推荐2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值含解析
2019版高考数学第3章导数及其应用3第3讲导数与函数的极值、最值教案理
第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒] (1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点；(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值；(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3．极值与最值的区别与联系(1)区别①当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；②极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( ) (2)导数为零的点不一定是极值点．( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√(教材习题改编)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A .导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个．所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )A ．eB ．1C ．－1D ．－e解析：选C .函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，函数单调递增； 当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.答案：2(教材习题改编)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．解析：y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0， 又因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，解得x ＝π6，则当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′＞0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′＜0，故函数y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值π6＋ 3.答案：π6＋ 3函数的极值问题(高频考点)函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度： (1)由图判断函数极值的情况； (2)已知函数解析式求极值； (3)已知函数极值求参数值或范围．[典例引领]角度一 由图判断函数极值的情况(2017·高考浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【解析】 原函数先减再增，再减再增，且x ＝0位于增区间内，故选D . 【答案】 D角度二 已知函数解析式求极值(2018·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点． 当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x，令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈(0，1a )时，g ′(x )＞0；当x ∈(1a，＋∞)时，g ′(x )＜0.因为g (x )在(0，1a )上是增函数，在(1a，＋∞)上是减函数．所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g (1a )＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a .综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．角度三 已知函数极值求参数值或范围(2016·高考山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为a >12.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)ex －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A. 2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表．极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0，故函数在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数在x ＝1a处有一个极大值点．函数的最值问题[典例引领](2017·高考浙江卷)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x(x ≥12)．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值范围． 【解】 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e－x)′＝－e－x，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)·e －x＝（1－x ）（2x －1－2）e －x2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12. (2)由f ′(x )＝（1－x ）（2x －1－2）e－x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又f (x )＝2(2x －1－1)2e －x≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，＋∞上的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2e －2.求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[通关练习]1．函数f (x )＝x 22x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1上的最小值与最大值的和为( ) A.13 B.23 C ．1D ．0解析：选A.f ′(x )＝2x （2x ＋1）－2x2（2x ＋1）2＝2x （x ＋1）（2x ＋1）2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1， 当f ′(x )＝0时，x ＝0； 当f ′(x )<0时，－13≤x <0；当f ′(x )>0时，0<x ≤1.所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0上是减函数，在(0，1]上是增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，f (1)＝13.所以f (x )的最大值与最小值的和为13.2．(2018·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[1e ，e]上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x2－1x＝1－xx2，所以f ′(x )＞0⇒0＜x ＜1，f ′(x )＜0⇒x ＞1，所以f (x )＝1－1x－ln x 在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在[1e ，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )在[1e ，e]上的最大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又f (1e )＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f (1e )＜f (e)．所以f (x )在[1e ，e]上的最小值为f (1e)＝2－e.所以f (x )在[1e，e]上的最大值为0，最小值为2－e.函数极值与最值的综合应用[典例引领](2018·福州市综合质量检测)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2－ax (a ∈R )． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋ax，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9，所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝（2x －3）（x －3）x，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0；当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以x ＝3是f (x )的极小值点，所以f (x )的单调递增区间为(0，32)，(3，＋∞)，单调递减区间为(32，3)．(2)g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝（2x －a ）（x －1）x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在[1，a 2)上为减函数，在(a2，e]上为增函数，h (a )＝g (a 2)＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e.（1－e ）a ＋e 2－2e ，a ≥2e解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝3.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0； 当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增． 所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.利用导数研究生活中的优化问题[典例引领]某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)．设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 公斤与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少时，该工厂的每日利润y 最大？并求最大值． 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，所以k ＝100e 30， 所以日销量q ＝100e30ex ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x(25≤x ≤40)． (2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x， y ′＝100e 30（26－x ）ex， 由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0，得x ≥26，所以y 在区间[25，26]上单调递增，在区间[26，40]上单调递减， 所以当x ＝26时，y ma x ＝100e 4，即当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，机车的 最高速度为100 km/h ，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解：设机车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 由题意，令40＝k ·203，所以k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x＝a ⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0<x ≤100)．由f ′(x )＝a （x 3－40 000）100x2＝0，得x ＝2035.当0<x <2035，f ′(x )<0； 当2035<x ≤100时，f ′(x )>0.所以当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少．求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究．研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决．函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点．分类讨论思想的应用(1)利用导数研究函数的性质，不能以统一的方法或形式处理多种可能情形的对象．此时可选择一个标准，依此分成几个能用不同形式去解决的小问题，从而获得问题解决，体现化整为零，各个击破、积零为整的思想——分类讨论．如求函数f (x )在某一区间上的最值，应根据函数在该区间上的单调性求解，若函数的单调区间含参数，需根据所求区间与函数的单调区间的相对位置关系进行分类讨论，分类的目的是确定函数在所求区间上的单调性．(2)解含参函数单调区间、极值、最值问题时，容易产生讨论的两个地方： ①f ′(x )＝0有根与无根的讨论； ②f ′(x )＝0有根，对根大小的讨论．易错防范(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．1．函数y ＝x e x的最小值是( ) A ．－1 B ．－e C ．－1eD ．不存在解析：选C.因为y ＝x ·e x，所以y ′＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，当x ∈(－∞，－1)时，y ′＜0，当x ∈(－1，＋∞)时，y ′＞0，所以当x ＝－1时，y min ＝(－1)e －1＝－1e.2．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 3解析：选C.设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ，则x ∈(0，5)，y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x ，所以y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，所以y ma x ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值解析：选D.由题意得x ∈R ，y ′＝1－11＋x 2·(1＋x 2)′＝1－2x 1＋x 2＝（x －1）21＋x 2≥0，所以函数y ＝x －ln(1＋x 2)无极值．4．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C.5．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，4] B ．[2，4] C ．[1，4)D ．[1，2]解析：选C.因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：⎩－a ≤－1⎩2≤a ，1≤a <4.选C.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋4在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2.列表得答案：27．(2018·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx －1（x ＞0），h （x ）（x ＜0），则函数h (x )的最大值为______．解析：先求出x ＞0时，f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时，f ′(x )＝e x（x －1）x2，所以x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数单调递减，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，所以x ＝1时，函数取得极小值即最小值，为e －1，所以由已知条件得h (x )的最大值为1－e. 答案：1－e8．已知函数f (x )＝ln x －m x(m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝______． 解析：f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2(x ＞0)，当m ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )在区间[1，e]上为增函数，f (x )有最小值f (1)＝－m ＝4， 得m ＝－4，与m ＞0矛盾．当m ＜0时，若－m ＜1即m ＞－1，f (x )在区间[1，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝－m ＝4， 得m ＝－4，与m ＞－1矛盾；若－m ∈[1，e]，即－e ≤m ≤－1，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1＝4，解得m ＝－e 3，与－e ≤m ≤－1矛盾；若－m ＞e ，即m ＜－e 时，f (x )在区间[1，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1－me ＝4，解得m＝－3e ，符合题意． 答案：－3e9．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝ f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 10．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．1．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a ＞12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( )A ．14B ．13C ．12D ．1解析：选D.因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a ＞12，所以0＜1a ＜2.当x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(1a，2)上单调递减，所以f (x )ma x ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a＝－1，解得a ＝1.故选D. 2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．3．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为______．解析：f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝（x －1）exx2，则g (x )在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 所以g (x )在(0，＋∞)上有最小值，为g (1)＝e ，结合g (x )＝exx与y ＝k 的图象可知，要满足题意，只需k ≤e. 答案：(－∞，e]4．设m ，n 是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若2∈(m ，n )，则实数a 的取值范围是______．解析：由已知f (x )的解析式知f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2，因为函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 有两个极值点m ，n ，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2有两个零点m ，n ， 又因为2∈(m ，n )，所以有f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0， 解得2＜a ＜6. 答案：(2，6)5．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f (x )＝(2x －4)e x＋a (x ＋2)2(x ＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈(0，12)时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2e x＋(2x －4)e x＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－（x －1）e xx ＋2恒成立，记g (x )＝－（x －1）exx ＋2，则g ′(x )＝－x e x （x ＋2）－（x －1）e x （x ＋2）2＝－（x 2＋x ＋1）e x（x ＋2）2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0，1)使得f ′(t )＝0， 又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－（t －1）ett ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0，1)．记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．6．(2018·山西三区八校模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ，b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0，e]上的最大值为1，求a 的值． 解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，又a ＝1，所以b ＝－3，则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝（2ax －1）（x －1）x，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1，当12a＜0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2， 当a ＞0时，x 2＝12a＞0，当12a ＜1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，[1，e]上单调递增，所以最大值可能在x ＝12a或x＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a －1＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2， 当1＜12a ＜e 时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得， 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0， 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1， 解得a ＝1e －2，与1＜x 2＝12a＜e 矛盾，当x 2＝12a ≥e 时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0，矛盾， 综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.。
专题04 导数及其应用-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读04 导数及其应用（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.考向一 利用导数研究函数的单调性样题1 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数．（1）讨论的单调性；()f x （2）若存在两个极值点，证明：．()f x 12,x x 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）的定义域为，.()f x (0,)+∞（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x (0,)+∞（ii ）若，令得，或.2a >()0f x '=当时，；()0f x '<当时，.()0f x '>所以在单调递减，在单调递增.()f x设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当()g x (0,)+∞(1)0g =(1,)x ∈+∞时，.()0g x <所以，即.考向二 利用导数研究函数的极值问题样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若是函数的极值点，则的极小值为2x =-()f x A ． B ．1-32e --C ． D ．135e -【答案】A 【解析】由题可得，因为，所以，，故，(2)0f '-=1a =-令，解得或，()0f x '>2x <-1x >所以在上单调递增，在上单调递减，()f x (2,1)-所以的极小值为，故选A ．()f x【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．样题3（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >（2）若是的极大值点，求．0x =()f x a 【答案】（1）见解析；（2）.16a =-【解析】（1）当时，，.0a =设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当10x -<<()0g x '<0x >()0g x '>1x >-0x =时，，从而，且仅当时，.()0g x =()0f x '≥0x =()0f x '=所以在单调递增.()f x (1,)-+∞又，(0)0f =故当时，；当时，.10x -<<()0f x <0x >()0f x >（2）（i ）若，由（1）知，当时，，这与是0a ≥0x >0x =的极大值点矛盾.()f x （ii ）若，设函数.0a <由于当时，，故与符号相同.()h x ()f x 又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.0x =()f x 0x =()h x .如果，则当，且时，，故不是的极610a +>()0h x '>0x =()h x 大值点.如果，则存在根，故当，且时，610a +<10x <1(,0)x x ∈，所以不是的极大值点.()0h x '<0x =()h x 【答案】0【解析】.样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为．【答案】116样题8 如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】5 12【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.。
专题04 导数及其应用-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读04 导数及其应用（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.考向一 利用导数研究函数的单调性样题1 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，或.当时，()0f x '<；当时，()0f x '>.所以()f x 在单调递减，在单调递增.设函数，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以，即.考向二 利用导数研究函数的极值问题样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若2x =-是函数的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A 【解析】由题可得， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，，故，令()0f x '>，解得2x <-或1x >， 所以()f x 在上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．样题3（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【答案】（1）见解析；（2）16a =-. 【解析】（1）当0a =时，，.设函数，则.当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增. 又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数.由于当时，，故()h x 与()f x 符号相同.又，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点..如果610a +>，则当，且时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.【答案】0 【解析】.样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．【答案】116样题8 如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】5 12【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.。
高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值高中数学知识点总结及公式大全：导数与函数的极值与最值数学作为一门基础学科，是中学阶段学习中的重要科目之一。
其中，数学的知识点及公式涵盖了广泛的内容，为学生的数学学习和应用提供了基础。
导数与函数的极值与最值是高中数学中的一个重要知识点，本文将对该知识点进行总结，并提供相应的公式大全，以帮助学生更好地理解和掌握。
一、导数导数是函数求取变化率的数学工具，它描述了函数在某一点上的斜率或变化速率。
导数的概念和运算规则对理解函数的性质及相关应用都具有重要意义。
1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点处的极限，表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx)其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
根据上述定义，导数可解释为函数在该点上的切线与x轴正方向之间的夹角的正切值，即斜率。
2. 常见函数的导数公式为了更方便地计算函数的导数，在高中数学中，有一些常见函数的导数公式需要记忆。
这些公式如下：常数函数：(C)' = 0幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)指数函数：(a^x)' = a^x*ln(a)，其中a为常数对数函数：(log┬a(x))' = 1/(x*ln(a))，其中a为常数三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)反三角函数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)和、差、积、商的导数公式：(u±v)' = u'±v'，(u*v)' = u'*v+v'*u，(u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2复合函数的导数公式：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)二、函数的极值与最值函数的极值与最值是指函数在定义域内的局部最大值和最小值。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题04导数及其应用热点难点突破文含解.pdf
C．2x－y－1＝0
D．2x＋y＋1＝0
ex（x－2）
解析 因为 f′(x)＝
，所以 f′(0)＝－2，故在 x＝0 处的切线方程为 2x＋y＋1＝0，故选 D.
（x－1）2
答案 D
9．曲线 f(x)＝x3＋x－2 在 p0 处的切线平行于直线 y＝4x－1，则 p0 点的坐标为( )
C．a<b
D．a＋b＝1
1
1
∫ | ) ∫ | ) 解析 a＝
1
cos xdx＝sin x 0 ＝sin 1，b＝
1
sin xdx＝(－cos x) 0 ＝1－cos 1，∴a＝sin 1>sin
0
0
π1 ＝，
62
π1
1
11
又 cos 1>cos ＝ ，∴－cos 1<－ ，b＝1－cos 1<1－ ＝ ，∴a>b，选 A.
答案 B
4．若函数 f(x)＝ex－x2－ax(其中 e 是自然对数的底数)的图象在 x＝0 处的切线方程为 y＝2x＋b，则函数 g(x)
f′x－b
＝
x
在(0，＋∞)上的最小值为( ห้องสมุดไป่ตู้)
A．－1 B．e C．e－2 D．e2
答案 C
解析 因为 f′(x)＝ex－2x－a，
所以 f′(0)＝1－a.
∴k≤e，即实数 k 的取值范围是(－∞，e].
1 3．已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x)，满足 f′(x)<f(x)，且 f(0)＝ ，则不等式 f(x)－
2
1 ex<0 的解集为( ) 2
2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx ＝1ni =∑b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛abf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝limn →∞1ni =∑b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x ) ⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba )＝F (b )－F (a ).【考点突破】考点一、定积分的计算【例1】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝________.(3)⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________. [答案] (1) π (2) 8 (3) 1＋π4[解析] (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2)⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝83＋4＋4－83＝8. (3)⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4.又∵⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，∴⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝1＋π4.【类题通法】1. 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化运算. 2．运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 【对点训练】1．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.[答案] 23[解析] ⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.2．⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2[答案] C[解析] ⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x ＝－e －x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e＋e －1＝2e －2，故选C.3．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________.[答案] 9π4[解析] 由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积.故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.考点二、运用定积分求平面图形的面积【例2】(1)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________. (2)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.(3)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] (1) 23－2π3(2) 18 (3) 2[解析] (1)令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝ (2sin x －1)d x ＝(－2cos x －x )＝23－2π3.(2)如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k 0＝k 32－13k 3＝43，则k 3＝8，∴k ＝2.【类题通法】1. 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2．注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正. 【对点训练】1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12 B ．1 C ．32D ． 3[答案] D[解析] 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x33ππ- ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2[答案] D[解析] 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1(舍去)，x ＝2，作出曲线y ＝2x与直线y ＝x －1的图象如图所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x ⎪⎪⎪42＝4－2ln 2.3．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[答案] 49[解析] 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.考点三、定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A ． 3 JB ．233 JC ．433J D ．2 3 J[答案] (1) C (2) C [解析] (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t dt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). (2)⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5x －13x 3×32⎪⎪⎪21＝433，∴F (x )做的功为43 3 J.【类题通法】定积分在物理中的两个应用：1．变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；2．变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【对点训练】1．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .[答案] 132[解析] s ＝⎠⎛12 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.[答案] 36[解析] 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦).。
专题04 导数及其应用-2019年高考数学(理)考试大纲解读 Word版含解析
2019年考试大纲解读04 导数及其应用（十七）导数及其应用1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C，（C为常数），的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.•常见基本初等函数的导数公式：•常用的导数运算法则：法则1:法则2:法则3:3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （2）了解微积分基本定理的含义.与2018年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2019年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值）、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题的第一问起点较高，应引起高度重视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值）、零点问题，证明不等式等方式切入.考向一 利用导数研究函数的单调性样题1 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知函数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，或.当时，()0f x '<；当时，()0f x '>.所以()f x 在单调递减，在单调递增.设函数，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以，即.考向二 利用导数研究函数的极值问题样题2（2017新课标全国Ⅱ理科）若2x =-是函数的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1【答案】A 【解析】由题可得， 因为(2)0f '-=，所以1a =-，，故，令()0f x '>，解得2x <-或1x >， 所以()f x 在上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．样题3（2018新课标全国Ⅲ理科）已知函数．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ． 【答案】（1）见解析；（2）16a =-. 【解析】（1）当0a =时，，.设函数，则.当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增. 又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数.由于当时，，故()h x 与()f x 符号相同.又，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点..如果610a +>，则当，且时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.【答案】0 【解析】.样题7 执行如图所示的程序框图,输出的T 的值为 ．【答案】116样题8 如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】5 12【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.。
2019高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：导数与函数的极值、最值
导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.【例2】(1)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，174(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1，4)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减． 所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，174.(2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 【例3】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A．－4 B．－2C．4 D．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.4．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值[答案] C[解析] 由函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象知，当x<－1及3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<3及x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞).f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，因此C不正确.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝－e k－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.【类题通法】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步，求函数在(a，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【对点训练】 已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． [解析] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝1x 2－1x＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)． ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例5】已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R)． (1)证明：当x >0时，f (x )<x ；(2)证明：当k <1时，存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． [解析] (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)， 则有F ′(x )＝11＋x －1＝－xx ＋1.当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[0，＋∞)上单调递减，故当x >0时，F (x )<F (0)＝0，即当x >0时，f (x )<x . (2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋－k x ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )>0，故G (x )在[0，＋∞)上单调递增，G (x )>G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0<k <1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1>0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )>0，从而G (x )在[0，x 0)上单调递增， 所以G (x )>G (0)＝0，即f (x )>g (x )．综上，当k <1时，总存在x 0>0，使得对任意x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． 【类题通法】1．证明不等式的常用方法——构造法(1)证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)证明f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )>0，则F (x )在(a ，b )上是增函数，同时若F (a )≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )>0，即证明了f (x )>g (x )．2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b .(3)f (x )>g (x )恒成立 F (x )min >0（F (x )＝f (x )－g (x )）. (4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max ； ②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min ；③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min ； ④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【对点训练】已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x－1－2ax ，令h (x )＝e x－1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1，即a ≤12时，h ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，h (x )单调递增，∴h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，当x ∈[0，ln 2a )时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈[0，ln 2a )时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间[0，ln 2a )上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。
2019年高考数学总复习 第二部分 高考22题各个击破 2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文
当 x∈ 0, 2 时,h'(x)<0,所以 h(x)在区间 0, 2 上单调递减. 所以对任意 x∈ 0, 有 h(x)<h(0)=0,即 f'(x)<0. 所以函数 f(x)在区间 0, 2 上单调递减. 因此 f(x)在区间 0, 上的最大值为 f(0)=1,最小值为 f
π 2 π π 2
-14-
解题策略一
解题策略二
解题策略三
解 (1)a=2,F(x)=f(x)-g(x)=ln
令 F'(x)>0,解得 0<x<1,令 F'(x)<0,解得 x>1, 故 F(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减. (2)设切点 ������,ln������1 ������ 1 ������
1 1 1 (1-������)(1+2������) x-������-2x-b,F'(x)=������ + ������2-2= (x>0), ������2
-10-
解题策略一
解题策略二
解题策略三
求函数的极值、最值 解题策略一 利用单调性求 1 例3已知函数f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b. ������ (1)若a=2,F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间; 1 (2)若函数g(x)=ax+b是函数f(x)=ln x- ������ 图象的切线,求a+b的最小 值. 难点突破 (1)求出F(x)的导数,解关于导函数的不等式,即得函数 的单调区间;
-5-
解题策略一
解题策略二
(2)由(1),知 f(x)min=f(a)=a- -a ln������即 g(a)=a-aln a- . 要证 g(a)<1,即证 a-aln a-������<1, 即证:1-ln a-������2 < ������.
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是微积分中的重要概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍导数、函数的极值与最值的基本概念、求解方法及其应用。
一、导数的定义及性质导数是函数的一个基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
在数学中，导数可以用极限的概念来定义。
当函数f(x)在点x处可导时，它的导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗导数具有一些重要的性质，包括可导函数的和、差、积、商的导数运算法则。
这些性质为求解函数的极值和最值提供了数学工具。
二、函数的极值与最值函数的极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
特别地，当函数在某一点上取得最大值或最小值时，称为函数的局部极值。
函数的极大值和极小值统称为极值。
函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与极值不同的是，最值可能发生在函数的端点或无穷远处。
函数的最值是极值的一个特例。
三、求解函数的极值与最值为了求解函数的极值和最值，我们需要利用导数的概念和性质。
下面介绍一些常用的求解方法。
1. 导数为零的点如果在某一点x处，函数的导数f'(x)为零或不存在，那么该点可能是函数的极值点。
然而，这种方法只是提供了一个可能性，我们还需要进行进一步的验证。
2. 导数的符号变化对于连续函数f(x)，如果在某一点x处，f'(x)由正数变为负数，或由负数变为正数，那么该点可能是函数的极值点。
3. 极值的判别法通过求解函数的导数f'(x)的零点，可以得到函数的驻点，即可能的极值点。
然后，通过极值的判别法判断哪些点是真正的极值点。
四、导数与函数的极值与最值的应用导数与函数的极值与最值在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 经济学中的最大收益问题在经济学中，我们常常需要求解某一产品的最大利润。
利用导数与函数的极值与最值的概念，我们可以优化生产过程，使得利润达到最大化。
近年高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案(2021年整理)
2019高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案1 /812019高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2019高考数学 考点突破——导数及其应用与定积分：定积分与微积分基本定理学案的全部内容。
2 / 82定积分与微积分基本定理【考点梳理】1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f （x )在区间［a ，b ］上连续，用分点将区间［a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi （i ＝1,2，…，n )，作和式1ni =∑f (ξi )Δx＝1ni =∑错误!f (ξi ),当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作错误!f (x )d x ，即错误!f （x ）d x ＝limn →∞1ni =∑错误!f (ξi )。
在错误!f （x ）d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间［a ,b ］叫做积分区间，函数f （x ）叫做被积函数，x 叫做积分变量，f （x ）d x 叫做被积式.（2)定积分的几何意义(1）错误!kf （x )d x ＝k 错误!f (x ）d x （k 为常数)。
（2)错误!［f 1(x ）±f 2（x )］d x ＝错误!f 1（x ）d x ±错误!f 2(x )d x . （3)错误!f (x )d x ＝错误!f （x )d x ＋错误!f (x ）d x (其中a ＜c ＜b ）。
导数的应用—函数的极值与最值
导数的应用—函数的极值与最值导数是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
其中一个重要的应用就是求函数的极值与最值。
本文将通过实例和推导，探讨导数在函数极值与最值问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来介绍一下函数的极值。
对于一个函数$f(x)$，如果在某个点$x=a$处，存在一个邻域，使得在这个邻域内的任意一点$x$，都满足$f(x)\leqf(a)$（或$f(x)\geq f(a)$），那么我们称函数在点$x=a$处取得极大值（或极小值），并将这个值称为函数的极值。
那么如何求函数的极值呢？这就需要用到导数的概念了。
我们知道，导数表示函数在某一点的变化率，而函数的极值对应着导数的零点。
具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处取得极值，那么在这个点处的导数$f'(a)$将等于零或不存在。
举个例子来说明。
考虑函数$f(x)=x^2$，我们来求它的极值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=2x$。
然后，令导数等于零，得到方程$2x=0$，解得$x=0$。
所以函数$f(x)=x^2$在点$x=0$处取得极小值。
二、函数的最值除了极值，函数还可能存在最值。
函数的最大值和最小值统称为最值。
与极值相比，最值是函数在整个定义域上的特殊取值。
同样地，我们可以通过导数来求函数的最值。
具体来说，如果函数$f(x)$在某个区间上连续且可导，那么函数的最值要么出现在区间的端点，要么出现在导数为零的点处。
我们再来看一个例子。
考虑函数$f(x)=x^3-3x$，我们要求它的最值。
首先，我们求出它的导数$f'(x)=3x^2-3$。
然后，令导数等于零，得到方程$3x^2-3=0$，解得$x=\pm 1$。
所以函数$f(x)=x^3-3x$的最大值和最小值分别出现在$x=-1$和$x=1$处。
三、实际问题中的应用导数的应用不仅仅局限于数学问题，它在实际问题中也有着广泛的应用。
下面我们通过几个实例来探讨导数在实际问题中求极值与最值的应用。
考点12 导数与函数的极值与最值-2019版典型高考数学试题解读与变式(解析版)
【考纲要求】（1）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.【命题规律】利用导数研究函数的极值与最值是高考的热点问题，近2年在高考中大批量的出现，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值综合考查，有时出现在做题过程中.预计2019年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数的极值与最值，命题形式会更加灵活、新颖．【典型高考试题变式】（一）函数的极值的意义例1.【2018全国卷Ⅲ理】已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点. 如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点. 如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.【方法技巧归纳】对于可导函数，导数为0的点不一定是极值点.函数)(x f y =在0x x =处取极值的充要条件应为（1）0)('0=x f ，（2）在0x x =左右两侧的导数值的符号相反.从解题的规范性和正确性角度出发，求类似问题最后都要进行检验.【变式1】【改编例题的问法，辨别极值与零点的不同】【2015陕西卷理科】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【变式2】【改变例题的问法，通过极值问题求参数的范围】【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试】若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，，又当时，，令，满足题意。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数在某一点的变化率，它反映了函数在该点处的瞬时变化趋势。
对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数图象在某一点处的切线斜率。
二、导数的运算1、基本函数的导数（1）常数函数的导数为 0，即（C)＇＝ 0 （C 为常数）（2）幂函数的导数：（xⁿ)＇＝n xⁿ⁻¹（3）指数函数的导数：（aˣ)＇＝aˣ ln a （a ＞ 0 且a ≠ 1）（4）对数函数的导数：（logₐ x)＇＝ 1 ／（x ln a) （a ＞ 0 且a ≠ 1）（5）正弦函数和余弦函数的导数：（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x2、导数的四则运算（1）（u ± v)＇＝ u' ± v'（2）（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（3）（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）三、函数的极值1、极值的定义设函数 f(x) 在点 x₀附近有定义，如果对 x₀附近的所有点 x，都有f(x) ＜ f(x₀) （或 f(x) ＞ f(x₀)），则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值）。
极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
2、极值点的判定（1）函数在极值点处的导数为 0，即 f'（x₀) ＝ 0，但导数为 0 的点不一定是极值点。
（2）第一导数判别法设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0。
若在 x₀左侧，f'（x) ＞ 0 ，在 x₀右侧，f'（x) ＜ 0 ，则 f(x₀) 为极大值；若在 x₀左侧，f'（x) ＜ 0 ，在 x₀右侧，f'（x) ＞ 0 ，则 f(x₀) 为极小值。
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导数与函数的极值、最值【考点梳理】1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【考点突破】考点一、利用导数研究函数的极值问题【例1】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a.【例2】(1)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，174(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23 D ．2或－23[答案] (1) D (2) A[解析] (1)因为f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1，4)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减． 所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，174.(2)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 【例3】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D[解析] 由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【类题通法】利用导数研究函数极值的一般流程【对点训练】1．求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值． [解析] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.3．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2[答案] D[解析] 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.4．函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值[答案] C[解析] 由函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象知，当x<－1及3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<3及x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)；单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞).f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，因此C不正确.考点二、利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．[解析] (1)由f(x)＝(x－k)e x，得f′(x)＝(x－k＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：单调递减单调递增(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 【类题通法】1.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： 第一步，求函数在(a ，b )内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；第三步，将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【对点训练】 已知函数f (x )＝x －1x－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)． [解析] (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∴f ′(x )＝1x 2－1x＝1－xx2，由f ′(x )>0，得0<x <1，由f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )＝1－1x－ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f (e)． ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2－e.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e. 考点三、利用导数研究不等式的有关问题【例5】已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R)． (1)证明：当x >0时，f (x )<x ；(2)证明：当k <1时，存在x 0>0，使得对任意的x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． [解析] (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈[0，＋∞)， 则有F ′(x )＝11＋x －1＝－xx ＋1.当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[0，＋∞)上单调递减，故当x >0时，F (x )<F (0)＝0，即当x >0时，f (x )<x . (2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈[0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋－kx ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )>0，故G (x )在[0，＋∞)上单调递增，G (x )>G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0<k <1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1>0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )>0，从而G (x )在[0，x 0)上单调递增， 所以G (x )>G (0)＝0，即f (x )>g (x )．综上，当k <1时，总存在x 0>0，使得对任意x ∈(0，x 0)恒有f (x )>g (x )． 【类题通法】1．证明不等式的常用方法——构造法(1)证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)证明f (x )>g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )>0，则F (x )在(a ，b )上是增函数，同时若F (a )≥0，由增函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )>0，即证明了f (x )>g (x )．2．不等式成立(恒成立)问题中的常用结论(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b .(3)f (x )>g (x )恒成立 F (x )min >0（F (x )＝f (x )－g (x )）. (4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)max ； ②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)min >g (x 2)min ； ③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)min ； ④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x 1)max >g (x 2)max . 【对点训练】已知函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x－1－2ax ，令h (x )＝e x－1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1，即a ≤12时，h ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，h (x )单调递增，∴h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，当x ∈[0，ln 2a )时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈[0，ln 2a )时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间[0，ln 2a )上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。