概率统计2.3
概率统计-习题及答案-(2)
习题二2.1 从装有4个黑球，8个白球和2个黄球的箱子中，随机地取出2个球，假定每取出1个黑球得2分，而每取出1个白球失1分，每取出1个黄球既不得分也不失分。
以X 表示我们得到的分数，求X 的概率分布。
2.2 口袋中有5个球，分别标有号码1，2，3，4，5，现从这口袋中任取3个球。
（1）设X 是取出球中号码的最大值，求X 的概率分布，并求出4X ≤的概率； （2）设Y 是取出球中号码的最小值，求Y 的概率分布，并求出3Y >的概率。
2.3 10个灯泡中有2个坏的，从中任取3个，设X 是取出3个灯泡中好灯泡的个数。
（1）写出X 的概率分布和分布函数。
（2）求所取的3个灯泡中至少有2个好灯泡的概率。
2.4 某种电子产品中，合格品占43，不合格品占41，现在对这批产品随机抽取，逐个测试，设第X 次才首次测到合格品，求X 的概率分布。
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？2.6 已知1000个产品中有100个废品。
从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。
（1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。
（2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。
试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。
2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。
根据保险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活30年的概率是2/3。
求： （1）5个人都能活30年的概率；（2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。
2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。
某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？2.9 设随机变量X 、Y 都服从二项分布，X ～),2(p b ，Y ～),3(p b 。
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率与统计是数学中的两个重要分支，了解其基本概念对于研究和应用各领域都非常重要。
本文将介绍概率与统计的基本概念、特点以及应用，并探讨它们在现实生活中的重要性。
一、概率的基本概念及特点1.1 概率的定义概率是用来描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的小数表示。
概率值越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率值越接近0，表示事件发生的可能性越小。
1.2 概率的计算方法概率的计算可以通过频率法、古典概型、几何概型等方法进行。
其中频率法是通过实验来确定事件发生的概率；古典概型是指基于假设，并根据样本空间下事件发生的可能性进行计算；几何概型是指通过模型或图形来计算概率。
1.3 概率的特点概率具有以下特点：1) 可加性：对于一系列互斥事件，它们的概率可以相加；2) 非负性：概率的取值范围始终在0到1之间；3) 确定性：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；4) 相对性：概率是相对于某个事件而言的。
二、统计的基本概念及特点2.1 统计的定义统计是指通过收集、整理和分析数据来研究事物的数量关系以及规律，并对未知的事物进行预测或估计的一门学科。
2.2 统计的基本步骤统计的基本步骤包括：1) 数据的收集：通过实验、调查或观察等方式获取相关数据；2) 数据的整理与分类：将收集到的数据进行整理和分类，以便更好地进行分析；3) 数据的分析与推断：通过统计方法对数据进行分析，得出相应的结论；4) 结果的表达：将统计结果通过图表、报告等形式进行表达，以便于理解和使用。
2.3 统计的特点统计具有以下特点：1) 客观性：统计结果应该客观地反映现象或问题的实际情况；2) 近似性：由于统计方法基于样本数据，统计结果通常是近似的；3) 可行性：统计方法应该具有实际可操作性，便于应用；4) 概括性：通过对数据的整理和分析，可以对总体进行概括和描述。
三、概率与统计在现实生活中的应用3.1 概率的应用概率在现实生活中有广泛的应用，例如：1) 金融风险管理：通过概率模型来衡量金融市场的风险，辅助投资决策；2) 医学诊断：通过概率模型来计算疾病的发生概率，辅助医学诊断；3) 交通规划：通过概率统计分析来预测交通流量，优化道路规划；4) 自然灾害预测：通过概率模型来预测地震、气候变化等自然灾害的发生概率，提前采取相应防范措施。
为随机变量X的分布函数
就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
解：
X的分布函数
F
(
x)
1
1
e5
x
,
x 0;
0, x 0.
该顾客未得到服务事件为{X>10}，其概率为
p
P{X
10} 1 P{X
10} 1 F(10)
3
f (x)dx
3
f (x)dx
1
3 1dx 0 5 .
26
6
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2.指数分布 若随机变量X的密度函数为
ex , x 0
f (x)
,
0,
x0
则称X服从参数为的指数分布, 记作X～E[] . >0为常数.
分布函数为
F
(
x)
2
即
A=1 .
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四、常见连续型随机变量的分布
1.均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
0,
a xb 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
0,
xa
分布函数为
F
(x)
x b
a a
a xb
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三、分布函数求法 例1.设随机变量X的密度函数为
f
(x)
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
概率统计2-3
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t
x
(t )2 2 2
e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x
概率论与数理统计2.3
m! m 0,1,2,3,...
1 2 e e 1! 2!
2
0 2 P X 0 e e 为一页上无印刷错误的概率. 0! 任取4页, 设 Ai 表示 “第 i 页上 无印刷错误”
8 P ( Ai ) e 2 P A1 A2 A3 A4 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P ( A4 ) e
贝努利试验: 只有两种对立结果的试 验. n 重贝努利试验: 一个贝努利试验独立重 复 n次 .
例 一批产品合格率是0.9，有放回的抽取三 件：每次一件，连续三次，求三次中取到的合 格品数X的概率分布
设在一次试验中事件A 发生的概率为p ( 0 p 1), 则在 n 重贝努利试验中事件 A恰好发生k 次的概率为 k k Cn p (1 p) n k
2
n 1
np
2
EX n(n 1) p np
例. 已知随机变量X~b(n,p)，EX＝6，DX＝4.2, 计算 P{X. 解 EX＝np＝6, 解得 DX=npq＝4.2 ,
ｑ＝0.7，ｐ＝0.3，ｎ＝20，
P{X P{X<5} = 1–P{X
例 一大楼有五个同类型供水设备。调查表明： 在任一时刻，每台设备被使用的概率为0,1. 求：在某时刻（1）恰有两台设备被使用的概率； （2）至少有三台设备被使用的概率； （3）最多有三台设备被使用的概率。
设有 X 台设备同时被使用
则 X ~ b(5 , 0.1)
例.设某车间有10台同型车床.如果每台车床的工作情况
例. 每个粮仓内老鼠数目服 从泊松分布, 若已知 一个粮仓内有一只老鼠 的概率是有两只老鼠 概率的两倍, 求粮仓内无鼠的概率 . 现有 10 个 这样的粮仓, 求有老鼠的粮仓不超过 两个的概率
随机变量的分布函数
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
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§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.
2.3连续型随机变量及其分布
2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30
概率论与数理统计 2.3连续型随机变量
称X服从参数为 ,的正态分布或 高斯分布,记为 X～N( , 2) f(x) 1 (1)关于直线x 对称; 1 2 ( 2)最大值为 ; 2 ( 3)在x 处有拐点. o x 可求得X的分布函数为: ( t )2 x 1 2 2 F ( x) dt e 2
1 2
x
u2 2
du (x源自) (4) a<b, X～N( , 2) ,有: b a P(a X b) ( ) ( )
例7 设X～N(3,4),试求:
(1) P(2<X≤5) (2) P(2<X<7)
(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值
0
得 P(X=a)=0
故: (1) P(A)=0 A是不可能事件 (2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关 即: P(a<X≤b)=P(a≤X<b) =P(a<X<b) =P(a≤X≤b)
例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae－|x| , <x<+ 试求: (1)常数A (2) P(0<X<1) (3) X的分布函数
24
p P( X 10) 1 P( X 10)
1
10 0
1 e dx 1 e 5
x 5
x 5 10 0
| e
2
由于顾客每次去银行都是独立的，Y~B(5,p)
因此Y的分布律为
P (Y k ) C p (1 p )
k 5 k 5 k 2 5 k 2k
解: =3, =2
( x 3 ) 又 F ( x ) ( ) 2
概率统计课后习题答案
4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间 生产的概率。
解 为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此
10．设 因，由独立性有 从而 导致 再由 ，有 所以 。最后得到 12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分 别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 {命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则 ，因而 13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元 件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是 相互独立的。 解 记 {通达}，
(ⅳ) 有利于的样本点数，故 . 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋 中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数. (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且 有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为 . (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是 有利样本点数为，所求概率为 . 4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放 回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率： (1) 2只都合格； (2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为，则 注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数 (ⅰ)含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) (ⅱ)含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
概率论与数理统计2_3连续型随机变量
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若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由
f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
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结束
例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss） 分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)
为随机变量X的分布函数
2
2
=1 – [φ(1.5) - φ(- 2.5) ] = φ(2.5) - φ(1.5)
=0.9938 - 0.9332= 0.0606 .
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例7 （“三σ”原则）设X ~ N (μ,σ2)， 求P{|X―μ|＜σ}，P{|X―μ|＜2σ}， P{|X―μ|＜3σ}
解 P{|X―μ|＜σ}= P{μ―σ＜X＜μ+σ}
=0.5 =1
=2
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f (x)
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0
x
1
(x)2
e , 22 x ,
2
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结束
⑶ 标准正态分布
当 = 0, = 1时，称为标准正态分布. 记作 X～N(0 , 1) .
标准正态分布的密度函数
(x)
1
x2
e 2,
2
x .
标准正态分布的分布函数
x
(x)
1
t2
f(x) 0
分布函数
x
F(x)
1
e dt
(t )2 2 2
,
2
x .
F(x)
0
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x
x
结束
⑵ 概率密度的特点
① 曲线关于x =对称.
f(x)
1
2
② 当 x =时，函数f(x)达到
最大值，最大值为
0 μ h μ μ h
-h +h
x
f () 1 . 2
③ 拐点 ( ± ，f( ± ));
f
(x)
1 6
,
2 x8
.
0, 其它
概率统计二级结论-概述说明以及解释
概率统计二级结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行展开：概率统计是一门研究随机现象规律的学科，它是数学的一个重要分支，也是现代科学领域中不可或缺的一部分。
其主要研究对象为随机事件的出现规律和概率分布以及基于概率的推断和决策方法。
通过统计概率，我们可以揭示自然界和社会现象中的客观规律，并为科学研究提供重要的工具和方法。
概率统计的发展可以追溯到17世纪，伽利略和费马等伟大科学家对概率问题进行了初步研究，随后由拉普拉斯、贝叶斯等人的贡献，使概率统计学逐渐形成独立的理论体系，并在各个学科领域中得到广泛应用。
概率统计通过建立数学模型来描述和分析随机现象，通过收集样本数据进行推断和预测，从而对不确定性进行量化和控制。
在概率统计的研究中，我们普遍使用统计模型、概率分布和统计方法等工具来分析和解决实际问题。
通过对概率统计的学习和应用，我们可以了解和理解事件发生的可能性，并通过样本数据的收集和分析，得出结论并做出决策。
概率统计的应用广泛涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域，如风险管理、市场调查、质量控制等。
本文主要围绕概率统计的二级结论展开，通过引言给读者提供一个全面而清晰的概述，介绍概率统计的基本概念、历史发展以及应用领域，为读者提供一个全面理解概率统计的基础。
接下来的章节将分析和总结概率统计的关键要点，并给出相应的结论，以进一步巩固读者对概率统计的理解和应用能力。
通过本文的阅读，我们将能够更深入地了解概率统计的核心观点和方法，为我们在实际问题中的决策和推断提供一种科学且可靠的工具。
最后，本文还将总结概率统计的核心要点，并展望它在未来的发展前景。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织和安排方式，它是整篇文章的骨架和框架，决定了文章内容的展开和发展。
良好的文章结构能够使读者更好地理解作者的观点和思路。
本文的结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对文章主题进行概述，从宏观角度对读者进行引导和导入，使其了解文章的目的和意义。
《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节
第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
浅谈保险业中概率统计知识的应用
浅谈保险业中概率统计知识的应用1. 引言1.1 保险业中概率统计知识的重要性保险业中概率统计知识的重要性在保险业中起着至关重要的作用。
概率统计是一门研究事件发生规律和概率分布的学科，在保险业中，概率统计知识可以帮助保险公司更精确地评估风险，制定合理的保险产品定价策略，提高保险产品的盈利能力和竞争力。
保险业的本质是对风险的转移和分散，而概率统计知识可以帮助保险公司准确地衡量风险的大小和可能性，从而在产品设计和风险评估中进行科学的决策。
通过概率统计的分析，保险公司可以更准确地估计未来可能发生的损失，避免不必要的风险承担。
概率统计知识还可以帮助保险公司更好地理解客户群体的特征和需求，通过数据分析和建模来制定个性化的保险产品，提高客户满意度和忠诚度。
掌握概率统计知识对保险公司来说是非常重要的，可以帮助他们更好地应对市场变化和风险挑战，提升企业的竞争力和盈利能力。
在当今竞争激烈的保险市场中，保险公司应当重视并加强概率统计知识的应用与研究，使其成为保险从业人员的必备技能。
1.2 保险产品设计与风险评估在保险业中，概率统计知识的重要性不言而喻。
保险产品的设计与风险评估是保险公司的核心业务之一，而这其中便离不开概率统计知识的运用。
保险产品的设计需要考虑到各种可能的风险与损失，而这些风险与损失的发生概率正是通过概率统计知识来进行评估和计算的。
在保险产品设计中，保险公司需要根据历史数据和统计模型来分析不同风险事件的概率，进而确定保险产品的保费定价和理赔方案。
通过概率统计的分析，保险公司能够更准确地预测未来可能发生的风险，从而在产品设计上做出合理的安排，保障公司的盈利和客户的利益。
在进行风险评估时，概率统计知识也扮演着重要的角色。
保险公司需要通过建立风险模型和制定风险管理策略来控制和规避各种风险，而这些措施的制定离不开对风险概率的准确评估和预测。
概率统计知识能帮助保险公司更全面地了解风险的本质和特点，进而有针对性地采取相应的风险管理措施，提高公司的风险抵御能力和盈利水平。
概率论与统计第二章第三节连续型随机变量
x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入 误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车 时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中 亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x
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Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式
k k Cn p (1 p )n k e
k
k!
,
k 0,1, 2,
Ch2-14
例2 设一批产品共2000个，其中有40个次品。 放回抽样随机抽取100个样品，求样品中次品 数X的概率分布。 解 放回抽样，则次品数服从二项分布
§2.3 泊松分布
若
P( X k ) e
k
其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布. 记作 X ~ ( ) 或 P ( )
附表（ 2 P202） P ( X x ) 1 F ( x 1)
k x
k!
, k 0,1, 2,
X ~ B(100,0.02), 即
P( X x)=C (0.02) (0.98)
x 100 x 100 x
, x 0,1,2,
,100.
=np 100 0.02 2 由于n=100较大，p=0.02较小，
适中，可近似用泊松分布计算，即
2 2 P ( X x ) e , x 0,1, 2, x!
Ch2-16
k
k
(2) P ( X 10) 1 P ( X 11) 5 5 1 e 1 0.0137 0.9863; k 11 k ! P[( X 3) ( X 1)] (3) P ( X 3 X 1) P ( X 1) P ( X 3) 0.8753 0.8812 P ( X 1) 0.9933
k
k!
e .
下表中都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质 点数 Xt ~ P ( t )
Ch2-12
例1 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析， 每月销售量服从泊松分布，λ= 4，问在月初进货时 要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满 足顾客的需要？ 解 销售量 X ~ P(4) ， 设至少库存N件，则
x
,100.
Ch2-15
例3 某商店某种商品日 销 量X ~ (5)(或X ~ P (5))， 求以下事件的概率：
（）日消 1 3件的概率；（） 2 日消量不超10件的概率；
当 （）在已售出 3 1件的条 件下，求 日至少售出3件的概率。
解 （） 1 P ( X 3) P ( X 3) P ( X 4) 5 5 5 5 e e k 3 k ! k 4 k ! 0.8753 0.7350 0.1403;
P{ X N } P{ X k }
k 0
k 0
N
N
k
k!eFra bibliotek 0.95，
经计算，必须取 N = 8。
Possion定理 设 npn 0 , 则对固定的 k
k k lim C n pn (1 pn )n k e n
k
k! k 0,1, 2,
k
作业
P33
1
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