高中数学(人教A版,选修11)【课时作业与单元检测】：第一章常用逻辑用语(10份)第一章 1.1.2

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「优质」新版高中数学人教A版选修11习题：第一章常用逻辑用语检测(B)含解析-优质下载

) 是幂函数且在
上单调递减
C.? α0,β0∈ R ,cos( α0+ β0) =cos α0+ sin β0
D.? φ∈ R ,函数 f(x)= sin(2x+ φ) 都不是偶函数
解析 :对于选项 A, 当 m0=2 时 ,满足 f (x)= (m0-1
-
是幂函数 ,即 f(x)
则 f( x) 在 (0,+ ∞)上单调递
2
2
则 f(x),g(x) 不一定均为偶函数 .可举反例说明 ,如 f(x)=x ,g(x)=x -x+ 2,则 h(x)=f (x)+g (x)=x + 2 为偶函数 .
答案 :B
8.下列命题中是假命题的是
(
A. ?m 0∈ R ,f(x)= (m 0-1
-
B.? x∈ (0,+ ∞),sin x<x
D. 当 a 为平面 ,b 为直线时 ,命题甲、乙都是假命题解析 :对于选项 A, 当 a,b 均为直线时 ,命题甲是假命题、乙是真命题
,故不正确 ;对于选项 B, 当 a,b 均为
平面时 ,命题甲是真命题、乙是假命题
,故不正确 ;对于选项 C,当 a 为直线 ,b 为平面时 ,命题甲、乙都
是假命题 ,故不正确 ;对于选项 D, 当 a 为平面 ,b 为直线时 ,命题甲、乙都是假命题 ,正确 .
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答案 :D
10. 有下列命题 :① “若 x+y> 0, 则 x>0, 且 y> 0 ”的否命题 ; ② “矩形的对角线相等 ”的否命题 ;③ “若 m ≥ 1则,
2
mx -2(m+ 1)x+m+ 3> 0 的解集是 R ”的逆命题 ;④ “若 a+ 7 是无理数 ,则 a 是无理数 ”的逆否命题 . 其中真

高中数学第一章常用逻辑用语单元同步测试(含解析)新

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章常用逻辑用语单元同步测试（含解析）新人教A 版选修1-1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析本题考查充要条件的判断，∵a >0⇒|a |>0，|a |>0D ⇒/a >0，∴“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．答案 A2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0 B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0 C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0 D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>0答案 C3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0，故选B. 答案 B5．如果命题“綈p ”为真，命题“p ∧q ”为假，那么( ) A ．q 为假 B ．q 为真C ．p 或q 为真D ．p 或q 不一定为真解析 ∵命题“綈p ”为真，∴命题“p ”为假，又“p ∧q ”为假，∴q 可真也可以假．∴p 或q 可真也可以假，故应选D. 答案 D6．下列说法正确的是( )①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④答案 B7．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C8．下列命题中的假命题是( ) A. ∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B. ∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C. ∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x>2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( ) A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x－b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限 C. p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 30>x 0”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件 D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析 ∵“负数的平方是正数”即∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 30≤x 0”，∴B 不正确；∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，当最小正周期为π时，有2π|2a |＝π.∴|a |＝1D ⇒a ＝1，∴a ＝1是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C 不正确；D 正确．答案 D11．下列四个命题中，其中真命题是( ) ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A ．①② B ．①②③④ C ．②③④D ．①③④解析 ①逆命题：“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”为真命题．②逆命题：“若a ⊥(b －c )，则a ·b ＝a ·c ”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题．答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．写出命题：“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．解析一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．答案若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于014．已知p ：x 2－x ≥2，q ：|x －2|≤1，且p ∧q 与綈q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析由x 2－x ≥2，得x ≥2，或x ≤－1， |x －2|≤1，得1≤x ≤3， ∵p ∧q 与綈q 同时为假命题， ∴q 为真命题，p 为假命题，∴1≤x <2. 答案 1≤x <215．已知直线l 1：2x －my ＋1＝0与l 2：x ＋(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1⊥l 2的________条件．解析若l 1⊥l 2，只需2×1＋(－m )(m －1)＝0，即m 2－m －2＝0，即m ＝2，或m ＝－1， ∴m ＝2是l 1⊥l 2的充分不必要条件．答案充分不必要 16．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”； ②若a ，b ∈R ，则2a <2b是log 12a >log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin(－3x －π4)(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋b |＝ 3.其中正确的说法是________．解析 ①正确．②若2a <2b，则a <b ，当a 或b 为负数时，log 12a >log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a<2b.故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x －π4)]＝sin(－3x＋3π4)，故③不正确． ④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)平面内，凸多边形的外角和等于360°； (2)有一些奇函数的图象过原点； (3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； (4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题． (3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}． ∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R 当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝RD ⇒/x ∈(2,3]＝M ∩P .而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x ∈(M ∩P )⇒x ∈M ，或x ∈P .故“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件． 20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)有些质数是奇数； (3)所有的方程都不是不等式； (4)自然数的平方是正数．解原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题． (2)所有质数都不是奇数，为假命题． (3)至少存在一个方程是不等式，为假命题． (4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1.如果p 为假命题，那么a >1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1.如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．。

人教A版(2019)高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题

人教A版（2019）高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语单元测试题一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）下列元素与集合的关系表示不正确的是（）A．0∈N B．0∈Z C．32∈Q D．π∈Q2．（5分）设集合A={x|5<x<16}，B={3,4,6,7,9,12,13,16}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知集合A={0,2},B={a,0,3}，且A∪B有16个子集，则实数a可以是（）A．-1B．0C．2D．34．（5分）已知全集U=R，集合A={y|y=x2+2}，集合B={x|9−x2>0}，则阴影部分表示的集合为（）A．[−3， 2]B．(−3， 2)C．(−3， 2]D．[−3， 2)5．（5分）已知集合A，B满足A∪B={x|1<x≤3}，A∩B={x|a≤x≤a+1}，则实数a的取值范围为（）A．[1,2]B．(1,2)C．(1,2]D．∅6．（5分）已知集合M={0，1，2}，N={x∈Z|0<x<4}，则M∩N=（）A．{0，1，2}B．{0，2}C．{1，2}D．{1}7．（5分）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4}8．（5分）记不等式x2+x−2>0､x2−ax+1≤0(a>0)解集分别为A、B，A∩B中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（）A．(103，174)B．[103，174)C．(52，174)D．[52，174)二、多选题(共4题；共20分)9．（5分）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩(B∪C)B．A∪(B∩C)C．A∩∁U(B∩C)D．(A∩B)∪(A∩C)10．（5分）已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B⊊A时，则−6<a≤−3或a≥611．（5分）已知非空集合A、B满足：全集U=A∪B=(−1,5]，A∩(∁U B)=[4,5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B=∅B．A∩B≠∅C．B=(−1,4)D．B∩(∁U A)=(−1,4)12．（5分）设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆NC．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2三、填空题(共4题；共20分)13．（5分）已知集合A={x∈Z∣32−x∈Z}，用列举法表示集合A，则A=.14．（5分）已知集合A={−1,2m−1}，B={m2}，若B⊆A，则实数m=．15．（5分）已知1∈{−x,x2}，则实数x的值是.16．（5分）已知集合A={4,2a+1,a}，B={a−3,4−a,3}且A∩B={3}，则a的取值为.四、解答题(共6题；共70分)17．（10分）已知集合A={x|a−3≤x≤2a+1},B={x|−5≤x≤3}，全集U=R.（1）（4分）当a=1时，求(∁U A)∩B；（2）（6分）若A⊆B，求实数a的取值范围.18．（12分）已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|m<x<1−m}．（1）（6分）当m=−1时，求A∪B；（2）（6分）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19．（12分）A={x|−3≤x<6},B={x|a−7<x≤2a}（1）（6分）A∪B=B，求a的取值范围；（2）（6分）(∁U A)∩B=∅，求a的取值范围．20．（12分）已知集合A={x||x+2|≥5},B={x|x2−6x+5<0}，求：（1）（6分）集合A,B；（2）（6分）A∪B.21．（12分）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x∈A．（1）（4分）若2∈A，则A中至少还有几个元素？（2）（4分）集合A是否为双元素集合？请说明理由．（3）（4分）若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．22．（12分）设全集U=R,集合A={x|(x+1)(x−3)≥0},B={x|2x−4≥x−2}（1）（4分）求A∩B,A∪B；（2）（4分）若集合C={x|2x+a≥0}，且B⊆C，求实数a的取值范围；（3）（4分）若集合D={x|a<x<a+5}，且A∪D=R，求实数a的取值范围.答案解析部分1．【答案】D【知识点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】根据元素与集合的关系可得0∈N，0∈Z，32∈Q，π∉Q，D不正确，符合题意.故答案为：D.【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可。

高中数学人教A版【精品习题】(选修2-1)配套课时作业：第一章常用逻辑用语 1.3 Word含答案

§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p∨q”为真，“綈q”为假- 1 -B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1- 1 -。

高中数学第一章常用逻辑用语单元测试(二)新人教A版高二选修2-1数学试题

word第一章常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知原命题“若2a b +>，则a 、b 中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（） A ．原命题为假，逆命题为真 B ．原命题为真，逆命题为假 C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题2．已知命题p ：∀x ∈R ，0x a >(a >0且a ≠1)，则（） A ．¬p ：∀x ∈R ，0x a ≤ B ．¬p ：∀x ∈R ，0x a > C ．¬p ：0x ∃∈R ，00x a >D ．¬p ：0x ∃∈R ，00x a ≤3．若命题“p ∧q ”为假，且“¬p ”为假，则（） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假4．“a ＝－3”是“圆22=1x y +与圆()224x a y ++=相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p 是R 的充分不必要条件，s 是R 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．设x 、y 、z ∈R ，则“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有20x >；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝8．命题“t a n x ＝0”是命题“co sx ＝1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：“对x ∀∈R ，m ∃∈R ，使4210x x m ++=”．若命题¬p 是假命题，则实数m 的取值X 围是（） A ．－2≤m ≤2 B ．m ≥2C ．m ≤－2D ．m ≤－2或m ≥210．下列命题中，错误的是（）A ．命题“若2560x x -+=，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则2560x x -+≠”B ．已知x ，y ∈R ，则x ＝y 是22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立的充要条件C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则¬p ：x ∀∈R ，则210x x ++≥D ．已知命题p 和q ，若p q ∨为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 11．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；word②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆2212x y +=相切．其中真命题的序号是（） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③12．设a 、b ∈R ，现给出下列五个条件：①a ＋b ＝2；②a ＋b >2；③a ＋b >－2； ④ab >1；⑤log ab <0，其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（） A ．②③④ B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．②⑤二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．命题“若|x |>1，则x >1”的否命题是__________________．(填“真”或“假”) 14．写出命题“若方程()200ax bx c a -+=≠的两根均大于0，则0ac >”的一个等价命题是______________________________________________．15．已知p (x )：220x x m +->，如果p （1）是假命题，p （2）是真命题，则实数m 的取值X 围是__________________．16．若p 的逆命题是r ，r 的否命题是s ，则s 是p 的否命题的__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．18．(12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p ：∀m ∈R ，方程20x x m +-=必有实数根；（2）q ：∃x ∈R ，使得210x x ++≤．word19．(12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，{}2430Q x x x =-+<，且x P ∈是x Q ∈的必要条件，某某数a 的取值X 围．20．(12分)已知命题p ：1,[]1m -∀∈，不等式253a a --≥；命题q ：∃x ，使不等式220x ax ++<．若p 或q 是真命题，¬q 是真命题，求a 的取值X 围．word21．(12分)求使函数()()()2245413f x a a x a x +---+=的图象全在x 轴上方成立的充要条件．22．(12分)已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值X 围．word2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（二）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】逆否命题为：a ，b 都小于1，则a +b ≤2是真命题，所以原命题是真命题，逆命题为：若a 、b 中至少有一个不小于1，则2a b +>，例如，当a =2，b =﹣2时，满足条件，当()220a b +=+-=，这与2a b +>矛盾，故为假命题．故选B ． 2．【答案】D【解析】∵命题p 为全称命题，∴¬p 为特称命题，由命题的否定只否定结论知0x a >的否定为0xa ≤，∴故选D ． 3．【答案】B【解析】∵“¬p ”为假，∴p 为真，又∵p ∧q 为假，∴q 为假，p 或q 为真．故选B ． 4．【答案】A【解析】当3a =-时，圆()2234x y -+=的圆心为()3,0，半径12R =，与圆221x y +=相外切，当两圆相内切时，a ＝±1，故选A ． 5．【答案】A【解析】图示法/p R s q⇒⇐⇒⇒，故/q p ⇒，否则q ⇒p ⇒R ⇒q ⇒p ，则R ⇒p ，故选A ． 6．【答案】A【解析】由题意得，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”，则22lg lg lg y x z y xz =+⇒=，则“y 是x ，z 的等比中项”；而当2y xz =时，如1x z ==，1y =-时，“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”不成立，所以“lg y 为lg x ，lg z 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件，故选A ． 7．【答案】D【解析】命题p 是真命题，命题q 是假命题，所以选项D 正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断． 8．【答案】B【解析】x ＝π时，t a n x ＝0，但co sx ＝－1；co sx ＝1时，s in x ＝0，故t a n x ＝0．所以“t a n x ＝0”是“co sx ＝1”的必要不充分条件． 9．【答案】C【解析】由题意可知命题p 为真，即方程4210x x m ++=有解，∴4122x x m +=-≤--，当且仅当0x =时取等号，所以m ≤－2．10．【答案】D【解析】由逆否命题的定义知A 正确；当x ＝y 时，22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立；22x y xy +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭||2x y +≥，故x ＝y ，∴B 为真命题；由特称命题的否定为全称命题知C 为真命题；∵p q ∨为假，∴p 假且q 假，∴D 为假命题． 11．【答案】C【解析】对于①，设球半径为R ，则34π3V R =，12R R =， ∴33141π1π3268R V R V ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心()0,0，圆心()0,0到直线的距离d =，故直线和圆相切，故①，③正确． 12．【答案】D【解析】①2a b +=可能有1a b ==；word②a ＋b >2时，假设a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2矛盾； ③a ＋b >－2可能a <0，b <0； ④ab >1，可能a <0，b <0；⑤log ab <0，∴0<a <1，b >1或a >1，0<b <1，故②⑤能推出．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】真【解析】原命题的否命题为“若|x |≤1，则x ≤1”， ∵|x |<1，∴－1<x <1，故原命题的否命题为真命题．14．【答案】若a c≤0，则方程()200ax bx c a -+=≠的两根不全大于0．【解析】根据原命题与它的逆否命题是等价命题可直接写出． 15．【答案】3≤m <8【解析】∵p （1）是假命题，p （2）是真命题，∴3080m m -≤⎧⎨->⎩，解得3≤m <8．16．【答案】逆命题【解析】解法1：依据四种命题的关系图解．由图示可知？处应为互逆关系．解法2：用特殊命题探究p ：若x >2，则x >1，r ：若x >1，则x >2，s ：若x ≤1，则x ≤2，p 的否命题：若x ≤2，则x ≤1，故s 是p 的否命题的逆命题．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】逆命题，已知a 、b 为实数，若240a b -≥，则关于x 的不等式20x ax b ++≤有非空解集．否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式20x ax b ++≤没有非空解集，则240a b -<．逆否命题：已知a 、b 为实数，若240a b -<，则关于x 的不等式20x ax b ++≤没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）¬p ：∃m ∈R ，使方程20x x m +-=无实数根．若方程20x x m +-=无实数根，则140Δ=m +<，∴14m <-，∴¬p 为真．（2）¬q ：∀x ∈R ，使得210x x ++>．∵22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，∴¬q 为真．19．【答案】－1≤a ≤5．【解析】P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}．∵x P ∈是x Q ∈的必要条件，∴x Q ∈⇒x P ∈，即Q ⊆P ． ∴4143a a -≤⎧⎨+≥⎩，51a a ≤⎧⎨≥-⎩，∴－1≤a ≤5．20．【答案】221a -≤≤-．【解析】根据p 或q 是真命题，¬q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．∵,1[]1m ∈-2822,3m ⎡⎤+⎣⎦．因为1,[]1m -∀∈，不等式22538a a m --=+2533a a --≥，∴a ≥6或a ≤－1．故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1．又命题q ：∃x ，使不等式220x ax ++<，∴280Δ=a ->，∴22a >22a <- 从而命题q 为假命题时，2222a -≤word所以命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值X 围为1a -≤≤-． 21．【答案】1≤a <19．【解析】∵函数()f x 的图象全在x 轴上方，∴()()22245016144530a a Δa a a ⎧+->⎪⎨=--+-⨯<⎪⎩，或245010a a a ⎧+-=⎨-=⎩，解得1<a <19或a ＝1，故1≤a <19．所以使函数()f x 的图象全在x 轴的上方的充要条件是1≤a <19． 22．【答案】{a |a >2或a <－2}．【解析】由2220x ax a +-=得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴2ax =或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时12a≤或|－a |≤1，∴|a |≤2．又“只有一个实数0x 满足200220x ax a ++≤”，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480Δ=a a -=，∴a ＝0或a ＝2． ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2． ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2．即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词课时作业(含解析)新人教A版必修第一

1.5 全称量词与存在量词一、选择题1．下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．判断下列命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.答案：C4．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述下列命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图象是直线；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在实数X围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(3)真命题，否定为：在实数X围内，所有的一元二次方程都有解；(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．。

第一章集合与常用逻辑用语(课时作业详细答案)

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人教a版数学【选修1-1】作业：第一章《常用逻辑用语》章末总结(含答案)

第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

高中数学第一章常用逻辑用语测评(含解析)新人教A版选修11

高中数学第一章常用逻辑用语测评（含解析）新人教A版选修11测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是单调增函数D.素数不一定是奇数解析:选项A和B不是命题,选项C是假命题,2是素数,但不是奇数,故选项D正确.答案:D2.(2016辽宁沈阳高二检测)命题“若x<0,则ln(x+1)<0”的否命题是()A.若x≥0,则ln(x+1)<0B.若x<0,则ln(x+1)≥0C.若x≥0,则ln(x+1)≥0D.若ln(x+1)≥0,则x≥0解析:由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题为“若x≥0,则ln(x+1)≥0”.答案:C3.(2016四川成都高二月考)已知命题p:若(a-b)3b2>0,则a>b,则在命题p的逆命题、否命题和逆否命题中,错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此错误命题个数为2.答案:C4.(原创题)命题“∀x>0,>0”的否定是()A.∃x<0,≤0B.∃x>0,0<x≤1C.∀x>0,≤0D.∀x<0,0<x≤1答案:B5.(2016河北石家庄月考)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>”是“k>”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件解析:当<α<π时,k<0,当k>时,<α<,所以“α>”是“k>”的必要而不充分条件,故答案:B6.(原创题)设命题p:函数y=在定义域上是增函数;命题q:∃a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,=3,以下说法正确的是()A.p∨q为真B.p∧q为真C. p为假D.p∨q为假解析:显然命题p为假命题,又当a,b>0,a+b=1时,=(a+b)=2+≥4,故不存在a,b∈(0,+∞),使得=3,即命题q也为假命题.因此p∨q为假,故选D.答案:D7.(2016吉林高二检测)下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R,x2+2x+2≤0B.∀x∈R,lg x<1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1解析:选项A中,因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以∃x∈R,x2+2x+2≤0是假命题,其否定为真命题.选项B中,当x>10时,lg x>1,所以∀x∈R,lg x<1是假命题,其否定为真命题.选项C中,6能被3整除,但6是偶数,所以这是假命题,其否定为真命题.选项D中的命题显然成立,所以其否定是假命题,故选D.答案:D8.(2016吉林高二检测)已知命题 p:存在x∈(1,2)使得e x-a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,e)B.(-∞,e]C.(e2,+∞)D.[e2,+∞)解析:因为p是真命题,所以 p为假命题,所以∀x∈(1,2),有e x-a≤0,即a≥e x,又y=e x在(1,2)上的最大值为e2,所以a≥e2.答案:D9.(2016河南新乡模拟)已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2解析:由p:∃x∈R,mx2+1≤0,可得m<0,由q:∀x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,因为p ∨q为假命题,所以p与q都是假命题,若p是假命题,则有m≥0;若q是假命题,则有m≤-2或m≥2,故符合条件的实数m的取值范围为m≥2.答案:A10.已知p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,q:∀x>0,a≤恒成立,则 p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解析:由p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,得a≥1.所以 p:a<1;由q:∀x>0,a≤恒a≤2,所以 p是q的充分不必要条件.答案:A11.导学号59254013(原创题)已知函数f(x)=,设命题p:∀a∈R,函数f(x)的值域不可能是(0,+∞);命题q:∃a∈R,使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2].那么下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)解析:当a=0时,f(x)=的值域为(0,+∞),故命题p为假命题;要使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的单调递减区间是(-∞,-2],这时只要满足解得a=,因此命题q为真命题,故(p)∧q为真.答案:C12.(改编题)若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a>3B.a<3C.a>4D.a<4解析:若2x>a-x,则2x+x>a,设f(x)=2x+x,该函数为增函数.由题知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1,并且反之不成立.因为x>1时,f(x)>3,所以a>3.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016山西大同高二检测)命题“∃x0∈R,sin x0+2>cos x0”的否定为.解析:因为∃x0∈R,sin x0+2>cos x0,所以其否定为∀x∈R,sin x+2x2≤cos x.答案:∀x∈R,sin x+2x2≤cos x14.(2016山东济南高二检测)已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“ p”中是真命题的为.解析:依题意知p假,q真,所以“p∨q”,“ p”是真命题.答案:p∨q, p15.(原创题)函数f(x)=有且只有一个零点的充分必要条件是.解析:当x>0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-∞,0]上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x≤0时,0<2x≤1,所以实数a应满足a≤0或a>1.答案:a≤0或a>116.给出如下四个命题:①若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2α≤2b-1”;③“∀x∈R,x2+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+1<0”;④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.其中假命题的个数是.解析:若“p∧q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故①是假命题;②是真命题;“∀x∈R,x2+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+1<0”,故③是假命题;在△ABC中,若A>B,则a>b,根据正弦定理可得sin A>sin B;逆向推理同样成立,故④是真命题.故假命题有2个.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若α-β=,则sin α=cos β;a,b,c,d为实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+d.解:(1)逆命题:若sinα=cosβ,则α-β=;否命题:若α-β≠,则sinα≠cosβ;逆否命题:若sinα≠cosβ,则α-β≠.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c≠b+d,则a≠b,c≠d;否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d;逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)∀x∈(0,+∞),x+≥2;(4)∃x0∈Z,log2x0>2.解:(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.19.(本小题满分12分)已知命题:“∃x∈(-1,1),使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.解:(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=.(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M⊆N.当a=1时,解集N为空集,不满足题意;当a>1时,a>2-a,此时集合N={x|2-a<x<a},则解得a>;当a<1时,a<2-a,此时集合N={x|a<x<2-a},则解得a<-.综上,a>或a<-.20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截线段长度为1的充要条件,并证明.解:所求的充要条件是G2-4F=1.(1)必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.(2)充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”.(1)分别求命题p,q为真时实数a的取值范围;p是q的什么条件?请说明理由.解:(1)命题p为真,即f(x)的定义域是R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,等价于a=-1或解得a≤-1或a>.故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪;命题q为真,即f(x)的值域是R,等价于u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域范围大于(0,+∞),等价于a=1或解得1≤a≤,故实数a的取值范围为.(2)由(1)知, p:a∈;q:a∈.而,故 p是q的必要不充分条件.22.导学号59254014(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=+2有零点.(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;c,使得p∧( q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.解:由于f(x)=|2x+3c|=所以f(x)的单调递增区间是,又因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以-≤-1,解得c≥;由于函数g(x)=+2有零点,所以方程+2=0有实数根,即2x2+cx+2=0有实数根,因此c2-16≥0,解得c≥4或c≤-4.(1)当命题p和q均为真命题时,应有因此c≥4.(2)要使p∧(q)是真命题,应使p真q假,因此有≤c<4,故存在实数c,使得p∧( q)是真命题,其取值范围是.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章常用逻辑用语单元检测(B卷) Word版含答案

第一章常用逻辑用语(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a ＝bD ．a 2＋b 2＝02．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的( )A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则( )A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假6．条件p ：x >1，y >1，条件q ：x ＋y >2，xy >1，则条件p 是条件q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )A ．－12<x <3B ．－12<x <0 C ．－3<x <12D ．－1<x <6 8．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >010．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．下列命题中为全称命题的是()A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行12．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________________________，这是________(填“真”或“假”)命题．15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于∀x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．21.(12分)下列三个不等式：①25242axx+-->1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．第一章常用逻辑用语(B)1．D [若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0时，f (－x )＝(－x )·|－x ＋0|＋0＝－x |x |＝－f (x )，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的充分条件．又若f (x )为奇函数即f (－x )＝－x |(－x )＋a |＋b ＝－(x |x ＋a |＋b )，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的必要条件．]2．B [由a ≥b ⇒c >d 可得c ≤d ⇒a <b ，又a <b ⇒e ≤f ，所以c ≤d ⇒e ≤f ；而e ≤f ⇒c ≤d 显然不成立，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分非必要条件．]3．B4．B [∵a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，∴a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2.]5．B [由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．]6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p ⇒q ，但x ＝100，y ＝0.1满足q ：x ＋y >2，xy >1，但不满足q ，故选项为A.]7．D8．A [tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.] 9．C10．A [举例：a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2，∴逆命题为假．]11．C12．D [∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒ a ＝1. 故“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]13．②④解析 ①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出A B ，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假15．(－∞，－1)解析由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1.16．①③17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．18．解 (1)p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形． p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真．19．证明充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.20．解 |f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]．①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x在x ∈(0,1]上恒成立．设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(－t 2－t )max ＝－2a ≤(t 2－t )min ＝0⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)． 21．解对于①，25242ax x +-->1，即－x 2＋ax －254>0，故x 2－ax ＋254<0，Δ＝a 2－25，所以不等式的解集为空集，实数a 的取值范围是－5≤a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x >1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0的解集为空集．则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，(a －2)2＋4(a －3)≤0，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2，当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a >x 2＋1x2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a |a <－22或a >2}．22．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8，当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6或a ≤－1.所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.。

人教A高中数学选修同步作业：第1章常用逻辑用语22 含解析

第一章 1.2 1.2.1 1.2.2一、选择题1．设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b ”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析当a ∥b 时，有2×4－(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝±3.因为集合{3}是集合{3，－3}的真子集，故“x ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A ．2．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立．故选A ．3．已知a ，b 为实数，命题甲：ab >b 2，命题乙：1b <1a<0，则甲是乙的( B ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析当a ＝2，b ＝1时，ab >b 2，但1b <1a <0不成立；当1b <1a <0时，ab 2<0，则1b ×ab 2>1a×ab 2，即ab >b 2成立，故选B ．4．(2018·清华附中检测)已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(cos α，sin α)，其中x ，y ，α∈R .若|a|＝4|b|，则a·b<λ2恒成立的一个必要不充分条件是( B )A ．λ>3或λ<－3B ．λ>1或λ<－1C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1 解析由已知，得|b|＝1，所以|a|＝x 2＋y 2＝4，因此a·b ＝x cos α＋y sin α＝x 2＋y 2sin(α＋φ)＝4sin(α＋φ)≤4⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝x x 2＋y 2.由于a·b <λ2恒成立，所以λ2>4，解得λ>2或λ<－2，因此a·b <λ2恒成立的一个必要不充分条件是λ>1或λ<－1.故选B ．5．(2018·河北唐山检测)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( A ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 α＝π6＋2k π(k ∈Z )⇒cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋4k π＝cos π3＝12；当cos 2α＝12时，α＝k π±π6，所以“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件，故选A ． 6．直线l 1：2x －y －1＝0与直线l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行的充要条件是( A ) A ．m ＝－8B ．m ＝－12C ．m ＝8D ．m ＝2解析由题意得－m 4＝2，解得m ＝－8，故选A ．二、填空题7．“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____必要不充分____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析 ∵当M >N 时，不确定两个数字的正负，不一定能得到log 2M >log 2N ，即前者不一定能推出后者；当log 2M >log 2N 时，根据对数函数的单调性知M >N ，即后者可以推出前者，∴“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的必要不充分条件．8．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是____(2，＋∞)____.解析 ∵3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1.∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2.9．下列所给的p ，q 中，p 是q 的充要条件的所有序号为____①③____.①p ：x ＝1，q ：ln x ＝0；②p ：a 2＝b 2，q ：a ＝b ；③p ：|x |>3，q ：x 2>9；④p ：x >y >0，q ：x 2>y 2.三、解答题10．(2018·重庆调研)设p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解析当－2<m <0,0<n <1时，Δ＝m 2－4n 不一定大于等于0，即函数f (x )的图象与x 轴不一定有交点，所以充分性不满足．反之，若方程有两个小于1的正根，分别设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，则必有0<－m <2,0<n <1，且Δ≥0，即－2<m <0,0<n <1，m 2－4n ≥0.综上，p 是q 的必要不充分条件．11．设函数y ＝l g(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得－x 2＋4x －3>0，解得1<x <3，则A ＝(1,3)．又∵函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，当m ＝2时，B ＝⎝⎛⎭⎫23，2，∴A ∩B ＝(1,2)．(2)首先要求m >0，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，∴B ⊆A ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2⊆(1,3)，从而2m ＋1≥1，解得0<m ≤1. ∴m 的取值范围为(0,1]．12．设命题p ：|x －3|＋|x ＋1|≤6，命题q ：|x ＋a |>x ＋a .(1)求命题p ，q 分别对应的不等式的解集；(2)若p 是q 的既不充分也不必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)对于命题p ：|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2，x >3，4，－1≤x ≤3，－2x ＋2，x <－1，当x >3时，由2x －2≤6，得3<x ≤4；当－1≤x ≤3时，由4≤6，得－1≤x ≤3；当x <－1时，由－2x ＋2≤6，得－2≤x <－1. 综上可得，|x －3|＋|x ＋1|≤6的解集为[－2,4]．对于命题q ：∵|x ＋a |>x ＋a ，∴x ＋a <0，解得x <－a . ∴|x ＋a |>x ＋a 的解集为(－∞，－a )．(2)∵p 是q 的既不充分也不必要条件，∴－a ≤4，解得a ≥－4.∴a 的取值范围为[－4，＋∞)．。

人教A高中数学选修同步作业：第1章常用逻辑用语章末学考测评1 含解析

第一章章末学考测评(满分：150分测试时间：120分钟)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．全称命题“∀x ∈Z,2x ＋1是整数”的逆命题是( A ) A ．若2x ＋1是整数，则x ∈Z B ．若2x ＋1是奇数，则x ∈Z C ．若2x ＋1是偶数，则x ∈Z D ．若2x ＋1能被3整除，则x ∈Z解析 ∀x ∈Z,2x ＋1是整数，即任意的一个整数x ，使2x ＋1是整数成立．逆命题只需将原命题的条件和结论交换．2．已知p ，q 是简单命题，则“(¬p )∧(¬q )是真命题”是“p 是假命题”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵(¬p )∧(¬q )为真命题，∴(¬p )和(¬q )都是真命题，则p ，q 都是假命题．∴“(¬p )∧(¬q )是真命题”能推出“p 是假命题”，反之不能推出．故“(¬p )∧(¬q )是真命题”是“p 是假命题”的充分而不必要条件．3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( A ) A ．有一个α，使tan(90°－α)＝1tan αB ．存在实数x ，使sin x ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°解析 B 中命题为假命题，C 中命题为全称命题，D 不是特称命题，A 中命题既是真命题又是特称命题．故选A ．4．命题“∀x ∈ R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( C ) A ．∀x ∈ R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈ R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈ R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈ R ，|x 0|＋x 20≥0解析利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”．故选C ． 5．给出下列命题，其中真命题为( C ) A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件解析选项A 为假命题，例如4是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y 全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是1x<1的充分不必要条件．6．设p ：log 2x <0，q ：⎝⎛⎭⎫12x －1>1，则p 是q 的( B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 p ：log 2x <0⇔0<x <1；q ：⎝⎛⎭⎫12x －1>1⇔x <1，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选B ．7．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2(ax )－sin 2(ax )的最小正周期为π”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析将函数化为y ＝cos(2ax )，T ＝2π2|a |，若a ＝1，则T ＝π，故充分性成立，但T ＝π时，|a |＝1，a ＝±1，所以必要性不成立．故选A ． 8．q 是p 的充要条件的是( D ) A ．p ：3x ＋2>5；q ：－2x －3>－5 B ．p ：a >2，b >2；q ：a >bC ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分；q ：四边形是正方形D ．p ：a ≠0；q ：关于x 的方程ax ＝1有唯一解解析由3x ＋2>5得x >1，由－2x －3>－5得x <1，故A不对，显然B也不对．正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故C不对．D正确．故选D．9．已知命题p为“若a>b>0，则log12a<log12b＋1”，则命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为(C) A．4B．1 C．2D．3解析因为a>b>0，所以log12a<log12b＋1.故原命题为真，反之不一定成立，故其逆命题为假．又因为原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，故选C．10．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的(B)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若P n(n，a n)在直线y＝2x＋1上，则a n＝2n＋1，所以{a n}为等差数列．但当{a n}为等差数列时，P n(n，a n)不一定在直线y＝2x＋1上．11．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>l g x0，命题q：∀x∈R，x2>0，则(C)A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(¬q)是真命题D．命题p∨(¬q)是假命题解析由于x＝10时，x－2＝8，l g x＝l g 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p∨q是真命题，命题p∧q 是假命题，¬q是真命题，进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．故选C．12．下列四个命题：①存在x∈(0，＋∞)，使不等式2x<3x成立；②不存在x∈(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；③任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x<2x成立；④任意的x ∈(0，＋∞)，不等式log 2x <1x 成立．其中的真命题是( A ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析作出指数函数y ＝2x 与y ＝3x 的图象(图略)，由图象知“存在x ∈(0，＋∞)，使不等式2x <3x 成立”正确，排除C ，D ；作出y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象(图略)，由图象知“任意的x ∈(0，＋∞)，不等式log 2x <2x 成立”正确，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2<4”的否命题是____真____命题．(选填“真”或“假”)解析原命题的否命题：若实数a 满足a >2，则a 2≥4.因为由a >2可得a 2>4，所以a 2≥4成立，故为真命题．14．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是____[－1,6]____.解析 p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3.由¬p 是¬q 的充分条件可知，q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 15．“相似三角形的面积相等”的否命题是____若两个三角形不相似，则它们的面积不相等____，原命题的否定是____相似三角形的面积不相等____.解析 “若p ，则q ”为原命题，它的否命题是“若非p ，则非q ”，它的否定是“若p ，则非q ”．16．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是____(－∞，－1)∪(3，＋∞)____.解析 ∵∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0是真命题， ∴方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等实根， ∴Δ＝(a －1)2－4>0，解得a >3或a <－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析逆命题：若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0.假命题．否命题：若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根．假命题．逆否命题：若方程ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，则ac≥0.真命题．18．(12分)分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．解析(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分．¬p：平行四边形的对角线不相等．因为p假q真，所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为真命题．(2)p∨q：方程x2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．p∧q：方程x2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．¬p：方程x2－16＝0的两根的符号相同．因为p真q真，所以p∨q，p∧q均为真命题，¬p为假命题．19．(12分)求证：函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.证明先证充分性，若a＝0，则函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数．因为a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)．因为f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，所以f(x)是偶函数．再证必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，从而|x －a |＝|x ＋a |，即(x －a )2＝(x ＋a )2，展开并整理，得ax ＝0.因为x ∈R ，所以a ＝0. 20．(12分)已知直线l 1：y ＝k2x ＋1.(1)若有直线l 2：y ＝1k －1x －k (k ≠1)，求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1k －1，k ≠1，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2. 所以直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2. (2)设f (x )＝k2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (2)>0，即⎩⎨⎧k2×(－1)＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.所以k 的取值范围是(－1,2)．21．(12分)M 是具有以下性质的函数f (x )的全体，对于任意s ，t >0，都有f (s )>0，f (t )>0，且f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．(1)试判断函数f 1(x )＝log 2(x ＋1)，f 2(x )＝2x －1是否属于M?(2)证明：对于任意的x >0，x ＋m >0(m ∈R ，且m ≠0)，都有m [f (x ＋m )－f (x )]>0. 解析 (1)令s ＝1，t ＝3，则f 1(s )＋f 1(t )＝3，f 1(s ＋t )＝log 25<3，∴f 1(x )∉M .∵当s ，t >0时，f 2(s )＋f 2(t )－f 2(s ＋t )＝2s －1＋2t －1－(2s ＋t －1)＝2s (1－2t )＋(2t －1)＝(2s－1)·(1－2t )<0.∴f 2(s )＋f 2(t )<f 2(s ＋t )，∴f 2(x )∈M .(2)当m >0时，f (m )>0，f (x ＋m )>f (x )＋f (m )， ∴m [f (x ＋m )－f (x )]>0.当m <0时，f (－m )>0，f (x )＝f (x ＋m －m )>f (x ＋m )＋f (－m )>f (x ＋m )， ∴f (x ＋m )－f (x )<0，∴m [f (x ＋m )－f (x )]>0.综上，m ∈R ，且m ≠0时，都有m [f (x ＋m )－f (x )]>0. 22．(12分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解析命题甲为真命题时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.命题乙为真命题时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，有甲真乙假或甲假乙真或甲真乙真三种情况，故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <－12或a >13.(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1；甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13<a ≤1或－1≤a <－12.。

高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词优化练习

教学资料范本高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词优化练习编辑：__________________时间：__________________1.4 全称量词与存在量词[课时作业][A组基础巩固]1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，“∃”改为“∀”，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.答案：A2．下列语句是真命题的是()A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立C．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．有一条直线和两个相交平面都垂直解析：Δ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.答案：A3．下列四个命题中的真命题为()A．若sin A＝sin B，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lg x2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：A中，若sin A＝sinB，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；C中，若lgx2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得1 4<x<34，故不存在这样的x∈Z，故D项为假命题．答案：B4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N＋，使x0为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4> 0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x20≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．答案：C5．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x∈R，x2－2x－1>0，则命题綈p：∀x∈R，x2－2x－1<0C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件解析：选项A，否命题为“若x2≠1，则x≠1”；选项B，命题綈p：“∀x∈R，x2－2x－1≤0”；选项D，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故选C.答案：C6．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0”的否定为________．答案：∀x∈R，sin x≤cos x7．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．解析：由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.答案：(－∞，3]8．若“∀x∈[0，π4]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tanx 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1. 答案：19．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)有些四边形存在外接圆； (4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．解析：(1)∃f (x )∈{二次函数}，f (x )的图象不是抛物线．它是假命题． (2)在直角坐标系中，∃l ∈{直线}，l 不是一次函数的图象．它是真命题． (3)∀x ∈{四边形}，x 不存在外接圆．它是假命题． (4)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解析：法一由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1,2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0，或4＋4a ＋2－a >0. 整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧即⎩⎨⎧1＋2a＋2－a≤0，4＋4a＋2－a≤0.解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[B组能力提升]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x ，使1x>2解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x ＝0时，x 2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D是假命题．答案：B2．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cosx 0＝2，则下列判断正确的是( ) A．p 是真命题 B．q 是假命题 C．綈p 是假命题D．綈q 是假命题解析：p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋x＋14＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋122≥0，∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－π4， ∴x 0＝34π时成立．故而q 为真，而綈q 为假命题．答案：D3．若命题∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则a 的取值范围是________．解析：只需(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需 ⎩⎨⎧a＋2>0，Δ解得a ≥2.答案：[2，＋∞)4．已知命题p ：对∀x ∈R ，∃m 0∈R ，使4x ＋2x m 0＋1＝0.若命题綈p 是假命题，则实数m 0的取值范围是________．解析：由题意m 0＝－4x＋12x ≤－2·2x2x ＝－2(x ∈R )．答案：(－∞，－2]5．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解析：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x ∈R 使f (x )＝0，只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2. 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. 由⎩⎨⎧a≤1a≥1或a≤－2得a ＝1或a ≤－2，∴实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.6．q ：函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．解析：綈q ：已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上不存在一个实数c ，使得f (c )>0，即∀c ∈[－1,1]，f (c )≤0， ∴⎩⎨⎧即⎩⎨⎧2p2－p－1≥0，2p2＋3p－9≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32，即p ≤－3或p ≥32.故q 为真时的p 的取值范围是－3<p <32.。

人教A数学选修课时跟踪检测：第1章常用逻辑用语 1 2 3 含解析

第一章常用逻辑用语1．3 简单的逻辑联结词1．3.1 且(and)1．3.2 或(or)1．3.3 非(not)课时跟踪检测一、选择题1．在一组“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中，“p或q”为真，“p 且q”为假，“非p”为真，那么()A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假解析：由题意，非p为真，则p为假．又p或q为真，p且q为假，所以q 为真．故选B.答案：B2．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3∉{1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C.答案：C3．(2019·南通月考)命题p：若sin x>sin y，则x>y，命题q：x2＋y2≥2xy，下列命题为假命题的是()A．p或q B．p且qC．q D．﹁p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故选B.答案：B4．已知α，β，γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或﹁q ”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“﹁p 或﹁q ”为假解析：若α⊥β，β⊥γ，α和γ还可能相交，所以p 为假命题；对于命题q ，α和β可能相交，所以q 也为假命题，故p 或q 为假命题．故选C.答案：C5．命题p ：若不等式x 2＋x ＋m >0恒成立，则m >14，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．“p ∧q ”为真C ．“p ∨q ”为假D ．“(﹁p )∨(﹁q )”为真解析：若不等式x 2＋x ＋m >0恒成立，则Δ＝1－4m <0，即m >14，∴p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，∴q 为真命题，∴p ∧q 为真，故选B.答案：B6．(2019·保定月考)已知命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图象关于原点对称；命题q ：若平行线6x ＋8y ＋a ＝0与3x ＋by ＋22＝0之间的距离为a ，则a ＝b ＝4.则下列四个判断：“p ∨q 是假命题、p ∧q 是真命题、(﹁p )∨q 是真命题、p ∨(﹁q )是真命题”中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题可知，p ，q 均为真命题，则p ∧q 为真，(﹁p )∨q 为真，p ∨(﹁q )为真，故选C.答案：C二、填空题7．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p 是假命题，则a 的取值范围是________．解析：∵﹁p 为假命题，∴p 为真命题，即f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，∴只要对称轴x ＝－2(a －1)2×1＝1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：(－∞，－3]8．若x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}是假命题，则x 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，解得1≤x <2. 答案：[1,2)9．命题p ：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，命题q ：函数g (x )＝sin(2x ＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)，则命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非q ”中真命题的个数为________．解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 知，f (x )的图象关于x ＝π3对称．而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋1＝2为最大值．∴p 为真命题．易知q 为假命题，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非q ”为真．答案：2三、解答题10．分别指出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的命题的真假．(1)p ：a 2>0，q ：a ≥0；(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数；(3)p ：1∈{1,2}，q ：{1}⊆{1,2}；(4)p ：∅{0}，q ：∅＝{0}．解：(1)因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真．(2)因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真．(3)因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假．(4)因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假．11．(2019·分宜中学月考)已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数c 的取值范围．解：若p 为真，则0<c <1，若q 为真，则由－－2c 2×1≤12，得0<c ≤12，若p 且q 为假，p 或q 为真，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，则12<c <1，若p 假q 真，无解，∴实数c 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 12．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋3＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[2，＋∞)是增函数，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解：关于x 的方程x 2－ax ＋3＝0有实根，则Δ＝a 2－12≥0，a ≤－23或a ≥23，若函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[2，＋∞)是增函数，则－a 2×2≤2，∴a ≥－8. 若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 与q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧ a ≤－23或a ≥23，a <－8，∴a <－8，当p 假q 真时，⎩⎨⎧－23<a <23，a ≥－8，∴－23<a <2 3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－8)∪(－23，23)．13．已知命题p ：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q ：若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S m ，S 2m ，S 3m (m ∈N *)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p ∨(﹁q ) ②(﹁p )∧q ③(﹁p )∨(﹁q ) ④p ∧qA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∨(﹁q )为真命题，(﹁p )∧q 为假命题，(﹁p )∨(﹁q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选B.答案：B。

中学人教版高中数学选修11同步练习：第一章常用逻辑用语单元测评(附答案)

单元测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)1．以下命题为假命题的是()A．“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题B．“面积相等的三角形全等”的否命题C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题2．命题“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”的否定是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1<0B．∀x∈R，x2＋2x＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋2x0＋1<0D．∃x0∈R，x20＋2x0＋1≥03. “p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”B．若命题p：∃x0∈R，x20－2x0－1＞0，则：∀x∈R，x2－2x－1＜0C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件5．命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期．下列新命题：①p∨q；②p∧q；③；④.其中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤57．“x >0”是“3x 2>0”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件8．如果不等式|x －a |＜1成立的充分不必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤129．已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，则参数a 的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，3]10．已知命题p ：∃x0∈R ，x0＋1x0<2，命题q ：∀x ∈R ，x2＋x ＋1>0.则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．()∧qC ．p ∧(D ．()∧()11．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x2－a ≥0，命题q ：∃x0∈R ，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[－2，1]12．已知p ：x 2＋x －2＞0，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－2，1] D ．[1，＋∞) 请将选择题答案填入下表：二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________________________．14．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－2x －a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________． 15．给出下列三种说法：①命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧()”是假命题．②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3.③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中所有正确说法的序号为________________．16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出了三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪（）x －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“( )”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 的充分不必要条件；丙：A 是C 的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“( )”中的数应为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)写出命题“若x 2＋x ≤0，则|2x ＋1|<1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．18．(12分)已知p ：|x －4|≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．19.(12分)用反证法证明：若a ，b ，c ∈R ，且x ＝a 2－2b ＋1，y ＝b 2－2c ＋1，z ＝c 2－2a ＋1，则x ，y ，z 中至少有一个不小于0.20．(12分)若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图像和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．21.(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数．若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．单元测评(一)1．A [解析] “若m ＞0，则方程x2＋x －m ＝0有实数根”的逆命题是“若方程x2＋x －m ＝0有实数根，则m ＞0”，由判别式Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－14，故A 是假命题；“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”，为真命题，根据逆命题和否命题互为逆否命题，则命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题；“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”为真命题，则“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题为真命题．2．C3．B [解析] p ∨q 为真命题，则p 为真命题且q 为假命题或p 为假命题且q 为真命题或p 为真命题且q 为真命题，因此p ∨q 为真命题p ∧q 为真命题；反之，p ∧q 为真命题⇒p ∨q 是真命题．故“p ∨q 为真命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．4．C [解析] 对于A ，否命题是“若x2≠1，则x ≠1”，∴A 错误；对于B ，：∀x∈R ，x2－2x －1≤0，∴B 错误；对于C ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C 正确；对于D ，x ＝－1时，x2－5x －6＝0，∴是充分条件，∴D 错误．5．C [解析] 由题意知p 真q 假，则①④为真命题，故选C.6．C [解析] 命题“∀x ∈[1，2]，x2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.7．D [解析] 由3x2>0得集合{x|x ≠0}，因为{x|x>0} {x|x ≠0}，故为充分不必要条件．8．B [解析] |x －a|＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意知⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x<32{x|a －1<x<a ＋1}，则有⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，且等号不同时成立，解得12≤a ≤32，故选B.9．A [解析] 由已知得非p ：任意x ∈[1，2]，使x2＋2ax ＋2－a ≤0成立．设f(x)＝x2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3.∵非p 为假，∴a>－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．10．A [解析] 对于命题p ：∃x0∈R ，x0＋1x0<2，当x ＜0时，命题p 成立，命题p 为真．命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，显然x2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，命题q 为真．故p ∧q 为真命题，()∧q 为假命题，p ∧()为假命题，()∧()为假命题．11．A [解析] ∵“p ∧q ”为真命题，∴p ，q 为真．若p 为真，则在区间[1，2]上，有a ≤(x2)min ＝1；若q 为真，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a ≤－2或a ≥1.综上，得a ≤－2或a ＝1.12．D [解析] 由x2＋x －2＞0得x ＞1或x ＜－2，若q 是p 的充分不必要条件，则a ≥1.13．若tan α≠1，则α≠π414．(－∞，－1]15．①③ [解析] ①命题p ：∃x0∈R ，tan x0＝1是真命题，命题q ：∀x ∈R ，x2－x ＋1>0也是真命题，所以命题“p ∧()”是假命题，此说法正确．②当a ＝0，b ＝0时，两直线分别为l1：3y －1＝0，l2：x ＋1＝0，此时两直线垂直，但不满足ab＝－3，故此说法不正确．③命题“若x2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x2－3x ＋2≠0”，由四种命题的书写规则知，此说法正确．16．1 [解析] 集合B ＝{x|－1≤x ≤4}，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<12.由甲的描述可设括号内的数为a(0<a<6)，故集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x<1a . 根据乙、丙的描述可得集合A ，B ，C 的关系是C ⇒A ⇒B ，故1a ∈⎝⎛⎦⎤12，4，所以a ∈⎣⎡⎭⎫14，2.又a 为正整数，所以a ＝1.17．解：逆命题：若|2x ＋1|<1，则x2＋x ≤0，为真．否命题：若x2＋x>0，则|2x ＋1|≥1，为真．逆否命题：若|2x ＋1|≥1，则x2＋x>0，为假． 18．解：由题知，若是的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件．由|x－4|≤6，解得－2≤x ≤10，∴p ：－2≤x ≤10；由x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)，整理得[x －(1－m)][x －(1＋m)]≤0，解得 1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：1－m ≤x ≤1＋m.又∵p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．19．证明：假设x ，y ，z 都小于0，即x<0，y<0，z<0，则有x ＋y ＋z<0.由已知有x ＋y ＋z ＝a2－2b ＋1＋b2－2c ＋1＋c2－2a ＋1＝a2－2a ＋1＋b2－2b ＋1＋c2－2c ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，与由假设推得的结论x ＋y ＋z<0矛盾，∴假设不成立，∴x ，y ，z 中至少有一个不小于0.20．解：当m ＝0时，f(x)＝x －a 的图像与x 轴恒相交，所以a ∈R.当m ≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x －m －a 的图像和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m ＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am ＋1≥0恒成立．又4m2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a ≤1.综上所述，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0，a ∈[－1，1]．21．解：(1)由x2－4ax ＋3a2<0得(x －3a)·(x －a)<0，又a>0，所以a<x<3a.当a ＝1时，1<x<3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x<3.由x2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3.所以q 为真命题时实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x<3，所以实数x 的取值范围是[2，3)．(2)设A ＝{}x|a<x<3a ，B ＝{}x|2≤x ≤3.因为p 是q 的必要不充分条件，所以，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<2，3a>3⇒1<a<2，所以实数a 的取值范围是()1，2. 22．解：∵函数y ＝cx 在R 上单调递减，∴0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1，∵c ＞0且c ≠1，∴：c ＞1.又∵f(x)＝x2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12，即q ：0＜c ≤12，∵c ＞0且c ≠1，∴：c ＞12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 真q 假或p 假q真．①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜c ＜1，c>12且c ≠1，c 的取值范围为12<c<1；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，0<c ≤12，∴c 的取值集合为∅.综上所述，实数c 的取值范围是12<c<1.。

高中数学第一章常用逻辑用语学业分层测评4 简单的

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语学业分层测评4 简单的逻辑联结词新人教A版选修1-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q B．p∨qC．¬p D．¬p∧¬q【解析】命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．【答案】 B2．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则( )A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为假命题【解析】∵¬(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题，故p、q中至少有一个为真命题．【答案】 C3．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题中，“p∨q”为真，“p ∧q”为假，“¬p”为真的是( )A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5＞3C．p：a∈{a，b}；q：{a a，b}D．p：Q R；q：N＝N【解析】由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．【答案】 B4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“¬p”是( )A.3∉AB.3∈(∁U A)∩(∁U B)C.3∈∁U BD.3∉(A∩B)【解析】由p：3∈(A∪B)，可知¬p：3∉(A∪B)，即3∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，故选B.【答案】 B5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )【解析】由于命题p ：所有有理数都是实数，为真命题，命题q ：正数的对数都是负数，为假命题，所以¬p 为假命题，¬q 为真命题，故只有(¬p )∨(¬q )为真命题．【答案】 D 二、填空题6．设命题p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.【解析】由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.【答案】 3 －37．命题“若a <b ，则2a <2b”的否命题是____________，命题的否定是________.【导学号：26160018】【解析】命题“若p ，则q ”的否命题是“若¬p ，则¬q ”，命题的否定是“若p ，则¬q ”．【答案】若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b8．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)＜0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)(1)p 假，q 真 (2)“p ∨q ”为真 (3)“p ∧q ”为真 (4)“¬p ”为真【解析】 p 真，q 假，故p ∨q 为真．【答案】 (2) 三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”形式的命题，并判断其真假： (1)p ：梯形有一组对边平行，q ：梯形有一组对边相等；(2)p ：－1是方程x 2＋4x ＋3＝0的解，q ：－3是方程x 2＋4x ＋3＝0的解； (3)p ：集合中元素是确定的，q ：集合中元素是无序的．【解】 (1)p ∧q ：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． ∵q ：梯形有一组对边相等是假命题， ∴命题p ∧q 是假命题．p ∨q ：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．∵p ：梯形有一组对边平行是真命题， ∴命题p ∨q 是真命题．¬p：梯形没有一组对边平行．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(2)p∧q：－3与－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．p∨q：－3或－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(3)p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题．p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题．¬p：集合中的元素是不确定的，是假命题．10．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．【解】若p为真，则1∈{x|x2<a}，所以12<a，即a>1；若q为真，则2∈{x|x2<a}，所以22<a，即a>4.(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升]1．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )A．(0，－3) B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，既点P(x，y)既在直线上，也在曲线上，只有C满足．【答案】 C2．下列命题中的假命题是( )A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0【解析】易知A，B，D项中均为真命题，对于C项，当x＝0时，x3＝0，C为假命题．【答案】 C3．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．【解析】由¬p是¬q的充分而不必要条件，可知¬p⇒¬q，但¬q⇒/¬p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p⇒/q，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1.【答案】[1，＋∞)4．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.【导学号：26160019】【解】对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解这个不等式，得－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时，有－3<a≤0，当p假q真时，有a≥1.综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．。

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