华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的应用》教学案例_16
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的性质》精品课件_2
（2）如果面积扩大为原来的100倍， 那么边长扩大为原来的 倍10。
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交 BC于点F，已知BE∶AB=2∶3，S△BEF =4，求：S△CDF .
D
C
F
A
B
E
3.如图,在△ABC
中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若△ABC的
面积为9,求S四边形DBCE
ADEB源自C4.如图，三角形ABC是一块锐角三角形木料，要
把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上， 其余两个顶点在AB、AC上，若BC=120mm，高 AD=80mm,求这个正方形零件的边长
相似三角形的性质： 1.相似三角形对应高的比等于相似比。 2.相似三角形对应中线的比等于相似比 3.相似三角形对应角平分线的比等于相 似比。
相似三角形的 性质
1.相似三角形有何特征？
（对应边成比例，对应角相等）
2.识别三角形相似的主要方法有 那些？
两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似 。 三边对应成比例的两个三角形相似。
1.如图,△ABC∽ △ A′B′C′,
相似比为K, AD、A′D′分别为
A′ A
B
D
B′ D′ C′ C
4.如图,△ABC∽ △ A′B′C′,
相似比为K,AD、A′D′分别为 △ABC和△ A′B′C′的高，
求证:Ｓ△ABC ：Ｓ△ A′B′C′的值
A
A′
B
D
B′ D′ C′ C
相似三角形性质:
相似三角形对应高的比、对 应中线的比、对应角平分线的 比、周长的比等于相似比。
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的判定》精品课件_1
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.
在平行四边形BFED中,DE=BF,DB=EF.
∵AD=DB= 1 AB, 2
∴AD=EF.
又∠A=∠1, ∠2=∠C,
∴△ADE≌△EFC,
∴AE=EC= 1 AC,
2
DE=FC=BF=
1
BC.
2
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
第23章
2.相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）
华东师大版 九年级上册
复习回顾
1.对应角 相等 , 对应边的 比相等 的两个三角形,
叫做相似三角形
2.相似三角形的 对应角相等,各对应边的 比相等 .
A
如果△ABC∽△DEF, 那么
B
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC BC DE DF EF
三边对应成比例,两三角形相似.
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
非淡泊无以明志，非宁静无以 致远。——诸葛亮
k就是它们的相似比.
如果k=1,这两 个三角形有怎
样的关系?
？ 思考
如图,在△ABC中,点D是边 AB的中点,DE//BC,DE交AC于点 E, △ADE与△ABC有什么关系?
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形23.3.3相似三角形的性质教案新版华东师大版
23．3.3 相似三角形的性质会说出相似三角形的性质：对应角相等,对应边成比例,对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方．重点1．相似三角形中的对应线段比值的推导．2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导．3．运用相似三角形的性质解决实际问题．难点相似三角形性质的灵活运用,相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用．一、情境引入复习：1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些？2．在△ABC与△A′B′C′中,AB＝10 cm,AC＝6 cm,BC＝8 cm,A′B′＝5 cm,A′C′＝3 cm,B′C′＝4 cm,这两个三角形相似吗？说明理由．如果相似,它们的相似比是多少？二、探究新知教师结合上述第2题,引导学生探究：上述两个三角形是相似的,它们对应边的比就是相似比,△ABC∽△A′B′C′,相似比为ACA′C′＝2.相似的两个三角形,它们的对应角相等,对应边会成比例,除此之处,还会得出什么结果呢？一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线,如果两个三角形相似,那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系．同学们画出上述的两个三角形,作对应边BC和B′C′边上的高,用刻度尺量一量AD与A′D′的长,ADA′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．我们能否用推理的方法来说明这个结论呢？△ABD和△A′B′D′都是直角三角形,且∠B＝∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′,∴ADA′D′＝ABA′B′＝k.接下来,教师再提出问题让学生归纳,并引导学生通过演绎推理来证明．思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？S△ABCS△A′B′C′＝12AD·BC12A′D′·B′C′＝ADA′D′·BCB′C′＝k2归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比．教师展示例1,引导学生分析,学生独立完成,小组内交流．例1 如图,梯形ABCD的对角线交于点O,DCAB＝23,已知S△DOC＝4,求S△AOB,S△AOD.三、练习巩固教师展示课件,可由学生自由完成,教师点名上台展示,教师点评．1．如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(图形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m,桌面距离地面为1 m,若灯泡距离地面3 m,则地面上阴影部分的面积为________．【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．2．如图,在△ABC中,BC＝24 cm,高AD＝12 cm,矩形EFGH的两个顶点E,F在BC上,另两个顶点G,H分别在AC,AB上,且EF∶EH＝4∶3,求EF,EH的长．四、小结与作业小结1．相似三角形对应角相等,对应边成比例．2．相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方．布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手,提出问题继续探究相似三角形的有关性质,通过动手测量,猜想出结论,并加以证明,加深对知识的理解,提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力,并通过对知识方法的总结,培养反思问题的习惯,形成理性思维．。
华东师大版 初三数学23章 相似三角形典型例题(含答案)-学习文档
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
华东师大版数学九年上23.2《相似图形》教学设计
2.在判定相似图形时，对判定方法的选择和应用不够熟练，容易混淆。
3.在解决实际问题时，学生可能难以发现相似图形的应用场景，缺乏将理论知识运用到实际中的能力。
针对以上情况，教师在教学过程中应关注以下几点：
1.加强对相似图形定义的讲解，通过实例让学生直观地感受到相似图形的特点。
"提前预习，有助于同学们在课堂上更好地消化吸收新知识，提高学习效率。"
作业布置要求：
1.作业要按时完成，保持字迹清晰，书写规范。
2.对于难题和疑问，要及时与同学或老师交流，确保作业质量。
3.家长要关注孩子的作业进度，给予适当的指导和支持。
"今天我们学习了相似图形，它们具有对应角相等、对应边成比例的性质。我们通过AA、SAS、SSS相似准则来判断两个图形是否相似。这些知识不仅可以帮助我们解决几何问题，还可以应用到生活中的各种场景。"
2.强调相似图形在实际生活中的重要性，激发学生对数学学科的兴趣。
3.鼓励学生在课后继续探索相似图形的知识，为下一节课的学习打下基础。
（2）准备丰富的实物模型，让学生直观地感受相似图形的性质和判定方法。
（3）提供丰富的练习题库，满足不同层次学生的学习需求。
5.教学关注点：
（1）关注学生的几何直观能力培养，提高学生对几何图形的认识和理解。
（2）关注学生的逻辑推理能力，培养学生的几何思维能力。
（3）关注学生的应用意识，将相似图形知识运用到实际问题中，提高学生的实践能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的相似图形为例，引导学生观察、思考，导入新课。
（2）新知传授：详细讲解相似图形的定义、性质和判定方法，结合实例进行分析。
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形3相似三角形的性质教案新版华东师大版12
九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形3相似三角形的性质教案新版华东师大版121．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于F点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比；(2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( )A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．解析：求AC 边上的高，先将高线作出，由△ABC 的面积为18，求出AC 的长，即可求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB ∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC )2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D . (1)若AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ；(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AE AD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB)2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AEAD，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.。
2022秋九年级数学上册第23章图形的相似23.3相似三角形4相似三角形的应用课件新版华东师大版
7．如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠 杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头 就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必 须向上翘起10 cm，已知AC:BC＝5:1，要使这块石头滚 动，至少要将杠杆的A端向下压________cm.
【点拨】如图，AM、BN都与水平线垂直， 即AM∥BN.易知△ACM∽△BCN， ∴ABCC＝ABMN.∵AC:BC＝5:1，∴ABMN＝51，即 AM＝5BN， ∴当BN≥10 cm时，AM≥50 cm. 故要使这块石头滚动，至少要 将杠杆的A端向下压50 cm. 【答案】50
6.【中考·陕西】周末，小华和小亮想用所学的数学知识测 量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的 一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择 了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再 在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点 C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m ，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量 信息，求河宽AB. 解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE， ∴DBCE＝AADB.∴11.5＝ABA＋B8.5， ∴AB＝17 m. 答：河宽AB为17 m.
8.【中考·泰安】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作 ，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各 中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？” 用今天的话说，大意是如图，四边形DEFG是一座边长为 200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城， 东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点， 出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步 恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？ 请你计算KC的长为________步．
华师大版九上 第23章 图形的相似 23.3.4 相似三角形的应用(33张PPT)
课后作业（思维拓展）
解：设AE＝x， 则BF＝20－10.2－x. ∵ME∥BD， ∴△AME∽△DAB.
∵NF∥AC，∴△BNF∽△BCA.
故路灯的高度约为6.8m．
课后作业（思维拓展）
14．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面 积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正 方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方 案如图1，乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方 案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果 中可保留分数)
【思路分析】根据题意得出
，进而得出
△ABO∽△CDO，再利用三角形的性质即可求出答案．
典例精析
【答案】15 【方法归纳】在具体测量操作过程中，一定要构建出能
使两三角形相似的必要条件后才能运用相似三角形的性 质求解
典例精析
知识点3 借助标杆、直尺或平面镜测量物体的高度 【例3】 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB
第23章 图形的相似
新知预习
1．利用影长测量物体的高度通常利用相似三角形的性质， 即相似三角形的对应边的比_ 相等 ___或在同一时刻物
_ 高___与_ 影长___的比相等原理解决． 2．利用相似测量河(塘)的宽度或距离时，测量不能直接
到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图， 三点应_ 在一条直线上___． 3．借助标杆或直尺测量物体的高度，用相似三角形对应 边的比_ 相等___的性质求物体的高度.
他先测得留在墙上的影高 (CD)为1.2m，又测得地面部 分的影长(BC)为2.7m，他测 得的树高应为多少米？
课后作业（能力提升）
解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为 h m，
最新华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似PPT
边．
归纳总结，形成概念 相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两 个多边形叫做相似多边形（Similar polygons）.例如， 在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读 作“相似于”． 相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比 （Similarity ratio）.
(1)比例的基本性质 如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积. 如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如果 a：b =b：c ，那么b2 =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值 变了).
情境引入 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分， 使得这两部分的比是2:3？
在图中，小方格的边长均为 1，直线l1 ∥ l2 ∥ l3 , 分别交直线m, n于格点A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 .
问题1 ：你能求出线段： A1 A2 , A2 A3 , A1 A3 ; B1 B2 , B2 B3 , B1 B3的长度吗？ AA BB AA BB A A B B 问题 2：计算 与 , 与 , 与 的值， A A B B AA BB AA BB 你有什么发现？
A
∵DE∥AB
E
D
B
C
AD AE BD CE AD AE AB AC
上 下 上 全 下 全
BD CE AB AC
例1、如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC.
（1）如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的长是多少？
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 相似三角形
∴ ∴CE＝6AE，∴AE:AC＝1:7.
ACEE＝ACGB＝16，
【答案】D
11．△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，以AC为斜边作△ACD与△ABC相 似，则AD的长为________．
(1)若BD＝20，求BG的长；
DFCF＝32
解：(1)∵GF∥BC，
∵DFBCFD＝＝2320，，∴∴BDFGC＝F＝8. DBGG＝32.
(2)求CCMD的值．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DMG∽△BAG，
∴DAMB ＝DBGG，∴DAMB ＝32， ∴DCMD ＝32，∴CCMD ＝12.
2．如图，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为( )
C
A．28°
B．32°
C．42°
D．52°
3．【中考·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝( )
BC
B
B′C′
A．2
4 B.3
C．3
D.196
4．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，△ADB∽△ABC，AD＝4，CD＝8. (1)求AB的长；
HS版九年级上
第23章 图形的相似
23.3相似三角形 1.相似三角形
新知笔记 1 成比例；相等 2 见习题 3 相似
提示：点击 进入习题
1B 2C 3B 4 见习题 5A
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6A 78 8 见习题 9C 10 D
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的性质》精品课件_1
_2__:5___，对应角的角平分线的比为__2__:5__，周长的 比为___2_:_5_，面积的比为_4__:_2_5_．
3、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高
之比为_4__ห้องสมุดไป่ตู้_3_，对应中线之比为_4__:__3
已知两个三角形相似，请完成下列表格：
3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来
的5倍，那么它的周长扩大为原来的 5 倍，
而面积扩大为原来的 25 倍。
A
4、如图，已知△ABC∽△ADE，
且BC=2DE，则△ADE与四
E
D
边形BCDE的面积比为（ B ） B
C
(A)1：2 (B)1：3 (C)1；4 (D)1：5
挑战自我
小王有一块三角形余料ABC，它的边 BC=60cm，高线AD=40cm，要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在BC上，其余 两个顶点分别在AB，AC上。
对应高。
B
• 求证：
AD A' D '
k
D
C
A’
证明：∵△ABC∽△A'B'C'
∴∠B= ∠B'
B’
∵ AD、A′D′分别是△ABC与 △A′B′C′的高
∴∠ADB=∠A'D'B'=90O
D’ C’
∴ △ABD∽△A'B'D'
AD AB k A'D' A' B'
也就是说： 相似三角形对应边上高的比等于相似比
B 证明：∵ △ABC∽△ A' B'C'
华师版九年级数学上册第二十三章教学课件 相似三角形的判定
感悟新知
知3－练
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，
紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比
较法判断.
思路点拨： 利用三边成比例判定两三角形相似的方法：
先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序 排列，找出两个三角形的对应边；
再分别计算小、中、大三组对应边的比; 最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角 形相似，否则不相似.
●应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角 形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要 注意边的对应情况.
感悟新知
2. 数学表达式
如图23.3-13，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵
AB DE
BC EF
CA FD
,
∴△ ABC ∽△ DEF.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例 3 图23.3-14， 图23.3-15 中小正方形的边长均为1， 则图23.3-15 中的哪一个三角形( 阴影部分) 与图 23.3-14 中的△ ABC相似？
知1－讲
感悟新知
3. 常见的相似三角形的类型
知1－讲
(1)平行线型：如图23.3-9 ①， 若DE ∥ BC， 则△
ADE ∽△ ABC.
(2)斜交线型：如图23.3-9 ②，若∠ AED= ∠ B，则
△ AED ∽△ ABC.
感悟新知
(3)“ 子母”型：如图23.3-9 ③，若∠ ACD= ∠ B， 知1－讲 则△ ACD ∽△ ABC.
知1－练
感悟新知
知识点 2 边角关系判定三角形相似定理
知2－讲
1. 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
特别提醒：
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.5 位似图形》公开课教案_17
《位似图形》教案设计华师版九上第23章【教学设想】本节课主要是了解位似图形的有关概念及性质，能利用作位似图形的方法将一个图形放大与缩小，并且能用图形的相似解决一些实际问题。
通过对位似图形的分析，培养学生猜测、动手操作以及说理的能力，给了学生更多自主学习、自我表达的机会。
本节课主要培养学生自主探索、合作交流、解决问题的能力，对自己的猜测进行验证，并在验证过程中进行回顾与思考【教学目标分析】1.知识与能力：①了解位似图形、位似中心、位似比的概念；②掌握位似图形的性质，会画位似图形。
2.过程与方法：①先通过观察具有位似位置的图形，了解位似图形的定义和掌握位似图形的性质；②画位似图形发展学生的应用意识和动手操作能力。
3.情感、态度、价值观①养成独立观察思考的习惯，感受平面几何图形的美；②通过学习培养学生的合作意识；○3通过探究提高学生学习数学的兴趣。
体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣。
【重、难点分析】：教学重点：了解并掌握位似图形的定义和性质；教学难点：掌握位似变化的方法，运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算【学习者特征分析】学生的知识技能基础：在本章前面几节课中，学生已经认识了相似图形，学习了相似图形的概念、性质和判定，加强了对图形的理解和认识，经历了观察、发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得了一定的知识，形成了一定的技能，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
【教学媒体】多媒体投影、数码学习机、《数学画板》软件【教学设计】：1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识.2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节来完成，把学习的主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索创新. 【教学过程】：一、创设情境引入新知观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1 都是相似图形。
初中数学华东师大九年级上册图形的相似-相似三角形的判定PPT
D
∴ ΔA'B'C'∽ΔABC
B
A A/
E
C B/
C/
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简 单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
A
A'
C B' C'
问题
如果△ABC∽△A1B1C1 而△A1B1C1 ∽△A2B2C2 那么△ABC与△A2B2C2 是否相似？ 原因？
似 三角形？
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似
三角形？
A
顶角相 等
底角相A'
等
顶角与底角 相等
B
C B'
C'
练习2
（1）求证有一个锐角相等的两直角三角形为相 似 三角形。
（2）有一个角相等的两等腰三角形是否为相似 三角形？
顶角相 等
底角相 等
顶角与底角 相等
继续
A
A'
第
一
种
B'
情
C'
况
B
图中共有__3__对相似三角形。 A
B
AB∥EF △AOB∽ △FOE
AB∥CD △AOB ∽△DOC
O
EF∥CD △EOF∽△COD
E
F
C
D
问题2
在△ABC 和△ A' B' C 中' , ∠A=∠A'， ∠B'=∠B
△ABC与△ A' B' C ' 是否相似？
华东师大版九年级数学上册第23章《图形的相似》PPT课件
如果 a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc （a、b、c、d都 bd
不等于0），那么 a c . bd
你还可以得到其他 的等比例式吗？
典例精析
例：
证明：（1）如果
a b
c d
，那么
ab b
cd d
；
证明:（1）∵a c bd
在等式两边同加上1，
∴ a 1 c 1 bd
bd
a ：b=c：d
a b b2 ac
bc
ac bd
bd
a
c
d
b
b d c a
ac
第23章 图形的相似
23.1 成比例线段 第2课时
学习目标
1.掌握“平行线分线段成比例”的基本事实；（重点） 2.掌握平行于三角形一边的直线的性质； (重点) 3.能根据以上掌握的内容解决相关问题.（难点）
用a、b、c、d ，表示四个数，上述四个数成比例可写成怎
样的形式？
a c 或 a：b=c：d，
bd
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项.
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b:c， 则b叫做a，c的比例中项.
典例精析
例：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段.
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵ a 4 2
b63
c d
5 1 10 2
，
∴ ac ， bd
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15 ，d＝ 5 3．
（2） ∵ a 2 2 5 c 2 15 2 5 b 5 5 d 53 5
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.3 相似三角形 相似三角形的判定》精品课件_1
复习回顾----类比探究
全等三角形的判定方法 相似三角形的判定方法
SSS
“三边”法
SAS AAS ASA
HL
“两边及其夹角”法 “两角”法?
“ 斜边直角边”法?
学习目标
1、理解“两角” 判定法和“斜边直 角边” 判定法的证明过程；
2、运用“两角法”和“斜边直角边法” 判定三角形的相似及解决简单的问题。
探究一“两角法”
1、任意画一个30度的直角三角形； 2、观察你所画的三角形与同桌画的相似吗？
A
A1
C
B
C1
B1
猜想：两个角分别相等的两个三角形相似吗？
探究一“两角法”
猜想：在已知△ABC和△A‘B’C‘中，如果∠A=∠A', ∠B=∠B'，
那么:△ABC与△A' B'C' 相似吗？
A
A'
B'
C'
B
C
探究一“两角法”
验证：两个角分别相等的两个三角形相似．
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'， 求证: △ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D 作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
★ 3.如图，△ABC中， DE∥BC，EF∥AB，试说明 △ADE∽△EFC.
A
D
E
B
F
C
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4.相似三角形的应用
【知识与技能】
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.
【过程与方法】
通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.
【情感态度】
让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.
【教学重点】
构建相似三角形解决实际问题.
【教学难点】
把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.
一、情境导入，初步认识
复习
1.相似三角形有哪些性质？
2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.
（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）
二、思考探究，获取新知
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高
度或宽度.
例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较木棒的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB ，如果O ′B ′=1米,A ′B ′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.
【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A ′O ′B ′∽△AOB ，从而求得OB 的长度.
解：∵太阳光是平行光线即O ′A ′∥OA,
∴∠OAB=∠O ′A ′B ′.又∵∠ABO=∠A ′B ′O ′=90°,
∴△OAB ∽△O ′A ′B ′.
答：金字塔的高度OB 为137米.
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一这一边上选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.
解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD ∽△ECD （两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=
60
50120⨯=⨯CD EC BD =100（米）. 答：两岸间的大致距离为100米.
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.
例3 如图，已知D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE=∠C.求证：
AD ·AB=AE ·AC.
【分析】把等积式化为比例式
AB AC AE AD =,猜想△ADE 与△ABC 相似，从而找条件加以证明.
证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,
∴△ADE ∽△ACB （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴AB
AE AC AD =, ∴AD ·AB=AE ·AC.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m ，在这岸离开岸边16m 处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？
【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE ∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC 的长.
2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C 、D ，然后测出两人之间的距离CD=1.25m ，颖颖与楼之间的距离DN=30m （C 、D 、N 在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m ，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
【答案】1.24m 2.20.8m
【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.
四、师生互动，课堂小结
这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？
【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.
学知识的能力.。