几何画板中怎样用椭圆定义构造椭圆

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几何画板中的度量功能实验报告：椭圆的画法

几何画板中的度量功能实验报告

一、实验目的

1．学习应用数学知识原理来指导绘制圆锥曲线。

2．掌握几何画板中的建立坐标系，绘制已知点以及运用几何画板中

内置计算器计算比值的方法，掌握度量菜单的用法。

3．应用几何画板中的操作类按钮的功能动态显示圆锥曲线的变化

状况。二、实验原理

圆锥曲线基本定义，椭圆的参数方程以及椭圆的标准方程。实验内容：根据椭圆的不同定义，标准方程以及参数方程，绘制不同的椭圆曲线。三、实验仪器

PC 计算机；软件工具：几何画板5.04 四、实验课时：6课时五、实验步骤（一）知识储备

椭圆的第一定义：

平面内与两定点F 1、F 2(即焦点)的距离的和等于常数的动点P 的轨迹叫做椭圆. 其数学表达式为:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|)，焦距:｜F 1F 2｜=2c ≤2a.

椭圆的第二定义：

平面内到定点F(c ，0)的距离和到定直线l ：c

a x 2

=（F 不在l 上）的距离之比为常数,

即离心率a

e =

1、根据椭圆的第一定义画椭圆：2种画法。

2、缩放法画椭圆

3、双圆法画椭圆

（三）各种画法的实验步骤

1、根据椭圆的第一定义画椭圆：有两种画法画法一：

（1）新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：根据椭圆的第一定义画椭圆——画法一。

（2）构造控制台：选择【线段工具】，在空白处画线段AB ，选中线段AB ，【构造】-【构造线段上的点】（点C ），选中点C ，【度量】-【点的值】（xx ____

上在AB C ），【数据】-【计算】-输入：

运用几何画板绘制椭圆的有效方法

26
绘制点，并通过绘制点进行构造、垂线的操作，作出一条横坐标为 a 且垂直于 x 轴的直线；点击 c，然后点击变换、标记距离；选中 F 点并且点击变换、平移、确定作出 F'，选中 F 和 F' 两点然后进行作图、画圆；将直线和圆周的交点分别设为 J、K 并且选中两点进行追踪；点击 I，进行动画操作，然后点击出现的动画按钮，椭圆的绘制动画就出来了，如图 3 所示。
AE，将 AE 与小圆的交点设为点 F；选中 E 和 x 轴进行
构造、垂线，作出过 E 且垂直 x 轴的直线，同理作出过 F
且垂直于 y 轴的直线，两直线的交点则命名为 G。
接下来的步骤分两种方法进行。
A
点击 G 和 E，然后进行作图、轨迹，就作出了椭圆曲
C
线，如图 4 所示。点击 G，进行显示、追踪点，然后选中圆周上点 E，
E
G
研究
A
YANJIU
图 5 同心圆法动态绘制椭圆
CE
Βιβλιοθήκη Baidu
D
J
F'
F
GI H
K
四、单圆法单圆法的原理是椭圆的定义，即平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、F2 的距离之和等于常数，且满足│PF│1 +
27 │PF│2 =2a＞│F1F│2 ，这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定

几何画板生成椭圆曲线八种方法

同时选中点D和点G，按Ctrl+L键作出过点D、G的直线。同时选中直线EF和直线DG，按Ctrl+I键作出交点H。
选中点H，选择“显示”→“追踪点”。同时选中点F和它所在的圆周，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，设定为“单向”、“绕圆c1”、“正常地”，按“动画”按钮确定，这时绘图板上会出现“动画”按钮此时双击“动画”按钮就会自动画出椭圆（如图5）。完成，存盘退出。
四、单圆法（1）打开一个新的绘图板，选取“圆”工具作一圆（圆的半径长即2a），选中圆周上的点B，按Ctrl+H隐藏。
在圆的内部任选一点C（A，C即椭圆的交点）。在圆周上任取一点D，同时选中点C和点D，按Ctrl+L键作线段CD。选中线段CD，按Ctrl+M作出CD的中点E，再同时选中点E和线段CD，选择“作图”→“垂线”，作出垂线k。
2.按住shift键，先后选中点F，选择“显示”→“追踪点”，同样选中点G和点C，选择“显示”→“追踪点”。
按住shift键，先后选中点C和线段AB，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“双向”、“沿着线段j”、“慢慢地”，按“动画”按钮完成设置。这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。完成，存盘退出。
二、准线法（到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e）

几何画板生成椭圆曲线八种方法

选择“显示”→“线型”→“细线”，选中点G，选择“显示”→“追踪点”。
按住shift键，同时选中外圆圆周上的点E和外圆圆周，选择“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，弹出“匹配路径”对话框，选择“单向”、“绕圆c2”、“快速地”，按下“动画”按钮确定。
这时，绘图板上会出现一个“动画”按钮，双击“动画”按钮，就会自动画出椭圆。完成，存盘退出。
四、单圆法（1）打开一个新的绘图板，选取“圆”工具作一圆（圆的半径长即2a），选中圆周上的点B，按Ctrl+H隐藏。
在圆的内部任选一点C（A，C即椭圆的交点）。在圆周上任取一点D，同时选中点C和点D，按Ctrl+L键作线段CD。选中线段CD，按Ctrl+M作出CD的中点E，再同时选中点E和线段CD，选择“作图”→“垂线”，作出垂线k。
几何画板生成椭圆曲线八法
国家教育部推荐的教育软件《几何画板》提供曲线的动态变化，便于观察与验证。如很好的开发它的功能，制作出富于表现力的动态效果的课件，培养学生对抽象曲线的理解和想象能力有极大的帮助。下面就用绘制椭圆曲线的八种方法的同行们商榷。
一、定义法（到两定点的距离和等于定长）
选取“线段”工具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。用“点”工具在线段上任取一点C，按住shift键Fra Baidu bibliotek后选中A，C点，选择“变换”→“标记向量 "A→C"”。

几何画板极坐标方程生成椭圆

极坐标方程是描述平面上点的位置的一种坐标系统。在极坐标中，点的位置由它与原点的距离和与正向x轴的夹角确定。而椭圆是一种非常常见的几何形状，具有两个焦点和两个半轴的特点。那么，如何使用极坐标方程生成椭圆呢？

我们需要了解椭圆的数学定义。椭圆是平面上满足一定几何条件的点的集合。具体来说，椭圆是到两个给定点的距离之和为常数的点的轨迹。这两个给定点被称为椭圆的焦点，而常数被称为椭圆的离心率。

在极坐标中，点的位置由它与原点的距离和与正向x轴的夹角确定。因此，我们可以通过极坐标方程来生成椭圆。椭圆的极坐标方程为：

r = a(1 - e*cosθ)

其中，r表示点到原点的距离，a表示椭圆的半长轴，e表示椭圆的离心率，θ表示点与正向x轴的夹角。

通过调整a和e的值，我们可以生成不同形状和大小的椭圆。当离心率e为0时，椭圆退化为一个圆。当离心率e为1时，椭圆退化为一条直线。当离心率e大于1时，椭圆退化为两个分离的曲线。

接下来，让我们通过一些具体的例子来演示如何使用极坐标方程生成椭圆。

例1：生成一个半长轴为2，离心率为0.5的椭圆。

根据极坐标方程，我们可以将a设为2，e设为0.5。然后，我们可以将θ的取值范围设为0到2π，以生成完整的椭圆。在每个θ的取值下，计算r的值，并将该点绘制在极坐标系统中。

例2：生成一个半长轴为3，离心率为0.8的椭圆。

根据极坐标方程，我们可以将a设为3，e设为0.8。同样地，将θ的取值范围设为0到2π，并计算每个θ对应的r的值。然后，将这些点在极坐标系统中绘制出来。

椭圆的几何画板画法

方法一

在x 轴上任选两点AB ，构造一大一小的两个同心圆，在大圆上找一点C ，连接OC 作直线l,并且与小圆交于点D ，过点D 作Y 轴的垂线l 2,过点C 作X 轴的垂线l 1与l 2交于点F 。选择点C 、F 构造轨迹如图

方法二在Y 轴上选一点 B,和原点构造圆，圆上任选一点G ,过点G 作X 轴的垂线交X 轴于E,连接GE ，线段GE 上任选点F ，选点G 、F 构造轨迹得到椭圆如图

方法三

在坐标轴上任选一点A,选原点和点A 构造圆，连接OA ，在线段上任选点B,圆上任选点D ，连接OD 。连接BD ，取线段BD 的中点C,过点C 作线段BD 的垂线与OD 交于点F,选点D 、F 构造轨迹如图

运用几何画板绘制椭圆的有效方法

运用几何画板绘制椭圆的有效方法作者：于翠玲

来源：《黑龙江教育·中学》2019年第06期

在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0

几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：

一、定义法

定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB的同时在AB上绘制出C点，然后在AB外选取D、E两点，满足DE>AB;选中A、C两点进行标记向量，然后通过标记向量将D平移，得到D';选中D和D'点，绘制出一个以D为圆心，以D和D'间距离为半径的圆并且隐藏;同理，标记B、C两个点为标记向量，并且作出E的平移点到E'点，构造出圆，隐藏E'点;运用点工具做出两个圆周交点为F、G两点。

接下来分两种方法研究。

分别选中F、C和G、C两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。

点击F点，点击显示、追踪交点，同理操作G点;点击C点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置;点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。

几何画板椭圆第一定义的模拟实验步骤

以下是模拟实验椭圆第一定义的步骤：

1. 准备实验材料：一张几何画板、一支铅笔和一根细线。

2. 在几何画板上找到一个合适的中心点，并用铅笔在该点做一个小标记。

3. 使用针将细线的一端固定在几何画板上的中心点上。

4. 用铅笔将细线的另一端固定在画板上适当的位置，确保线条拉直，并且线长稍长于几何画板的两个半径之和。

5. 将铅笔以一定的角度保持固定，然后将细线沿着画板来回移动，绕着中心点旋转线条。

6. 在细线被拉挺的同时，保持细线与铅笔尖端的距离始终不变。

7. 观察细线运动时留下的痕迹，这些痕迹将形成一个闭合的曲线。

8. 这个曲线即为椭圆。根据椭圆的定义，椭圆是平面上所有距离到两个固定焦点的距离之和恒定的点的轨迹。

这个模拟实验能够帮助你直观地理解椭圆第一定义，即两个焦点和椭圆上所有点到这两个焦点距离之和的恒定关系。参与实验的过程可以帮助你更好地理解和记忆椭圆的特征。

用几何画板画椭圆的方法

椭圆是圆锥曲线重要的一部份，用几何绘图工具绘制椭圆不仅可以使图形画得更准确，还能很好地显示椭圆的一些性质。本文就向大家介绍几何画板圆锥曲线中的椭圆怎么画。

1.构造线段与中点。选择“直线工具”，画出线段AB，选择“构造”—“中点”命令，画出线段AB的中点C。

使用线段工具绘制线段AB并构造中点C

2.构造圆。依次选中点C、点A，选择“构造”—“以圆心和圆周上的点绘圆”命令，绘制出以点C为圆心经过点A的圆C。

选中点C、点A后构造以点C为圆心经过点A的圆C

3.构造垂线与交点。选择“点工具”，在圆周上任意作一点D，选中点D和线段AB，选择“构造”—“垂线”命令，绘制出线段AB的垂线，与线段AB的交点为E。

绘制点D后构造线段AB的垂线并与之交于E点

4.隐藏圆和直线。选中圆C和直线DE，选择“显示”—“隐藏路径对象”命令，隐藏圆C和直线DE。

选中圆C和直线DE后将之隐藏

5.构造线段和中点。选择“线段工具”，绘制出线段DE。选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段DE的中点F。

用线段工具绘制出线段DE后构造其中点F

6.绘制椭圆。依次选中点D、点F，选择“构造”—“轨迹”命令，绘制出椭圆。如下图所示。

使用“构造”—“轨迹”命令绘制出椭圆

7.隐藏点与线段。选中点D、点E、点F、线段DE，选择“显示”—“隐藏对象”命令，椭圆绘制完成。

隐藏点D、E、F和线段DF

以上向大家详细介绍了用几何画板画椭圆的方法，相信大家对此已经有所掌握。

用几何画板研究椭圆的画法

一．椭圆的定义：

1．椭圆的定义：在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：

设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,

∴

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++,

整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标

准方程 122

22=+b

y a x .

3．椭圆的第二定义：

设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝

的距离的比是常数a

(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F

的准线。常数e ＝a

(0<e <1)是椭圆的离心率。

4．椭圆的参数方程：

以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么

利用椭圆的参数方程在几何画板中画椭圆

1．选择“圆工具”中，利用“圆工具”画两个同心圆，如下图所示且大圆的半径OA=a，OL=b且a>b。

2．在“工具栏”中选择“点工具”，在大圆上取一点I，选中O、I 两点利用“线段直尺工具”连接成连段OI.交小圆于K。

3．选中点I ，在“构造”菜单中选择“垂直”按钮作垂直于坐标轴x 的垂线段IJ ，交坐标轴x 于J ，用同样的方法过点K 做线段的垂直线段KH ，交线段IJ 于H 。

4．分别选中点I 和点H ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。

画图思想：假设∠IOJ =θ，可知OJ =,cos θa HJ=θsin b ,则根据椭圆的参数方程点H 的轨迹是一个椭圆。

“几何画板”绘制椭圆的几种典型作法

１根据椭圆第一定义作椭圆
（）打开几何画板，择（辑／参数选项＞１选编，单击 “ 文本 ” 项卡，所有新建的点前的方框中选在画对号，后确定．用 “ 线段 ”工具，线段然画作Ａ线段ＡＢ的长度为椭圆的长轴长２）用 “ Ｂ（ａ．画点”工具在线段Ａ上任取一点Ｃ，Ｂ用选择工具选中Ａ，Ｃ点，择（选变换／标记向量＞Ａ～＞Ｃ． “ ”
（）线段Ａ外任取一点Ｄ，中点Ｄ，２在Ｂ选选择＜变换／平移）选中“ 标记的向量 ” 得到点，按，
７２Ｍ
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Ｄ．先后选中点Ｄ和Ｄ，择＜图／以圆心和圆选作周上的点画圆）选中点Ｄ先后选中Ｂ，，．Ｃ点，选择＜变换／标记向量）Ｂ一＞Ｃ．作一点Ｅ，其 ” ”另使与Ｄ点的距离小于线段ＡＢ的长（线段ＤＥ的长为２）选中点Ｅ，择（ｃ，选变换／移＞选中“ 平，按标记的
选择＜度量／距离）度量出线段ｎ和ｃ的长度；，按

几何画板画椭圆的几种方法介绍.

<>画椭圆的几种方法介绍

随着课改的发展，数学问题“视觉化”显得越来越重要（“视觉化”直观，学生更容易接受，课程改革也是朝这个发展方向），《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。下面介绍几种椭圆画法：

一、到两定点的距离和等于定长

具，在绘图板中作一线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。用“点”工具在线段上任取一点C，先后选中A，C点，选择“变换”->“标记向量"A->C"”（下图）。再用“线段”工具作线段DE（线段DE的长为

2c），选中点D，选择“变换”->“平移”，显示按标记的向量“从A到C”，点击“平移”，会得到点D'。

先后选中点D和D'，选择“作图”->“以圆心和圆周上的点画圆”，选中点D'，先后选中B，C点，选择“变换”->“标记向量"B->C"”。

同样的把点E，按向量BC平移，得到点E'。以E为圆心过E'作圆

选中两个圆的圆周，选择“作图”->“交点”，作出交点F和G。

让点C在线段AB上移动（选中点C，点击“编辑”下的“操作类按钮”中的“动画”可以生成动画），交点F、G的轨迹就是我们要作的椭圆（最后可以把无用的点、线隐藏）。

二、同心圆法（教材例5）

选择“图表”->“定义坐标系”，用“圆”工具作两圆心为原点的同心圆（外圆半径长就是最终椭圆的长半轴长a，内圆半径长就是最终椭圆的短半轴长b），光标放原点处，击左键拖动光标，松开左键就得到所需圆。

在外圆圆周上任取一点E（可以选中圆，点击“作图”下的“对象上的点”；

用几何画板画椭圆的六种方法刘秀梅

[ 录入者:编辑05 | 时间:2009-01-17 | 来源:本站| 浏览:[ 109次]

椭圆在平面解析几何的教学中是一个重要的内容，利用几何画板软件可以很准确地画出椭圆图形，为教师的教和学生的学都带来了方便。下面介绍六种画椭圆的方法。 1.利用椭圆定义椭圆定义：到两定点的距离之和为定长的点的轨迹。利用此定义来画，步骤如下：(3)构造线段PF的中垂线MN，与线段PF交于M，与线段PF交于N；(4)构造点P在圆上的动画，追踪点M，M的轨迹就是椭圆（如图1）。 2.利用菱形画椭圆步骤如下：(1)画一个菱形ABCD，对称轴为AC、BD；(2)过D构造AB上的垂线，垂足为P，DP交AC于O，标记AC、BD为镜面，做出点P

关于AC的对称点P′，关于BD的对称点P″；(3)顺次选取OPP′构造圆上的弧，再以BD为镜面，构造出对称弧；(4)顺次选取DP″P构造圆上的弧，再以AC为镜面，构造出对称弧，四段弧围成椭圆（如图2）。 3.利用定长线段的滑动一条线段AB(｜AB｜=2a)的两端A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点的轨迹就是椭圆。步骤如下：(1)建立坐标系xoy，在x轴上任取一点M，构造线段OM，使｜OM｜=｜AB｜=2a；(2)在线段OM上任取一点A，以A为圆心，以OM为半径构造圆，交y轴于点B；(3)构造线段AB，在AB上任取一点P（非中点），利用点反射或旋转构造点P 关于x轴、y轴、原点的对称点P″、P′、P?苁，追踪点P、P′、P″、P?苁；(4)构造点A在线段OM上的动画，点P、P′、P″、P?苁的轨迹就是椭圆（如图3）。值得一提的是椭圆规就是利用这个原理制成的，只不过点P取在了线段AB的延长线上。 4.利用参考圆画椭圆步骤如下：(1)以原点O为圆心，分别以a、b(a＞b)为半径做两个圆；(2)任取大圆上的一点A，构造线段OA交小圆于点B，过点A作AN⊥OX（x轴），垂足为N；(3)过点B作BM⊥AN，垂足为M，构造点M关于y轴的对称点M′，追踪点M和M′；(4)构造点A在大圆上的动画，点M、M′的轨迹就是椭圆（如图4）。 5.利用圆锥曲线的统一定义我们知道，圆锥曲线的统一定义是与一个定点的距离和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，点的轨迹就是椭圆。步骤如下：(1)画两线段AB、CD，计算两线段的比e=，保证0＜e＜1；(2)画定点F，定直线L，过点F构造L的垂线L′；(3)在L′

几何画板中椭圆的几种构造方法

温州中学陈晓龙

在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：

椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和为定值2a （2a ＞|F 1F 2|）的点的轨迹。椭圆的构造方法一：

（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ，在圆内任取一点A ；（2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于点M ，连接MA ；

（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点

P ，让点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨

迹为以O ，A 为焦点长轴长为2a 的椭圆。

理由：图中的MP=MA ，所以OM+MA=OM+MP=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。

椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直

线l : x ＝

a 2

的距离的比是常数a

c (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F

是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。常数e ＝a

c (0<e <1)是椭圆的离心率。

椭圆的构造方法二：

（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。过点F 作一条直线，

在直线上取一点P ；

（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP 的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正数)，计算FP/e ；

（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，以M 为圆心，以FP/e 为半径做圆，交垂线于N 点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；

椭圆的五种画法及各种弦的制作(很不错的几何画板教程).

椭圆的画法和性质

一．椭圆的定义： 1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．椭圆的标准方程：

∴

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1

整理化简，并且设

b 2＝a 2－

c 2得椭圆的标准方程

22=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：

设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝c

的距离的比是常数

(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。常数e ＝a

(0<e <1)是椭圆的离心率。图9－2

4．椭圆的参数方程：

设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为