数学试题巧解

合集下载

五年级数学习题：巧解常见难题

五年级数学习题：巧解常见难题引言数学在我们的生活中扮演着重要的角色，不仅在学校教育中占据一席之地，而且在解决实际问题时也起到了至关重要的作用。

然而，对于许多五年级学生来说，数学可能会成为一个难题。

但是不要害怕，在本文中，我将与你分享一些巧妙解决五年级数学常见难题的方法。

1. 添空法：理解和使用千分位在五年级的数学课上，我们通常会遇到一些涉及大数的问题。

在执行计算时，识别和使用千分位是至关重要的。

为了更好地理解这个概念，我们可以使用添空法。

例如，假设我们需要计算成千上万的数之和，但是这些数字被省略了。

我们可以在正确的位置添上空格，然后使用添空法进行计算。

这样一来，我们就能更好地理解和掌握千分位的概念。

2. 找规律：巧解等差数列等差数列是五年级数学中较为常见的一个概念。

当我们面对一道等差数列的问题时，找规律是一个巧解的方法。

首先，观察数列中的数字是否按照规律递增或递减。

接下来，计算相邻两个数字之间的差值，看看它们之间是否存在某种模式。

如果存在规律，我们就可以根据这个规律来计算任意位置的数字。

例如，给定数列1、4、7、10、13，我们可以观察到每个数字相对于前一个数字的差值都是3。

因此，我们可以推断出，下一个数字将是13加上3，得出16。

3. 提炼信息：巧解长篇阅读理解题在五年级的数学考试中，我们常常会遇到一些长篇阅读理解题。

然而，阅读理解并不仅仅是在文章中找出答案，而是需要我们从中提炼出关键信息。

在面对长篇阅读理解题时，我们可以先阅读问题，然后再阅读文章。

这样一来，我们可以更有针对性地去寻找关键信息，从而更好地解答问题。

4. 分解法：巧解多步运算在五年级数学中，我们会遇到一些需要多步运算的问题，包括加减乘除等。

而分解法是在解决这类问题时非常有用的一种方法。

例如，假设我们需要计算46-28，我们可以先将这个问题分解成两个步骤。

首先，我们可以计算6-8，得出-2。

接着，我们可以计算40-20，得出20。

数学习题解析：巧解常见数学难题

数学习题解析：巧解常见数学难题引言数学是一门精确而又深奥的学科，对于很多人来说，解决数学难题似乎是一件困难而又令人头疼的事情。

然而，只要我们能够掌握一些巧妙的解题方法和技巧，就能够轻松地解决常见的数学难题。

在这篇文章中，我们将会为大家解析几个常见的数学难题，并教大家一些巧妙的解题技巧。

解题技巧1：利用整数性质整数是数学中非常重要的概念之一，利用整数的性质可以帮助我们解决很多数学难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

例题1：求解1到1000之间所有奇数的和。

解法：我们可以利用整数的性质来简化这个问题。

首先，我们知道奇数是相邻的两个整数之间的差，而1到1000之间共有500个整数，因此奇数也有500个。

我们可以利用这个性质来求解奇数的和。

首先，我们可以找到最小的奇数1和最大的奇数999。

这两个数的和为1000。

接下来，我们找出次小的奇数3和次大的奇数997，它们的和为1000。

我们可以发现，每两个相邻的奇数的和都为1000。

由于我们要求解1到1000之间所有奇数的和，那么我们可以把这500对相邻的奇数的和相加起来。

因此，1到1000之间所有奇数的和为500 * 1000 = 500000。

通过利用整数的性质，我们可以简化原本复杂的问题，轻松地得出答案。

解题技巧2：利用代数方程代数方程是数学中常用的工具之一，通过建立方程可以帮助我们解决很多数学难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

例题2：求解一个数字的三倍和它自身的和等于40，求这个数是多少。

解法：设这个数字为x，根据题目中的条件，我们可以建立一个方程：3x + x = 40。

将方程化简，得到 4x = 40，继续化简得到 x = 10。

通过建立方程，我们可以将原问题转化成一个简单的方程求解问题，从而得到答案。

解题技巧3：利用几何图形几何图形是数学中常见的工具之一，通过利用几何图形的性质可以帮助我们解决很多几何难题。

下面我们用一个例子来说明这个技巧。

人教版数学五年级下册期末测解析巧解时间和温度问题

人教版数学五年级下册期末测解析巧解时间和温度问题时间和温度问题是人教版数学五年级下册期末测中的一个重要考点。

在解决这类问题时，我们需要掌握一些基本的计算方法和技巧。

本文将针对数学五年级下册期末测中的时间和温度问题进行详细解析，介绍巧解方法，帮助学生更好地理解和应用这些知识。

1. 时间问题的解析：在解决时间问题时，我们经常需要计算时间的加减、转换以及应用时间单位等。

以下是一些常见的时间问题解析：例题一：小明上午7点起床，花了30分钟吃早饭，再花15分钟刷牙洗脸。

他什么时间开始上学？解析：首先，计算小明起床后花费的总时间为30分钟+15分钟=45分钟。

然后，我们将45分钟转换为小时，即45÷60=0.75小时。

最后，将起床时间7点与花费的时间0.75小时相加，即7+0.75=7.75。

因此，小明开始上学的时间为7点45分。

例题二：电影开始于下午3点30分，持续1小时45分钟。

电影结束的时间是多少？解析：首先，我们将电影持续的时间1小时45分钟转换为分钟，即1小时×60+45分钟=105分钟。

然后，将105分钟加到电影开始的时间3点30分上，即3点30分+105分钟=4点45分。

因此，电影结束的时间是下午4点45分。

2. 温度问题的解析：解决温度问题时，我们需要掌握温度的加减、转换以及应用温标等技巧。

以下是一些常见的温度问题解析：例题三：某地的温度由-5℃下降到-20℃，温度下降了多少度？解析：首先，我们计算温度的变化量，即-20℃-(-5℃)=-20℃+5℃=-15℃。

因此，温度下降了15度。

例题四：摄氏温度与华氏温度的转换公式为：华氏温度=摄氏温度×1.8+32。

求摄氏温度25℃对应的华氏温度。

解析：根据转换公式，我们可以将摄氏温度25℃代入公式中计算：华氏温度=25℃×1.8+32=77℉。

因此，摄氏温度25℃对应的华氏温度为77℉。

通过以上例题解析，我们可以看出，在解决时间和温度问题时，关键是掌握相应的计算方法和转换技巧。

第26讲巧解竞技数学问题

第26讲巧解竞技数学问题【例1】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两位都要比赛一局，到现在为止，A已经赛了4局，B赛了3局，C塞了2局，D赛了1局，问：此时E同学赛了几局？【模仿】A、B、C、D四支足球队进行足球比赛，每两个球队都要比赛一场，如果A队二胜一负，B 队二胜一平，C队一胜二负，那么D队的成绩是几胜几负几平？【例2】A、B、C、D、E五人进行了分胜负的乒乓球单循环比赛，结果是：①A胜3场；②E胜1场；③B、C、D各胜2场，且他们三人中有1人胜了其他两人；④除B外，其他四人之间均有胜有负；⑤C胜E他们五人之间的胜负关系是：A胜（）、B胜（）、C胜（）、D胜（）、E胜（）【模仿】有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共需比赛几场？全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一，C队第二名，D队第三名，则C队最多得多少分？（胜一场得2分，平得1分，负得0分）【例3】有A、B、C、D、E共五人进行乒乓球循环比赛，即每两人都要赛一场，规定胜者得2分，负者不得分。

现在，A、B并列第一，D比C的名次高，每个人都至少胜一局（注意在有两个并列第一时就不再有第二名，下一个名次规定为第三名）。

求每人胜的局数及得分。

【模仿】A、B、C、D、E共五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一局，并且只赛一局，规定胜者得2分，负者不得分。

现在，A、E并列第一，B是第三名，C与D并列第四名。

求B的得分？【例4】甲、乙、丙、丁四人进行八项体育比赛，每项比赛第一、第二、第三、第四名依次得5，3，2，1分。

赛后统计发现，四人总分各不相同，并且丁总分最少，他们每一个人都得三种名次，但是甲无第一名，乙无第二名，丙无第三名，丁无第四名。

问总分最高的人是谁？他得了多少分？【模仿】八名选手进行象棋循环赛，每两人赛一场，共赛28场。

规定胜一场得2分，平局各得1分，负者得0分.已知，每一位选手所得到的总分各不相同，并且第二名总分等于后面四名总分之和，问第四名总分至少是多少？【例5】在一次射击训练中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中吧，命中情况如下：（1）每人四发子弹命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；（3）乙有两发命中的环数分别与甲的两发一样，乙另两发命中的环数与丙的两发一样；（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。

(完整)小学数学世界名题巧解(38)

小学数学世界名题巧解
﹙点错小数点的问题﹚
一天，巴黎飞机场小卖部在结算售货账目时，发现实际现金比账上的款数少15.3法郎﹙法郎：法国货币单位﹚。

当班负责的售货员杰克是个经验丰富、工作认真的人，估计不会少收货款。

他想，一定是记账时，点错了一笔钱的小数点。

是哪笔钱的小数点记错了呢？
解：如果确实是因为点错小数点而少了15.3法郎，那么这15.3法郎一定是实际所收钱数的9倍，所以这笔钱实际所收的数目是：
15.3÷9＝1.7﹙法郎﹚
实际收的钱数与所少的钱数之和就是记入账目的钱数：
1.7＋15.3＝17﹙法郎﹚
可见，账上是把1.7法郎错记为17法郎，把1与7中间的小数点，错记到7的后面了。

答：﹙略﹚。

设而不求，巧解三类数学题

数学篇设而不求主要是指根据题目特征，恰当地设置未知数，然后找到有关等量关系，建立相应的代数式或方程式，再将未知数消去或代换，从而达到求解的目的.简单地讲，设而不求就是只设未知数，不求其值，其本质是换元.这种解题方法能快速、准确、简捷地解答一些棘手的问题．下面举例说明“设而不求”在求解三类数学题中的应用方法.一、设而不求，求二次根式的值在解答二次根式求值问题时，当运用常规思路直接求值较为棘手时，可以将已知条件的某一参数作为变量，设出辅助未知数，借助虚设的参数对二次根式进行转化变形再求值.这种设而不求的方法，既可以使已知与所求目标之间的联系更加明朗，又可以避开繁杂的运算过程.例1若1993x 2=1994y 2，且1x +1y =1(x >0，y >0)，则1993x +1994y 的值为_______.分析：本题是一道二次根式求值题，直接求1993x +1994y 的值，显然难度较大.若能引入参数，设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，那么很容易得知1993x =t x ,1994y =t y ,1993=t x2,1994=t y 2,再将其代入1993x +1994y 中进行化简和消参，即可求出目标根式的值.解：设1993x 2=1994y 2=t (t >0)，则1993x =t x ,1994y =t y,1993=t x 2,1994=t y2,所以1993x +1994y===t =t ⋅(1x +1y )==1993+1994.评注：本题增设了辅助未知数t ，通过化简、变形、代换，设而不求，使问题化难为易.在这一过程中，要注意“t >0”这一隐含条件.二、设而不求，比较分数的大小在比较分数大小时，尤其对于一些复杂的分数比较大小问题，运用一般解法直接求解会非常繁琐，且容易出错.此时，同学们若能结合分式特点适当引入辅助未知数，并将其带入分数中，利用分数的分子与分母间的关系与分数特征，设而不求，则可以使繁难的分数问题变得简单.例2比较1994197919941995与1994198019941996的大小.分析：本题两个分式中的分子和分母数字都较大，若按照常规思路直接比较大小，显然十分困难.观察分式特点，不难发现19941995与19941996、19941979与19941980均相差1，若能恰当引入未知数，设而不求，则可以避免复杂运算，快速找到解题的突破口.解：设19941995=a ，19941979=b ，则1994197919941995=b a ，1994198019941996=b +1a +1.b a -b +1a +1=b (a +1)-a (b +1)a (a +1)=ab +b -ab -a a (a +1)=b -a a (a +1).因为a >b >0，所以b -a a (a +1)<0，所以b a <b +1a +1，即1994197919941995<1994198019941996.评注：本题关键在于设19941995=a ，19941979=b ，然后通过b a -b +1a +1<0，得出设而不求，巧解三类数学题盐城景山中学倪娜解法荟萃32数学篇解法荟萃b a <b +1a +1，进而确定1994197919941995与1994198019941996的大小.整个过程设而不求，简洁明了，达到了避繁就简的目的.三、设而不求，解答实际应用题对于某些较为复杂的应用题，所给已知条件不多，或者数量较多，各数量间的关系并不明显，倘若直接设元，很难提炼出复杂的数量关系式，此时可以通过引进辅助元，再依据题意提炼出含辅助元的数量关系式，列出有关方程式（组）.而辅助元在求解过程中一般可以整体求出或在写出结果时被消去，这样问题就可以轻松获解.例3小红在网上购买甲、乙、丙三种型号的铅笔，已知买4支甲型、20支乙型、16支丙型的铅笔共需12元；买6支甲型、14支乙型、8支丙型的铅笔共需18元，试问买2支甲型、5支乙型、3支丙型的铅笔共需多少元？分析：本题是一道典型的方程应用题，按照解方程的步骤，需要先设甲、乙、丙三种型号的铅笔单价分别为x 元、y 元、z 元，再根据题意列出方程组.但是所列方程组中的每个方程均含有三个未知数，显然直接解出x ,y ,z 的值难度较大.注意到本题实际上是求2x +5y +3z 的值，因此，可以采用设而不求法予以求解.解：设甲型铅笔每支x 元，乙型铅笔每支y 元，丙型铅笔每支z 元，那么由题意可得ìíî4z +20y +16z =12,6z +14y +8z =18,将z 看作常数，解关于x ,y 的二元一次方程组，这样就可以得到x =3+z ,y =-z ,所以2x +5y +3z =2(3+z )+5(-z )+3z =6.评注：本题借助设而不求法，设辅助元z ，将之视为已知常数，使三元一次方程组问题转化为关于x ,y 的二元一次方程组问题，得出x =3+z ,y =-z 后，再整体代入求解.总之，“设而不求”法不仅可以用于解答各类代数问题，还可以用于解答几何问题.当遇到用常规方法难以解答的问题时，同学们不妨另辟蹊径，根据题意灵活引入辅助参数，设而不求，从而简化问题，减少计算量，提高解题效率.上期《<锐角三角函数>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.C ；4.C ；5.等腰直角三角形；6.65；7.512；8.85；9.解：（1）AC 的长为6；（2）tan∠BAD 的值是176.10.解：（1）过B 作BH ⊥AE 于H ，图略，在Rt△ABH 中，i =tan ∠BAH =，∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =10米；（2）∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．由（1）得：BH =10,AH =103米，∴BG =AH +AE =(103+30)米，在Rt△BGC 中，∠CBG =30°，∴CG =BG ⋅tan 30°=(103+=10+103．在Rt△ADE 中，∠DAE =45°，AE =30米，∴DE =AE =30米，∴CD +CG +GE -DE =10+103+10-3。

构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版

构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。

这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。

通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。

典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。

【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。

【分析】若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。

∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。

数学代表问题巧解

数学代表问题巧解从抽屉里取铅笔问题:抽屉里有４支红铅笔和３支蓝铅笔，假如闭着眼睛摸，一次必须拿几，才能保证至少有１支蓝铅解答：假设拿出的铅笔都不是蓝色的，至多共有４支，剩下的不管拿哪一支，都确信是蓝色的，因此需取５支，才能保证至少有１支蓝铅笔判定与推理问题:甲、乙、丙、丁四人竞赛乒乓球，每两人都赛一场，结果甲胜了丁，同时甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？解答：０场。

列举法解题问题:有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取九分钱，有几种取法？解答：７种。

倒推法解题问题:甲、乙各有若干元，甲拿出五分之一给乙后，乙拿出二分之一给甲，这时他们各有９０元。

他们原先各有多少元？解答：甲有７５元，乙有１０５元。

容斥问题问题:在１到５００这５００个数中，不能被７和９整除的数有多少个？解答：有３８１个数不能被７和９整除。

数的奇偶性问题:１＋４＋７＋１０＋１３＋……＋３３１＋３３４的和是奇数依旧偶数？解答：是偶数。

韩信巧点兵问题:一个数除以３余２，除以５余３。

除以７余４，适合这条件的最小数。

解答：是５３。

牛吃草问题问题:牧场上长满了牧草，每天均速生长，这片牧场可供１０头牛吃２０天，可供１５头牛吃１０天。

问供２５头牛可吃几天？解答：可供２５头牛吃５天。

分解质因数问题:把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成倍组，每组积相同。

解答：1组是39、49、60。

2组是70、78、84。

3组是56、45、91。

染色问题问题:象棋上的马跳了M步后回到原处，请辨别M的奇偶性。

解答：M是偶数。

列方程解题问题:女儿今年8岁，母亲38岁，问几年后母亲的年龄正好是女儿的3倍？解答：7年后。

类比解法观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

“数形结合”巧解小学数学思维题

由图可知，小长方形的面积一定小于70，即：
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形表示整数1，依次表示出、、 ……
从图中可以，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：

运用“商不变的规律”巧解数学问题

运用“商不变的规律”巧解数学问题□王凤菊小朋友，你知道商不变的规律吗？运用这个规律，可以解决以下问题：被除数和除数同时变，且变化相同，商的变化；被除数和除数同时变，且变化相同，余数的变化；被除数和除数仅一方变，商的变化；被除数和除数同时变，且变化不同，商的变化。

在学习时，你要注意掌握一些运算技巧和解决问题的策略方法，发展思维，提高计算能力、分析能力和解决问题的能力。

我是这样解的16406404024240竖式1一、被除数和除数同时变，且变化相同时，商的变化例1.计算：640÷40。

利用“商不变的规律”，可以简化整十、整百的数除以整十数的计算。

把被除数和除数同时除以10，商不变（如竖式1）。

例2计算：240÷5。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成10来计算。

因为除数是5，把被除数和除数同时乘2，商不变。

240÷5＝（240×2）÷（5×2）＝480÷10＝48例3.计算：300÷25。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成100来计算。

因为除数是25，把被除数和除数同时乘4，商不变。

300÷25＝（300×4）÷（25×4）＝1200÷100＝12例4.计算：750÷125。

我是这样解的利用“商不变的规律”，根据数的特点，把除数转化成1000来计算。

因为除数是125，把被除数和除数同时乘8，商不变。

750÷125＝（750×8）÷（125×8）＝6000÷1000＝6我是这样解的我是这样解的二、被除数和除数同时变，且变化相同时，余数的变化例5.计算：650÷40。

利用“商不变的规律”，计算过程中，被除数和除数的末尾同时划掉一个0（如竖式2），也就是同时除以10，商不变，但余数发生变化。

逆向思维巧解初中数学题

逆向思维巧解初中数学题解数学题时，大多是从条件出发，进行正面的顺向思考。

对有些数学问题，如果从正面去直接求解，思维常常受阻，这时可以改变一下思维角度，从问题的反面进行思考，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性等，我们把这种“倒着干”的思维方法称为“逆向思维”。

逆向思维，一种很常见的思维方式。

在解初中数学压轴题时，可以运用逆向思维，从问题中寻找答案。

这种解题方法通常是横向存在的。

那么，什么时候用逆向思维呢？为什么要用逆向思维？如何运用逆向思维？下面，用几个经典的数学例题做一个详细的分析！一、从顺、逆两个方面去理解概念例1：若化简|1-x|-|x-4|的结果为2x-5，求x的取值范围。

【分析】：原式=|1-x|-|x-4|根据题意，要化成：x-1-(4-x)=2x-5从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：1-x≤0，且x-4≤0∴x的取值范围是：1≤x≤4再者，例如我们在教学“倒数”概念时，不但可以问学生：“4的倒数是什么”？还可以问“-1/2是什么数的倒数”？“-7和什么数互为倒数”？互为倒数的两个数有何特征”？等问题，从而帮助学生更加深刻理解倒数概念。

二、从顺、逆两个方面去掌握公式、法则和定律数学中很多公式、规则、定律都可以用方程来表示，是双向的。

您可以用左边的公式替换右边的公式，也可以用右边的公式替换左边的公式。

例1:若a+b+c=0【分析】：先把求证的等式左边的“ 3”写成“ 1＋1＋1”，再逆用分配律，本题即可得证。

(习题)下面的问题，如果不反过来用乘积的幂律，必然会觉得很无奈。

三、解题中注意逆向思维的训练在解题中，给定的条件一般是直接逼近结论的。

对于下面的问题，如果从反面考虑，可能会得到更简单的解决方法，平时要加强这种方法的训练。

例1：解方程【分析】：解方程（组）时，一般需将多元化为一元，然后求解。

但上述方程去根号后将得高次方程，求解困难。

若逆向考虑增元，即设√5x²-1=y（y≥0），于是，原方程变为y2-xy+x-1=0，左边分解因式，得（y-1）(y-x+1)=0。

高考数学好题巧解50道

3
案例 5、函数单调性
当x 0, 2 时，且sin 3 x-cos3x>cosx-sinx ，求x 的取值范围。
解：注意题设条件结构，想到构造函数法，不妨将条件先做这样的变
形 sin3 x-cos3x>cosx-sinx cos3x+cosx sin3 x+sinx 。发现左右两边结构一致
性，故令 f x=x3+x 。现在我们来求此函数的单调性，因此我们对函数进行求导分析 f x =x3+x f x =3x2+1>0 。显然 x 在 R 内严格单调递
扫码添加老师微信，获取更多上海高考大三门、小三门全科复习资料，四校八大各类考试真题卷，综评资料，选科&专业指导，学科讲座等等。
显然 A 坐标为 A（-1，-1）。设 A 坐标为 A（m，n），则线段 AA
中点坐标为
m-1，n+5 22
在直线
x-y+2=0
上，则
m-n=2
（1）。另外因为线
段
AA
x
x
（0，e）
e
e，+
x
-
0
+
x
min x = 0=0
从而当 x=n N *，n 2，n eln n ，都是成立的，这样我们就得到了 n 2
时有 ln n
n2
1 ln n e n-1
，n1 12
+
ln 2 22
ln 3 32
+...+
ln n n2
ln n e
b ac b ac
解。到此，这两个解是真是假我们还不知道呢，不妨就让我揭开庐山
真面目吧。因为 x2-2bx+b2 =0 x-b 2 =0 x=b ，结合 a+c=2b 和 b2 =ac 解得

小学数学巧解答案及技巧分享

小学数学巧解答案及技巧分享小学数学作业对于孩子们来说是难以避免的，但是如何更好地解答正确并掌握一些小技巧，能够快速减少孩子的压力。

在这篇文章中，我们将分享一些小学数学巧解答案及技巧。

一、加减法技巧1.整十整百相加在求解整十数相加时，我们可以使用一个技巧：先将两个数末位的数字相加，再将这个和累加上去。

例如，72+38=（70+30）+（2+8）=110+10=120。

同样的，在求解整百数相加时，也可以使用这个技巧。

例如，500+400=（500+400）+0=900。

2.减法转换成加法减法除了需要注意进位退位，还有一个小技巧，就是将减法转换成加法。

如：34-8=34+（-8）=26。

二、乘除法技巧1.口算乘法小技巧a)对于一个数乘以9，只需将这个数乘以10，然后再减去这个数。

例如，9×6=54，因为6×10＝60，所以54＝60－6。

b)对于一个数乘以11，只要将这个数的各位数字加在一起，并在它们之间插入原数的个位数字。

例如，11×24=264，因为2＋4＝6，所以264。

c)对于一个数乘以5，只需将这个数乘以10，然后将得到的结果除以2。

例如，5×6＝30÷2＝15。

2.移项除法在等式中，如果我们想求某个量的值，可以使用移项法。

例如，2x＋3＝7，则2x＝4，因此，x＝2。

三、数学综合技巧1.注意题干中的关键信息很多时候，我们在解题时需要根据题干中的关键信息来进行计算。

例如，若题干为“小明乘车时，每小时行驶的里程数为50公里”，则我们需要根据这个信息来进行计算。

2.多种计算方法有时，同一题目可以使用多种方法进行计算。

例如，在解决分数的计算时，可以使用通分的方法，也可以使用化简分数的方法，两种方法都存在优缺点，需要根据实际情况进行选择。

3.多维度思考问题有时，我们的思路会被问题的表面迷惑住，而忽略了问题的本质。

因此，我们需要从不同的维度去思考问题，分析问题的核心所在，才能更好地解决问题。

初中数学趣题巧解怎么做

初中数学趣题巧解怎么做趣题巧解握手A组：1.4名同学，如果每两个人都握一次手，一共握手多少次2.5名同学约定在星期天每两个同学要通一次电话，共要打多少次电话3.学校里高年级有6个班，每两个班相互比赛篮球一次，这样要组织多少场次4.10个人乒乓球循环赛，即每两人都打一场来定胜负，共打多少场5.(1)百人参加乒乓球赛，比赛采用单淘汰制，即败者不能参加下轮比赛，胜者参加下轮比赛，逐次淘汰，最后一轮赛出冠军。

请算一算共要打多少场(注意：某一轮中有选手可能轮空，可以直接参加下一轮比赛。

);(2)若要确定男、女冠军，一共要赛多少场B组：6.5名同学约定暑假每两个同学要通一封信，共要写多少封信7.有一所学校只有10名男学生、10名女学生和一位老师。

每天早晨，每个同学老师要向其它男女同学和老师各鞠一个躬，那么每天早晨在这所学校里共要行多少个鞠躬礼8.上海到南京共有43个车站，铁路局需要准备多少种的车票9.用1、2、3、4可以组成多少个不同的四位数。

10.某中学初一年级共有31人参加乒乓球单打，竞赛组织者打算让每一位运动员都能参加3次比赛，你说可行不可行C组：11.有8人参加象棋循环比赛，每人所得的分数都是整数而且都不相同。

比赛规定了得分原则，每赢一局得一分，平局双方各得0.5分，输者不失(扣)分。

问获得各名次的棋手各得了多少分12.有一个孩子有红、黄、蓝三面旗子，利用这三面旗子，他能挂出多少种不同的信号13.大家知道，每个火车站有往返两种不同车票。

某地区因需要，在原有若干个车站的基础上新增加几个火车站。

现在已经知道，增加车站以后，车票票种增加了26种。

问：原有几个车站，增加了多少车站答案：A组：1.3+2+1=6(次);2.10次;3.15场;4.45场;5.(1)50+25+12+(6+3+2)(此三轮轮空)+1=99(场)，公式：人数-1=场数;(2)98场，公式：人数-2=场数。

B组：6.4×5=20(封);7.每位同学向其它同学鞠19个躬，向老师鞠1躬，共20个，20-20=400(个)(通常老师是还礼的，但本题并没说老师要给学生还礼，所以不能随意添加);8.可以这样想，43个车站看作线段上43个点。

运用十字交叉法巧解小学数学题

运用十字交叉法巧解小学数学题题型一：比较分数的大小我们知道在分数的比较中，同分母分数，分子大的分数值大；同分子分数，分母小的分数值大；异分母分数则要把分母化为同分母分数才能进行比较。

在教学中，让学生记住这几条并不难，可是却非常容易混淆，或者是根本就不会运用。

但是如果运用十字交叉相乘法，学生不但都能很快的得出答案，而且不管什么分数间进行比较都能够通用。

例1：比较大小。

3/8（）4/9解析：方法一：常规解法注：所得的积必须写在分数线上方（即作为新分子）。

从上例很明显可以看出，十字交叉法比较两分数的大小的实质上就是通分。

不过，却省去了学生对分数进行通分的过程和时间，从而一步到位，更简单更直接，只要会乘法的学生，在比较分数之间的大小时基本上都不费吹灰之力了。

题型二：解比例很多老师和学生都知道，解比例的依据是比例的基本性质，即在比例中，两个内项的积等于两个外项的积。

可当比例变化为a/b=c/d(a≠0，c≠0)这种形式时，有些学生便找不着内外项了，或者有某些学生还要把上式化为a：b=c：d(a≠0，c≠0)的形式，这就走了弯路，浪费了时间不说而且变换后也很容易出错。

解：3x＝5×9x＝45÷3x＝15可见，利用此方法既直观又便于记忆，而且在较复杂的比例中，更能体现出些法的简便性与适用性。

题型三：解归一问题或正比例问题其实正比例问题也就是归一问题，此类应用题中暗含着单一量不变，文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以它为标准，根据题目要求算出所求量。

这种解法主要是有时候有的学生找不到到底怎样去求出单一量（也就是标准量），如果找不到标准量，那么对于这类问题学生就无法进行求解。

若是采用十字交叉相例3：小明10分钟走750米，照这样计算，从学校到家小明需要走24分钟，从学校到小明家的路程有多少米？解析：方法一：先根据速度＝路程÷时间算出小明的速度，再根据路程＝速度×时间计算出学校到小明家的路程。

新课标数学应用题巧解举一反三

新课标数学应用题巧解举一反三一、课标数学应用题巧解举一反三1. 根据条件，先读出题意：若题目中有词汇难题，并给出相应的意义或表达方式。

根据题目中提供的词汇及提示，学生可以先理解题意，读懂题目，完成后续操作。

2. 依据条件，提出问题：如何解决在阅读时遇到的不熟悉的词汇？如何掌握和理解题目提供的词汇？如何记忆相关的表达方式？又如何正确理解题目？3. 分析原因：学生需要熟悉大量的词汇才能准确理解题目。

熟悉形式词汇（如交换法、相等概念、图形表示等）和相关词汇（如正、负、面积、速度等），正确理解题意，针对题目中出现的不熟悉的词汇进行查漏补缺，总结对应的概念和表达方式，有助于提高学生的解题水平。

4. 提出解决办法：多复习、坚持联系、理解领会。

（1）多复习。

学生应通过多次预习和复习，熟悉有关语言表达和题目中所涉及的词汇。

（2）坚持联系。

学生应立足于实际生活，根据实际情况，对词汇进行联系和积累。

（3）理解领会。

应注重理解词汇的内涵，做到把事情认真、彻底地弄懂，学以致用，做到解分不求同。

5. 举例：例如：“用适当数量的正方形纸片叠成1毫米厚的立方体，若正方形纸片的边长是1厘米，则折叠的正方形纸片共有多少片？”根据此题，学生需要正确理解立方体的概念，纸片的厚度，以及纸片的边长，即立方体是由若干片正方形纸片叠成，其边长为1厘米，厚度为1毫米的立方体。

通过以上的思维，学生可以考虑以1厘米表示立方体的边长，每次加1厘米，将厚度控制在1毫米以内，从而得出1毫米厚的立方体纸片应该有1000片。

以上就是课标数学应用题巧解举一反三的相关内容。

其实，课标数学题目并不难，但学生们应该加强相关知识的储备，以及注意题目中细节的理解，仔细体会出题的思路，运用举一反三的方法，有助于学生迅速理解、解决题目，正确答题，更好地掌握数学。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。

解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过勾股定理知道AC=5。

然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。

接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。

接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。

\bigtriangleup ABD的面积为2.25。

通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。

例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。

由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。

由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。

通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。

例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。

数学试题巧解

五年级数学习题：巧解常见难题

数学习题解析：巧解常见数学难题

人教版数学五年级下册期末测解析巧解时间和温度问题

第26讲 巧解竞技数学问题

(完整)小学数学世界名题巧解(38)

设而不求，巧解三类数学题

构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版

数学代表问题巧解

“数形结合”巧解小学数学思维题

运用“商不变的规律”巧解数学问题

逆向思维巧解初中数学题

高考数学好题巧解50道

小学数学巧解答案及技巧分享

初中数学趣题巧解怎么做

运用十字交叉法巧解小学数学题

新课标数学应用题巧解举一反三

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

第26讲巧解竞技数学问题