.分式方程
分式方程
分式方程分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
（验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
知识点一：解分式方程例1、解分式方程的一般步骤：1、回顾一元一次方程的解法：315242 +=2236 x x x-+--去分母：去括号：移项：合并同类项：系数化为一：2、类比一元一次方程的解法，解方程212 33xx x-=---去分母：去括号：移项：合并同类项：系数化为一：检验：一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.★关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.注意：分式方程的解要检验！例1、解下列分式方程（1）114112=---+x x x ； （2）x x x x -+=++4535；（3）4441=+++x x x x ； （4）61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2例2、（2011湖北襄阳）关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是随堂练习1.(浙江嘉兴）解方程x x -=-22482的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解2.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．53．一件工作，甲单独做a 天完成，乙单独做b 天完成，两人合作，共需（ ）A ．a+b 天B ．1a +1b 天C ．1a b +天D ．ab a b+天4.（四川宜宾）方程xx 527=+的解是 . 5.（浙江杭州）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为______． 6.（浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 ．7、当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.8、若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围.知识点二：分式方程的增根解分式方程时，去掉分母后得到一个整式方程，若整式方程的解使得公分母的值为0，那么这个解就是方程的增根。
八年级数学分式方程
工程优化问题
通过设定工程目标函数和 约束条件，建立分式方程 求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解相遇时间或相 对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速 度、时间和距离，建立分 式方程求解追及时间或速 度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的 速度、时间和距离，建立 分式方程求解船速、水速 或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的 发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的 现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定， 如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低 元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的 方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。
分式方程与分式不等式
分式方程与分式不等式通常情况下，分式方程与分式不等式是我们在初中数学学习过程中需要掌握的重要知识点。
本文将对分式方程与分式不等式进行详细介绍，包括定义、求解方法以及一些应用实例。
一、分式方程分式方程是指方程中含有分式的等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的值。
在解分式方程时，首先需要将方程中的分式转化为通分式，然后将等式两边进行化简，最后得到未知数的值。
举例说明：1. 解方程：$\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{x}{6}$首先，通分得到 $\frac{3}{6}x - \frac{9}{12} = \frac{2}{12}x$化简得到 $\frac{3}{6}x - \frac{2}{12}x = \frac{9}{12}$进一步计算得到 $\frac{1}{6}x = \frac{9}{12}$最后得到 $x = \frac{9}{12} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{2}$因此，方程的解为 $x = \frac{3}{2}$2. 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{2}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{5}{4}$化简得到 $\frac{2 + 3x}{2x} = \frac{5}{4}$进一步计算得到 $8 + 12x = 10x$移项得到 $12x - 10x = -8$最后得到 $x = -8$因此，方程的解为 $x = -8$二、分式不等式分式不等式是指方程中含有分式的不等式。
通常表现为分式中含有未知数，并且需要求解该未知数的取值范围。
在解分式不等式时，首先需要将不等式中的分式转化为通分式，然后将不等式两边进行化简，最后得到未知数的取值范围。
举例说明：1. 解不等式：$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2} < \frac{5}{4}$首先，通分得到 $\frac{8}{12}x + \frac{6}{12} < \frac{15}{12}$化简得到 $\frac{8x + 6}{12} < \frac{15}{12}$进一步计算得到 $8x + 6 < 15$移项得到 $8x < 9$最后得到 $x < \frac{9}{8}$因此，不等式的解为 $x < \frac{9}{8}$2. 解不等式：$\frac{x}{4} - \frac{1}{3} \geq \frac{5}{6}$首先，通分得到 $\frac{3x}{12} - \frac{4}{12} \geq \frac{10}{12}$化简得到 $\frac{3x - 4}{12} \geq \frac{10}{12}$进一步计算得到 $3x - 4 \geq 10$移项得到 $3x \geq 14$最后得到 $x \geq \frac{14}{3}$因此，不等式的解为 $x \geq \frac{14}{3}$三、分式方程与分式不等式的应用实例1. 实例一：某公司的总资产为450万元，其中固定资产占总资产的四分之一，流动资产为总资产的三分之一。
分式方程
分式方程考点一：分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
如71=x，452600480=-xx 都是分式方程。
注：一个式子是分式方程必须满足：①是方程；②分式的分母中含有未知数例一、下列哪些是分式方程？（1）032=-y x （2）72321x x =-+ （3）xx 523=-（4）321+-+x x （5）161222-=-+x x x考点二：分式方程的解法：（重点）1、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，方法是方程两边都乘最简公分母，去掉分母。
2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母：在分式方程的两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
{注意：一定是化为一元一次方程，否则就是出错了} （2）解这个整式方程，求出整式方程的根。
（3）检验。
有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，那么这个根是原来方程的增根；如果最简公分母不等于0，那么这个根是原方程的根。
从而得出原方程的解。
②直接代入原方程中，看其是否成立。
例二：解方程：1、215x x =+2、111=+-x x x3、11122--=-x x4、1262=++-x x x5、2213211x x x x --=--对应练习：1、6352-=-x x2、625--=-x x x x3、225122+=++x x x x 4、3323-+=-x x x 5、 1416222=--+-x x x 6、2221422--+=-x x x x 7、01722=-++x x x x 8、125552=-+-x x x9、32121--+=-x x x 10、87178=----xx x11、2163524245--+=--x x x x 12、()16141022-=--x x x x13、211222++=+x x x x 14、x x x -=---91891015、x x x x x -=----+119132222 16、xx x x x ---+-=-+41341216965217、2244168222-=+-+-x xx x x x 18、41312111---=---x x x x考点三：增根的应用（难点）如果由变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
分式方程
1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．【例1】在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式方程有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例2】分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________． 【例3】直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________； （3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________．【例4】用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【例5】解方程： （1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++； （3）23312222x x x x x ++=--+-．【例6】解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--．【例7】已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值．【例8】已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值．【例9】已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围．【例10】解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例11】解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【例12】解方程组：（1）413538x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251x y x y ⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．【例13】解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++； （2）11212736x x x x x x ++-=-++++．【例14】解方程：226205x x +-=+．【例15】a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解?【例16】已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解．【例17】解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+=【例18】解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-．【例19】已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围．1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”（1）利用题目中的关键语句寻找相等关系；（2）利用公式、定理寻找相等关系；（3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．【例20】要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x天的方程是（）．A．2213xx x-+=+B．233x x=+C．2213xx x++=+D．213xx x+=+【例21】某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x个零件，那么下列根据题意列出的方程中，错误的是（）A．8030080615x x-+=-B．30080615x-=-C．80(6)8030015xx-+=-D．8015300806xx-=--【例22】甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【例23】登山比赛时，小明上山时的速度为a米/分，下山的速度是b米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【例24】甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B地比乙到A地早27分钟，求两人的速度各是多少?【例25】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【例26】某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【习题1】已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（43x -=，其中是分式方程的有_____________．【习题2】当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0?【习题3】分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【习题4】解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+．【习题5】解方程：221313x x x x ++=+．【习题6】解方程组311332412463324x y x y x y y x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【习题7】若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值．【习题8】甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米， 因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度．【习题9】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩， 求原计划平均每年的绿化面积．【习题10】解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【习题11】解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----．【习题12】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ．【习题13】已知：关于x 的方程227()72120a ax x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【作业1】下列哪个分式方程（ ）的根是2x =.A ．2321x x -=+ B ．3221x x-=+ C ．3101x -=+ D ．222x x x =--【作业2】用换元法解方程组56111211x y xy ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩时，如果设___________=u ，___________=v ，那 么原方程组可以化为二元一次方程组____________________．【作业3】已知方程22113()()40x x x x +++-=，若设1x y x +=，则原方程化为（ ）． A ．23540y y +-=B ．23100y y +-=；C ．23520y y -+=D ．23520y y ++= 【作业4】如果24410x x -+=，那么2x 的值是 ．【作业5】解方程：（1）21421242x x x x++=+--； （2）2154111x x x x --=+--．【作业6】解方程： （1）223121x x x x +-=+； （2）2322x x x x --=-．【作业7】解下列方程组： （1）22125134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩； （2）53327235572x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩．【作业8】当m 为何值时，关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实根？【作业9】甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度．（其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）【作业10】如图所示，A B 、两港中间有C D 、两岛，AB AC AD 、、的距离分别为72海里，18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从A B 、两港同时出发，水流由A 流到B ，流速为2海里/时，第一次任务是到达C 岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达D 岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．【作业11】解方程：11111726x x x x +=+----．【作业12】若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的取值．。
分式方程概念
分式方程概念
分式方程是一种特殊的方程，它是由两个或多个分式组成的方程。
分式方程可以概括为：将两个或多个分式组合起来，进行等式比较，以找出解（未知数）的方程。
分式方程的解可以是一个或多个未知数的实数值或复数值。
分式方程的形式可以是整体对整体的比较、单个分式对整体的比较、单个分式对单个分式的比较。
分式方程可以用来解决许多物理问题，例如考虑地球和月球之间的引力问题，考虑在两个刚性物体之间发生碰撞时的动量守恒定律，还有分析元宝石或金属中的晶体结构等。
通过解决这些问题，我们可以得出一些结论，并从中学习物理规律。
此外，分式方程在许多其他领域中都有广泛应用，例如在金融领域可以用来模拟市场，求解资产定价问题；在管理科学领域可以用来求解资源分配问题；在运筹学领域可以用来求解最优解等。
八年级100道分式方程
题目1：解方程 $\frac{5}{6}x + \frac{1}{2} = \frac{4}{3}x - \frac{3}{4}$。
解法：首先将方程的两边都乘以12，得到$10x+6=16x-9$。
将变量的项移到一边，得到$16x-10x=6+9$。
继续计算，得到$6x=15$。
最后解得 $x=\frac{15}{6}$。
题目2：解方程 $2y - 1 = \frac{3}{4}y + \frac{5}{8}$。
解法：首先将方程的两边都乘以8，得到$16y-8=6y+5$。
将变量的项移到一边，得到$16y-6y=5+8$。
继续计算，得到$10y=13$。
最后解得 $y=\frac{13}{10}$。
题目3：解方程 $\frac{4}{5}x + \frac{2}{3} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6}x$。
解法：首先将方程的两边都乘以30，得到$24x+20=9-5x$。
将变量的项移到一边，得到$24x+5x=9-20$。
继续计算，得到$29x=-11$。
最后解得 $x=\frac{-11}{29}$。
题目4：解方程 $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{2}{5} - \frac{4}{15}x$。
解法：首先将方程的两边都乘以30，得到$10x+15=12-8x$。
将变量的项移到一边，得到$10x+8x=12-15$。
继续计算，得到$18x=-3$。
最后解得 $x=\frac{-1}{6}$。
题目5：解方程 $\frac{2}{7}x - \frac{3}{5} = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$。
解法：首先将方程的两边都乘以70，得到$20x-42=35x+35$。
将变量的项移到一边，得到$35x-20x=35+42$。
继续计算，得到$15x=77$。
最后解得 $x=\frac{77}{15}$。
题目6：解方程 $\frac{3}{x} - 4 = \frac{5}{x} - 2$。
高中数学 分式方程
分式方程•分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。
•分式方程特征：①一是方程②二是分母中含有未知数。
因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数。
解分式方程•解法：解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：（1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）（2）解方程：解整式方程，得到方程的根；（3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
如果分式本身约分了，也要带进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.注意：（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于0。
分式方程的特殊解法：换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
•解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
解分式方程注意：①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。
分式方程公式
分式方程公式
分式方程是指包含一个或多个分式的方程。
下面列举几个常见的分式方程及其解法：
一次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = 常数
解法：将方程中的分式化简为一个整数，然后求解。
二次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = (分子) / (分母)
解法：通常可以通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程，然后求解。
多元分式方程：
形式：(分子1) / (分母1) = (分子2) / (分母2) = ...
解法：可以通过分数的相等性，将多个分式等于一个常数，进而解得各个变量的值。
在解分式方程时，应考虑分母是否为零的情况，并排除无效解。
另外，有时候方程可能会包含复杂的分式形式，需要运用化简、约分等技巧来简化方程，使其更容易求解。
分式方程是包含分式的方程，解分式方程的方法包括化简、约分、通分、交叉相乘等技巧，以求得方程的解。
分式方程的概念及解法
分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
要点诠释：1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
要点二：分式方程的解法1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
2．解分式方程的一般方法和步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
(2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
规律方法指导1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义1、下列各式中，是分式方程的是（）A．B．C．D．举一反三：【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）A．分式方程B．一元一次方程 C．二元一次方程D．三元一次方程类型二：分式方程解的概念2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样的分式方程可以是______________.举一反三：【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？类型三：分式方程的解法3、解方程举一反三：【变式】解方程：(1)＝; (2)＋＝2.类型四：增根的应用4、当m为何值时，方程会产生增根( )A. 2B. －1C. 3D.－3举一反三：【变式】.若方程＝无解，则m＝。
分式方程及其应用
分式方程是一种常见的数学方程，用于描述两个有关的量之间的关系。
常见的分式方程的形式如下：
ax+b = cy+d
其中，a、b、c、d是常数，x、y是未知数。
分式方程的应用
解决实际问题：例如，你想知道跑步消耗卡路里的规律，可以通过分式方程来描述跑步距离与卡路里之间的关系。
计算不同条件下的结果：例如，你想知道不同温度下水的沸点，可以通过分式方程来描述温度与沸点之间的关系，并计算不同温度下的沸点。
绘制函数图像：分式方程可以用来描述函数的规律，通过绘制函数图像，可以更直观地理解函数的特征。
分式方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们解决实际问题、计算结果、绘制图像等。
分式方程的求解
在解决分式方程时，需要注意以下几点：
先将分式方程化简，去掉分母，使得方程的形式更简单。
解决未知数的值，即求解未知数的数值解。
检查解的正确性，即将求得的解代回原方程，看是否满足原方程。
下面是一个具体的例子：
例如，求解方程：2x+3 = x+1。
解：
首先，将方程化简，得：x=1。
然后，代回原方程，得：2*1+3=1+1。
因此，x=1是方程的一个数值解。
注意，有些分式方程可能有多个解，因此需要计算多个解，并检查解的正确性。
希望以上内容能够帮助你更好地理解分式方程的求解方法。
分式方程ppt课件
•分式方程基本概念•分式方程解法•分式方程应用举例•分式方程与实际问题结合目•分式方程求解技巧与注意事项•分式方程练习题与答案解析录01分式方程基本概念分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程。
分母中含有未知数（或含有未知数整式的有理方程）叫做分式方程。
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程与整式方程区别方程形式不同未知数位置不同分式方程是分式的形式，而整式方程是整式的形式。
解法不同02分式方程解法通过通分，将分式方程转化为整式方程。
注意去分母后，整理得到的整式方程的解需要检验，以排除增根。
适用于分子、分母均为多项式的分式方程。
去分母法通过引入新的变量，将分式方程转化为整式方程。
换元法可以简化复杂的分式方程，降低求解难度。
适用于具有特定结构的分式方程，如分子或分母含有根式、指数等。
换元法判别式法因式分解法将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。
因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03分式方程应用举例千米，一辆汽车从甲地开千米。
问这辆汽车需要多少小时才能到达乙地？01020304利润= 售价-进价利润率= 利润÷进价×100%售价= 进价×(1 +利润率)进价= 售价÷(1 +利润率)举例：某商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为7.4元。
卖到还剩5双时，除成本外还获利44元。
这批凉鞋共有多少双？04分式方程与实际问题结合实际问题转化为分式方程通过分析实际问题的数量关系，建立分式方程模型。
将实际问题中的已知量和未知量用字母表示，根据问题中的等量关系列出分式方程。
注意分式方程中分母不能为0的条件，确保方程的合法性。
分式方程求解实际问题通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将分式方程化为整式方程。
解整式方程，求得未知数的值。
检验求得的解是否符合实际问题的要求，确保解的合理性。
分式方程20道例题
分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。
2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。
3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。
- 解得x = 3。
4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。
- 所以x = 3是原分式方程的解。
例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。
2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。
3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。
- x^2+2x - x^2+4 = 4。
4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。
5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。
- 所以x = 0是原分式方程的解。
例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。
2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。
3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。
- 8x=8，解得x = 1。
4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。
- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。
二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。
分式方程
分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。
说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。
2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。
（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。
第二步：解这个整式方程。
第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。
一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。
第6讲 分式方程及其应用
经检验,x=40 是分式方程的根.
∴B 采样点送检车的平均速度为 40×1.5=60(km/h),
∴B 采样点送检车的行驶时间为 45÷60=0.75(h).
∵3.2+0.75=3.95<4,∴B 采样点采集的样本不会失效.
1.(2021 恩施)分式方程
A.x=1
C.x=
+1=
-
的解是( D )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
[变式 2](2021 连云港)解方程:
+
(x+1)2-4=(x+1)(x-1),
整理,得2x-2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴原方程无解.
=1.
- -
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
∴x=1是增根,应舍去.
-
8.(2021 潍坊)若 x<2,且
0
+|x-2|+x-1=0,则 x=
-
.
1 .
9.(2021 东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展
荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨
季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了任务.设原计划每
1.(2022 方城期中)给出下列方程:
-
+
+
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5．分式方程一．选择题1. （2009襄樊市）分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．－3【关键词】分式方程【答案】方程两边同乘()()31x x --，得()()()113x x x x -=+-，解得3x =-，经检验3x =-是原分式方程的解，故选D 。
2.(2009年上海市)用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=【关键词】换元法【答案】A 3.（2009年广东佛山）6．方程121x x=-的解是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【关键词】分式方程的解法【答案】C4．（2009年山西省）解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解 【关键词】分式方程及增根；用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】D5.（2009年安徽）4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是【 】A ．8 B.7 C ．6 D ．5【关键词】分式方程【答案】B6．（2009年怀化）分式方程2131=-x 的解是（ ） A ．21=x B ．2=x C ．31-=x D ． 31=x 【关键词】用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】A7. （2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三的工日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）.A ．8B ．7C ．6D ．5【关键词】分式分程【答案】A8．（2009年漳州）分式方程211x x =+的解是（ ） A ．1 B ．－1 C ．13 D ．13- 【关键词】用去分母法求分式方程的解【答案】A9．（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5【关键词】分式方程及增根【答案】A10.（2009泰安）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为A ．18%)201(400160=++x x B ．18%)201(160400160=+-+xx Ｃ．18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 【关键词】分式方程【答案】Ｂ11. （2009年嘉兴市）解方程xx -=-22482的结果是（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．4=x D ．无解【关键词】分式方程有解无解【答案】 D12．（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是 A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2【关键词】字母方程【答案】D 13.（2009柳州）5．分式方程3221+=x x 的解是（ ） A ．0=x B ．1=x C ．2=x D ．3=x【关键词】分式方程【答案】B二．填空题 1.（2009年重庆市江津区）分式方程121+=x x 的解是 . 【关键词】分式方程的解法【答案】1x =2.（2009山西省太原市）方程2512x x =-的解是 ． 解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘()21x x -，得455x x =-，解得5x =（或5）【关键词】分式方程的解法 【答案】5x =3.(2009成都)分式方程2131x x =+的解是_________ 【关键词】分式方程 【答案】24．（2009年邵阳市）请你给x 选择一个合适的值，使方程2112-=-x x 成立，你选择的x ＝________。
【关键词】用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】35．（09湖南邵阳）请你给x 选择一个合适的值，使方程2112x x =--成立，你选择的x =____________．【关键词】用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】36．(2009年咸宁市)分式方程1223x x =+的解是_____________． 【关键词】分工方程【答案】1x =7.（2009年重庆市江津区）分式方程121+=x x 的解是 . 【关键词】分式方程的解法【答案】1x =8．（2009年牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ． 【关键词】分式方程及增根【答案】1或－29．（2009年重庆）分式方程1211x x =+-的解为 ． 【关键词】用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】－3．10. （2009年宜宾）方程xx 527=+的解是 . 【关键词】用去分母法解分式方程【答案】5.11．(2009年牡丹江市)若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a = ． 【关键词】分式方程的增根【答案】1或－212.（2009年杭州市）已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________．【关键词】分式方程及增根【答案】46-≠->m m 或13.（2009年台州市）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳x 下，则可列关于x 的方程为 ．【关键词】分式方程的应用【答案】xx 9020120=+（其他答案正确也给分 14．（2009年吉林省）方程312x =-的解是 【关键词】分式方程【答案】x ＝515.（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 【关键词】分式方程.【答案】2 y －y3=2 16. （2009仙桃）分式方程11x x 1x 2--=+的解为________________． 【关键词】分式方程.【答案】3x =三．解答题1.（2009年北京市）解分式方程：6122x x x +=-+ 【关键词】分式方程解法【答案】解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+解得1x =经检验1x =是原方程的解所以原方程的解是1x =.2.(2009年安顺)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：依据上列图表，回答下列问题：（1） 其中观看足球比赛的门票有_____张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_____％；（2） 公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是_____；（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的18，求每张乒乓球门票的价格。
【关键词】频率估计概率，直方图，分式方程【答案】（1）50，20（2）103 （3）依题意，有= 18. 解得x ≈530 . 经检验，x =530是原方程的解.答：每张乒乓球门票的价格约为530元.3.(2009年陕西省)解方程：431222-=-+-x x x ． 【关键词】分式方程及增根【答案】解： (x －2)2－(x 2－4)=3．－4x ＝－5．x ＝45． 经检验，x ＝45是原方程的解． （2009年常德市）解方程：121-=x x 【关键词】分式方程【答案】原方程变形得12-=x x ∴1-=x经检验1-=x 是原方程的根4．（2009年桂林市、百色市）（本题满分8分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？x x20 30 800 50 1000 20 + ⨯ + ⨯关键词】分式方程【答案】解：（1）设乙队单独完成需x 天根据题意，得11120()2416060x ⨯++⨯= 解这个方程，得x =90经检验，x =90是原方程的解 ∴乙队单独完成需90天（2）设甲、乙合作完成需y 天，则有11()16090y += 解得36y =（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．5.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式（组）【答案】解：(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x 元xx 800001000100000=+ 解得: 4000=x经检验: 4000=x 是原方程的根,所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元.(2)设购进甲种电脑x 台,50000)15(3000350048000≤-+≤x x解得 106≤≤x因为x 的正整数解为6,7,8,9,10, 所以共有5种进货方案(3) 设总获利为W 元,ax a x a x W 1512000)300()15)(30003800()35004000(-+-=---+-= 当300=a 时, (2)中所有方案获利相同.此时, 购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利.6．（2009年广东省）解方程22111x x =---． 【关键词】用去分母法或换元法求分式方程的解【答案】方程两边同时乘以()()11x x +-，2=()1x -+，3x =-，经检验：3x =-是方程的解．7.(2009年达州)某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.【关键词】分式方程的应用【答案】21.解：（1） 设改进设备后平均每天耗煤x 吨，根据题意，得：45x+10=45－10xx+5解得x=1 5经检验，x=15符合题意且使分式方程有意义答：改进设备后平均每天耗煤15吨（2）略（只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可得分）8.（2009年湖北十堰市）已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 （2）a 2+b 2【关键词】因式分解、简单的二元二次方程组的解法【答案】解法①：（1）632)(22=⨯=+=+b a ab ab b a（2） ∵2222)(b ab a b a ++=+∴52232)(2222=⨯-=-+=+ab b a b a解法②：由题意得 ⎩⎨⎧==+23ab b a 解得：⎩⎨⎧==1211b a ⎩⎨⎧==2122b a 当1,2==b a 时，514,6242222=+=+=+=+b a ab b a当2,1==b a 时，541,6422222=+=+=+=+b a ab b a说明：（1）第二种解法只求出一种情形的给4分；（2）其它解法请参照上述评分说明给分．9.（2009年湖北十堰市）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？ 【关键词】分式方程及增根【答案】解：设该厂原来每天加工x 个零件， 由题意得：72500100=+xx 解得 x =50经检验：x =50是原分式方程的解答：该厂原来每天加工50个零件。