1-1m 2).由1<m <2,得1<-1+42-3(1-1m 2)<7.…………………12分 故|PR ||PQ |的取值范围是(1,7).……………………………………………………13分 21.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)求导数,得f ′(x )=a +ln x +1. …………………1分由已知,得f ′(e)=3,即a +lne +1=3∴a =1.……………………………………………………………………………2分(Ⅱ)由(Ⅰ),知f (x )=x +x ln x ,∴f (x )≤kx 2对任意x >0成立⇔k ≥1+ln xx 对任意x >0成立,……………4分 令g (x )=1+ln xx ,则问题转化为求g (x )的最大值.求导数,得g ′(x )=-ln xx 2,令g ′(x )=0,解得x =1.…………………5分当0<x <1时,g ′(x )>0,∴g (x )在(0,1)上是增函数;当x >1时,g ′(x )<0,∴g (x )在(1,+∞)上是减函数.…………………6分 故g (x )在x =1处取得最大值g (1)=1.∴k ≥1即为所求.…………………………………………………………………8分 (Ⅲ)令h (x )=x ln xx -1,则h ′(x )=x -1-ln x (x -1)2.…………………9分 由(Ⅱ),知x ≥1+ln x (x >0),∴h ′(x )≥0,…………………10分∴h (x )是(1,+∞)上的增函数.∵n >m >1,∴h (n )>h (m ),即n ln n n -1>m ln mm -1,…………………11分∴mn ln n -n ln n >mn ln m -m ln m ,…………………12分 即mn ln n +m ln m >mn ln m +n ln n , 即ln n mn +ln m m >ln m mn +ln n n ,即ln(mn n )m >ln(nm m )n , …………………13分 ∴(mn n )m >(nm m )n ,∴nm m n>mn . (14)分。
湖北省武汉市武昌区近年-近年学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)(最新整理)
湖北省武汉市武昌区2018—2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已如集合,,则( )A. B 。
C 。
D.【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ,B,然后进行交集的运算即可.【详解】由题意,集合,∴集合.故选:A .【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义,绝对值不等式的解法,以及交集的运算,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2. ( )A. B 。
C 。
D 。
【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,即可得到答案.【详解】由,故选C .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.3。
设,满足约束条件则的最大值为( ) A.B.C.D.{}20A xx =->{}3B x =≤AB =(]2,3[)2,3()2,3[]2,3{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤(2,3]A B =13i1i+=+2i -2i -+2i +2i --()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2+-++===+++-x y4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩z 2x 3y =-10856-【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数的最大值即可. 【详解】画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,由得到,平移直线,当过A 时直线截距最小,最大,由 得到,所以的最大值为,故选:C .【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.4.某公司在年的收入与支出情况如下表所示:z 2x 3y =-233z y x =-233zy x =-z04100y x y =⎧⎨--=⎩5(,0)2A z 2x 3y =-m a x523052z =⨯-⨯=20142018-根据表中数据可得回归直线方程为,依此名计,如果年该公司的收入为亿元时,它的支出为( ) A. 亿元B 。
武昌区2014-2015学年度第二学期期末调研考试
武昌区2014-2015学年度第二学期期末调研考试高二政治本试卷共100分,考试用时90分钟。
★祝考试顺利★本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至7页,第Ⅱ卷7至8页,全卷共8页。
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位臵,认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位臵。
2.选择题的作答:选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。
答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4.选考题的作答,先把所选题目的题号在答题卡指定位臵用2B铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。
答题答在答题卡对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束,监考人员将答题卡和试题卷一并收回。
第Ⅰ卷(选择题共24小题,每小题2分,共48分)一、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“嫦娥奔月”是我国古老的民间传说,就世界的本原来看,“嫦娥奔月”的传说属于A.古代朴素唯物主义B.客观唯心主义C.主观唯心主义D.辩证唯物主义2.下列选项能够正确反映唯物主义三种基本形态演进顺序的是①存在就是被感知②人是机器,思想是人脑的特性③世界是一团永恒的活火④物质是标志客观实在的哲学范畴A.③→②→④ B.②→③→④C.③→④→② D.②→①→③3.读右边漫画“宝宝快跳!”,从唯物论角度看,父母的要求是A.形而上学,孤立的看问题B.急于求成,不注意量的积累C.主观主义,不从实际出发D.强调客观,忽视主观能动作用4.英国企鹅出版社出版了许渊冲的《中国不朽诗三百首》,这是该出版社第一次出版中国人的译作,因为“此书的译文是绝妙的”,而“绝妙”来自许渊冲苦思与灵感交替往复的生活。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数 学 试 卷(理科)全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数211ii i-+- 等于( ) A. i B. 0 C.-i D.1+i2.设x x x x f ln 42)(2--=,则函数()f x 单调递增区间为(A ) ),0(+∞ (B ))0,1(-和),2(+∞ (C )),2(+∞ (D))0,1(- 3.函数()y f x =的图象如图所示,若()f x dx m π=⎰,则20()f x dx π⎰等于( ) A.mB .2mC .m -D .04.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )A. y x =B. y =C.y x =D.32y x =±5.曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )A .2e B .22e C .24e D .292e 6.下列命题错误的是 ( )A 、命题“若0m >,则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根,则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ,则R x p ∈∀⌝:,均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题,则,p q 均为假命题7.棱长均为3三棱锥ABC S -,若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x 为( )A 、6B 、36 C 、63 D 、1 8.已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,其中)(x f '为函数)(x f 的导函数,则)(x f y =的大致图象是( )9.如图,过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点,其中一条与双曲线交于点B ,若三角形ABF 2是等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 ( )ABCD10.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E F ,分别是1AB ,1BC 的中点,则以下结论中不成立...的是( ) A .EF 与1BB 垂直 B .EF 与BD 垂直 C .EF 与CD 异面D .EF 与11AC 异面11.已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()x x f x f x ->(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),则下列不等式成立的是( ) A .2(2)(1)f f -<- B .2(1)(2)f f > C .4(2)(0)f f -> D .2(0)(1)f f >ABC1A 1C 1D 1B DEF12.定义方程()'()f x f x =的实数根0x叫做函数()f x 的“新驻点”,若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则,,αβγ的大小关系为( )A .αβγ>>B .βαγ>>C .γαβ>>D .βγα>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.复数4312ii++的虚部为 . 14.用数学归纳法证明某命题时,左式为nn 111.4131211--++-+-(n 为正偶数),从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.15.设21 , F F 为双曲线12222=-by a x 的左右焦点,点P 在双曲线的左支上,且||||122PF PF 的最小值为a 8,则双曲线的离心率的取值范围是 . 16.已知()0,x ∈+∞,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x +≥,…,可推广为1n ax n x+≥+,则a 等于 .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知命题p :[]0,2,12≥-∈∀a x x ,命题q :022,0200=-++∈∃a ax x R x ,若“p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围.18.(本题满分12分) 已知函数2()ln f x x a x =+. (1)当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值; (2)若函数2()()g x f x x=+在[1,4]上是减函数,求实数a 的取值范围.19.(本题满分12分) 如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点. (Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A SC B --的余弦值.OSBC20. (本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A .(1)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(2)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ,设P 为N 上一点,且满足OG OH tOP += (O 为坐标原点),当PG PH -< 时,求实数t 的取值范围.21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+. (1)当1a =时,求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值; (2)若()f x 存在单调递减区间,求a 的取值范围; (3)求证:1111ln(1)35721n n +>+++++ (n ∈*N ).请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。
2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数=()A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i2.(5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x2﹣4x+3>0},则A∩B=()A.(2,3)B.(3,4)C.(1,3)D.(2,4)3.(5分)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为()A.y=x2﹣x B.y=x+2sin x C.y=x3+x D.y=tan x4.(5分)已知变量x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.﹣2D.﹣35.(5分)如图是比赛中某选手的7个得分的茎叶图,则这7个分数的方差为()A.B.C.36D.6.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=1,|﹣2|=,则||=()A.B.C.2D.27.(5分)已知f(x)=x2﹣x+1,g(x)=kx,则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)执行如图所示的程序框图,若程序运行中输出的一个数组是(x,﹣10),则数组中的x=()A.64B.32C.16D.89.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.1+B.1+C.2+D.2+10.(5分)已知圆柱的底面半径为r,高为h,体积为2,表面积为24,则+=()A.24B.12C.8D.611.(5分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最大值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(﹣2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(﹣2)C.f(﹣2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(﹣2)12.(5分)在平面直角坐标系中,过定点M(0,﹣)的直线l交椭圆+y2=1于P,Q两点,则以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点()A.(﹣1,)B.(0,)C.(0,1)D.(1,)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)在(x+a)5的展开式中,x3的系数为40,则a=.14.(5分)已知双曲线﹣y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+y=0,则该双曲线的离心率为.15.(5分)已知圆心为(0,1),半径为R的圆M与直线x+my﹣2m﹣1=0(x∈R)相切,当半径R最大时,圆M的标准方程为.16.(5分)函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+e x(x≥0)的最小值是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{a n} 的前n项和S n满足S n=2a n﹣1(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n} 的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n﹣a n} 是首项为3,公差为3的等差数列,求数列{b n}的前n项和T n.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a sin B=b cos A.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,c﹣b=1,求△ABC的面积.19.(12分)对某工厂生产的产品进行质量监测,现随机抽取该工厂生产的某批次产品中的5件进行检测,测得其中x,y两种指标的含量的数据如下:(Ⅰ)当该产品中指标x,y满足x≥75且y≥80时,该产品为优等品,求该产品为优等品的概率;(Ⅱ)若从该产品中随机抽取2件,求出取的2件产品中优等品数的分布列和数学期望.20.(12分)如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,SA=AB=AC=a,∠BAC=60°,D是SC上的点.(Ⅰ)若SD=SC,求证:AC⊥BD;(Ⅱ)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.21.(12分)已知抛物线C:y=x2,过不在y轴上的点P作C的两条切线P A,PB,切点分别为A,B.直线AB与y轴交于点M,直线PO(O为坐标原点)与AB交于点N,且PN⊥AB.(Ⅰ)证明M是一个定点;(Ⅱ)求的最小值.22.(12分)已知函数f(x)=ln(x+1)﹣ax,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若不等式f(x)≥1﹣e x对x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:=,故选:A.2.【解答】解:集合A={x|2<x<4},B={x|x2﹣4x+3>0}={x|x<1或x>3},则A∩B={x|3<x<4}=(3,4).故选:B.3.【解答】解:对于A,y=x2﹣x,是非奇非偶的函数,不满足条件;对于B,y=x+2sin x,是定义域R上的奇函数,但在(0,+∞)上不是单调函数,不满足条件;对于C,y=x3+x,是定义域R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,满足条件;对于D,y=tan x,是定义域{x|x≠+kπ,k∈Z}上的奇函数,但在(0,+∞)上不是增函数,不满足条件.故选:C.4.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,B(0,2),联立,解得A(1,1).化目标函数z=ax+y为y=﹣ax+z,若a≤0,当直线y=﹣ax+z过B时直线在y轴上的截距最大,z有最大值为2,不合题意;若a>0,当直线y=﹣ax+z过A时直线在y轴上的截距最大,z有最大值为a+1=4,得a =3.故选:A.5.【解答】解:已知中的茎叶图的数据分别为:87,89,91,91,92,93,94,其平均数为:(87+89+91+91+92+93+94)=91,方差为:[(87﹣91)2+(89﹣91)2+(91﹣91)2+(91﹣91)2+(92﹣91)2+(93﹣91)2+(94﹣91)2]=,故选:B.6.【解答】解:由|﹣2|=,得,即,则,解得(舍)或.故选:D.7.【解答】解:由f(x)﹣g(x)=x2﹣x+1﹣kx≥0,恒成立,则△=(﹣1﹣k)2﹣4≤0,解得:﹣3≤k≤1.则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充分不必要条件.故选:A.8.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,y=0,n=1不满足条件n>9,执行循环体,n=3,x=2,y=﹣2不满足条件n>9,执行循环体,n=5,x=4,y=﹣4不满足条件n>9,执行循环体,n=7,x=8,y=﹣6不满足条件n>9,执行循环体,n=9,x=16,y=﹣8不满足条件n>9,执行循环体,n=11,x=32,y=﹣10满足条件n>9,退出循环,输出(32,﹣10).故选:B.9.【解答】解:由三视图还原原几何体如图:该几何体为四棱锥,底面ABCD为边长是1的正方形,侧棱P A⊥底面ABCD,P A=1.由P A⊥底面ABCD,可得P A⊥BC,又BC⊥AB,得BC⊥平面P AB,得BC⊥PB,即PBC为直角三角形,同理可得PDC为直角三角形.∴该几何体的表面积为.故选:C.10.【解答】解:由题意可知,两式相比可得,∴,∴==6.故选:D.11.【解答】解:函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,∴,∴ω=2,又当x=时,函数f(x)取得最大值,即2×+φ=,k∈Z.∴φ=.∴函数f(x)=A sin(2x+)=A sin(2x+),当x=2时,f(2)=A sin(4+),可知:π<4+.∴f(2)<0.当x=﹣2时,f(﹣2)=A sin(﹣4+),∵<﹣4+<π,∴A>f(﹣2)>0.当x=0时,f(0)=A sin=A.∴f(2)<f(﹣2)<f(0).故选:A.12.【解答】解:设A(s,t),设直线PQ的方程:y=kx﹣,k≠0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则,整理得:(1+2k2)x2﹣﹣=0,则x1+x2=,x1x2=﹣,由∠P AQ=90°,则•=0,∴(x1﹣s,y1﹣t)(x2﹣s,y2﹣t)=0,则(x1﹣s)(x2﹣s)+(kx1﹣﹣t)(kx2﹣﹣t)=0,则(1+k2)x1x2﹣(s﹣k+kt)(x1+x2)+s2+(t+)2=0,整理得:(﹣2+2s2+2t2)k2﹣﹣+(t+)2=0,由k∈R,则,解得:,则A(0,1),当直线PQ的斜率不存在时,直线PQ为短轴的端点,则且过点A(0,1).∴以PQ为直径的圆恒过x轴上方的定点A(0,1),故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.【解答】解:T3=,∴a2=40,解得a=±2.故答案为:±2.14.【解答】解:根据题意,双曲线的方程为﹣y2=1(a>0),其渐近线方程为y=±,若其一条渐近线方程为x+y=0,即y=﹣x,则有=,则a=,c==,该双曲线的离心率e==2;故答案为:2.15.【解答】解:根据题意,直线x+my﹣2m﹣1=0可以变形为x﹣1+m(y﹣2)=0,过定点(1,2),设P(1,2),分析可得:以C为圆心且与直线x+my﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为CP,则R的最大值|CP|==,则圆M的方程为:x2+(y﹣1)2=2;故答案为:x2+(y﹣1)2=2.16.【解答】解:x∈[0,1)时,f(x)=1﹣x+3﹣x+e x=4﹣2x+e x,f′(x)=e x﹣2,令f′(x)>0,解得:x>ln2,令f′(x)<0,解得:x<ln2,故f(x)在[0,ln2)递减,在(ln2,1)递增,故f(x)min=f(ln2)=4﹣2ln2+e ln2=6﹣2ln2,x∈[1,3)时,f(x)=x﹣1+3﹣x+e x=2+e x≥2+e,x∈[3,+∞)时,f(x)=x﹣1+x﹣3+e x=2x﹣4+e x≥2+e3,综上,f(x)的最小值是6﹣2ln2.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解答】解:(I)∵S n=2a n﹣1(n∈N+),∴n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣(2a n﹣1﹣1),化为:a n=2a n﹣1.n=1时,a1=S1=2a1﹣1,解得a1=1,∴数列{a n}是等比数列,公比为2,首项为1.∴a n=2n﹣1.(II)b n﹣a n=3+3(n﹣1)=3n,∴b n=2n﹣1+3n,∴数列{b n}的前n项和T n=+3×=2n﹣1+.18.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a sin B=b cos A.由正弦定理,得:sin A sin B=sin B cos A∵0<B<π,sin B≠0.∴sin A=cos A即tan A=.∵0<A<π,∴A=.(Ⅱ)由a=,c﹣b=1,A=,由余弦定理,cos A=,得:bc=(c﹣b)2+2bc﹣7.解得:bc=6.∴△ABC的面积S=bc sin A==.19.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,产品编号为2和5产品满足x≥75且y≥80,所以该产品为优等品的概率为P==0.4;(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2;且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==;所以随机变量ξ的分布列为:数学期望为Eξ=0×+1×+2×==0.8.20.【解答】解:(Ⅰ)在AC上任取一点E,使AE=,则DE∥SA ∵SA⊥底面ABC,∴DE⊥底面ABC,∴DE⊥AC.在△ABE,AE=,AB=a,∠BAC=60°,由余弦定理得BE=∵AB2=AE2+BE2,∴BE⊥AC∴AC⊥面BDE,AC⊥BD.(Ⅱ)∵SA⊥底面ABC,SA⊂底面ABC,∴平面SAC⊥底面ABC.由(Ⅰ)知BE⊥AC,∴BE⊥面SAC,BE⊥SC,过E作EF⊥SC于F,连接BF,则SC⊥面BEF,∴SC⊥BF∵EF⊥SC,BF⊥SC,∴∠EFB为二面角A﹣SC﹣B的平面角.∵Rt△SAC∽Rt△EFC,∴,∴.又∵BE=,∴BF=.在Rt△BEF中,cos.∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为21.【解答】解:(Ⅰ)证明:设P(x0,y0),x0≠0,显然y0≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x2,求导y′=x,则直线P A的斜率k=x1,直线P A的方程:y﹣y1=x1(x﹣x1),则y﹣y1=x1x﹣x12,即y+y1=x1x,同理直线PB的方程:y+y2=x2x,∴由直线P A,PB过切点P,则y0+y1=x1x0,y0+y2=x2x0,则A和B的坐标满足y0+y=xx0,∴直线AB的方程为y=xx0﹣y0,则直线PO的斜率为,直线AB的斜率为x0,由PN⊥AB,即0P⊥AB,∴×x0=﹣1,则y0=﹣1,∴直线AB的方程y=xx0+1,∴AB与y轴的焦点M是定点(0,1);(Ⅱ)由(Ⅰ)P(x0,﹣1),则丨PN丨为P到直线AB:xx0﹣y+1=0的距离,丨PN丨=,丨PM丨==,由丨MN丨=,∴==,由===1+,=1+≤1+=,当且仅当x02=,即x0=±时,取等号,则=≥=2,∴的最小值2.22.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣a=,x>﹣1,(i)若a≤0,则f′(x)>0,故f(x)在(﹣1,+∞)递增;(ii)若a>0,则x<﹣1+时,f′(x)>0,x>﹣1+时,f′(x)<0,故f(x)在(﹣1,﹣1+)递增,在(﹣1+,+∞)递减;(Ⅱ)记g(x)=f(x)﹣1+e x=ln(x+1)﹣ax﹣1+e x(x≥0),则”不等式f(x)≥1﹣e x对x∈[0,+∞)恒成立“,等价于g(x)min≥0,(x≥0)恒成立,∵g′(x)=﹣a+e x,而e x≥x+1,故g′(x)≥﹣a+x+1≥2﹣a,(i)若a≤2,则g′(x)≥0,从而g(x)在[0,+∞)递增,故g(x)min=g(0)=0,符合题意;(ii)若a>2,∵g″(x)=≥0,故g′(x)在[0,+∞)递增,故g′(x)≥g(0)=2﹣a<0,故存在x0使得0<x<x0时,g′(x)<0,x>x0时,g′(x)>0,故g(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,故g(x)min=g(x0),故g(x)在(0,x0)递减,g(x)min=g(x0)<g(0)=0,不合题意,综上,a的范围是(﹣∞,2].。
武汉市2015届高三2月调考题(理科)
武汉市2015届高中毕业生二月调研测试理科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数ii1+-的共轭复数是 A .i 1- B .i 1+- C .i 1+ D .i 1--2.已知集合}1,log |{2>==x x y y A ,}1,)21(|{>==x y y B x,则=B AA .}210|{<<y yB .}10|{<<y yC .}121|{<<y y D .φ3.若函数2)(-=ax x f 在),2[+∞上有意义,则实数a 的取值范围为A .1=aB .1>aC .1≥aD .0≥a4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .6π B .3πC .32πD .π5.10件产品中有3件次品,不放回地抽取2次.在第一次抽出的是次品的条件下,则第二次抽出正品的概率是A .307 B .97 C .103 D .1076.=+⎰x xx xd sin cos 2cos 4πA .)12(2-B .12+C .12-D .22-7.已知m ,n 是两条不同的直线,γβα,,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是 A .若βαγα⊥⊥,,则βγ// B .若βα⊂⊂n m n m ,,//,则βα// C .若α//,//m n m ,则α//n D .若βα⊥⊥n m n m ,,//,则βα//8.已知点P 是双曲线1422=-y x 上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A ,B ,则=⋅A .2512-B .2512C .2524-D .54- 9.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,,且bc a b +=22,6π=A ,则内角C =A .6π B .4π C .43π D .4π或43π10.已知点P 为曲线03225=+--y x xy 上任意一点,O 为坐标原点,则||OP 的最小值为 A .25 B .26 C .2 D .332二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.执行如图所示的程序框图,如果输入2,1==b a , 则输出a 的值为 .12.10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为 .13.已知向量 )7,2(-=,)4,2(--=,若存在实数λ,使得⊥-)(λ,则实数λ为 .14.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+,0,1,1y x y y x 若目标函数ay x a z +-=)1(在点)0,1(-处取到最大值,则实数a 的取值范围为 . (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)已知AB 是⊙O 的弦,P 是AB 上一点,3,24,26===OP PA AB ,则⊙O的半径=R . 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,点)3,2(π-P 到直线1)6sin(:=-πθρl的距离是 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数a x a x x x f )(32sin()3cos(sin 2)(ππ++-⋅=为常数)的图象经过点)3,6(π.(Ⅰ)求a 的值及函数)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)解不等式0)(≥x f . 18.(本小题满分12分)已知{a n }是由正数组成的数列,其前n 项和n S 与n a 之间满足:),1(41221*∈≥+=+N n n S a n n . (Ⅰ)求数列{a n }的通项n a ;(Ⅱ)设n nn a b )21(=,求数列}{n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)在三棱柱111C B A ABC -中,底面ABC ∆为正三角形且边长为a 3,侧棱a AA 21=,点A 在下底面的射影是111C B A ∆的中心O . (Ⅰ)求证:111C B AA ⊥;(Ⅱ)求二面角111C AA B --所成角的余弦值.20.(本小题满分12分)某工厂的一个车间有5台同一型号的机器均在独立运行,一天中每台机器发生故障的概率为1.0,若每一天该车间获取利润y (万元)与“不发生故障”的机器台数)5,(≤∈n n n N 之间满足关系式:⎩⎨⎧≥-≤-=).3(33),2(6n n n y (Ⅰ)求某一天中有两台机器发生故障的概率;(Ⅱ)求这个车间一天内可能获取利润的均值(精确到0。
2015-16高二下学期数学(理)期末调研试卷(附答案)
图12015-16高二下学期数学(理)期末调研试卷本试卷共4页,20小题,满分150分,测试用时120分钟。
不能使用计算器. 注意事项:1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.2. 做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效. 5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式h S V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.⒈ i 是虚数单位,=+-i25A .i +2B .i +-2C .i -2D .i --2⒉已知点)0 , 4 , 3(A 和向量)1 , 2 , 1(-=a ,点) , , 0(n m B 在yOz 平面上,使向量//a ,则点B 的坐标为A .)3 , 10 , 0(-B .)3 , 10 , 0(-C .)3 , 2 , 0(-D .)3 , 2 , 0(- ⒊7)21(x -的展开式的第4项的系数为A .280B .560C .280-D .560-⒋某几何体的三视图如图1所示(图中标记的数据 为2或4),则该几何体的体积为 A .π88+ B .π816+ C .π168+ D .π1616+ ⒌“2πϕ=”是“函数)sin(ϕ+=x y 的图象关于y 轴对称”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件⒍双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )的顶点为1A 、2A ,焦点为1F 、2F ,若1A 、2A 是线段21F F 的三等分点,则双曲线的离心率=e A .23B .2C .25D .3⒎设R a ∈,若函数ax e y x +=+1(R x ∈)有大于0的极值点,则A .e a -<B .e a ->C .1-<aD .1->a⒏设n n n C B A ∆(*∈N n )三边的长分别为n a 、n b 、n c ,n n n C B A ∆的面积为n S ,若11c b >,1112a c b =+,n n a a =+1,21n n n c a b +=+,21nn n b a c +=+,则 A .{}n S 为递减数列 B .{}12-n S 为递增数列,{}n S 2为递减数列 C .{}n S 为递增数列 D .{}12-n S 为递减数列,{}n S 2为递增数列二、填空题:本大题共7小题,每小题6分,满分30分.㈠必做题(9~13题)⒐一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的 时间为5秒,绿灯的时间为40秒.一辆汽车到达 路口,看见红灯的概率是 . ⒑已知命题p :R x ∈∃0,0120>-x . 则命题p 的否定p ⌝: .⒒执行如图2所示的程序框图,输出S 的值为 . ⒓经过圆C :5)2()1(22=-++y x 上一点)1 , 1(P , 且与圆C 相切的直线的方程是 .⒔若]21, 0(∈∀x ,恒有x a x log 4<,则a 的取值范围是 .㈡选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)⒕(选做题)计算:31+-、531-+-、7531+-+-、……,根据计算结果找规律填空:=--+++-+-)12()1(7531n n . ⒖(选做题)如图3,M 是抛物线x y 42=上一点,F 是抛物线 的焦点,若0120=∠MFO ,则=MF .三、解答题:本大题共6小题,满分80和演算步骤.⒗(本小题满分12分)如图4,海中有一小岛P ,周围4海里内有暗礁.海轮由西向东航行,在A 处望见岛P 在北偏东075.航行10海里到达B 处,望见岛P 在北偏东060.如果海A BCDFG1A 1B 1C 1D⒘(本小题满分13分)已知数列{} n a 的前n 项和2310n n S n -=(*∈∀N n ). ⑴求n a ;⑵求集合{}*∈<N n a n n , 0|(用列举法表示).⒙(本小题满分14分)如图5,1111D C B A ABCD -是长方体,2==BC AB ,E 、F 分别是棱BC 、1BB 上一点,1==BF BE ,经过D 、E 、F 三点的平面与棱1AA 相交于G .⑴求AG ;⑵求二面角D FG A --的余弦值.⒚(本小题满分13分)为考察某种药物防治疾病的效果,对105只动物进行试验,得到如下的列联表:药物效果试验列联表⑴能否以%5.97的把握认为药物有效?为什么?⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验,求抽取的3只动物中服药动物数量ξ的分布列及其均值(即数学期望).参考公式与数据:))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=⒛(本小题满分14分)点M 与定点)0 , 2(F 的距离和它到直线8=x 的距离之比是2:1. ⑴求点M 的轨迹方程(写成标准方程形式);⑵设点M 的轨迹与x 轴相交于1A 、2A 两点,P 是直线8=x 上的动点,求21PA A ∠的最大值.21.(本小题满分14分)已知函数x ax x f ln 1)(-+=,其中R a ∈是常数.⑴若曲线2)]([x f y =在点))1( , 1(f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; ⑵求函数)(x f 的极值;⑶试讨论直线e x y +-=(e 为自然对数的底数)与曲线)(x f y =公共点的个数.评分参考一、选择题 DBCB ADAC二、填空题 ⒐52⒑R x ∈∀(2分),012≤-x (3分,其中,等号1分)⒒78 ⒓012=--y x ⒔)1 , 22((端点各2分,格式1分)⒕n n )1(- ⒖4三、解答题⒗(方法一)从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ,垂足为C ……1分设PC 长为x 海里,BC 长为y 海里,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=0015tan 1030tan y x y x ……7分消去变量y 得1015tan 30tan 00-=xx ……9分 解得515tan 30tan 30tan 15tan 100000=-=x ……11分 45>,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分(方法二)从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ,垂足为C ……1分 在△PAB 中,∠PAB=900-750=150,∠PBA=900+600=1500,从而 ∠APB=1800-150-1500=150,∠PAB=∠APB ……6分(其中,求∠APB 给2分)PB=AB=10……8分,PC=PB×sin300=5……11分(其中,列式给2分)45>,所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分⒘⑴1=n 时,911-==S a ……1分1>n 时,1--=n n n S S a ……3分11233])1(10)1[(1022323+-=-----=n n n n n n ……5分1=n 时,9112332-=+-n n ……6分所以,*∈∀N n ,112332+-=n n a n ……7分 ⑵(方法一)由⑴得0112332<+-=n n a n ……8分 所以32397233239723⨯+<<⨯-n ……10分 因为*∈∀N n ,所以71≤≤n ……12分 (或“132397230<⨯-<,832397237<⨯+<……12分”)所求集合{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n a n n ……13分(方法二)设2310)(x x x f -=,) , 1[∞+∈x ,则x x x f 203)(2/-=……10分由0203)(2/<-=x x x f ,得3200<<x ……11分 由32010<-<n ,*∈∀N n 得7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2=n ……12分,911<-==S a ,019788>=-=S S a ,所以{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n an n……13分⒙⑴1111D C B A ABCD -是长方体,面//11B BCC 面11A ADD ……1分DEFG 在同一平面上,所以DG EF //……2分,ADG BEF ∠=∠……3分由已知得BEF ∆和ADG ∆都是等腰直角三角形,所以2==AD AG ……4分 ⑵(方法一)在平面11A ABB 内作FG AH ⊥,垂足为H ,连接DH ……5分⊥AD 面11A ABB ,所以FG AD ⊥……6分A AH AD = ,所以⊥FG 面ADH ……7分所以DH FG ⊥,AHD ∠是二面角D FG A --的平面角……8分 在AFG ∆中,5==FG AF ,2=AG ……9分 由余弦定理得53cos =∠AFG ……11分 54sin =∠AFG ,554sin =∠⨯=AFG AF AH ……12分 所以55622=+=AD AH DH ……13分,32cos ==∠DH AH AHD ……14分 (方法二)以B 为原点,BC 、BA 、1BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……5分,则平面AFG 的一个法向量为)0 , 0 , 1( 1=n ……6分)0 , 2 , 2(D ,)0 , 0 , 1(E ,)1 , 0 , 0(F ……7分设平面D F G 即平面D E F 的一个法向量为) , , (2c b a n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n DE n ……9分,即⎩⎨⎧=+-=+02c a b a ……11分,b c a 2-==,不妨取)2 , 1 , 2(2-=n ……12分二面角D FG A --的余弦值32cos 2121=⋅=θ……14分 ⒚⑴024.51.675305055)45203010(105))()()(()(22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k (3)分(其中,不论是否写公式,正确代入1分,近似计算1分,比较1分) 所以,能以%5.97的把握认为药物有效……4分 ⑵ξ服从超几何分布……5分其中30=N ,10=M ,3=n ,0=ξ,1,2,3……6分20357)0(330320010=⋅==C C C P ξ,20395)1(330220110=⋅==C C C P ξ, 20345)2(330120210=⋅==C C C P ξ,2036)3(33020310=⋅==C C C P ξ……10分 分布列为……11分ξ的均值(即数学期望)120363203452203951203570=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……13分⒛⑴设) , (y x M 是轨迹上任意一点……1分依题意,21|8|)2(22=-+-x y x ,即|8|)2(222-=+-x y x ……3分两边平方得,222)8()2(4-=+-x y x ……4分化简得点M 的轨迹方程为1121622=+y x ……6分(未化成标准方程扣1分) ⑵由⑴得)0 , 4(1-A 、)0 , 4(2A ……7分设直线8=x 交x 轴于Q ,根据椭圆的对称性,不妨设) , 8(m P (0>m ),则(方法一)m PQ A 12tan 1=∠,mPQ A 4tan 2=∠……9分 PQA PQ A PQA PQ A PQ A PQ A PA A 21212121tan tan 1tan tan )tan(tan ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠……10分4882+=m m……11分0>m ,所以m m 38482≥+……12分,所以334882≤+m m ……13分 x tan 在区间)2 , 0(π单调递增,所以21PA A ∠的最大值为6π……14分(方法二)cos 212121PA A =∠……8分2222241248+⋅++=m m m ……10分,222264)48(48mm m +++=0>m ,所以m m 38482≥+……11分,222)48(3164+≤m m ……12分 所以233111cos 21=+≥∠PA A ……13分 x cos 在区间)2 , 0(π单调递减,所以21PA A ∠的最大值为6π……14分21.⑴)1)(ln 1(2)()(2//xa x ax x f x f y --+=⋅=……1分依题意,0)1)(1(2|1/=-+==a a y x ……2分,解得1±=a ……3分⑵xa x f 1)(/-=,0>x0≤a 时,0)(/<x f ,)(x f 单调递减,无极值……4分 0>a 时,由0)(/=x f 得ax 1=……5分 当a x 10<<时0)(/<x f ,当a x 1>时0)(/>x f ……6分,所以)(x f 在ax 1=处取得极小值,极小值为a af ln 2)1(+=……7分⑶记x e x a e x x f x g ln )1()1()()()(--++=+--=,则直线e x y +-=与曲线)(x f y =公共点的个数即函数)(x g 零点的个数.xa x g 1)1()(/-+= 1-≤a 时,0)(/<x g ,)(x g 单调递减,且值域为R ,有一个零点……8分 1->a 时,由0)(/=x g 得11+=a x ……9分 当110+<<a x 时0)(/<x g ,当11+>a x 时0)(/>x g ……10分,所以)(x f 在11+=a x 处取得极小值,极小值为)1ln()2()11(++-=+a e a g ……11分 当0)1ln()2()11(>++-=+a e a g ,即12->-e e a 时,)(x g 无零点……12分 当0)1ln()2()11(=++-=+a e a g ,即12-=-e e a 时,)(x g 有一个零点……13分当0)1ln()2()11(<++-=+a e a g ,即112-<<--e e a 时,)(x g 有两个零点. 综上所述,1-≤a 或12-=-e e a 时,直线e x y +-=与曲线)(x f y =有一个公共点;112-<<--e e a 时,有两个公共点;12->-e e a 时,无公共点……14分.。
湖北省五校高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案
2015—2016学年度下学期孝感市五校教学联盟期末联合考试 高二数学(理)试卷命题人:蒋社林 审题人:艾小红第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.复数121ii++的虚部是 ( ) A.2i B.12 C.12i D.322.用反证法证明命题:“在一个平面中,四边形的内角中至少有一个不大于90度”时,反设正确的是( )A.假设四内角至多有两个大于90度B.假设四内角都不大于90度C.假设四内角至多有一个大于90度D.假设四内角都大于90度3.已知曲线()y f x =在5x =处的切线方程是8y x =-+,则(5)f 及(5)f '分别为( )A .3 , 3B .3,-1C .-1, 3D .-1,-14.在空间直角坐标系中,已知点),,(z y x P ①点P 关于x 轴对称点的坐标是),,(1z y x P - ②点P 关于yoz 平面对称点的坐标是),,(2z y x P --③点P 关于y 轴对称点的坐标是),,(3z y x P -④点P 关于原点对称点的坐标是),,(4z y x P ---.其中正确的个数是 ( )A.3B.2C.1D.05.设a R ∈,则1a >是11a< 的 ( ) A .充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件6. 以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是( )A .23x y =或23x y -=B .23x y =C .x y 92-=或23x y = D .23x y -=或x y 92=7.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =图象如下图所示,则导函数)(x f y '=的图象可能为 ( )8. ( )A 9.以下三个命题中:①设有一个回归方程23y x ∧=-,变量x 增加一个单位时,y 平均增加3个单位; ②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.其中真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.310.已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、分别是双曲线的左、右焦点,以坐标原点O 为圆心,1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当△21F PF 的面积为2a 时,双曲线的离心率为( )A.211.苏菲有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节 需选择一套服装参加歌舞演出,则苏菲有几种不同的选择方式( ) A .24 B .14C .10D .912.设()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x >时,()()0f x xf x '+>,且(1)0f =,则不等式()0xf x >的解集为( )A .(-1,0)∪(1,+∞)B .(-1,0)∪(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ,且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨 方程是 .14.观察下列式子:2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,…根据以上式子 可以猜想:2222111112342015+++<___ _. 15.如图,若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中 阴影部分的概率为 .16.对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠,定义:()f x ''是函数()y f x =的导数()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解0x ,则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.有同学发现:任何一个三次函数都有“拐点”, 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条 件,则函数32()33f x x x x =-+的对称中心为__________.三.解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为X和Y ,它们的分布列分别为(1) 求a ,b 的值;(2) 计算X 和Y 的期望与方差,并以此分析甲、乙两射手的技术情况.18.(本小题满分12分)已知命题p :方程22121x y m m +=--所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线,命题q :复数z=(m-3)+(m-1)i 对应的点在第二象限,又p 或q 为真,p 且q 为假,求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分) 如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中 , 090,1=∠==BCA CB CA ,棱21=AA ,N M 、分别为A A B A 111、的中点.(1)求 11cos ,BA CB <>的值; (2)求证:MN C BN 1平面⊥ (3)求的距离到平面点MN C B 11.20.(本小题满分12分)已知函数21()3(1)ln 2f x x x a x =-+-,()g x ax =,()()()3h x f x g x x =-+.(1)当5a =时,求函数()f x 的导函数()f x '的最小值; (2)当3a =时,求函数()h x 的单调区间及极值;21. (本小题满分12分)双曲线C 的中心在原点,右焦点为F ),渐近线方程为 x y 3±=.(1)求双曲线C 的方程;(2)设直线l :1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点,问:当k 为何值时,以AB 为直径的圆过原点;22. 已知函数32*11()(1)()32n f x x n x x n N =-++∈,数列{}n a 满足1()n n n a f a +'=,13a =.(1)求234,,a a a ;(2)根据(1)猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明; (3)求证:222121113(25)(25)(25)2n a a a +++<---2015—2016学年度下学期孝感市五校教学联盟期末联合考试高二数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题1-12 BDBCA DDACB BA 二、填空题13. 22143x y += 14. 4029201515.2π 16.(1,1) 三、解答题17.解:(1)a=0.5,b=0.6 ………………………… 2分(2)E(X)=0×0. 1+1×0.5+2×0.4=1.3D(X)=222)3.12(4.01.3)-(10.5)3.10(1.0-⨯+⨯+-⨯=0.41 E(Y)=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4D(Y)=222)4.12(6.01.4)-(10.2)4.10(2.0-⨯+⨯+-⨯=0.64 … 6分 E(X) < E(Y) ,D(X) < D(Y) ………………………… 8分∴ 乙的平均得分高,甲的得分更加稳定. …………………………… 10分18.解:若p 为真,则2010m m -<⎧⎨->⎩得m >2; ………………… 2分若命题q 为真,则3010m m -<⎧⎨->⎩ 得1<m <3; …………………………4分由p∨q 为真,p∧q 为假知p ,q 一真一假;…………………………6分∴213m m m >⎧⎨≤≥⎩,或或213m m ≤⎧⎨<<⎩; ………………………… 8分∴解得m≥3,或1<m≤2; ………………………… 11分 ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).………………………… 12分19. 以C 为原点,CA 、CB 、CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的坐标系O -xyz(1)依题意得)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A ,∴ )2,1,0(),2,1,1(11=-=CB BA ∴1110(1)1223BA CB ⋅=⨯+-⨯+⨯=56==,∴11,cos CB BA <>=11113010BA CB BA CB ⋅=⋅ …………………………4分 (2) 依题意得)1,0,1(),2,1,0(),2,0,0(),2,0,1(111N B C A∴ )2,21,21(M ,∴ 111(,,0)22C M =,)1,0,1(1-=N C ,)1,1,1(-=BN∴ 1111(1)10022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=1110(1)(1)10C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯= ∴ C ⊥1,C ⊥1∴ N C BN M C BN 11,⊥⊥∴ MN C BN 1平面⊥ …………………………8分(3) )1,1,1(-=为平面1C MN 的法向量,又11C B =(0,1,0)则距离d =11C B BN BN⋅=33………………………… 12分20. 解:(1)11()33a a f x x x x x--'=-+=+-,其中0x >. 因为5a =,又0x >,所以43431x x+-≥-=, 当且仅当2x =时取等号,其最小值为1……………………………4分(2)当3a =时,21()2ln 32h x x x x =+-,2(1)(2)()3x x h x x x x--'=+-=. ………………………………………………6分 ,(),()x h x h x '的变化如下表:函数()h x 在1x =处取得极大值52-,在2x =处取得极小值2ln 24-. …………………………………12分21.解:(1)易知 双曲线的方程是1322=-y x . …………………………4分(2)由221,31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()022322=---kx x k ………………………………6分 由03,02≠->∆k 且,得,66<<-k 且 3±≠k . 设()11,y x A 、()22,y x B ,又12223k x x k -+=-,12223x x k =-,…………………………8分 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=, 因为以AB 为直径的圆过原点,所以OB OA ⊥,所以 12120x x y y +=. …………………………………10分 所以 22103k +=-,解得1±=k . …………………………12分22.解:(1)2()(1)1n f x x n x '=-++,13a =,又21(1)1n nn a a n a +=-++, ∴2211214a a a =-+=,2322215a a a =-+=, 2433216a a a =-+=.………3分 (2)猜想2n a n =+,用数学归纳法证明. 当n =1时显然成立,假设当n =k(k ∈N *)时,a k =k +2, 则当n =k +1(k ∈N *)时,精 品 文 档试 卷 a k +1=a 2k -(k +1)a k +1=(k +2)2-(k +1)(k +2)+1,=k +3=(k +1)+2,∴当n =k(k ∈N *)时,猜想成立.根据数学归纳法对一切n ∈N *,a n =n +2均成立. ………………8分(3)当k≥2时,有2211(25)(21)k a k =--<1111()(21)(23)22321k k k k =-----, 所以n ≥2时,有211(25)nk k a =-∑<1+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -3-12n -1 =1+12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -1<1+12=32. 又n =1时,21(21)k a -=1<32 故对一切n ∈N *,有211(25)nk k a =-∑<32 ………………12分。
武昌区2014-2015年度第二学期期末调研考试高二数学试卷(精)
it”,上.:・ *t<«. ・•・・今4a»<»X4.ft.・•■二•!》 . «<a«sxc«■■今-v ・■丨•-.AIM .12 4«. «<Ni»*・ a«*Niaiuie>MMi*.只•一•>雳MIR9MCU ••x*ir -(<r a -**«♦.・・ 9・A rt «•・isac.D g«*Fo ,.・■ •:、・“・<r* •«・ w►-4 FB IC. 11D. 11m waawtaviMbnHnehtHb ・■■••ve ・ •“■・ itweii■u ・e ・ei. tai ■ ・ MM ■PMNI ・耐■ mr w*if ・ *c«r t«<! ・■・ •*••・■瓠 ・♦•♦71 IWUMI I JU «KMMLflf1t ・4KtUTM ・li9\ e*Jena*^|i »J •■攵dy ««AUIIA ・■■ (P -OUGr ♦・) B. CFe ・■ C. (p -IMS* F D GM e*A ■ r. p«ue wcn«eaiM4i * *・ •・・”■•・40*VTi.<IDI« ・E 11 (HMAJKy «<A^F«WMUii|hM ・i,■・氏▼■■■<«・ f £・ a«a,(T) tVLKOR ■■■・X.・sa-・^・*4个•>«・”■,伶・tie* # .一 iRBfnWi9<> SKC ■ B4W.C.GW" ___________________ E ・W\ !ir> A ••••他 •吻代”eai Raaar eatsit. aMcaaracati■\:•4 t•▼ ••piiv!•ue M r!•■ *••a > n »• ejiAVT E ・><♦•几■■■■臨■ •■><・ p r a. ••••"■•t» ・“"yK•■«!e.AM 9^* vmn ・・・o ・ KM lite ・・3・x ・,•为・•• lb[?•» tMia.P -” ・》 •Ht -IM ・・-・。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末考试理数试题Word版含解析
全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.复数211ii i-+- 等于( ) A. i B. 0 C.-i D.1+i 【答案】B 【解析】 试题分析:212(1)(1)()1101(1)(1)()i i i i i i i i i i i i -+--+=+=+--=--+-; 故选B.考点:复数的运算.2.设x x x x f ln 42)(2--=,则函数()f x 单调递增区间为(A ) ),0(+∞ (B ))0,1(-和),2(+∞ (C )),2(+∞ (D))0,1(- 【答案】C 【解析】 试题分析:242242(1)(2)()22x x x x f x x x x x--+-'=--==,由2(1)(2)()0x x f x x+-'=>解得:10,2x x -<<>或;所以函数()f x 单调递增区间为)0,1(-和),2(+∞; 故选B考点:函数的导数与函数单调性的关系. 3.函数()y f x =的图象如图所示,若()f x dx m π=⎰,则20()f x dx π⎰等于( )A .mB .2mC .m -D .0【答案】D考点:定积分.4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为( )A. y =B. y =C.y x =D.32y x =±【答案】B 【解析】试题分析:由于抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ,又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同,所以双曲线的半焦距4c =;从而422,c a b a a==⇒===,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=;故选B.考点:双曲线与抛物线的简单几何性质. 5. 曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )A .2e B .22e C .24e D .292e (第3题图)【答案】A 【解析】试题分析: 由于11122211()22x x x y e ee ''===,所以曲线12x y e =在点2(4,)e 处的切线的斜率2412x k y e ='==,从而切线方程为:221(4)2y e e x -=-,即2212y e x e =-; 令0x =得2y e =-;令0y =得2x =;从而切线与坐标轴所围三角形的面积为22122S e e =⨯⨯-=;故选A.考点:导数的几何意义. 6.下列命题错误的是 ( )A 、命题“若0m >,则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根,则0m ≤”B 、“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C 、对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ,则R x p ∈∀⌝:,均有012≥++x xD 、若q p ∧为假命题,则,p q 均为假命题 【答案】D 【解析】试题分析:对于A :命题“若0m >,则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为“若方程02=-+m x x 无实数根,则0m ≤”是真命题;对于B :当1=x 时有0232=+-x x 成立,但当0232=+-x x 时,有1=x 或2x =;知B 是真命题;对于C :对于命题:p x R ∃∈,使得012<++x x ,则R x p ∈∀⌝:,均有012≥++x x 也是真命题;对于D :若q p ∧为假命题,则只要,p q 中至少有一个是假命题即可,所以它是假命题; 故选D.考点:简单命题真假判断.7.棱长均为3的三棱锥ABC S -,若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x则( )A 、6B 、36C 、63 D 、1 【答案】A 【解析】试题分析:∵空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=)1(=++z y x , ∴点P 在平面ABC 内.因此当SP ⊥平面ABC ,P∵三棱锥S-ABC 的棱长均为3,∴点P 为底面ABC 的中心.如图:∴2,33AP AD AD AP ===∴=在Rt △APS中,SP ===故选A.考点:1. 向量在几何中的应用;2. 平面向量的基本定理及其意义.8.已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示,其中)(x f '为函数)(x f 的导函数,则)(x f y =的大致图象是( )【答案】B 【解析】试题分析:先结合函数)()1(x f x y '-=的图象得到当x >1时,()0f x '>,根据函数的单调性与导数的关系可知单调性,从而得到()y f x =在(1,)+∞上单调递增,从而得到正确选项.结合图象可知当x >1时,(1)()0y x f x '=->即f'(x )>0,∴()y f x =在(1,)+∞上单调递增. 故选B .考点:函数的单调性与导数的关系.9.如图,过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点,其中一条与双曲线交于点B ,若三角形ABF 2是等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 ( )A B D 【答案】B 【解析】试题分析:设12,AF x AF m ==,由已知有2AF AB =,则122,BF m x a BF =-==212BF BF a ∴-=22,4a a a m -=⇒=又2m x a -=,解得,x =在12AF F ∆中,由勾股定理知:2c m ==,所以双曲线的离心率4mc e a ===; 故选B .考点:双曲线的简单性质.10.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E F ,分别是1AB , 1BC 的中点,则以下结论中不成立...的是( ) A .EF 与1BB 垂直B .EF 与BD 垂直C .EF 与CD 异面D .EF 与11A C 异面 【答案】D 【解析】试题分析:连接1B C ,则1B C 交1BC 于点F ,且F 为1BC 的中点,三角形1B AC ∆中1//2EF AC =,所以//EF 平面ABCD ,而1BB ⊥平面ABCD ,所以EF 与1BB 垂直;又AC BD ⊥,所以EF 与BD 垂直,EF 与CD 异面;由1//2EF AC =,11//AC A C 得11//EF A C ;故选D.考点:空间直线位置关系的判定.11. 已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x xf x f x ->(其中'()f x 是函数ABC1A 1C 1D 1B DE F()f x 的导函数),则下列不等式成立的是( ) A .2(2)(1)f f -<- B .2(1)(2)f f > C .4(2)(0)f f -> D .2(0)(1)f f > 【答案】A 【解析】试题分析:构造函数()()2xf xg x =,则22()2()ln 2()(2)x x x f x f x g x '-'=, 由于对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->,所以()0g x '>, 即函数()()2x f x g x =在R 上是单调递增函数,从而 (2)(1),g g -<-.(1)(2),g g <(2)(0),g g -<(0)(1),g g <即21(2)(1),22f f ----<2(1)(2),22f f <20(2)(0),22f f --<0(0)(1),22f f < 所以有2(2)(1)f f -<-,2(1)(2)f f <,4(2)(0)f f -<,2(0)(1)f f < 故选:A.考点:利用导数研究函数的单调性. 12.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()l n (1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则,,αβγ的大小关系为( ) A .αβγ>>B .βαγ>>C .γαβ>>D .βγα>>【答案】C 【解析】 试题分析:21()1,(),()31g x h x x x x φ'''===+, 由题意得:3211,ln(1),13,1αβγγβ=+=-=+ 由1ln(1),1ββ+=+得1(1),e ββ++=当1β≥时,12,β+≥121ββ∴+≤⇒<这与1β≥矛盾;所以1β<;再由3213,γγ-=知0γ=时等式不成立, 所以3231301,1γγγγ-=>⇒>∴> 综上知γαβ>> 故选:C.考点:1.导数的运算;2.新定义.第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案涂在答题卡上) 13.复数4312ii++的虚部为 . 【答案】-1 【解析】 试题分析:因为43(43)(12)105212(12)(12)5i i i ii i i i ++--===-++-,所以其虚部为-1. 故答案为:-1.考点:复数的除法及有关概念.14.用数学归纳法证明某命题时,左式为nn 111.4131211--++-+-(n 为正偶数),从“n=2k ”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 【答案】112122k k -++(写21-11++n n 也给分)考点:数学归纳法.15.设21 , F F 为双曲线12222=-b y a x 的左右焦点,点P 在双曲线的左支上,且||||122PF PF 的最小值为a 8,则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】]3 ,1( 【解析】试题分析:由题意可得:221||8||PF a PF =,并且212PF PF a -=所以214,2PF a PF a ==.因为P 是为双曲线12222=-b y ax 左支上的一点,所以211262PF PF a F F c +=≥=,即3ce a=≤, 所以双曲线的离心率的取值范围是(1,3]. 故答案为:]3 ,1(. 考点:双曲线的简单性质. 16.已知()0,x ∈+∞,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x +≥,…,可推广为1n ax n x+≥+,则a 等于 . 【答案】nn 【解析】试题分析:由()0,x ∈+∞时,有不等式:12x x +≥, 243x x +≥,3274x x+≥…,归纳得:不等式左边第二项的分子为nn ,即n a n =. 故答案为:nn 考点:归纳推理.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知命题p :[]0,2,12≥-∈∀a x x ,命题q :022,0200=-++∈∃a ax x R x ,若“p 且q ”为真命题,求实数a 的取值范围. 【答案】1=a 或2-≤a . 【解析】试题分析:先求出命题p ,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到p ,q 全部为真,可求出a 的范围.试题解析:由“p 且q ”为真命题,则p ,q 都是真命题.p :a x ≥2在[]2,1上恒成立,只需()1min2=≤x a ,所以命题p :1≤a ;q :设()a ax x x f -++=222,存在R x ∈0使()00=x f ,只需()02442≥--=∆a a ,即022≥-+a a 21-≤≥⇒a a 或,所以命题q :21-≤≥a a 或.由⎩⎨⎧-≤≥≤211a a a 或得1=a 或2-≤a 故实数a 的取值范围是1=a 或2-≤a 考点:复合命题的真假、真值表.18.(本题满分12分) 已知函数2()ln f x x a x =+. (1)当2a e =-时,求函数()f x 的单调区间和极值;(2)若函数2()()g x f x x=+在上是减函数,求实数a 的取值范围. 【答案】(I)减,∞+)增,()0f x f ==极小;(II )632a ≤-. 【解析】试题分析:(1)当2a e =-时,'()f x =利用x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况可求函数f (x )的单调区间和极值; (2)由22()ln g x x a x x=++,得'22)2a x x x x =+-g(,由g'(x )≤0在上恒成立,可得22a x x ≤-2,在上恒成立.构造函数22)x x x=h(-2,利用导数法求其最小值即可.试题解析:(1)'2((),x x f x x∞=定义域(0,+),………2分减,∞+)增, ………4分()0f x f ==极小 ………6分(2)'22)2a x x x x=+-g(………8分 []'x ≤g()0在1,4上恒成立,22a x x≤-2,………10分[]22)x x x=h(-2在1,4为减函数,63))2a x ∴≤==-min h (h(4………12分考点:1. 函数在某点取得极值的条件;2. 函数的单调性与导数的关系.19.(本题满分12分) 如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=°,O 为BC 中点.(Ⅰ)证明:SO ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A SC B --的余弦值.OSBC【答案】(I )证明祥见解析;(II )3. 【解析】试题分析:(I )欲证SO ⊥平面ABC ,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO 与平面ABC 内两相交直线垂直,而SO ⊥BC ,SO ⊥AO ,又AO∩BO=O,满足定理条件;(II )以O 为坐标原点,射线OB ,OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz ,求出两半平面的法向量,求出两法向量的夹角即可.试题解析:(Ⅰ)由题设AB AC SB SC ====SA ,连结OA ,ABC △为等腰直角三角形,所以2OA OB OC SA ===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,SO BC ⊥,且2SO SA =,从而222OA SO SA +=. 所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥. 又AOBO O =. 所以SO ⊥平面ABC .…………………6分(Ⅱ)解法一:取SC 中点M ,连结AM OM ,,由(Ⅰ)知SO OC SA AC ==,, 得OM SC AM SC ⊥⊥,.OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角.由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=,,得AO ⊥平面SBC .所以AO OM ⊥,又AM =,故sin AO AMO AM ∠===.所以二面角A SC B --的余弦值为3………………12分 解法二:以O 为坐标原点,射线OB OA ,分别为x 轴、y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系O xyz -.设(100)B ,,,则(100)(010)(001)C A S -,,,,,,,,.SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,,,,,. 00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴,.故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>,,<等于二面角A SC B --的平面角.……10分3cos MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅,所以二面角A SC B --的余弦值为3.………12分 考点:1. 直线与平面垂直的判定;2. 二面角.20.(本小题满分12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为离心率为2,其右焦点为F ,过点(0,)B b 作直线交椭圆于另一点A . (1)若6AB BF ⋅=-,求ABF ∆外接圆的方程;(2)若过点(2,0)M 的直线与椭圆:N 222213x y a b +=相交于两点G 、H ,设P 为N 上一点,且满足OG OH tOP +=(O 为坐标原点),当253PG PH -<时,求实数t 的取值范围.【答案】(I )223x y +=或225((333x y -+-=;(II )23t -<<-,或2t <<. 【解析】试题分析:(1)利用椭圆的简单性质求得它的标准方程,设00(,)A x y ,由6AB BF ⋅=-求得A 的坐标,由此求得三角形外接圆的半径,即可求得外接圆的方程.(2)由题意可知直线GH 的斜率存在,把GH 的方程代入椭圆,由判别式大于零求得212k <(*),再结合253PG PH -<求得214k >,结合(*)得21142k <<,根据OG OH tOP +=,即1212(,)(,)x x y y t x y ++=,结合点P 在椭圆上可得22216(12)k t k =+,从而求得实数t 的取值范围.试题解析:(1)由题意知:c =2c e a ==,又222a b c -=,解得:a b =椭圆C 的方程为:22163x y +=2分可得:B ,F ,设00(,)A x y ,则00()AB x y =-,(3,BF =,6AB BF ⋅=-,00)6y=-,即00y x =由220000163x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩000x y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩,或0033x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即(0,A,或(,33A 4分①当A 的坐标为(0,时,OA OB OF ===,∴ABF ∆外接圆是以O 为半径的圆,即223x y += 5分 ②当A 的坐标为()33时,1AF k =,1BF k =-,所以ABF∆为直角三角形,其外接圆是以线段AB 为直径的圆,圆心坐标为()33,半径为123AB =,ABF ∴∆外接圆的方程为225((333x y -+-= 综上可知:ABF ∆外接圆方程是223x y +=,或225(()333x y -+-= 6分(2)由题意可知直线GH 的斜率存在.设:(2)GH y k x =-,11(,)G x y ,22(,)H x y ,(,)P x y由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得:2222(12)8820k x k x k +-+-= 由422644(21)(82)0k k k ∆=-+->得:212k <(*) 8分 22121222882,1212k k x x x x k k-+==++ 253PG PH -<,253HG ∴<123x -< 214k ∴>,结合(*)得: 10分 OG OH tOP +=,1212(,)(,)x x y y t x y ∴++=从而21228(12)x x k x t t k +==+,1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上,2222284[]2[]2(12)(12)k k t k t k -∴+=++,整理得:22216(12)k t k =+ 即228812tk =-+,23t∴-<<-,或23t << 12分考点:1. 圆的标准方程;2. 平面向量数量积的运算;3. 直线与圆锥曲线的关系. 21.(本小题满分12分) 已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+. (1)当1a =时,求()f x 在[1,)x ∈+∞最小值; (2)若()f x 存在单调递减区间,求a 的取值范围; (3)求证:1111ln(1)35721n n +>+++++(n ∈*N ). 【答案】(1)min ()(1)1f x f ==;(2)12a <;(3)祥见解析.【解析】试题分析:(1)可先求f′(x ),从而判断f (x )在x ∈[1,+∞)上的单调性,利用其单调性求f (x )在x ∈[1,+∞)最小值;(2)求h′(x ),可得2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++,若f (x )存在单调递减区间,需h′(x )<0有正数解.从而转化为:22(1)0ax a x a +-+<有x >0的解.通过对a 分a=0,a <0与当a >0三种情况讨论解得a 的取值范围;(3)可用数学归纳法予以证明.当n=1时,ln (n+1)=ln2,3ln2=ln8>1⇒1ln 23>,即1n =时命题成立;设当n=k 时,命题成立,即111ln(1)3521k k +>++++成立,再去证明n=k+1时,1111ln(2)352123k k k +>++++++成立即可(需用好归纳假设). 试题解析:(1)2()ln 1f x x x =++,定义域为(0,)+∞.222121'()0(1)(1)x f x x x x x +=-=>++ ()f x ∴在(0,)+∞上是增函数.min ()(1)1f x f ==.(2)因为2'2222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+=-=++ 因为若()f x 存在单调递减区间,所以'()0h x <有正数解. 即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解 当0a =时,明显成立 .②当0a <时,22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线,22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解;③当0a >时,22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线, 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>,所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1x ≥时,()(1)1f x f ≥=;1200x x ∆>⎧⎨+>⎩,解得102a <<. 综合①②③知:12a <. 或:22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解即2(21)a x x x ++< 有0x >的解, 即 2(21)xa x x <++有0x >的解,2(21)x a x x <++的最大值(0)x >,12a ∴< (3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当1x >时,2ln 11x x +>+,即1ln 1x x x ->+. 令1k x k +=,则有11ln 21k k k +>+, 1111ln 21nn k k k k k ==+∴>+∑∑. 11ln(1)lnnk k n k=++=∑, 111ln(1)3521n n ∴+>++++. (法二)当1n =时,ln(1)ln 2n +=.3ln 2ln81=>,1ln 23∴>,即1n =时命题成立.设当n k =时,命题成立,即 111ln(1)3521k k +>++++.1n k ∴=+时,2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++. 根据(Ⅰ)的结论,当1x >时,2ln 11x x +>+,即1ln 1x x x ->+. 令21k x k +=+,则有21ln 123k k k +>++, 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++,即1n k =+时命题也成立. 因此,由数学归纳法可知不等式成立.考点:1. 利用导数求闭区间上函数的最值;2. 利用导数研究函数的单调性;3. 数学归纳法. 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。
湖北省武汉市武昌区2014-2015学年高二下学期期末调研考试数学理试题_Word版含答案
武昌区2014-2015学年度第二学期期末调研考试高 二 数 学 (理)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上.2.回条第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卷上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第二卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合M ={x |x 2-2x -3≤0},N ={x ||x |<2},则M ∩N =A .φB .{x |-1≤x <2}C .{x |-2≤x <-1}D .{x |2≤x <3} (2) 已知复数z =a +4i ,且zz +b=4i ,其中a ,b ∈R ,则b =A .-16B .1C .16D .17(3) 对某次联考数学成绩(百分制)进行分析,下图为分析结果的频率分布直方图.根据标准,成绩分数在区间[50,60)上为不及格,在[60,70)上为一般,在[70,80)上为较好,在[80,90)上为良好,在[90,100]上为优秀.用频率估计概率,若从参考学生中随机抽取1人,则其成绩为优良(优秀或良好)的概率为A .0.09B .0.20C .0.25D .0.40(4) 设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y -3≤0 ,x -2y ≥0 ,x +y -3≥0 .则z =2x -y 的最小值为A .3B .6C .9D .12(5) 已知对任意的m ∈⎣⎡⎦⎤12,3,不等式x 2+mx +4>2m +4x 恒成立,则x 的取值范围是A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-3)C .(-∞,-1]∪[2,+∞)D .(2,+∞)(6) 已知A ,B ,C ,D 是以O 为球心的球面上的四点,AB ,AC ,AD 两两互相垂直,且AB =3,AC =4,AD =11,则球的半径为A .1B .4C .5D .6(7) 某几何体的三视图如下,则该几何体的体积为A .1B .2C .2 2D .23(8) 已知实数x ∈[1,9],执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于55的概率为A .13B .23C .38D .58(9) 已知向量a →,b →均为单位向量,其夹角为θ,给出命题:p :|a →·b →|>1;q :θ∈⎣⎡⎭⎫π2,5π6,则p 是q 的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 (10) 某实验室一天的温度(单位:°C )随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24)。
武昌区高二下学期期末质量检测数学试题与答案
注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的本试题卷共5页,共19题.满分150分,考试用时120分钟武昌区高二下学期期末质量检测数学试题..1.若集合{}{3},21,A x x B x x n n =<==+∈Z ∣∣,则A B ∩=( )A.()1,1−B.()3,3−C.{}1,1−D.{}3,1,1,3−−2.在复平面内,复数12,z z 对应的点关于直线0x y −=对称,若11i z =−,则12z z =( ) A.i − B.i C.-1 D.13.已知向量,a b满足1,1a b b === ,则a 在b 上的投影向量为( )A.12b −B.12−C.12bD.124.现将,,,,,A B C D E F 六名学生排成一排,要求,D E 相邻,且,C F 不相邻,则不同的排列方式有 A.144种 B.240种 C.120种 D.72种5.已知角π0,2θ ∈,点()2cos ,cos2θθ在直线y x =−上,则πtan 4θ −=( )A.3−−B.-1C.3−D.3+6.已知数列{}n a 满足120,1a a ==.若数列{}()1,2n n a a n n −+∈≥N 是公差为2的等差数列,则2024a =( )A.2022B.2023C.2024D.20257.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周需要30min .已知在转动一周的过程中,座舱距离地面的高度()m H 关于时间t(min )的函数关系式为()π6550cos 03015H t t =−≤≤若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱,则甲、乙两人座舱高度差的最大值为( )A. B.50m C.)251m − D.25m −8.如图,在棱长为2的正四面体ABCD 中,,M N 分别为棱,AD BC 的中点,O 为线段MN 的中点,球O 的球面正好经过点M ,则下列结论中正确的是( )A.AB MN ⊥B.球O 的的体积与四面体ABCD 外接球的体积之比为1:C.直线MN 与平面BCDD.球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是( )A.一组数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第25百分位数为7B.若随机变量()22,X N σ∼,且(4)0.75P X <=,则(04)0.5P X <<= C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球,从袋中不放回地依次抽取2个球,则第二次取到红球的概率为23D.在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中,抽取男生12人,其平均数为75,方差为893;抽取女生8人,其平均数为70,方差为23,则这20名学生物理成绩的方差为3310.在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中,任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上,称此圆为该椭圆的“蒙日圆”已知长方形ABCD 的四条边均与椭圆22:163x y E +=相切,则下列说法正确的有( ) A.椭圆E 的离心率为12B.椭圆E 的“蒙日圆”的方程为229x y +=C.长方形ABCD 的面积的最大值为18D.若椭圆E 的上下顶点分别为M N 、,则其蒙日圆上存在两个点P 满足PM PN =11.已知函数()cos ln cos f x x x =+,则( )A.函数()f x 的一个周期为πB.函数()f x 在区间π,π2上单调递增 C.函数()f x 在区间ππ0,,π22∪上没有零点 D.函数()f x 的最大值为1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.()51(2)x x +−的展开式中,3x 的系数为__________.(用数字填写答案)13.已知直线1:2l y x =和2:2l y x =−,过动点M 作两直线的平行线,分别交12l l 、于,A B 两点,其中点A 在第一象限,点B 在第四象限.若平行四边形OAMB (O 为坐标原点)的面积为3,记动点M 的轨迹为曲线E ,若曲线E 与直线()2y k x =−有且仅有两个交点,则k 的取值范围为__________. 14.已知函数()(),f x g x 的定义域为(),g x ′R 为()g x 的导函数,且()()10f x g x ′+−=,()()2410f x g x −−−′−=,若()g x 为偶函数,则20241()n f n ==∑__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数()1πsin 2,23f x x ABC=+的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()31cos sin cos 22B f C B B C =+=−. (1)求角B ;(2)设D 为边AC 的中点,且ABC ,求BD 的长. 16.(15分)如图,四棱台1111ABCD A B C D −中,下底面ABCD 为平行四边形,1DD ⊥平面ABCD ,11122,8,AB A B BC AA M ====为BC 的中点,平面11CDD C ⊥平面1D DM .(1)求四棱台1111ABCD A B C D −的体积; (2)求平面1D DM 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 17.(15分)甲、乙两位学生进行答题比赛,每局只有1道题目,比赛时甲、乙同时回答这一个问题,若一人答对且另一人答错,则答对者获得10分,答错者得-10分;若两人都答对或都答错,则两人均得0分.根据以往答题经验,每道题甲答对的概率为12,乙答对的概率为23,且甲、乙答对与否互不影响,每次答题的结果也互不影响.(1)求在一局比赛中,甲的得分X 的分布列与数学期望;(2)设这次比赛共有4局,若比赛结束时,累计得分为正者最终获胜,求乙最终获胜的概率. 18.(17分)已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ,点P 是圆上任意一点,线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)若过原点的两条直线分别交曲线C 于点,A C 和,B D ,且34AC BD k k ⋅=−(O 为坐标原点).判断四边形ABCD 的面积是否为定值?若为定值,求四边形ABCD 的面积;若不为定值,请说明理由. 19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n ,函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为:()0111mm n n a a x a x R x b x b x +++=+++ 且满足:()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++′′′′=′=′= .注:()()()()()()()()()()()454,,,,f x f x f x f x f x f x f x f x ′ ==== ′′′′′′′′′′ ''''. 已知函数()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似()R x . (1)求()R x 的表达式;(2)记()()()()22F x x x R x f x =+−,当0x ≥时,证明不等式()320F x x −≤; (3)当*n ∈N ,且2n ≥时,证明不等式33311111111ln 111232321n n n +++++++>− + .武昌区高二下学期期末质量检测数学试题答案选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CCAACBDCBCDBCDBD填空题:12.-40 13.2k >或2k <− 14.2024解答题:15.(13分)解:(1)因为()1πsin 223f x x =+,所以1πsin 223B f B=+=.所以πsin 3B +因为0πB <<,所以π2π33B +=,所以π3B =.(2)因为()sin 1cos sin cos C B B C+=−, 所以3sin sin cos cos sin sin 2C C B C B B ++=. 所以()3sin sin sin 2C B C B ++=.因为πA B C ++=, 所以3sin sin sin 2C A B +=.所以32c a b +=. 由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+−,而π3B =, 所以222b a c ac =+−,即22()3b a c ac =+−.所以22332b b ac =−,即2512ac b =.因为11πsin sin223ABC S ac B ac === ,所以5ac =.所以25512b =,即212,b b ==.所以ac +因为()12BD BA BC =+,所以()2221||||||24BD BA BC BA BC =++⋅ . 所以22221π111||2cos ()4342BD c a c a a c ac =++⋅=+−= ,所以BD =. 16.(15分)解:(1)取AD 的中点N ,则11A D ∥11,ND A D ND =, 所以,四边形11A D DN 为平行四边形.因为1DD ⊥平面ABCD ,所以1A N ⊥平面ABCD ,即梯形的高为1D D (或1A N ). 在直角三角形1A NA中,求得14A N=.因为1DD ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ,所以1DD CD ⊥. 因为平面11CDD C ⊥平面1D DM ,交线为1D D , 因为1CD D D ⊥,所以CD ⊥平面1D DM . 所以CD MD ⊥,所以DM =.在直角三角形CDM 中,求得边CM的高DM DC MC⋅=,所以,底面ABCD的面积ABCD S BC ==.同理求得上底面面积111114A B B C S =×. 由1DD ⊥平面ABCD ,知梯形的高为114DD A N==,所以(143V =×+. (2)以D 为坐标原点,分别以1,,DM DC DD 所在直线为x 轴,y 轴和z 轴建立空间直线坐标系.则()()()()10,0,0,,0,2,0,0,1,4D M C C .由(1)知,平面1D DM 的一个法向量为()0,2,0DC =.设平面11BCC B 的一个法向量为(),,n x y z =,因为()()10,1,4,2,0CC CM =−−, 所以10,0,n CC n CM ⋅=⋅=所以40,20.y z y −+=−= 令1x =,则yz=.所以n = . 设平面1D DM 和平面11BCC B 的夹角为θ,则cos cos ,n DCn DC n DCθ⋅===⋅17.(15分)解:(1)X 的取值可能为10,0,10−.()121101233P X =−=−×= ,()12110112322P X ==×+−×= , ()121101236P X ==×−= ,所以,X 的分布列为所以()()1115100103263E X =−×+×+×=−. (2)由(1)知,在一局比赛中, 乙获得10分的概率为2111323×−= , 乙获得0分的概率为121211123232×+−×−= ,乙获得-10分的概率为1211236×−= . 在4局比赛中,乙获得40分的概率为4111381P ==, 在4局比赛中,乙获得30分的概率为3324112C 3227P =×= ,在4局比赛中,乙获得20分的概率为32232344111121C C 3632816P =×+×=+ , 在4局比赛中,乙获得10分的概率为2321144241111111C C C 3623396P =××+×=+, 所以,乙最终获胜的概率为123459P P P P P =+++=. 18.(17分)解:(1)由题意知,圆心为()1,0A −,半径为4,且,2QP QB AB ==.因为42QA QB QA QP PA AB +=+==>=, 所以,点Q 的轨迹为以A B 、为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则24,22a c ==,解得2,1a c ==, 所以,2223b a c =−=.所以,曲线C 的方程为22143x y +=.(2)四边形ABCD 的面积为定值,理由如下:当直线AB 的斜率不存在时,直线AB x ⊥轴,此时四边形ABCD 为矩形,且AC BD k k =−.因为121234AC BD y y k k x x ⋅==−,不妨设AC k =,则BD k =.取,A A , 则四边形ABCD的面积1442AAB S S ==×= . 当直线AB 的斜率存在时,设:AB y kx m =+,且()()1122,,,A x y B x y .联立直线AB 与椭圆C 的方程,消去y 并整理,得()2224384120k x kmx m +++−=. 由()()222Δ(8)4434120km k m =−+−>,得22430k m −+>. 所以21212228412,4343km m x x x x k k −+=−=−++. 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以22222122224128312434343m km m k y y k km m k k k −− =×+×−+= +++. 因为121234AC BDy y k k x x ⋅==−,所以22231234124m k m −=−−,即22432k m +=.因为2AB x =−=,所以AB ==. 因为原点O 到直线AB的距离d =ABCD 为平行四边形,所以四边形ABCD的面积1442OABS S ==×=.所以,四边形ABCD 的面积为定值19.(17分)解:(1)由题意,()0111a a xR x b x+=+.因为()()00f R =,所以00a =,所以()111a xR x b x=+.因为()()()1211,11a f x R x xb x ′+′==+,且()()00f R ′=′,所以11a =.因为()()()32112,(1)1b f x R x x b x ′′−′=−=+′+,且()()00f R =′′′′,所以112b =. 所以()22x R x x=+. (2)因为()()()()2222ln 122ln 12xF x x x x x x x=+×−+=−++,所以()()32322ln 1F x x x x x −=−−+ . 记()()23ln 1G x x x x =−−+,则()32213(1)2311x x G x x x x x −−−=−−=++′, 因为0x ≥,所以()0G x ′<,所以()G x 在[)0,∞+单调递减.所以()()00G x G ≤=,所以()320F x x −≤. (3)由(2)得,当0x ≥时,()32ln 1x x x ++≥. 所以,当*n ∈N 时,32111ln 1n nn ++≥ . 又因为()2111111n n n n n >=−++,所以31111ln 11n n n n ++≥− + . 所以,当2n ≥时,31111ln 12223 ++≥− , 31111ln 13334++≥− ,……, 31111ln 11n nn n ++≥− + , 以上各式两边相加,得。
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4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={x||x|<2},则M∩N=
A.φB.{x|-1≤x<2} C.{x|-2≤x<-1} D.{x|2≤x<3}
A.0 B.2C.3 D.4
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.
(13)的展开式中常数项为_____________(用数字作答).
(14) 5人成一排,其中甲与乙不相邻的排法种数为_______________(用数字作答).
(15)已知双曲线有方程为(a>0,b>0),其上一个焦点为F(c,0),如果顶点B(0,b)使得BF垂直于该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的离心率为____________.
(1)如果这4件产品中有三件优质产品,则从这批产品中再任取4件进行检验若都为优质品,则这批产品通过检验;
(2)如果这4件产品全为优质品,则再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;
(3)其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.
(22)(本题满分12分)
已知函数(其中a<0).
(Ⅰ)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对满足条件的a的任意值,f(x)<b在区间(0,1]上恒成立,求实数b的取值范围.
A.(9,17) B.(10,18) C.(11,19) D.(12,20)
(11)抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=
A.B.C.D.
(12)已知a,b,c,d均为实数,函数有两个极值点x1,x2(x1<x2),满足f(x2)=x1,则方程a[f(x)]2+b[f(x)]+c=0的实根个数是
(2)已知复数z=a+4i,且,其中a,b∈R,则b=
A.-16 B.1 C.16 17
(3)对某次联考数学成绩(百分制)进行分析,下图为分析结果的频率分布直方图.根据标准,成绩分数在区间[50,60)上为不及格,在[60,70)上为一般,在[70,80)上为较好,在[80,90)上为良好,在[90,100]上为优秀.用频率估计概率,若从参考学生中随机抽取1人,则其成绩为优良(优秀或良好)的概率为
A.B.C.D.
(9)已知向量,均为单位向量,其夹角为θ,给出命题:p:|·|>1;q:θ∈,则p是q的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(10)某实验室一天的温度(单位:°C)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
,t∈[0,24)。若要求实验室温度不高于11°C,则实验室需要降温的时间为
A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.40
(4)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值为
A.3 B.6C.9 D.12
(5)已知对任意的,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立,则x的取值范围是
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-3) C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.(2,+∞)
19
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给出明码对应的序号x和密码对应的序号y的变换公式:
利用它可以将明码转换成密码,如5→,即e变成c,8→,即h变成q.按上述公
式,若将某明码译成的密码是shxc,那么原来的明码是________________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本题满分10分)
武昌区2014-2015学年度第二学期期末调研考试
高二数学(理)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷答题卡相应位置上.
2.回条第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卷上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;
(Ⅱ)已知每件产品检验费用为80元,且抽出的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.
(21)(本题满分12分)
已知椭圆(a>b>0),ab=,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设A为椭圆的左顶点,过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于M,N两点,直线AM,AN与直线x=4交于P,Q两点.证明:以PQ为直径的圆恒过定点,并求出定点坐标.
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-n+2,n∈N*.
(Ⅰ)证明数列{an-(n-1)}是等比数列并求数列{an}的通项an;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项的和Sn.
(18)(本题满分12分)
△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足
.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若c=2,且△ABC为锐角三角形,求a2+b2的取值范围.
(19)(本题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,,点E在棱SC上.
(Ⅰ)若SA∥平面BDE,求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求AD与平面SCD所成角的正弦值.
(20)(本题满分12分)
对一批产品进行质量检验,方案如下:先从这批产品中任取4件作检验,
(6)已知A,B,C,D是以O为球心的球面上的四点,AB,AC,AD两两互相垂直,且AB=3,AC=4,AD=,则球的半径为
A.1 B.4C.5 D.6
(7)某几何体的三视图如下,则该几何体的体积为
A.1 B.2C.D.
(8)已知实数x∈[1,9],执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于55的概率为
(16)在密码学中,直接可以看到内容的为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码将英文的26个字母a,b,c,…,z(不分大小写)依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见下表:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18